রৈখিক বীজগণিত/পুরাতন/ম্যাট্রিক্স প্রক্রিয়া

শূন্য ম্যাট্রিক্স

একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হলো এমন একটি ম্যাট্রিক্স যার প্রতিটি ভুক্তি বা উপাদান শূন্য। শূন্য ম্যাট্রিক্সের একটি উদাহরণ নিচে দেওয়া হলো:

$M={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

স্কেলার

স্কেলার হলো একটি অ-শূন্য ধ্রুবক, যা কোনো ম্যাট্রিক্সের আকার বা মানকে স্কেল বা আনুপাতিক পরিবর্তন করতে ব্যবহৃত হয়।

যদি r একটি স্কেলার এবং A একটি ম্যাট্রিক্স হয়, তবে তাদের স্কেলার গুণফল rA হলো এমন একটি ম্যাট্রিক্স যার কলামগুলো হলো A ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ কলামগুলোর r গুণ।

নিচে একটি উদাহরণ দেওয়া হলো:

r=4\qquad A={\begin{bmatrix}2&&3\\7&&1\end{bmatrix}}

rA={\begin{bmatrix}4*2&&4*3\\4*7&&4*1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&&12\\28&&4\end{bmatrix}}

দুটি ম্যাট্রিক্সের বিয়োগ করার সময় পরোক্ষভাবে স্কেলার ব্যবহৃত হয়, কারণ -B-কে (-1)B হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা যায়। এর অর্থ হলো যখন আমরা A ম্যাট্রিক্স থেকে B ম্যাট্রিক্স বিয়োগ করি, তখন A-B আদতে A+(-1)B-এরই সমান।

যোগ এবং বিয়োগ

দুটি ম্যাট্রিক্সের আকার একই হলেই কেবল তাদের যোগ বা বিয়োগ করা সম্ভব। ম্যাট্রিক্সের যোগ এবং বিয়োগ ভুক্তি-ভিত্তিক করা হয়; যার অর্থ হলো A+B-এর প্রতিটি ভুক্তি হবে A এবং B ম্যাট্রিক্সের অনুরূপ ভুক্তিগুলোর যোগফল

ম্যাট্রিক্স যোগের একটি উদাহরণ নিচে দেওয়া হলো:

A={\begin{bmatrix}7&&5&&3\\4&&0&&5\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}1&&1&&1\\-1&&3&&2\end{bmatrix}}

A+B={\begin{bmatrix}7+1&&5+1&&3+1\\4-1&&0+3&&5+2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8&&6&&4\\3&&3&&7\end{bmatrix}}

এবং ম্যাট্রিক্স বিয়োগের একটি উদাহরণ:

A={\begin{bmatrix}7&&5&&3\\4&&0&&5\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}1&&1&&1\\-1&&3&&2\end{bmatrix}}

A-B={\begin{bmatrix}7-1&&5-1&&3-1\\4+1&&0-3&&5-2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}6&&4&&2\\5&&-3&&4\end{bmatrix}}

মনে রাখবে, ভিন্ন আকারের দুটি ম্যাট্রিক্স কখনো যোগ বা বিয়োগ করা যায় না।

ম্যাট্রিক্সের যোগফল এবং স্কেলার গুণনের ক্ষেত্রে নিচের নিয়মগুলো প্রযোজ্য হয়।
ধরি, A, B, এবং C হলো একই আকারের ম্যাট্রিক্স এবং r ও s হলো দুটি স্কেলার।

A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + 0 = A
r(A + B) = rA + rB
(r + s)A = rA + sA
r(sA) = (rs)A

ম্যাট্রিক্স গুণন

রৈখিক বীজগণিতের একজন শিক্ষানবিশের কাছে ম্যাট্রিক্স গুণন প্রক্রিয়াটি স্কেলার গুণনের মতো অতোটা সহজবোধ্য বা স্বজ্ঞাত নাও মনে হতে পারে। তবে এটি কিন্তু খুব একটা কঠিন কিছু নয়।

সংজ্ঞা

যদি A একটি ১ বাই m আকারের ম্যাট্রিক্স এবং B একটি m বাই ১ আকারের ম্যাট্রিক্স হয়, তবে এদের গুণফল AB হবে নিম্নরূপ:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1m}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{11}\\b_{21}\\\vdots \\b_{m1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+\cdots +a_{1m}b_{m1}\\\end{bmatrix}}$

পদের এই সমষ্টিকে নিচের মতো করে একটি সামেশন আকারে প্রকাশ করা যায়:

${\begin{bmatrix}\sum _{k=1}^{m}a_{1k}b_{k1}\\\end{bmatrix}}_{(1,1)}$

আমরা এই ধারণাটি ব্যবহার করে দুটি ম্যাট্রিক্সের মধ্যে গুণন সম্ভব কি না তা নির্ধারণ করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, একটি $3\times 2$ আকারের ম্যাট্রিক্সের সাথে একটি $2\times 3$ আকারের ম্যাট্রিক্স গুণ করলে একটি $3\times 3$ আকারের ম্যাট্রিক্স পাওয়া যাবে। যদি প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা এবং দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যা সমান হয়, তবেই তাদের মধ্যে গুণন করা সম্ভব (যেমনটা উপরের উদাহরণে দেখা গেছে)।

ম্যাট্রিক্স গুণন বিনিময়যোগ্য নয়, অর্থাৎ সাধারণভাবে A * B এবং B * A সমান হয় না। উপরের উদাহরণের দিকে তাকালেই এটি সহজে বোঝা যায়।

ঘাত

যদি A একটি $n\times n$ আকারের বর্গ ম্যাট্রিক্স হয় এবং k একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে $A^{k}$ দ্বারা A-এর k-সংখ্যক অনুলিপির গুণফলকে বোঝায়:

A^{k}={\begin{matrix}\underbrace {A\cdots A} \\k\end{matrix}}

যদি A একটি অ-শূন্য ম্যাট্রিক্স হয় এবং x ভেক্টরটি $\mathbb {R} ^{n}$ -এর অন্তর্ভুক্ত হয়, তবে $A^{k}\mathbf {x}$ হলো x-কে বাম দিক থেকে পরপর k বার A দ্বারা গুণ করার ফলাফল। যদি k = 0 হয়, তবে $A^{0}\mathbf {x}$ -এর মান স্বয়ং x-ই হওয়া উচিত। তাই $A^{0}$ -কে অভেদক ম্যাট্রিক্স হিসেবে গণ্য করা হয়।

ট্রান্সপোজ

একটি $m\times n$ আকারের ম্যাট্রিক্স A দেওয়া থাকলে, এর ট্রান্সপোজ বা রূপান্তরিত ম্যাট্রিক্সকে $A^{T}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়, যা একটি $n\times m$ আকারের ম্যাট্রিক্স এবং এর কলামগুলো গঠিত হয় A-এর অনুরূপ সারিগুলো থেকে।

নিচে একটি উদাহরণ দেওয়া হলো:

A={\begin{bmatrix}a&&b\\c&&d\end{bmatrix}}\qquad B={\begin{bmatrix}3&&5\\2&&7\\6&&9\\1&&0\\5&&2\end{bmatrix}}

A^{T}={\begin{bmatrix}a&&c\\b&&d\end{bmatrix}}\qquad B^{T}={\begin{bmatrix}3&&2&&6&&1&&5\\5&&7&&9&&0&&2\end{bmatrix}}

ট্রান্সপোজ বা রূপান্তরের ক্ষেত্রে নিচের নিয়মগুলো প্রযোজ্য হয়:

$\left(A^{T}\right)^{T}=A\,$
$(A+B)^{T}=A^{T}+B^{T}\,$
যেকোনো স্কেলার r-এর জন্য, $(rA)^{T}=rA^{T}\,$
$(AB)^{T}=B^{T}A^{T}\,$

৪ নম্বর নিয়মটিকে দুইয়ের অধিক ম্যাট্রিক্সের গুণফলের ক্ষেত্রেও সাধারণীকরণ করা যেতে পারে, যেমন: "যেকোনো গুণফলের ট্রান্সপোজের মান হবে ম্যাট্রিক্সগুলোর বিপরীত ক্রমে তাদের নিজস্ব ট্রান্সপোজের গুণফলের সমান।" অর্থাৎ:

(A_{1}A_{2}A_{3}\cdots A_{n})^{T}=A_{n}^{T}\cdots A_{3}^{T}A_{2}^{T}A_{1}^{T}