রৈখিক বীজগণিত/ফিল্ড

রৈখিক বীজগণিত অধ্যয়নে ফিল্ড অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। রৈখিক বীজগণিতের যেকোনো ফলাফল সকল ফিল্ডের ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য হয় কারণ রৈখিক বীজগণিতের মৌলিক অপারেশনগুলোর মধ্যে কেবল যোগ, বিয়োগ, গুণ এবং ভাগ অন্তর্ভুক্ত।

যাইহোক, ফিল্ড মূলত বিমূর্ত বীজগণিতের আলোচনার বিষয় এবং এখানে এর বিস্তারিত ব্যাখ্যা দেওয়া হবে না। এর পরিবর্তে আমরা কেবল এর সংজ্ঞাটি প্রদান করছি।

একটি ফিল্ড হলো একটি সেট F, যেখানে '+' এবং '*' নামক দুটি বাইনারি অপারেটর (বা ফাংশন) এবং ০ ও ১ নামক দুটি উপাদান এমনভাবে থাকে যেন:

• যোগের বিনিময়যোগ্যতা: a+b=b+a
• যোগের সংযোগযোগ্যতা: (a+b)+c=a+(b+c)
• যোগের অভেদক: 0+a=a+0=a
• যোগের বিপরীতক: প্রতিটি a এর জন্য এমন একটি উপাদান b থাকে যেন a+b=0 হয়
• গুণের বিনিময়যোগ্যতা: ab=ba
• গুণের সংযোগযোগ্যতা: (ab)c=a(bc)
• গুণের অভেদক: 1a=a1=a
• গুণের বিপরীতক: প্রতিটি অশূন্য a এর জন্য এমন একটি উপাদান b থাকে যেন ab=1 হয়
• যোগের ওপর গুণের বণ্টনযোগ্যতা: a(b+c)=ab+ac

ফিল্ডের উদাহরণসমূহ:

1. মূলদ সংখ্যা Q
2. বাস্তব সংখ্যা R
3. জটিল সংখ্যা C
4. মূলদ বহুপদী ফাংশনের সেট

ক্যারেক্টারিস্টিক ০

রৈখিক বীজগণিতের জন্য আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ অনুমান হলো যে, আমরা ০ ক্যারেক্টারিস্টিক সম্পন্ন একটি ফিল্ড নিয়ে কাজ করছি।

সংজ্ঞা

একটি ফিল্ডের ক্যারেক্টারিস্টিক হলো এমন যার প্রথম স্বাভাবিক সংখ্যা n, যেন ১+১+১+.....+১ (n বার) এর মান ০ হয়। যদি এমন কোনো সংখ্যা না থাকে, তবে তার ক্যারেক্টারিস্টিক হলো ০।

উদাহরণ:

1. মডুলা p পূর্ণসংখ্যার সেট Z_p, যেখানে p একটি মৌলিক সংখ্যা।

রৈখিক বীজগণিতে আমরা সাধারণত Z_p এর মতো ফিল্ডগুলো নিয়ে কাজ করি না, তাই আমরা কেবল ০ ক্যারেক্টারিস্টিক সম্পন্ন ফিল্ডগুলো নিয়েই আলোচনা করব।