রৈখিক বীজগণিত/নির্ণায়কসমূহ

এই বইয়ের প্রথম অধ্যায়ে আমরা রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা বিবেচনা করেছি এবং অজানা চলক ও সমীকরণের সংখ্যা সমান—এমন বিশেষ ক্ষেত্রগুলো আলাদা করেছি। এগুলো মূলত $T{\vec {x}}={\vec {b}}$ আকারের সমীকরণ, যেখানে $T$ একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স।

আমরা $T$-এর দুটি ভিন্ন শ্রেণীর মধ্যে পার্থক্য লক্ষ্য করেছি। যদিও এই ধরণের সমীকরণ ব্যবস্থার একটি অনন্য সমাধান, কোনো সমাধান না থাকা অথবা অসংখ্য সমাধান থাকতে পারে; তবে যদি একটি নির্দিষ্ট $T$ কোনো একটি সিস্টেমে (যেমন সমজাতীয সিস্টেম ${\vec {b}}={\vec {0}}$) একটি অনন্য সমাধানের সাথে যুক্ত থাকে তবে সেই $T$ প্রতিটি ${\vec {b}}$-এর জন্যই একটি অনন্য সমাধান প্রদান করবে।

সহগগুলোর এই ধরণের ম্যাট্রিক্সকে আমরা "নন-সিঙ্গুলার" বলি। অন্যদিকে, $T$ এর অন্য রূপটি, যেখানে সমীকরণ ব্যবস্থার হয় কোনো সমাধান থাকে না অথবা অসংখ্য সমাধান থাকে, তাকে আমরা "সিঙ্গুলার" ম্যাট্রিক্স বলি।

বইটির দ্বিতীয় এবং তৃতীয় অধ্যায় জুড়ে এই পার্থক্যের গুরুত্ব একটি মূল বিষয় বা থিম হিসেবে কাজ করেছে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা এখন জানি যে একটি $n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্স $T$ এর নন-সিঙ্গুলারিটি নিচের প্রতিটি শর্তের সমার্থক:

1. $T{\vec {x}}={\vec {b}}$ সমীকরণ ব্যবস্থার একটি সমাধান আছে এবং সেই সমাধানটি অনন্য;
2. $T$ এর গাউস-জর্ডান রিডাকশন করলে একটি আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায়;
3. $T$ এর সারিগুলো একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট গঠন করে;
4. $T$ এর কলামগুলো$\mathbb {R} ^{n}$ এর জন্য একটি ভিত্তি গঠন করে;
5. $T$ যে চিত্রণ বা ম্যাপকে উপস্থাপন করে, তা একটি আইসোমরফিজম;
6. একটি বিপরীত ম্যাট্রিক্স $T^{-1}$ বিদ্যমান থাকে।

তাই যখন আমরা কোনো একটি নির্দিষ্ট বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের দিকে তাকাই, তখন এটি নন-সিঙ্গুলার কি না—সেই প্রশ্নটিই আমাদের মনে সবার আগে আসে। এই অধ্যায়ে আমরা একটি সূত্র তৈরি করব যা এটি নির্ধারণ করতে সাহায্য করবে। (যেহেতু আমরা আমাদের আলোচনা কেবল বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের মধ্যেই সীমাবদ্ধ রাখব। তাই এই অধ্যায়ে আমরা সাধারণত "বর্গাকার ম্যাট্রিক্স" এর পরিবর্তে শুধু "ম্যাট্রিক্স" শব্দটি ব্যবহার করব।)

আরও সুনির্দিষ্টভাবে বললে, আমরা অগণিত সূত্র তৈরি করব—একটি ১ × ১ ম্যাট্রিক্সের জন্য, একটি ২ × ২ ম্যাট্রিক্সের জন্য, ইত্যাদি। অবশ্যই এই সূত্রগুলো একে অপরের সাথে সম্পর্কিত—অর্থাৎ, আমরা সূত্রের একটি পরিবার তৈরি করব; এমন একটি পদ্ধতি যা প্রতিটি আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য সূত্রটি কেমন হবে তা বর্ণনা করবে।