রৈখিক বীজগণিত/জটিল সংখ্যায় উপস্থাপনা

রৈখিক বীজগণিতের এই পর্যায়ে আমরা জটিল সংখ্যার যোগফল নির্ণয়ের মৌলিক গাণিতিক সূত্রটি আবার মনে করতে পারি:

$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

যোগফলের পাশাপাশি জটিল সংখ্যার গুণের প্রক্রিয়াটিও আমাদের এই আলোচনার জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, যা নিচের সূত্রানুসারে সম্পন্ন হয়:

$\begin{array}{cc}(a+bi)(c+di)& =ac+adi+bci+bd(-1)\\ & =(ac-bd)+(ad+bc)i\end{array}$

উদাহরণ ২.১

বিষয়টি আরও স্পষ্টভাবে বোঝার জন্য একটি বাস্তব উদাহরণ বিবেচনা করা যাক। যেমন, $(1-2i)+(5+4i)=6+2i$ এবং গুণের ক্ষেত্রে আমরা পাই $(2-3i)(4-0.5i)=6.5-13i$।

উপরে উল্লিখিত নিয়মগুলো ব্যবহার করে স্কেলার প্রক্রিয়াসমূহ পরিচালনা করার সময় দেখা যায় যে, বাস্তব ভেক্টর স্পেসের জন্য আমরা ইতিপূর্বে যে সকল গাণিতিক প্রক্রিয়া ও নিয়মাবলি আলোচনা করেছি, তার প্রতিটিই এখানে কোনো প্রকার পরিবর্তন ছাড়াই সরাসরি প্রয়োগ করা সম্ভব।

উদাহরণ ২.২

জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রেও ম্যাট্রিক্স গুণ করার পদ্ধতি একদম একই থাকে। তবে এক্ষেত্রে সাধারণ সংখ্যা বা স্কেলারের হিসাব-নিকাশ করার সময় একটু বেশি সতর্ক থাকতে হয়।

$\left(\begin{array}{cc}1+1i& 2-0i\\ i& -2+3i\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1+0i& 1-0i\\ 3i& -i\end{array}\right)$

$\begin{array}{cc}& =\left(\begin{array}{cc}(1+1i)\cdot (1+0i)+(2-0i)\cdot (3i)& (1+1i)\cdot (1-0i)+(2-0i)\cdot (-i)\\ (i)\cdot (1+0i)+(-2+3i)\cdot (3i)& (i)\cdot (1-0i)+(-2+3i)\cdot (-i)\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc}1+7i& 1-1i\\ -9-5i& 3+3i\end{array}\right)\end{array}$

পূর্ববর্তী অধ্যায়গুলোতে আমরা যে সকল গাণিতিক ধারণা ও তত্ত্ব আলোচনা করেছি, তার মধ্যে যতটুকু সম্ভব আমরা এখানেও কোনো পরিবর্তন ছাড়াই গ্রহণ করব। উদাহরণস্বরূপ, $ℂ$ ফিল্ডের ওপর একটি ভেক্টর স্পেস হিসেবে ${ℂ}^n$-এর জন্য ভেক্টরসমূহের ক্রমানুসারী সেটটিকে আমরা নিম্নোক্তভাবে উপস্থাপন করতে পারি:

$⟨\left(\begin{array}{c}1+0i\\ 0+0i\\ ⋮\\ 0+0i\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0+0i\\ 1+0i\\ ⋮\\ 0+0i\end{array}\right),\dots ,\left(\begin{array}{c}0+0i\\ 0+0i\\ ⋮\\ 1+0i\end{array}\right)⟩$

ভেক্টরসমূহের এই বিশেষ সেটটিকে ${ℂ}^n$-এর জন্য আদর্শ ভিত্তি হিসেবে অভিহিত করা হয় এবং প্রচলিত রীতি অনুযায়ী একে পুনরায় ${ℰ}_n$ প্রতীক দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।