রৈখিক বীজগণিত/নির্ণায়ক

নির্ণায়ক হলো একটি ফাংশন যা একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সকে একটি নির্দিষ্ট মানের (সাধারণত বাস্তব বা জটিল সংখ্যা) সাথে সম্পর্কিত করে। নির্ণায়কের জন্য নিচের বৈশিষ্ট্যগুলো থাকা আবশ্যক:

• এটি ম্যাট্রিক্সের সারিগুলোর ওপর রৈখিক (linear)।

$\det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\ldots \\\lambda a_{1}+\mu b_{1}&\cdots &\lambda a_{n}+\mu b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}=\lambda \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\a_{1}&\cdots &a_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}+\mu \det {\begin{bmatrix}\ddots &\vdots &\cdots \\b_{1}&\cdots &b_{n}\\\cdots &\vdots &\ddots \end{bmatrix}}$

• যদি একটি ম্যাট্রিক্সের দুটি সারি সমান হয়, তবে তার নির্ণায়কের মান শূন্য হবে।
• আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান ১।

এটি প্রমাণ করা সম্ভব যে $\det A=\det A^{T}$; যার ফলে সারি বা কলাম—উভয় দিক থেকেই নির্ণায়কের সংজ্ঞা অভিন্ন থাকে।

বৈশিষ্ট্যসমূহ

• নির্ণায়কের মান শূন্য হবে যদি এবং কেবল যদি সারিগুলো রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়।
• দুটি সারি একে অপরের সাথে স্থান পরিবর্তন করলে নির্ণায়কের চিহ্নের পরিবর্তন হয়:

$\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \end{bmatrix}}=-\det {\begin{bmatrix}\cdots \\{\mbox{row B}}\\\cdots \\{\mbox{row A}}\\\cdots \end{bmatrix}}$

• নির্ণায়ক হলো একটি গুণনাত্মক চিত্রণ, যার অর্থ:

$\det(AB)=\det(A)\det(B)\,$; এটি সকল $n\times n$ ম্যাট্রিক্স $A$ এবং $B$ এর জন্য সত্য।

অ-বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের গুণফলের ক্ষেত্রে কোশি-বিনেট সূত্র দ্বারা এই ধারণাটিকে সাধারণীকরণ করা হয়েছে।

• এটি সহজেই প্রতীয়মান হয় যে $\det(rI_{n})=r^{n}\,$ এবং তাই:

$\det(rA)=\det(rI_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,$; এটি সকল $n\times n$ ম্যাট্রিক্স $A$ এবং সকল স্কেলার $r$ এর জন্য প্রযোজ্য।

• একটি বিনিময়ী রিং R এর ওপর ভিত্তি করে তৈরি কোনো ম্যাট্রিক্স ইনভার্টিবল হবে যদি এবং কেবল যদি এর নির্ণায়ক R এর একটি ইউনিট হয়। বিশেষভাবে, যদি A একটি ফিল্ড (যেমন—বাস্তব সংখ্যা বা জটিল সংখ্যা ) এর ওপর ভিত্তি করে গঠিত ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A ইনভার্টিবল হবে যদি এবং কেবল যদি det(A) এর মান শূন্য না হয়। এই ক্ষেত্রে আমরা পাই:

$\det(A^{-1})=\det(A)^{-1}.\,$

ভিন্নভাবে প্রকাশ করলে: Rⁿ এ থাকা ভেক্টরসমূহ v₁,...,v_n একটি ভিত্তি গঠন করবে যদি এবং কেবল যদি det(v₁,...,v_n) এর মান শূন্য না হয়।

• একটি ম্যাট্রিক্স এবং তার ট্রান্সপোজ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক সর্বদা সমান হয়:

$\det(A^{\top })=\det(A).\,$

একটি জটিল ম্যাট্রিক্স এবং এর কনজুগেট ট্রান্সপোজের নির্ণায়ক একে অপরের কনজুগেট:

$\det(A^{*})=\det(A)^{*}.\,$

উপপাদ্যসমূহ

অনন্যতা (

নির্ণায়ক ফাংশনটি অনন্য, অর্থাৎ নির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যসমূহ পূরণ করে এমন কেবল একটিই ফাংশন বিদ্যমান।

অস্তিত্ব

ল্যাপলাসের বিস্তৃতি ব্যবহার করে নির্ণায়কের অস্তিত্ব প্রমাণ করা যায়।

বিনেট-এর উপপাদ্য

$\det(AB)=\det A\cdot \det B$

প্রয়োগসমূহ

নির্ণায়ক রৈখিক সমীকরণ সমাধান (ক্র্যামারের নিয়ম), ম্যাট্রিক্সের বিপরীতকরণ এবং জ্যামিতিক আয়তন নির্ণয়ে ব্যবহৃত হয়।