রৈখিক বীজগণিত/জর্ডান ফর্ম

এই বিভাগটি তিনটি ঐচ্ছিক উপবিভাগ থেকে উপাদান গ্রহণ করেছে: সরাসরি যোগ, ডিটারমিন্যান্টস এক্সিস্ট এবং আদার ফর্মুলাস ফর দ্য ডিটারমিন্যান্ট।

লিনিয়ার ম্যাপ সংক্রান্ত অধ্যায়টি দেখিয়েছে যে, প্রতিটি $h:V\to W$ কে কিছু বেসিস $B\subset V$ এবং $D\subset W$ এর সাপেক্ষে একটি পার্শিয়াল-আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রকাশ করা যেতে পারে। এই অধ্যায়টি সেই বিষয়টিকেই পুনরায় পর্যালোচনা করে যেখানে ম্যাপটি একটি লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন $t:V\to V$ হিসেবে কাজ করে। অবশ্যই, সাধারণ ফলাফলটি এখানেও প্রযোজ্য। কারণ যেহেতু ডোমেইন এবং কোডোমেইন সমান, তাই স্বাভাবিকভাবেই প্রশ্ন জাগে যে দুটি বেসিসও সমান হতে পারে কি না। অর্থাৎ, আমরা ট্রান্সফরমেশনগুলোকে ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ হিসেবে উপস্থাপন করার জন্য একটি ক্যানোনিকাল ফর্ম চাই।

একটি সংক্ষিপ্ত পর্যালোচনার পর, আমরা লক্ষ্য করেছি যে এই $B,B$ ক্ষেত্রে একটি ব্লক পার্শিয়াল আইডেন্টিটি ফর্ম ম্যাট্রিক্স সর্বদা পাওয়া সম্ভব নয়। তাই আমরা এর স্বাভাবিক সাধারণীকরণ—ডায়াগোনাল বা কর্নি ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করে দেখছি যে, যদি এর আইগেনভ্যালুগুলো স্বতন্ত্র হয় তবে একটি ম্যাপ বা ম্যাট্রিক্সকে ডায়াগোনালাইজ করা সম্ভব। কিন্তু আমরা এমন একটি ম্যাট্রিক্সের উদাহরণও দিয়েছি যাকে ডায়াগোনালাইজ করা যায় না এবং এই বিভাগের ঠিক আগের অংশে আমরা সেই উদাহরণটি বিশ্লেষণ করেছি। আমরা দেখিয়েছি যে, একটি লিনিয়ার ম্যাপ নীলপোটেন্ট অর্থাৎ যদি আমরা ম্যাপ বা ম্যাট্রিক্সটির ঘাত ক্রমান্বয়ে বাড়াতে থাকি তবে শেষ পর্যন্ত একটি শূন্য ম্যাপ বা ম্যাট্রিক্স পাওয়া যায় — কেবল তখনই হবে যদি এমন একটি বেসিস থাকে যার ওপর এটি ডিসজয়েন্ট স্ট্রিং এর মাধ্যমে কাজ করে। এটি নীলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সের জন্য একটি ক্যানোনিকাল ফর্মের পথ প্রশস্ত করেছে।

এখন, এই বিভাগটি অধ্যায়ের সমাপ্তি ঘটাচ্ছে। আমরা দেখাব যে, আমরা যে দুটি ক্ষেত্র অধ্যয়ন করেছি তা স্বয়ংসম্পূর্ণ অর্থাৎ যেকোনো লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশনের জন্য এমন একটি বেসিস রয়েছে যাতে এর ম্যাট্রিক্স রিপ্রেজেন্টেশন ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ হলো একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স এবং এর ক্যানোনিকাল ফর্মে থাকা একটি নীলপোটেন্ট ম্যাট্রিক্সের যোগফল।