রৈখিক বীজগণিত/প্রমাণের কৌশল

আরোহ পদ্ধতি

অনেক গাণিতিক প্রমাণই পুনরাবৃত্তিমূলক বা পর্যায়ক্রমিক প্রকৃতির হয়ে থাকে, যেমন— "এখানে দেখানো হলো কেন বিবৃতিটি $1$ সংখ্যার ক্ষেত্রে সত্য, আর তা থেকে এটি $2$-এর জন্য সত্য বলে প্রমাণিত হয়, এবং সেখান থেকে একইভাবে $3$-এর জন্য সত্য হয়, এবং এভাবেই চলতে থাকে..."। এই ধরণের প্রমাণকে গাণিতিক আরোহ পদ্ধতি বলা হয়। এই ধরণের প্রমাণের দুটি ধাপ বা পর্যায় রয়েছে। প্রথমটি হলো ভিত্তি ধাপ; এই ধাপে প্রতিজ্ঞাটিকে প্রাথমিক বা প্রথম কোনো সংখ্যার জন্য প্রতিষ্ঠা করা হয়, যা সাধারণত $0$ কিংবা $1$ হয়ে থাকে। এরপরের ধাপটি হলো আরোহ ধাপ; এই ধাপে আমরা ধরে নিই যে প্রতিজ্ঞাটি কোনো নির্দিষ্ট সংখ্যা $k$ পর্যন্ত সব সংখ্যার জন্য সত্য এবং তা থেকে যুক্তি খাটিয়ে প্রমাণ করি যে, এটি তার পরবর্তী সংখ্যা $k+1$-এর জন্যও সত্য হবে।

নিচে একটি উদাহরণ দেওয়া হলো:

আমরা প্রমাণ করব যে, $1+2+3+\dots +n={\frac {n(n+1)}{2}}$।

ভিত্তি ধাপের জন্য আমাদের দেখাতে হবে যে সূত্রটি যখন $n=1$ হয়, তখন সত্য। এটি খুবই সহজ, প্রথম $1$-টি সংখ্যার যোগফল আসলেই ${\frac {1(1+1)}{2}}$-এর সমান।

আরোহ ধাপের জন্য ধরে নেওয়া যাক যে, সূত্রটি $1,2,\ldots ,k$ সংখ্যাগুলোর জন্য সত্য। অর্থাৎ, সূত্রের এই প্রতিটি দৃষ্টান্তই সত্য বলে ধরে নিই:

${\begin{array}{rl}1&={\frac {1(1+1)}{2}}\\{\text{এবং}}\quad 1+2&={\frac {2(2+1)}{2}}\\{\text{এবং}}\quad 1+2+3&={\frac {3(3+1)}{2}}\\&\vdots \\{\text{এবং}}\quad 1+\dots +k&={\frac {k(k+1)}{2}}\end{array}}$

এই অনুমান বা ধারণা থেকে আমরা যুক্তি বের করব যে, সূত্রটি তার পরবর্তী ক্ষেত্র অর্থাৎ $k+1$-এর জন্যও সত্য হবে। এই সিদ্ধান্তটি সাধারণ বীজগণিতের নিয়মে সহজেই চলে আসে:

$1+2+\cdots +k+(k+1)={\frac {k(k+1)}{2}}+(k+1)={\frac {(k+1)(k+2)}{2}}$

আমরা ভিত্তি ধাপে দেখিয়েছি যে, ওপরের প্রতিজ্ঞাটি $1$-এর জন্য সত্য। আবার আরোহ ধাপে আমরা দেখিয়েছি যে, যদি এটি $1$-এর ক্ষেত্রের জন্য সত্য হয়, তবে তা $2$-এর জন্যও সত্য হবে; সুতরাং, এটি $2$-এর জন্য অবশ্যই সত্য। আমরা আরোহ ধাপে এটিও দেখিয়েছি যে, যদি বিবৃতিটি $1$ এবং $2$ উভয় ক্ষেত্রের জন্য সত্য হয়, তবে তা এর পরবর্তী ক্ষেত্র অর্থাৎ $3$-এর জন্যও সত্য হবে, এবং এভাবেই চলতে থাকবে। অতএব, এটি $1$-এর সমান বা তার চেয়ে বড় যেকোনো স্বাভাবিক সংখ্যার জন্যই সত্য।

নিচে আরেকটি উদাহরণ দেওয়া হলো:

আমরা প্রমাণ করব যে, $1$-এর চেয়ে বড় প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাই মৌলিক সংখ্যার গুণফল।

ভিত্তি ধাপটি খুবই সহজ: $2$ সংখ্যাটি নিজেই একটি একক মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে প্রকাশমান।

আরোহ ধাপের জন্য ধরে নেওয়া যাক যে, $2,3,\ldots ,k$ সংখ্যাগুলোর প্রতিটিই মৌলিক সংখ্যার গুণফল। আমাদের লক্ষ্য হলো এটি দেখানো যে, $k+1$-ও মৌলিক সংখ্যার গুণফল হবে। এখানে দুটি সম্ভাবনা রয়েছে: (i) যদি $k+1$ তার নিজের চেয়ে ছোট অন্য কোনো সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য না হয়, তবে এটি নিজেই একটি মৌলিক সংখ্যা এবং ফলস্বরূপ এটি মৌলিক সংখ্যার গুণফল; এবং (ii) যদি $k+1$ বিভাজ্য হয়, তবে এর উৎপাদক বা গুণনীয়কগুলোকে মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে লেখা যেতে পারে (আরোহ অনুমিতি অনুসারে), এবং সেহেতু $k+1$-কেও মৌলিক সংখ্যাসমূহের গুণফল হিসেবে পুনর্লিখন করা সম্ভব। এখানেই প্রমাণের সমাপ্তি।

(মন্তব্য। সংখ্যাতত্ত্বের মৌলিক উপপাদ্য বা 'প্রাইম ফ্যাক্টরাইজেশন থিওরেম' বলে যে, কোনো সংখ্যার কেবল এমন মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণ সম্ভবই নয়, বরং এই বিশ্লেষণটি অনন্য। আমরা এখানে কেবল সহজ অর্ধাংশটি প্রমাণ করেছি।)

আরোহ যুক্তিতে এই "পরবর্তী সংখ্যা" বিষয়টির ক্ষেত্রে দুটি বিষয় লক্ষ্য রাখা প্রয়োজন।

প্রথমত, আরোহ পদ্ধতি পূর্ণসংখ্যার ওপর কাজ করলেও, বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে এটি কার্যকর নয়। কারণ কোনো বাস্তব সংখ্যার ঠিক "পরবর্তী" বাস্তব সংখ্যা বলে কিছু নেই।

দ্বিতীয়ত, আমরা কখনো কখনো আরোহ পদ্ধতি ব্যবহার করে পেছনের দিকে বা নিচের দিকেও নামতে পারি; যেমন— $10$ থেকে $9$, তারপর $8$ ইত্যাদি হয়ে $0$ পর্যন্ত। সুতরাং, এক্ষেত্রে "পরবর্তী সংখ্যা" বলতে "ঠিক পূর্ববর্তী বা ছোট সংখ্যাটি" বোঝাতে পারে। তবে অবশ্যই, এই প্রক্রিয়ার শেষে আমরা সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যার জন্য সত্যতা প্রমাণ করতে পারি না, কেবল $10$-এর সমান বা তার চেয়ে ছোট সংখ্যাগুলোর জন্যই তা প্রমাণিত হয়।

বিরোধাভাস বা পরোক্ষ প্রমাণ

গাণিতিক প্রমাণের আরেকটি অন্যতম প্রধান পদ্ধতি হলো—কোনো একটি বিবৃতিকে সত্য প্রমাণ করার জন্য এটি দেখানো যে, বিবৃতিটি কোনোভাবেই মিথ্যা হতে পারে না।

এর সবচেয়ে চিরায়ত উদাহরণটি হলো ইউক্লিডের সেই বিখ্যাত প্রমাণ—মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা অসীম।

ধরে নেওয়া যাক, মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা সসীম এবং তারা হলো $p_{1},\dots ,p_{k}$। এখন একটি সংখ্যা বিবেচনা করা যাক: $p_{1}\cdot p_{2}\dots p_{k}+1$। আমাদের ধরে নেওয়া এই সম্পূর্ণ তালিকায় থাকা মৌলিক সংখ্যাগুলোর কোনোটি দ্বারাই নতুন এই সংখ্যাটিকে নিঃশেষে ভাগ করা সম্ভব নয়, প্রতিটি সংখ্যা দিয়ে ভাগ করলেই ভাগশেষ $1$ থাকবে। কিন্তু আমরা জানি যে, প্রতিটি সংখ্যাকেই মৌলিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়; সুতরাং এই পরিস্থিতিটি অসম্ভব বা অবাস্তব। অতএব, মৌলিক সংখ্যার সংখ্যা কোনোভাবেই সসীম হতে পারে না।

বিরোধাভাস দ্বারা প্রতিটি প্রমাণেরই কাঠামো একই রকম হয়ে থাকে: প্রথমে কাঙ্ক্ষিত ফলাফলের বিপরীত বা মিথ্যা প্রতিজ্ঞাটিকে সত্য বলে ধরে নেওয়া হয় এবং তা থেকে প্রতিষ্ঠিত কোনো গাণিতিক সত্যের সাথে একটি বিরোধ বা অমিল তৈরি করা হয়। এই ধরণের যুক্তিবিদ্যাকে অ্যারিস্টটলীয় যুক্তিবিদ্যা বা পদ যুক্তিবিদ্যা বলা হয়ে থাকে।

নিচের উদাহরণটি দেখায় যে কেন ${\sqrt {2}}$ একটি মূলদ সংখ্যা নয়।

ধরে নেওয়া যাক, ${\sqrt {2}}$ একটি মূলদ সংখ্যা, অর্থাৎ: ${\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}$। যেখান থেকে লেখা যায়:

$2n^{2}=m^{2}$

এখন উভয় পক্ষ থেকে $2$-এর উৎপাদকগুলোকে আলাদা করা যাক: ধরি, $n=2^{k_{n}}\cdot {\hat {n}}$ এবং $m=2^{k_{m}}\cdot {\hat {m}}$ (যেখানে ${\hat {n}}$ ও ${\hat {m}}$ বিজোড় সংখ্যা)। এখন মানগুলো বসিয়ে পাই:

$2\cdot (2^{k_{n}}\cdot {\hat {n}})^{2}=(2^{k_{m}}\cdot {\hat {m}})^{2}$

পাটিগণিতের মৌলিক উপপাদ্য অনুসারে, সমীকরণের উভয় পক্ষেই $2$-এর উৎপাদকের সংখ্যা সমান হতে হবে। কিন্তু এখানে বামপক্ষে $2$-এর উৎপাদকের সংখ্যা একটি বিজোড় সংখ্যা $1+2k_{n}$, অথচ ডানপক্ষে এই সংখ্যাটি একটি জোড় সংখ্যা $2k_{m}$। এটি একটি স্পষ্ট বিরোধ বা অসঙ্গতি। অতএব, এমন কোনো মূলদ সংখ্যা থাকা সম্ভব নয় যার বর্গ $2$ হবে।

ওপরের দুটি উদাহরণেরই মূল লক্ষ্য ছিল কোনো কিছুর "অস্তিত্ব নেই" তা প্রমাণ করা। একটি নেতিবাচক বা না-বোধক প্রতিজ্ঞা প্রায়শই বিরোধাভাস পদ্ধতির মাধ্যমে প্রমাণের ইঙ্গিত দেয়।