রৈখিক বীজগণিত/প্রতিজ্ঞা

যুক্তি বা তর্কের মূল আলোচ্য বিষয় বা দাবিটিই হলো প্রতিজ্ঞা। গণিতবিদগণ সাধারণত কোনো প্রমাণের শুরুতে মূল বক্তব্যটি সম্পূর্ণভাবে লিখে নেন এবং এর গুরুত্ব অনুযায়ী সেটিকে লেবেল বা চিহ্নিত করেন। যেমন—প্রধান বা বড় সিদ্ধান্তের ক্ষেত্রে উপপাদ্য, পূর্ববর্তী কোনো সিদ্ধান্ত থেকে সরাসরি পাওয়া সিদ্ধান্তের ক্ষেত্রে অনুসিদ্ধান্ত, এবং অন্য কোনো বড় সিদ্ধান্ত প্রমাণ করার জন্য সহায়ক হিসেবে ব্যবহৃত ফলাফলের ক্ষেত্রে 'সহ-উপপাদ্য হিসেবে অভিহিত করা হয়।

প্রতিজ্ঞাসমূহ প্রকাশকারী বিবৃতিগুলো বেশ জটিল এবং অনেকগুলো উপ-অংশে বিভক্ত হতে পারে। সম্পূর্ণ প্রতিজ্ঞাটির সত্যতা বা মিথ্যাত্ব নির্ভর করে এর প্রতিটি খণ্ডের সত্যতার মান এবং খণ্ডগুলোকে জুড়ে দিয়ে একটি পূর্ণাঙ্গ বিবৃতি তৈরি করতে ব্যবহৃত শব্দগুলোর ওপর।

না-বোধক বা নেতিকরণ

উদাহরণস্বরূপ, যেখানে $P$ একটি প্রতিজ্ঞা, সেখানে "এটি এমন নয় যে $P$" বিবৃতিটি তখনই সত্য হবে যখন $P$ নিজে মিথ্যা। সুতরাং, "$n$ মৌলিক সংখ্যা নয়" এটি কেবল তখনই সত্য হবে যখন $n$ হবে ক্ষুদ্রতর পূর্ণসংখ্যাসমূহের গুণফল।

আমরা একটি ভেনচিত্র এর সাহায্যে এই না-বোধক প্রক্রিয়াটি কল্পনা করতে পারি।

যদি এই চতুর্ভুজ বা বাক্সটি সমস্ত স্বাভাবিক সংখ্যাকে নির্দেশ করে এবং বৃত্তের ভেতরের অংশটি মৌলিক সংখ্যাগুলোকে নির্দেশ করে, তবে ছায়াবৃত অংশটি সেইসব সংখ্যাকে ধারণ করে যা "not $P$" শর্তটি পূরণ করে।

কোনো "not $P$" বিবৃতি সত্য তা প্রমাণ করতে হলে, $P$ যে মিথ্যা তা দেখাতে হবে।

এবং-বোধক বা সংযোজন

এবার "$P$ এবং $Q$" আকারের বিবৃতিটি বিবেচনা করা যাক। এই বিবৃতিটি সত্য হতে হলে এর উভয় অংশকেই সত্য হতে হবে: যেমন—"$7$ একটি মৌলিক সংখ্যা এবং $3$-ও একটি মৌলিক সংখ্যা" বিবৃতিটি সত্য, কিন্তু "$7$ একটি মৌলিক সংখ্যা এবং $3$ মৌলিক সংখ্যা নয়" বিবৃতিটি মিথ্যা।

নিচে "$P$ এবং $Q$"-এর জন্য ভেনচিত্রটি দেওয়া হলো।

"$P$ এবং $Q$" প্রমাণ করতে হলে, এর প্রতিটি অংশ বা অর্ধাংশ যে সত্য তা আলাদাভাবে প্রমাণ করতে হবে।

অথবা-বোধক বা বিয়োজন

একটি "$P$ অথবা $Q$" আকারের বিবৃতি তখনই সত্য হয়, যখন এর যেকোনো একটি অংশ সত্য হয়: যেমন—"$7$ একটি মৌলিক সংখ্যা অথবা $4$ একটি মৌলিক সংখ্যা" বিবৃতিটি সত্য, কিন্তু "$7$ মৌলিক সংখ্যা নয় অথবা $4$ একটি মৌলিক সংখ্যা" বিবৃতিটি মিথ্যা। গণিতে আমরা "অথবা" শব্দটিকে অন্তর্ভুক্তিমূলক অর্থে গ্রহণ করি; অর্থাৎ যদি উভয় অংশই সত্য হয়—যেমন: "$7$ একটি মৌলিক সংখ্যা অথবা $4$ মৌলিক সংখ্যা নয়", তবে সামগ্রিকভাবে সম্পূর্ণ বিবৃতিটি সত্য হবে। (দৈনন্দিন কথাবার্তায় অনেক সময় "অথবা" শব্দটি একচেটিয়া বা বর্জনীয় অর্থে ব্যবহৃত হয়—যেমন: "সবজি খাও অথবা মিষ্টি পাবে না"; এখানে উভয় অংশ একসাথে সত্য হওয়া বোঝায় না—তবে গণিতে আমরা "অথবা"-কে এভাবে ব্যবহার করব না।)

অথবা-বোধক প্রক্রিয়ার ভেনচিত্রটিতে উভয় বৃত্তের সম্পূর্ণ অংশই অন্তর্ভুক্ত থাকে।

• (দ্রষ্টব্য: মূল উৎসের চিত্রে 'সংযোজন' ফাইলের নাম থাকলেও এটি 'বিয়োজন'-এর ক্ষেত্রে উভয় বৃত্তের মিলন বা সংযোগ এলাকা নির্দেশ করে।)*

"$P$ অথবা $Q$" সত্য তা প্রমাণ করতে হলে দেখাতে হবে যে, সব অবস্থাতেই অন্তত একটি অংশ সত্য হয় (কখনো হয়তো একটি অংশ সত্য হতে পারে, আবার কখনো অন্য অংশটি, কিন্তু সর্বদাই অন্তত যেকোনো একটি অংশ সত্য হবে)।

যদি-তবে বা শর্তায়ন

একটি "যদি $P$ তবে $Q$" বিবৃতি (যাকে কখনো কখনো "$P$ বস্তুগতভাবে $Q$-কে নির্দেশ করে" বা কেবল "$P$ নির্দেশ করে $Q$" বা "$P\implies Q$") তখনই সত্য হয়, কেবল যদি এমনটি না ঘটে যে $P$ সত্য কিন্তু $Q$ মিথ্যা। সুতরাং, "যদি $7$ একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে $4$ মৌলিক সংখ্যা নয়" বিবৃতিটি সত্য, কিন্তু "যদি $7$ একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে $4$-ও একটি মৌলিক সংখ্যা" বিবৃতিটি মিথ্যা। (দৈনন্দিন সাধারণ কথাবার্তার বিপরীতে, গণিতে "যদি $P$ তবে $Q$" দ্বারা এটি বোঝায় না যে, $P$ ঘটনাটি $Q$-এর আগে ঘটেছে কিংবা $P$ হলো $Q$-এর কারণ।)

আরও সূক্ষ্মভাবে বলতে গেলে, গণিতে "যদি $P$ তবে $Q$" বিবৃতিটি সত্য বলে গণ্য হয় যখন $P$ নিজে মিথ্যা: যেমন—"যদি $4$ একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে $7$ একটি মৌলিক সংখ্যা" এবং "যদি $4$ একটি মৌলিক সংখ্যা হয় তবে $7$ মৌলিক সংখ্যা নয়"—এই দুটি বিবৃতিই সত্য। গণিতের ভাষায় এগুলোকে অনেক সময় তুচ্ছভাবে সত্য বলা হয়। আমরা এই নিয়মটি মেনে চলি কারণ আমরা চাই "যদি একটি সংখ্যা পূর্ণবর্গ হয় তবে সেটি মৌলিক সংখ্যা নয়"-এর মতো বিবৃতিগুলো সব ক্ষেত্রেই সত্য হোক, যেমন—যখন সংখ্যাটি $5$ হয় কিংবা যখন সংখ্যাটি $6$ হয়।

নিচের চিত্রটি

প্রদর্শন করে যে, যখনই $P$ সত্য হবে, তখনই $Q$-ও সত্য হবে (এর আরেকটি প্রকাশ হলো "$Q$ পাওয়ার জন্য $P$-ই যথেষ্ট বা পর্যাপ্ত। এখানে আবার লক্ষ্য করুন যে, যদি $P$ সত্য না-ও হয়, তবুও $Q$ সত্য হতেও পারে, আবার নাও হতে পারে।

একটি শর্তায়ন বা ইঙ্গিতমূলক সম্পর্ক প্রতিষ্ঠার দুটি প্রধান উপায় রয়েছে। প্রথম উপায়টি হলো প্রত্যক্ষ বা সরাসরি: ধরে নেওয়া হয় যে $P$ সত্য এবং সেই অনুমানের ওপর ভিত্তি করে $Q$-কে প্রমাণ করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, "যদি একটি সংখ্যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে সেই সংখ্যার দ্বিগুণ ১০ দ্বারা বিভাজ্য হবে" তা দেখানোর জন্য ধরে নিন সংখ্যাটি হলো $5n$ এবং সেখান থেকে সিদ্ধান্ত নিন যে $2(5n)=10n$।

দ্বিতীয় উপায়টি হলো পরোক্ষ বা বিপরীতমুখী: এই পদ্ধতিতে এর বিপরীত-ধনাত্মক বিবৃতিটি প্রমাণ করা হয়, যা হলো: "যদি $Q$ মিথ্যা হয় তবে $P$-ও মিথ্যা" (অন্য কথায়, "$Q$ কেবল তখনই মিথ্যা হতে পারে যখন $P$-ও মিথ্যা হয়")। উদাহরণস্বরূপ, "যদি একটি সংখ্যা মৌলিক হয় তবে এটি পূর্ণবর্গ নয়" তা দেখানোর জন্য যুক্তি দেওয়া যেতে পারে যে, সংখ্যাটি যদি একটি বর্গ সংখ্যা $p=n^{2}$ হতো, তবে এটিকে $p=n\cdot n$ হিসেবে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যেত যেখানে $n<p$, এবং ফলস্বরূপ এটি আর মৌলিক সংখ্যা থাকত না (অবশ্যই $p=0$ বা $p=1$ এর ক্ষেত্রে $n<p$ হয় না, তবে সংজ্ঞা অনুসারেই তারা অমৌলিক)।

এই ধরণের বিবৃতির ক্ষেত্রে দুটি বিষয় লক্ষ্যণীয়:

প্রথমত, একটি "যদি $P$ তবে $Q$" ফলাফলকে কখনো কখনো $P$-এর শর্ত শিথিল করে কিংবা $Q$-এর সিদ্ধান্তকে আরও জোরালো করে উন্নত করা যেতে পারে। যেমন—"যদি একটি সংখ্যা $p^{2}$ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে এর বর্গও $p^{2}$ দ্বারা বিভাজ্য হবে" বিবৃতিটিকে এর অনুমিতি বা পূর্বশর্ত শিথিল করে এভাবে উন্নত করা যেতে পারে: "যদি একটি সংখ্যা $p$ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে এর বর্গ $p^{2}$ দ্বারা বিভাজ্য হবে", অথবা এর সিদ্ধান্তকে আরও জোরালো করে এভাবে বলা যেতে পারে: "যদি একটি সংখ্যা $p^{2}$ দ্বারা বিভাজ্য হয় তবে এর বর্গ $p^{4}$ দ্বারা বিভাজ্য হবে"।

দ্বিতীয়ত, "যদি $P$ তবে $Q$" প্রমাণ করার পর একটি ভালো পরবর্তী পদক্ষেপ হলো—এমন কোনো ক্ষেত্র আছে কি না তা খতিয়ে দেখা যেখানে $Q$ সত্য কিন্তু $P$ সত্য নয়। এর উদ্দেশ্য হলো প্রতিজ্ঞাটিকে আরও শক্তিশালী করার লক্ষ্যে $P$ এবং $Q$-এর মধ্যকার সম্পর্ককে আরও ভালোভাবে অনুধাবন করা।

সমতুল্যতা

একটি যদি-তবে বিবৃতিকে আর উন্নত বা জোরালো করা সম্ভব নয়, যখন কেবল $P$ থেকে $Q$ ইঙ্গিত করে তা-ই নয়, বরং বিপরীতভাবে $Q$ থেকেও $P$ নির্দেশিত হয়। এই সম্পর্কটি প্রকাশ করার কয়েকটি প্রচলিত মাধ্যম হলো: "$P$ কেবল এবং কেবল যদি $Q$", "$P$ iff $Q$", "$P$ এবং $Q$ যৌক্তিকভাবে সমতুল্য , "$Q$ পাওয়ার জন্য $P$ একটি প্রয়োজনীয় এবং পর্যাপ্ত শর্ত , অথবা "$P\iff Q$"। উদাহরণস্বরূপ—"একটি সংখ্যা কোনো মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হবে কেবল এবং কেবল যদি সেই সংখ্যার বর্গ উক্ত মৌলিক সংখ্যার বর্গ দ্বারা বিভাজ্য হয়"।

নিচের চিত্রটি প্রদর্শন করে যে, $P$ এবং $Q$ ঠিক একই ক্ষেত্র বা উপাদানসমূহের জন্য সত্য হয়।

সাধারণ বা সহজ যুক্তির ক্ষেত্রে একটি ধারাবাহিক শৃঙ্খল যেমন— "$P$ কেবল এবং কেবল যদি $R$ হয়, যা আবার সত্য হবে কেবল এবং কেবল যদি $S$ হয়..." এভাবে প্রমাণ করা সুবিধাজনক হলেও, সাধারণত সমতুল্যতা প্রমাণের জন্য আমরা "যদি $P$ তবে $Q$" এবং "যদি $Q$ তবে $P$"—এই দুটি অংশকে আলাদা আলাদাভাবে প্রমাণ করে থাকি।