রৈখিক বীজগণিত/নির্ণায়কের অস্তিত্ব/সমাধান

সমাধানসমূহ

এই বইটিতে $2$- এবং $3$-বিন্যাসের (permutation) জন্য যে গাণিতিক চিহ্ন বা সংকেতগুলো ব্যবহার করা হয়েছে, এখানে সেগুলোর একটি সংক্ষিপ্ত সারসংক্ষেপ দেওয়া হলো।

${\begin{array}{c|cc}i&1&2\\\hline \phi _{1}(i)&1&2\\\phi _{2}(i)&2&1\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc}i&1&2&3\\\hline \phi _{1}(i)&1&2&3\\\phi _{2}(i)&1&3&2\\\phi _{3}(i)&2&1&3\\\phi _{4}(i)&2&3&1\\\phi _{5}(i)&3&1&2\\\phi _{6}(i)&3&2&1\end{array}}$

সমস্যা ১

একটি সাধারণ $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স এবং এর ট্রান্সপোজ (transpose)-এর বিন্যাস বিস্তৃতি (permutation expansion) দেখাও।

উত্তর

নিচে একটি $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের (determinant) বিন্যাস বিস্তৃতি দেওয়া হলো:

${\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad\cdot {\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+bc\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}}$

এবং এর ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের বিন্যাস বিস্তৃতি নিচে দেওয়া হলো:

${\begin{vmatrix}a&c\\b&d\end{vmatrix}}=ad\cdot {\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}+cb\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}}$

উপ-পরিচ্ছেদে বর্ণিত $3\!\times \!3$ বিস্তৃতির মতোই, এখানেও সংশ্লিষ্ট পদগুলো থেকে প্রাপ্ত বিন্যাস ম্যাট্রিক্সগুলো একে অপরের ট্রান্সপোজ। তবে প্রতিটি ম্যাট্রিক্স নিজেই নিজের ট্রান্সপোজ (self-transpose) হওয়ার কারণে এই বিষয়টি সরাসরি বোঝা যাচ্ছে না।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

এই সমস্যাটি পূর্ববর্তী উপ-পরিচ্ছেদেও উল্লেখ করা হয়েছে।

1. প্রতিটি $2$-বিন্যাসের বিপরীত (inverse) নির্ণয় করো।
2. প্রতিটি $3$-বিন্যাসের বিপরীত (inverse) নির্ণয় করো।

উত্তর

নিচের প্রতিটি ফলাফলই খুব সহজে পরীক্ষা করে দেখা সম্ভব।

1. বিন্যাস	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$
   বিপরীত	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$

2. বিন্যাস	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$	$\phi _{3}$	$\phi _{4}$	$\phi _{5}$	$\phi _{6}$
   বিপরীত	$\phi _{1}$	$\phi _{2}$	$\phi _{3}$	$\phi _{5}$	$\phi _{4}$	$\phi _{6}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

1. প্রতিটি ২-বিন্যাসের (2-permutation) সিগনাম (signum) নির্ণয় করুন।
2. প্রতিটি ৩-বিন্যাসের (3-permutation) সিগনাম (signum) নির্ণয় করুন।

উত্তর

1. $\operatorname {sgn}(\phi _{1})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{2})=-1$
2. $\operatorname {sgn}(\phi _{1})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{2})=-1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{3})=-1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{4})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{5})=+1$, $\operatorname {sgn}(\phi _{6})=-1$

সমস্যা ৪

$\phi =\langle n,n-1,\dots ,2,1\rangle$ এই n-বিন্যাসটির (n-permutation) সিগনাম (signum) কত হবে?

উত্তর

এই বিন্যাসটি বা প্যাটার্নটি নিচে দেখানো হলো।

${\begin{array}{c|ccccccc}i&1&2&3&4&5&6&\ldots \\\hline \operatorname {sgn}(\phi _{i})&+1&-1&-1&+1&+1&-1&\ldots \end{array}}$

সুতরাং $\phi _{n!}$-এর সিগনাম (signum) বের করার জন্য, আমাদের প্রথমে $n!-1$ হিসাব করতে হবে এবং প্রাপ্ত মানটিকে চার (৪) দিয়ে ভাগ করে ভাগশেষটি দেখতে হবে। যদি ভাগশেষ $1$ অথবা $2$ হয়, তবে সিগনাম হবে $-1$; অন্যথায় এর মান হবে $+1$। $n>4$-এর ক্ষেত্রে, $n!$ সংখ্যাটি চার দ্বারা বিভাজ্য। তাই $n!-1$-কে চার দিয়ে ভাগ করলে ভাগশেষ থাকে $-1$ (আরও সঠিকভাবে বলতে গেলে, ভাগশেষ থাকে $3$), এবং এই কারণে সিগনামের মান হয় $+1$। $n=1$ এর ক্ষেত্রে সিগনামের মান হয় $+1$, $n=2$ এর ক্ষেত্রে সিগনাম হয় $-1$ এবং $n=3$ এর ক্ষেত্রে সিগনামের মান হয় $-1$।

সমস্যা ৫

নিচের বিষয়গুলো প্রমাণ করুন।

1. প্রতিটি বিন্যাস বা পারমুটেশনের একটি বিপরীত (inverse) বিন্যাস থাকে।
2. $\operatorname {sgn}(\phi ^{-1})=\operatorname {sgn}(\phi )$
3. প্রতিটি বিন্যাসই অন্য কোনো বিন্যাসের বিপরীত হিসেবে কাজ করে।

উত্তর

1. পারমুটেশন বা বিন্যাসকে এক-এক (one-one) এবং সার্বিক (onto) চিত্রণ বা ম্যাপ হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে, যেখানে $\phi :\{1,\ldots ,n\}\to \{1,\ldots ,n\}$। যেকোনো এক-এক এবং সার্বিক চিত্রণের একটি বিপরীত চিত্রণ বা ইনভার্স থাকে।
2. যদি $P_{\phi }$ থেকে অভেদ বা আইডেন্টিটি (identity) বিন্যাসে পৌঁছাতে সর্বদা বিজোড় সংখ্যক অদলবদল (swaps) প্রয়োজন হয়, তবে আইডেন্টিটি থেকে $P_{\phi }$-তে পৌঁছাতেও সর্বদা বিজোড় সংখ্যক অদলবদলই লাগবে (যেহেতু যেকোনো অদলবদলই বিপরীতমুখী বা রিভার্সিবল)।
3. এটি মূলত প্রথম প্রশ্নটিরই পুনরাবৃত্তি।

সমস্যা ৬

প্রমাণ করুন যে, যেকোনো বিন্যাস $\phi$-এর ক্ষেত্রে, বিপরীত বিন্যাসের ম্যাট্রিক্স হবে মূল বিন্যাসের ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ (transpose) বা বিম্ব ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ, $P_{\phi ^{-1}}={{P_{\phi }}^{\rm {trans}}}$।

উত্তর

যদি $\phi (i)=j$ হয়, তবে $\phi ^{-1}(j)=i$ হবে। এখন এই পর্যবেক্ষণ থেকে ফলাফলটি পাওয়া যায় যে, $P_{\phi }$ ম্যাট্রিক্সের $i,j$ অবস্থানে একটি $1$ থাকবে যদি এবং কেবল যদি $\phi (i)=j$ হয়। একইভাবে, $P_{\phi ^{-1}}$ ম্যাট্রিক্সের $j,i$ অবস্থানে একটি $1$ থাকবে যদি এবং কেবল যদি $\phi ^{-1}(j)=i$ হয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৭

দেখান যে, $m$ সংখ্যক ইনভার্সন বা বিপরীত বিন্যাস বিশিষ্ট একটি পারমিউটেশন ম্যাট্রিক্সকে (permutation matrix) ঠিক $m$ সংখ্যক বার সারি বিনিময়ের (row swap) মাধ্যমে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সে (identity matrix) রূপান্তর করা সম্ভব। এই বিষয়টিকে অনুসিদ্ধান্ত ৪.৬-এর সাথে তুলনা করুন।

উত্তর

এখানে এটি বলা হচ্ছে না যে, একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করার জন্য $m$ হলো সর্বনিম্ন সংখ্যক বিনিময়, আবার এটিও বলা হচ্ছে না যে $m$ হলো সর্বোচ্চ সংখ্যক বিনিময়। এর পরিবর্তে এটি বলছে যে, ঠিক $m$ সংখ্যক ধাপের মাধ্যমে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সে পৌঁছানোর একটি নির্দিষ্ট উপায় বা পদ্ধতি বিদ্যমান রয়েছে।

ধরা যাক, $\iota _{j}$ হলো প্রথম সারি যা তার পূর্ববর্তী কোনো সারির সাপেক্ষে বিপরীত বিন্যাসে (inverted) আছে এবং $\iota _{k}$ হলো সেই প্রথম সারি যা এই বিপরীত বিন্যাসটি তৈরি করছে। আমাদের কাছে সারির এই ব্যবধানটি (interval) রয়েছে:

${\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{k}\\\iota _{r_{1}}\\\vdots \\\iota _{r_{s}}\\\iota _{j}\\\vdots \end{pmatrix}}\qquad j<k<r_{1}<\dots <r_{s}$

সারি বিনিময় করুন।

${\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{j}\\\iota _{r_{1}}\\\vdots \\\iota _{r_{s}}\\\iota _{k}\\\vdots \end{pmatrix}}$

দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সটিতে একটি ইনভার্সন কম রয়েছে, কারণ এই ব্যবধানের মধ্যে ইনভার্সনের সংখ্যা একটি কমে গেছে ($s$ বনাম $s+1$)। এছাড়া এই ব্যবধানের বাইরের সারিগুলোর সাথে জড়িত ইনভার্সনগুলো এতে কোনোভাবে প্রভাবিত হয় না।

এভাবে অগ্রসর হতে থাকুন, যেখানে প্রতিটি ধাপে একটি করে সারি বিনিময়ের মাধ্যমে ইনভার্সনের সংখ্যা এক করে হ্রাস পাবে। যখন আর কোনো ইনভার্সন অবশিষ্ট থাকবে না, তখন প্রাপ্ত ফলাফলটি হবে একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স।

অনুসিদ্ধান্ত ৪.৬-এর সাথে এর পার্থক্য হলো এই যে, বর্তমান অনুশীলনীটির বক্তব্য হলো একটি "অস্তিত্বমূলক" (there exists) বিবৃতি: অর্থাৎ ঠিক $m$ সংখ্যক ধাপে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সে পৌঁছানোর একটি উপায় বিদ্যমান। কিন্তু অনুসিদ্ধান্তটি হলো একটি "সার্বজনীন" (for all) বিবৃতি: অর্থাৎ আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সে পৌঁছানোর যতগুলো উপায়ই থাকুক না কেন, তাদের প্যারিটি (জোড় বা বিজোড় অবস্থা) সবসময় একই থাকবে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৮

যে কোনো পারমিউটেশন $\phi$-এর জন্য ধরা যাক $g(\phi )$ হলো একটি পূর্ণসংখ্যা যা নিচের পদ্ধতিতে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

$g(\phi )=\prod _{i<j}[\phi (j)-\phi (i)]$

(এটি প্রদত্ত আকারের পদগুলোর গুণফল, যেখানে সকল সূচক $i$ এবং $j$-এর জন্য $i<j$ শর্তটি প্রযোজ্য।)

1. সকল $2$-বিন্যাসের (2-permutations) ক্ষেত্রে $g$-এর মান নির্ণয় করুন।
2. সকল $3$-বিন্যাসের (3-permutations) ক্ষেত্রে $g$-এর মান নির্ণয় করুন।
3. এটি প্রমাণ করুন।

   $\operatorname {sgn}(\phi )={\frac {g(\phi )}{|g(\phi )|}}$

অনেক লেখক এই সূত্রটিকে সিগনাম ফাংশনের (signum function) সংজ্ঞা হিসেবে ব্যবহার করেন।

উত্তর

1. প্রথমত, $g(\phi _{1})$ হলো একটি একক উৎপাদক $2-1$-এর গুণফল, তাই $g(\phi _{1})=1$। দ্বিতীয়ত, $g(\phi _{2})$ হলো একটি একক উৎপাদক $1-2$-এর গুণফল, তাই $g(\phi _{2})=-1$।
2. ${\begin{array}{r|cccccc}{\text{বিন্যাস }}\phi &\phi _{1}&\phi _{2}&\phi _{3}&\phi _{4}&\phi _{5}&\phi _{6}\\\hline g(\phi )&2&-2&-2&2&2&-2\end{array}}$
3. লক্ষ্য করুন যে, $\phi (j)-\phi (i)$ এর মান ঋণাত্মক হবে যদি এবং কেবল যদি $\iota _{\phi (j)}$ এবং $\iota _{\phi (i)}$ তাদের স্বাভাবিক ক্রমের বিপরীতে (inversion) অবস্থান করে।

তথ্যসূত্র

• Strang, Gilbert (১৯৮০), Linear Algebra and its Applications (2nd সংস্করণ), Hartcourt Brace Javanovich উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)