রৈখিক বীজগণিত/পুরাতন/মৌলিক পরিবর্তন

মৌলিক পরিবর্তন

এর আগে দেখানো হয়েছে যে একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স কোনো ভেক্টর স্পেসের নিজস্ব রৈখিক রূপান্তরকে উপস্থাপন করতে পারে এবং এই ম্যাট্রিক্সটি ভেক্টর স্পেসের জন্য নির্বাচিত ভিত্তির ওপর নির্ভরশীল। এখন আমরা দেখাব কীভাবে একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর স্পেসের ভিত্তি পরিবর্তন করতে হয়।

ধরা যাক, আমাদের কাছে একটি ভেক্টর স্পেস আছে যার ভিত্তি হলো সেট $A=a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ এবং আমরা একে পরিবর্তন করে $B=b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}$ সেটে রূপান্তর করতে চাই। ভিত্তি B যেহেতু আগের ভেক্টর স্পেসেরই অন্তর্ভুক্ত, তাই এর ভেক্টরগুলোকে নিচের মতো রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা যেতে পারে [সমীকরণ ১]:

$b_{1}=p_{11}a_{1}+p_{12}a_{2}+\ldots +p_{1n}a_{n}$,

$b_{2}=p_{21}a_{1}+p_{22}a_{2}+\ldots +p_{2n}a_{n}$,

$\ldots$

$b_{n}=p_{n1}a_{1}+p_{n2}a_{2}+\ldots +p_{nn}a_{n}$

B সেটের প্রতিটি ভেক্টরের একটি স্থানাঙ্ক ম্যাট্রিক্স রয়েছে যা আমাদের শুরু করা প্রাথমিক ভিত্তি A এর সাপেক্ষে নির্ধারিত। আমরা একে এভাবে উপস্থাপন করি:

${\begin{bmatrix}b_{1}\\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}p_{11}\\p_{12}\\\vdots \\p_{1n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{2}\\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}p_{21}\\p_{22}\\\vdots \\p_{2n}\\\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}b_{n}\\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}p_{n1}\\p_{n2}\\\vdots \\p_{nn}\\\end{bmatrix}}$

এই স্থানাঙ্ক ম্যাট্রিক্সগুলোকে একটি ম্যাট্রিক্স P এর কলাম হিসেবে সাজালে আমরা একটি ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স বা রূপান্তর ম্যাট্রিক্স পাই। এই ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্সটি কোনো ভেক্টর স্পেসের মূল ভিত্তি A কে একটি নতুন ভিত্তি B তে রূপান্তরিত করে। লক্ষণীয় যে, এই ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্সটি আসলে আমাদের আগে দেখা [সমীকরণ ১] এর ট্রান্সপোজ।

$P={\begin{bmatrix}{\begin{bmatrix}b_{1}\\\end{bmatrix}}_{A}{\begin{bmatrix}b_{2}\\\end{bmatrix}}_{A}\cdots {\begin{bmatrix}b_{n}\\\end{bmatrix}}_{A}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{11}&\cdots &p_{n1}\\p_{12}&\cdots &p_{n2}\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{1n}&\cdots &p_{nn}\\\end{bmatrix}}$

সংক্ষেপে বলতে গেলে, কোনো ভিত্তি F থেকে অন্য একটি ভিত্তি G তে রূপান্তরের জন্য ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করতে হলে, আমাদের অবশ্যই মূল ভিত্তি F এর প্রতিটি উপাদানের স্থানাঙ্ক ভেক্টর অন্য ভিত্তি G এর সাপেক্ষে গণনা করতে হবে। এই স্থানাঙ্ক ভেক্টরগুলো দ্বারা গঠিত কলামবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সটিই হলো কাঙ্ক্ষিত ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স।

প্রমাণ

উপপাদ্য ১

যদি ভিত্তি A থেকে ভিত্তি Z এ পরিবর্তনের ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স P হয় এবং β ওই ভেক্টর স্পেসের একটি উপাদান হয়, তবে এটি প্রমাণিত হয় যে—

$P{\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{Z}={\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{A}$

প্রমাণ

$\beta =b_{1}z_{1}+b_{2}z_{2}+\cdots +b_{n}z_{n}$ $~~~=b_{1}(p_{11}a_{1}+\cdots +p_{1n}a_{n})+\cdots +b_{n}(p_{n1}a_{1}+\cdots +p_{nn}a_{n})$

$~=(b_{1}p_{11}+\cdots +b_{n}p_{n1})a_{1}+\cdots +(b_{1}p_{1n}+\cdots +b_{n}p_{nn})a_{n}$

$\therefore$

${\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{A}={\begin{bmatrix}(b_{1}p_{11}+\cdots +b_{n}p_{n1})\\\vdots \\(b_{1}p_{1n}+\cdots +b_{n}p_{nn})\\\end{bmatrix}}$

$={\begin{bmatrix}p_{11}&\cdots &p_{n1}\\\vdots &~&\vdots \\p_{1n}&\cdots &p_{nn}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\\\end{bmatrix}}=P{\begin{bmatrix}\beta \\\end{bmatrix}}_{Z}$

$\Box$