রৈখিক বীজগণিত/নির্ণায়কের অস্তিত্ব

এই উপপরিচ্ছেদটি ঐচ্ছিক। এতে পূর্ববর্তী উপপরিচ্ছেদের দুটি ফলাফলের প্রমাণ অন্তর্ভুক্ত করা হয়েছে। এই প্রমাণগুলোতে বিন্যাসের (permutation) বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করা হয়েছে, যা পরবর্তীতে কেবল ঐচ্ছিক 'জর্ডান ক্যানোনিকাল ফর্ম' (Jordan Canonical Form) উপপরিচ্ছেদটি ছাড়া আর কোথাও ব্যবহৃত হবে না।

পূর্ববর্তী উপপরিচ্ছেদে যেকোনো আকারের বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের সেটের জন্য একটি নির্ণায়ক ফাংশন (determinant function) বিদ্যমান কি না, সেই সমস্যাটি সমাধানের চেষ্টা করা হয়েছে। সেখানে মাল্টিলিনিয়ারিটি (multilinearity) বা বহু-রৈখিকতা ব্যবহার করে বিন্যাস বিস্তার (permutation expansion) পদ্ধতিটি তৈরি করা হয়েছে।

${\begin{array}{rl}{\begin{vmatrix}t_{1,1}&t_{1,2}&\ldots &t_{1,n}\\t_{2,1}&t_{2,2}&\ldots &t_{2,n}\\&\vdots \\t_{n,1}&t_{n,2}&\ldots &t_{n,n}\end{vmatrix}}&={\begin{array}{l}t_{1,\phi _{1}(1)}t_{2,\phi _{1}(2)}\cdots t_{n,\phi _{1}(n)}\left|P_{\phi _{1}}\right|\\\quad +t_{1,\phi _{2}(1)}t_{2,\phi _{2}(2)}\cdots t_{n,\phi _{2}(n)}\left|P_{\phi _{2}}\right|\\\quad \vdots \\\quad +t_{1,\phi _{k}(1)}t_{2,\phi _{k}(2)}\cdots t_{n,\phi _{k}(n)}\left|P_{\phi _{k}}\right|\end{array}}\\&=\displaystyle \sum _{{\text{বিন্যাসসমূহ }}\phi }t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\cdots t_{n,\phi (n)}\left|P_{\phi }\right|\end{array}}$

এর ফলে সমস্যাটি এখন এই পর্যায়ে এসে দাঁড়িয়েছে যে, আমাদের দেখাতে হবে ওই নির্দিষ্ট আকারের বিন্যাস ম্যাট্রিক্সের (permutation matrices) সেটের ওপর একটি নির্ণায়ক ফাংশন বিদ্যমান রয়েছে।

অবশ্যই, একটি বিন্যাস ম্যাট্রিক্সের সারিগুলো অদলবদল (row-swap) করে সেটিকে একটি অভেদ ম্যাট্রিক্সে (identity matrix) রূপান্তর করা সম্ভব। এর নির্ণায়ক গণনা করার জন্য আমরা কতবার সারি অদলবদল করা হয়েছে তার সংখ্যা গণনা করতে পারি। তবে, সমস্যাটি এখনও পুরোপুরি সমাধান হয়নি। আমরা এখনও এটি দেখাতে পারিনি যে প্রাপ্ত ফলাফলটি সুসংজ্ঞায়িত (well-defined) কি না। উদাহরণস্বরূপ, নিচের ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক:

$P_{\phi }={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

একটি অদলবদলের মাধ্যমে গণনা করা যেতে পারে:

$P_{\phi }{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{2}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

অথবা এটি তিনটি অদলবদলের মাধ্যমেও করা সম্ভব।

$P_{\phi }{\xrightarrow[{}]{\rho _{3}\leftrightarrow \rho _{1}}}{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{1}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

উভয় লঘুকরণ (reduction) প্রক্রিয়ায় বিজোড় সংখ্যক অদলবদল রয়েছে, তাই আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে $\left|P_{\phi }\right|=-1$। কিন্তু আমরা কীভাবে নিশ্চিত হব যে এমন কোনো বিকল্প উপায় নেই যেখানে জোড় সংখ্যক অদলবদলের মাধ্যমে এটি করা সম্ভব? নিচের অনুসিদ্ধান্ত ৪.৬ এটি প্রমাণ করে যে, এমন কোনো বিন্যাস ম্যাট্রিক্স (permutation matrix) নেই যাকে দুটি ভিন্ন উপায়ে সারি অদলবদল করে একটি অভেদক ম্যাট্রিক্সে (identity matrix) রূপান্তর করা যায়—যার একটিতে জোড় সংখ্যক এবং অন্যটিতে বিজোড় সংখ্যক অদলবদল প্রয়োজন হয়।

সংজ্ঞা ৪.১

একটি বিন্যাস ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি

${\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{k}\\\vdots \\\iota _{j}\\\vdots \end{pmatrix}}$

এমনভাবে থাকে যেখানে $k>j$, তবে সেগুলোকে তাদের স্বাভাবিক ক্রমের একটি ইনভার্সন (inversion) বা বিপরীত বিন্যাস হিসেবে গণ্য করা হয়।

উদাহরণ ৪.২

এই বিন্যাস ম্যাট্রিক্সটিতে

${\begin{pmatrix}\iota _{3}\\\iota _{2}\\\iota _{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

তিনটি ইনভার্সন রয়েছে: $\iota _{3}$ সারিটি $\iota _{1}$-এর আগে অবস্থিত, $\iota _{3}$ সারিটি $\iota _{2}$-এর আগে অবস্থিত এবং $\iota _{2}$ সারিটি $\iota _{1}$-এর আগে অবস্থিত।

সহায়ক উপপাদ্য ৪.৩

একটি বিন্যাস ম্যাট্রিক্সে সারির অদলবদল করা হলে ইনভার্সনের সংখ্যা জোড় থেকে বিজোড়ে অথবা বিজোড় থেকে জোড়ে পরিবর্তিত হয়।

প্রমাণ

ধরা যাক, $j$ এবং $k$ সারির মধ্যে অদলবদল করা হচ্ছে, যেখানে $k>j$। যদি সারি দুটি পরস্পর সংলগ্ন হয়

$P_{\phi }={\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{\phi (j)}\\\iota _{\phi (k)}\\\vdots \end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{k}\leftrightarrow \rho _{j}}}{\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{\phi (k)}\\\iota _{\phi (j)}\\\vdots \end{pmatrix}}$

তবে এই অদলবদলের ফলে ইনভার্সনের মোট সংখ্যা এক পরিবর্তিত হবে—অর্থাৎ $\phi (j)>\phi (k)$ কি না তার ওপর ভিত্তি করে একটি ইনভার্সন হয় তৈরি হবে অথবা অপসারিত হবে। যেহেতু এই জোড়ার বাইরে থাকা অন্য সারিগুলোর ইনভার্সন এতে প্রভাবিত হয় না, তাই মোট সংখ্যায় এই পরিবর্তনটি ঘটে। ফলস্বরূপ, ইনভার্সনের মোট সংখ্যা বিজোড় থেকে জোড় অথবা জোড় থেকে বিজোড়ে পরিবর্তিত হয়।

যদি সারিগুলো পাশাপাশি না থাকে, তবে পাশাপাশি থাকা সারিগুলোর মধ্যে পর্যায়ক্রমিক স্থানান্তরের (swaps) মাধ্যমে তাদের অদলবদল করা সম্ভব। এক্ষেত্রে প্রথমে $k$-তম সারিটিকে উপরে নিয়ে আসতে হবে:

${\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{\phi (j)}\\\iota _{\phi (j+1)}\\\iota _{\phi (j+2)}\\\vdots \\\iota _{\phi (k)}\\\vdots \end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{k}\leftrightarrow \rho _{k-1}}}\;\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{k-1}\leftrightarrow \rho _{k-2}}}\dots {\xrightarrow[{}]{\rho _{j+1}\leftrightarrow \rho _{j}}}{\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{\phi (k)}\\\iota _{\phi (j)}\\\iota _{\phi (j+1)}\\\vdots \\\iota _{\phi (k-1)}\\\vdots \end{pmatrix}}$

এবং এরপর $j$-তম সারিটিকে নিচে নামিয়ে আনতে হবে:

${\xrightarrow[{}]{\rho _{j+1}\leftrightarrow \rho _{j+2}}}\;\;{\xrightarrow[{}]{\rho _{j+2}\leftrightarrow \rho _{j+3}}}\dots {\xrightarrow[{}]{\rho _{k-1}\leftrightarrow \rho _{k}}}{\begin{pmatrix}\vdots \\\iota _{\phi (k)}\\\iota _{\phi (j+1)}\\\iota _{\phi (j+2)}\\\vdots \\\iota _{\phi (j)}\\\vdots \end{pmatrix}}$

পাশাপাশি থাকা সারিগুলোর মধ্যে এই প্রতিটি স্থানান্তরের ফলে ইনভার্সন বা বিপরীত বিন্যাসের সংখ্যা জোড় থেকে বিজোড় অথবা বিজোড় থেকে জোড়ে পরিবর্তিত হয়। এখানে মোট $(k-j)+(k-j-1)$ সংখ্যক স্থানান্তর ঘটে, যা একটি বিজোড় সংখ্যা। ফলে ইনভার্সনের মোট সংখ্যার পরিবর্তনটি জোড় থেকে বিজোড় অথবা বিজোড় থেকে জোড়ে হয়ে থাকে। }}

সংজ্ঞা ৪.৪

একটি পারমুটেশন বা বিন্যাসের সিগনাম (signum) $\operatorname {sgn}(\phi )$ হবে $+1$, যদি $P_{\phi }$-এ ইনভার্সনের সংখ্যা জোড় হয়। আর যদি ইনভার্সনের সংখ্যা বিজোড় হয়, তবে এর মান হবে $-1$।

উদাহরণ ৪.৫

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle ৩} -পারমুটেশনের জন্য উদাহরণ ৩.৮-এ ব্যবহৃত সাবস্ক্রিপ্টগুলো বিবেচনা করলে দেখা যায় যে, $\operatorname {sgn}(\phi _{1})=1$ এবং $\operatorname {sgn}(\phi _{2})=-1$।

অনুসিদ্ধান্ত ৪.৬

যদি কোনো পারমুটেশন ম্যাট্রিক্সে বিজোড় সংখ্যক ইনভার্সন থাকে, তবে সেটিকে আইডেন্টিটি বা অভেদক ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করতে বিজোড় সংখ্যক স্থানান্তরের (swaps) প্রয়োজন হয়। একইভাবে, যদি এতে জোড় সংখ্যক ইনভার্সন থাকে, তবে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করতে জোড় সংখ্যক স্থানান্তরের প্রয়োজন হবে।

প্রমাণ

আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সে ইনভার্সনের সংখ্যা হলো শূন্য। কোনো বিজোড় সংখ্যাকে শূন্যে পরিবর্তন করতে বিজোড় সংখ্যক স্থানান্তরের প্রয়োজন হয়, এবং কোনো জোড় সংখ্যাকে শূন্যে পরিবর্তন করতে জোড় সংখ্যক স্থানান্তরের প্রয়োজন হয়।

আমরা এখনও এটি প্রমাণ করতে পারিনি যে বিন্যাস বিস্তার (permutation expansion) সুসংজ্ঞায়িত, কারণ আমরা বিন্যাস ম্যাট্রিক্সের ওপর সারি অদলবদল (row swaps) ছাড়া অন্য কোনো সারি অপারেশন বা প্রক্রিয়া বিবেচনা করিনি। আমরা এই সমস্যাটি একটি কৌশলের মাধ্যমে সমাধান করব: আমরা বিন্যাস বিস্তারের সূত্রটি কিছুটা পরিবর্তন করে একটি ফাংশন $d:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R}$ সংজ্ঞায়িত করব, যেখানে $\left|P_{\phi }\right|$-এর পরিবর্তে $\operatorname {sgn}(\phi )$ ব্যবহার করা হবে।

$d(T)=\sum _{{\text{বিন্যাসসমূহ }}\phi }t_{1,\phi (1)}t_{2,\phi (2)}\dots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )$

(এটি বিন্যাস বিস্তারের সমান মান প্রদান করে, কারণ পূর্ববর্তী ফলাফল থেকে দেখা গেছে যে $\det(P_{\phi })=\operatorname {sgn}(\phi )$)। এই সূত্রের সুবিধা হলো এখানে ইনভার্সন বা বিপরীত বিন্যাসের সংখ্যা স্পষ্টভাবে সুসংজ্ঞায়িত—শুধুমাত্র সেগুলো গণনা করলেই চলে। অতএব, আমরা দেখাব যে সকল আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি নির্ণায়ক ফাংশন বিদ্যমান। এটি প্রমাণের জন্য আমরা দেখাব যে $d$-ই হলো সেই ফাংশন, অর্থাৎ $d$ নির্ণায়কের চারটি শর্তই পূরণ করে।

লেমা ৪.৭

$d$ ফাংশনটি একটি নির্ণায়ক। সুতরাং প্রতিটি $n$ আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য নির্ণায়ক বিদ্যমান।

প্রমাণ

আমাদের অবশ্যই যাচাই করতে হবে যে এটি সংজ্ঞায়িত চারটি বৈশিষ্ট্য মেনে চলে কি না।

বৈশিষ্ট্য (৪) প্রমাণ করা সহজ; এখানে—

$d(I)=\sum _{{\text{বিন্যাসসমূহ }}\phi }\iota _{1,\phi (1)}\iota _{2,\phi (2)}\cdots \iota _{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )$

—এই যোগফলের ক্ষেত্রে প্রধান কর্ণ বরাবর গুণফলটি ব্যতীত অন্য সকল পদ বা সাম্যান্ড (summand) শূন্য হয়, আর ওই গুণফলটির মান হয় এক।

বৈশিষ্ট্য (৩)-এর জন্য $d({\hat {T}})$ বিবেচনা করি, যেখানে $T[b]{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}{\hat {T}}$।

$\sum _{{\text{বিন্যাসসমূহ }}\phi }\!\!{\hat {t}}_{1,\phi (1)}\cdots {\hat {t}}_{i,\phi (i)}\cdots {\hat {t}}_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )=\sum _{\phi }t_{1,\phi (1)}\cdots kt_{i,\phi (i)}\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )$

প্রতিটি পদ থেকে $k$ সাধারণ উৎপাদক হিসেবে বাইরে নিয়ে আসলে আমরা কাঙ্ক্ষিত সমতাটি পাই:

$=k\cdot \sum _{\phi }t_{1,\phi (1)}\cdots t_{i,\phi (i)}\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )=k\cdot d(T)$

বৈশিষ্ট্য (২)-এর জন্য ধরি, $T[b]{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}{\hat {T}}$।

$d({\hat {T}})=\sum _{{\text{বিন্যাসসমূহ }}\phi }\!\!{\hat {t}}_{1,\phi (1)}\cdots {\hat {t}}_{i,\phi (i)}\cdots {\hat {t}}_{j,\phi (j)}\cdots {\hat {t}}_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )$

হ্যাট-বিহীন (unhatted) $t$-এ রূপান্তর করার জন্য, প্রতিটি $\phi$-এর বিপরীতে এমন একটি বিন্যাস (permutation) $\sigma$ বিবেচনা করুন যা $\phi$-এর সমান, তবে এর $i$-তম এবং $j$-তম সংখ্যা দুটি নিজেদের মধ্যে স্থান পরিবর্তন করেছে, অর্থাৎ $\sigma (i)=\phi (j)$ এবং $\sigma (j)=\phi (i)$। ${\hat {t}}_{1,\phi (1)}\cdots {\hat {t}}_{i,\phi (i)}\cdots {\hat {t}}_{j,\phi (j)}\cdots {\hat {t}}_{n,\phi (n)}$-এ $\phi$-এর পরিবর্তে এই $\sigma$ বসালে আমরা পাই: $t_{1,\sigma (1)}\cdots t_{j,\sigma (j)}\cdots t_{i,\sigma (i)}\cdots t_{n,\sigma (n)}$। এখন, $\operatorname {sgn}(\phi )=-\operatorname {sgn}(\sigma )$ (লেমা ৪.৩ অনুযায়ী), এবং এর ফলে আমরা পাই:

${\begin{array}{rl}&=\sum _{\sigma }t_{1,\sigma (1)}\cdots t_{j,\sigma (j)}\cdots t_{i,\sigma (i)}\cdots t_{n,\sigma (n)}\cdot {\bigl (}-\operatorname {sgn}(\sigma ){\bigr )}\\&=-\sum _{\sigma }t_{1,\sigma (1)}\cdots t_{j,\sigma (j)}\cdots t_{i,\sigma (i)}\cdots t_{n,\sigma (n)}\cdot \operatorname {sgn}(\sigma )\end{array}}$

এখানে সমষ্টিটি (sum) এমন সকল বিন্যাস $\sigma$-এর ওপর নেওয়া হয়েছে, যা অন্য একটি বিন্যাস $\phi$-এর $i$-তম এবং $j$-তম সংখ্যা দুটির অদলবদল (swap) করার মাধ্যমে পাওয়া যায়। তবে যেকোনো বিন্যাসকেই অন্য কোনো বিন্যাস থেকে এই ধরনের অদলবদলের মাধ্যমে ঠিক একটি উপায়েই পাওয়া সম্ভব। সুতরাং, এই সমষ্টিটি আসলে সকল বিন্যাসের ওপর নেওয়া একটি সমষ্টি, যেখানে প্রতিটি বিন্যাসকে ঠিক একবার করেই নেওয়া হয়েছে। অতএব, $d({\hat {T}})=-d(T)$।

বৈশিষ্ট্য (১) প্রমাণ করার জন্য, ধরি $T[b]{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}{\hat {T}}$ এবং বিবেচনা করি:

${\begin{array}{rl}d({\hat {T}})&=\sum _{{\text{perms }}\phi }{\hat {t}}_{1,\phi (1)}\cdots {\hat {t}}_{i,\phi (i)}\cdots {\hat {t}}_{j,\phi (j)}\cdots {\hat {t}}_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )\\&=\sum _{\phi }t_{1,\phi (1)}\cdots t_{i,\phi (i)}\cdots (kt_{i,\phi (j)}+t_{j,\phi (j)})\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )\end{array}}$

(লক্ষ্য করুন: এটি হলো $kt_{i,\phi (j)}$, $kt_{j,\phi (j)}$ নয়)। এখন বণ্টন (distribute), বিনিময় (commute) এবং উৎপাদকে বিশ্লেষণ (factor) করুন।

${\begin{array}{rl}=&\displaystyle \sum _{\phi }{\big [}t_{1,\phi (1)}\cdots t_{i,\phi (i)}\cdots kt_{i,\phi (j)}\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )\\&\displaystyle \qquad +t_{1,\phi (1)}\cdots t_{i,\phi (i)}\cdots t_{j,\phi (j)}\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi ){\big ]}\\\\=&\displaystyle \sum _{\phi }t_{1,\phi (1)}\cdots t_{i,\phi (i)}\cdots kt_{i,\phi (j)}\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )\\&\displaystyle \qquad +\sum _{\phi }t_{1,\phi (1)}\cdots t_{i,\phi (i)}\cdots t_{j,\phi (j)}\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )\\\\=&\displaystyle k\cdot \sum _{\phi }t_{1,\phi (1)}\cdots t_{i,\phi (i)}\cdots t_{i,\phi (j)}\cdots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )+d(T)\end{array}}$

আমরা সবশেষে এটি দেখানোর মাধ্যমে শেষ করব যে $t_{1,\phi (1)}\cdots t_{i,\phi (i)}\cdots t_{i,\phi (j)}\dots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )$ পদগুলোর যোগফল শূন্য হয়। এই যোগফলটি $d(S)$-কে নির্দেশ করে, যেখানে $S$ হলো এমন একটি ম্যাট্রিক্স যা $T$-এর সমান, তবে পার্থক্য শুধু এই যে $S$-এর $j$-তম সারিটি $T$-এর $i$-তম সারির একটি অনুলিপি (কারণ এখানে উৎপাদকটি হলো $t_{i,\phi (j)}$, $t_{j,\phi (j)}$ নয়)। সুতরাং, $S$ ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি—অর্থাৎ $i$ এবং $j$ সারি দুটি—পরস্পর সমান। যেহেতু আমরা আগেই দেখিয়েছি যে সারির স্থান পরিবর্তনের ফলে $d$-এর চিহ্নের পরিবর্তন ঘটে, তাই লেমা ২.৩ অনুযায়ী আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে $d(S)=0$। }}

আমরা এখন এটি প্রমাণ করেছি যে প্রতিটি আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য নির্ণায়ক (determinant) ফাংশন বিদ্যমান রয়েছে। আমরা ইতিমধ্যে জানি যে প্রতিটি আকারের জন্য বড়জোর একটিই নির্ণায়ক থাকতে পারে। অতএব, বিন্যাস বিস্তৃতি (permutation expansion) একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের একমাত্র এবং অনন্য নির্ণায়ক মান গণনা করে।

পূর্ববর্তী উপপরিচ্ছেদ থেকে বাকি থাকা অন্য ফলাফলটি প্রমাণের মাধ্যমে আমরা এই উপপরিচ্ছেদটি শেষ করব; আর তা হলো—একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক তার ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের সমান।

উদাহরণ ৪.৮

একটি সাধারণ $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্স এবং তার ট্রান্সপোজের বিন্যাস বিস্তৃতি লিখে এবং সংশ্লিষ্ট পদগুলোর তুলনা করলে দেখা যায়:

${\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=\cdots \,+cdh\cdot {\begin{vmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{vmatrix}}+\,\cdots$

(একই অক্ষরযুক্ত পদসমূহ)

${\begin{vmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{vmatrix}}=\cdots \,+dhc\cdot {\begin{vmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{vmatrix}}+\,\cdots$

এটি দেখায় যে সংশ্লিষ্ট পারমিউটেশন ম্যাট্রিক্সগুলো একে অপরের ট্রান্সপোজ। অর্থাৎ, এই সংশ্লিষ্ট পারমিউটেশনগুলোর মধ্যে একটি গাণিতিক সম্পর্ক বিদ্যমান। সমস্যা ৬ দেখায় যে তারা একে অপরের বিপরীত বা ইনভার্স। }}

উপপাদ্য ৪.৯

কোনো ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট বা নির্ণায়ক তার ট্রান্সপোজের ডিটারমিন্যান্টের সমান হয়।

প্রমাণ

ধরা যাক ম্যাট্রিক্সটি হলো $T$ এবং ${{T}^{\rm {trans}}}$-এর ভুক্তিগুলোকে (entries) $s$ দ্বারা চিহ্নিত করা হলো, যাতে $t_{i,j}=s_{j,i}$ হয়। মানগুলো প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই:

$\left|T\right|=\sum _{{\text{perms }}\phi }t_{1,\phi (1)}\dots t_{n,\phi (n)}\operatorname {sgn}(\phi )=\sum _{\phi }s_{\phi (1),1}\dots s_{\phi (n),n}\operatorname {sgn}(\phi )$

এখন ডানদিকের রাশিটিকে কিছুটা পরিবর্তন করে ট্রান্সপোজের ডিটারমিন্যান্ট হিসেবে প্রকাশ করার মাধ্যমে আমরা এই যুক্তিটি সম্পন্ন করতে পারি। আমরা উপরে মাঝখানের রাশির মতো সমস্ত পারমিউটেশন বিস্তৃতিগুলোকে সারির সূচক (row indices) অনুযায়ী আরোহী ক্রমে (ascending order) লিখেছি। ডানদিকের রাশিটিকে একইভাবে পুনরায় লেখার জন্য লক্ষ্য করুন যে, যেহেতু $\phi$ একটি পারমিউটেশন, তাই ডানদিকের পদের সারির সূচকগুলো $\phi (1)$, ..., $\phi (n)$ আসলে $1$, ..., $n$ সংখ্যাগুলোরই একটি পুনর্বিন্যাস মাত্র। সুতরাং, আমরা এদের স্থান পরিবর্তন করে আরোহী ক্রমে সাজাতে পারি, যা আমাদের $s_{1,\phi ^{-1}(1)}\cdots s_{n,\phi ^{-1}(n)}$ প্রদান করে (যদি কলাম সূচক $j$ হয় এবং সারির সূচক $\phi (j)$ হয়, তবে যেখানে সারির সূচক $i$, সেখানে কলাম সূচক হবে $\phi ^{-1}(i)$)। ডানদিকে মানগুলো প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়:

$=\sum _{\phi ^{-1}}s_{1,\phi ^{-1}(1)}\cdots s_{n,\phi ^{-1}(n)}\operatorname {sgn}(\phi ^{-1})$

(সমস্যা ৫ দেখায় যে $\operatorname {sgn}(\phi ^{-1})=\operatorname {sgn}(\phi )$)। যেহেতু প্রতিটি পারমিউটেশন অন্য একটি পারমিউটেশনের বিপরীত বা ইনভার্স, তাই সমস্ত $\phi ^{-1}$-এর সমষ্টি আসলে সমস্ত পারমিউটেশন $\phi$-এরই সমষ্টি।

$=\sum _{{\text{perms }}\sigma }s_{1,\sigma ^{(}1)}\dots s_{n,\sigma (n)}\operatorname {sgn}(\sigma )=\left|{{T}^{\rm {trans}}}\right|$

যা আমাদের প্রমাণ করতে বলা হয়েছিল।

অনুশীলনী

এই বইটিতে $2$- এবং $3$- বিন্যাসের (permutation) জন্য ব্যবহৃত চিহ্ন বা নোটেশনগুলো এখানে সংক্ষেপে তুলে ধরা হলো।

${\begin{array}{c|cc}i&1&2\\\hline \phi _{1}(i)&1&2\\\phi _{2}(i)&2&1\end{array}}\qquad {\begin{array}{c|ccc}i&1&2&3\\\hline \phi _{1}(i)&1&2&3\\\phi _{2}(i)&1&3&2\\\phi _{3}(i)&2&1&3\\\phi _{4}(i)&2&3&1\\\phi _{5}(i)&3&1&2\\\phi _{6}(i)&3&2&1\end{array}}$

সমস্যা ১

একটি সাধারণ $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স এবং এর ট্রান্সপোজের (transpose) বিন্যাস বিস্তৃতি (permutation expansion) নির্ণয় করো।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

এই সমস্যাটি পূর্ববর্তী উপপরিচ্ছেদেও উল্লেখ করা হয়েছে।

1. প্রত্যেকটি $2$-বিন্যাসের বিপরীত (inverse) বিন্যাস নির্ণয় করো।
2. প্রত্যেকটি $3$-বিন্যাসের বিপরীত (inverse) বিন্যাস নির্ণয় করো।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

1. প্রত্যেকটি $2$-বিন্যাসের সিগনাম (signum) নির্ণয় করো।
2. প্রত্যেকটি $3$-বিন্যাসের সিগনাম (signum) নির্ণয় করো।

সমস্যা ৪

$\phi =\langle n,n-1,\dots ,2,1\rangle$ এই $n$-বিন্যাসটির সিগনাম (signum) কত?

সমস্যা ৫

নিচের উক্তিগুলো প্রমাণ করো:

1. প্রত্যেক বিন্যাসের একটি বিপরীত (inverse) বিন্যাস থাকে।
2. $\operatorname {sgn}(\phi ^{-1})=\operatorname {sgn}(\phi )$
3. প্রতিটি বিন্যাসই অন্য কোনো বিন্যাসের বিপরীত।

সমস্যা ৬

যেকোনো বিন্যাস $\phi$-এর ক্ষেত্রে প্রমাণ করো যে, বিপরীত বিন্যাসের ম্যাট্রিক্স হলো মূল বিন্যাসের ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ। অর্থাৎ, $P_{\phi ^{-1}}={{P_{\phi }}^{\rm {trans}}}$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৭

দেখাও যে, $m$ সংখ্যক ইনভারশন (inversion) বিশিষ্ট একটি বিন্যাস ম্যাট্রিক্সকে $m$ সংখ্যক সারি বিনিময়ের (row swap) মাধ্যমে আইডেন্টিটি (identity) ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করা সম্ভব। এই ফলাফলটিকে অনুসিদ্ধান্ত ৪.৬-এর সাথে তুলনা করো।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৮

যেকোনো বিন্যাস $\phi$-এর জন্য ধরি $g(\phi )$ হলো একটি পূর্ণসংখ্যা যা নিচের পদ্ধতিতে সংজ্ঞায়িত:

$g(\phi )=\prod _{i<j}[\phi (j)-\phi (i)]$

(এটি হলো প্রদত্ত আকারের পদগুলোর গুণফল, যেখানে সকল সূচক $i$ এবং $j$-এর জন্য $i<j$ শর্তটি প্রযোজ্য।)

1. সকল $2$-বিন্যাসের (permutations) ক্ষেত্রে $g$-এর মান নির্ণয় করুন।
2. সকল $3$-বিন্যাসের ক্ষেত্রে $g$-এর মান নির্ণয় করুন।
3. এটি প্রমাণ করুন।

   $\operatorname {sgn}(\phi )={\frac {g(\phi )}{|g(\phi )|}}$

অনেক লেখক এই সূত্রটিকে সিগনাম ফাংশনের (signum function) সংজ্ঞা হিসেবে প্রদান করে থাকেন। }}

Solutions

তথ্যসূত্র

• Strang, Gilbert (১৯৮০), Linear Algebra and its Applications (2nd সংস্করণ), Hartcourt Brace Javanovich উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)