রৈখিক বীজগণিত/চিত্রায়ন উপস্থাপনা পরিবর্তন/সমাধান

সমাধানসমূহ

সমস্যা ১

নিচে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স জোড়াগুলো ম্যাট্রিক্স সমতুল্য (matrix equivalent) কি না, তা যাচাই করে সিদ্ধান্ত গ্রহণ করুন।

1. ${\begin{pmatrix}1&3&0\\2&3&0\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}2&2&1\\0&5&-1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&3\\1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}4&0\\0&5\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&3\\2&-6\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. হ্যাঁ, এই ম্যাট্রিক্স দুটি সমতুল্য কারণ এদের প্রত্যেকের র‍্যাঙ্ক বা মাত্রা হলো দুই।
2. হ্যাঁ, এই ম্যাট্রিক্স জোড়াটিও সমতুল্য, কারণ এদের উভয়ের র‍্যাঙ্ক বা মাত্রা অভিন্ন।
3. না, এই ম্যাট্রিক্স দুটি সমতুল্য নয়, কারণ এদের র‍্যাঙ্ক বা মাত্রা ভিন্ন ভিন্ন।

সমস্যা ২

নিচে উল্লিখিত প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের জন্য তাদের সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্স-সমতুল্যতা শ্রেণির (matrix-equivalence class) ক্যানোনিকাল প্রতিনিধি বা আদর্শ রূপটি নির্ণয় করুন।

1. ${\begin{pmatrix}2&1&0\\4&2&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1&0&2\\1&1&0&4\\3&3&3&-1\end{pmatrix}}$

উত্তর

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধানের জন্য আমাদের কেবল প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক বা মাত্রা কত তা নির্ধারণ করতে হবে। র‍্যাঙ্ক নির্ধারিত হলে ক্যানোনিকাল রূপটি সহজেই পাওয়া যায়।

1. ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৩

ধরা যাক, নির্দিষ্ট ভিত্তি বা বেসিস

$B={\mathcal {E}}_{2}\qquad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

-এর সাপেক্ষে লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন বা রূপান্তর $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$-কে নিচের এই ম্যাট্রিক্সটি দ্বারা উপস্থাপন করা হয়েছে।

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্স (change of basis matrices) ব্যবহার করে প্রতিটি জোড়া ভিত্তির সাপেক্ষে $t$-কে উপস্থাপন করুন।

1. ${\hat {B}}=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$, ${\hat {D}}=\langle {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\rangle$
2. ${\hat {B}}=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle$, ${\hat {D}}=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\rangle$

উত্তর

এই সমস্যাটি সমাধানের ক্ষেত্রে আমাদের সংশ্লিষ্ট চিত্র এবং গাণিতিক সূত্রটি পুনরায় স্মরণ করতে হবে।

${\hat {T}}={\rm {Rep}}_{D,{\hat {D}}}({\mbox{id}})\cdot T\cdot {\rm {Rep}}_{{\hat {B}},B}({\mbox{id}})$

1. নিচে প্রদর্শিত এই সমীকরণ দুটি থেকে এটি স্পষ্ট প্রতীয়মান হয় যে:

   ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=(-3)\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+(-1)\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

   যা নির্দেশ করে যে:

   ${\rm {Rep}}_{D,{\hat {D}}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-3\\1&-1\end{pmatrix}}$

   এবং একইভাবে পরবর্তী এই দুটি সমীকরণের মাধ্যমে আমরা পাই:

   ${\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}=0\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

   উপরোক্ত সমীকরণগুলোর মাধ্যমে আমরা অপর একটি নন-সিঙ্গুলার বা অবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স (nonsingular matrix) প্রাপ্ত হই, যা নিচে উপস্থাপন করা হলো:

   ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},B}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}$

   পরবর্তীতে, এই মানগুলো ব্যবহার করে আমরা কাঙ্ক্ষিত উত্তরটি বা রূপান্তরিত ম্যাট্রিক্সটি ঠিক এভাবে নির্ণয় করতে পারি:

   ${\hat {T}}={\begin{pmatrix}1&-3\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-10&-18\\-2&-4\end{pmatrix}}$

   যদিও গাণিতিক প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে এটি কঠোরভাবে বাধ্যতামূলক কোনো পদক্ষেপ নয়, তবুও প্রাপ্ত ফলাফলের নির্ভুলতা একবার যাচাই করে নেওয়াটা বেশ আশ্বস্তকর এবং এটি হিসাবের শুদ্ধতা নিশ্চিত করতে সহায়তা করে। যাচাইকরণের উদ্দেশ্যে আমরা যথেচ্ছভাবে একটি ভেক্টর স্থির করি, যেমন:

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}$

   এর ফলে আমরা দেখতে পাই যে, ভেক্টরটির রূপান্তর নিম্নরূপ হবে:

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}_{B}\qquad {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}3\\2\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}7\\17\end{pmatrix}}_{D}$

   এবং ফলশ্রুতিতে $t({\vec {v}})$ এর মানটি দাঁড়ায় ঠিক এমন:

   $7\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+17\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24\\-10\end{pmatrix}}$

   এখন, ${\hat {B}}$ এবং ${\hat {D}}$ বেসিস বা ভিত্তির সাপেক্ষে একই গণনা প্রক্রিয়া শুরু করলে আমরা প্রাথমিকভাবে পাই:

   ${\rm {Rep}}_{\hat {B}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}_{\hat {B}}\qquad {\begin{pmatrix}-10&-18\\-2&-4\end{pmatrix}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}{\begin{pmatrix}-1\\3\end{pmatrix}}_{\hat {B}}={\begin{pmatrix}-44\\-10\end{pmatrix}}_{\hat {D}}$

   এবং এরপর এটি পরীক্ষা করে দেখা যায় যে, উভয় পদ্ধতিতেই আমরা প্রকৃতপক্ষে একই ফলাফল লাভ করছি:

   $-44\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}-10\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}24\\-10\end{pmatrix}}$

2. এই দুটি গাণিতিক সম্পর্ক,

   ${\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$

   এটি প্রদর্শন করে যে, আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের রূপান্তরটি হবে নিম্নরূপ:

   ${\rm {Rep}}_{D,{\hat {D}}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}}$

   এবং একইভাবে নিচের এই দুটি সম্পর্ক,

   ${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}=-1\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+0\cdot {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

   নিম্নোক্ত বিষয়টি স্পষ্টভাবে উপস্থাপন করে:

   ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},B}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}}$

   এই মানগুলো হাতে থাকায়, রূপান্তর প্রক্রিয়াটি বা কনভার্সনটি ঠিক এইভাবে অগ্রসর হয়:

   ${\hat {T}}={\begin{pmatrix}1/3&-1\\1/3&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\2&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-28/3&-8/3\\38/3&10/3\end{pmatrix}}$

   পূর্ববর্তী ধাপের মতোই, এখানেও একটি গাণিতিক যাচাইকরণ আমাদের এই আত্মবিশ্বাস প্রদান করে যে সম্পূর্ণ গণনাটি কোনো প্রকার ভুলভ্রান্তি ছাড়াই সঠিকভাবে সম্পন্ন হয়েছে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর স্থির করে নিতে পারি:

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}$

   (উল্লেখ্য যে, এই ভেক্টরটি কোনো বিশেষ কারণ ছাড়াই সম্পূর্ণ যথেচ্ছভাবে বা আকস্মিকভাবে নির্বাচন করা হয়েছে)। এখন গাণিতিক বিশ্লেষণ করলে আমরা পাই:

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}_{B,D}{\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}3\\5\end{pmatrix}}_{D}$

   এবং এর ফলশ্রুতিতে $t({\vec {v}})$ হলো নিম্নোক্ত ভেক্টরটি:

   $3\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+5\cdot {\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}}$

   এবার ${\hat {B}},{\hat {D}}$ বেসিসের সাপেক্ষে আমরা প্রথমে নিম্নোক্ত হিসাবটি সম্পন্ন করি:

   ${\rm {Rep}}_{\hat {B}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-28/3&-8/3\\38/3&10/3\end{pmatrix}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}{\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}}_{\hat {B}}={\begin{pmatrix}-4\\6\end{pmatrix}}_{\hat {D}}$

   এবং প্রত্যাশিতভাবেই দেখা যাচ্ছে যে, এটি $t({\vec {v}})$-এর জন্য পূর্বের ন্যায় একই ফলাফল প্রদান করছে।

   $-4\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+6\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}8\\-2\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৪

গাণিতিক সমীকরণ ${\hat {H}}=PHQ$-এর ক্ষেত্রে $P$ এবং $Q$ ম্যাট্রিক্স দুটির আকার বা মাত্রা (size) কীরূপ হবে?

উত্তর

যেখানে $H$ এবং ${\hat {H}}$ ম্যাট্রিক্সদ্বয় $m\!\times \!n$ মাত্রার, সেখানে সংজ্ঞানুযায়ী $P$ ম্যাট্রিক্সটি হবে $m\!\times \!m$ মাত্রার একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স এবং $Q$ ম্যাট্রিক্সটি হবে $n\!\times \!n$ মাত্রার একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স।

সমস্যা ৫

উপপাদ্য ২.৬ (Theorem 2.6) ব্যবহার করে এটি প্রদর্শন করুন যে, একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স তখনই নন-সিঙ্গুলার বা অবিশিষ্ট হবে যদি এবং কেবল যদি এটি একটি অভেদক ম্যাট্রিক্সের (identity matrix) সমতুল্য হয়।

উত্তর

যেকোনো $n\!\times \!n$ মাত্রার বর্গাকার ম্যাট্রিক্স নন-সিঙ্গুলার হবে যদি এবং কেবল যদি এর র‍্যাঙ্ক বা মাত্রা $n$ হয়। অর্থাৎ, উপপাদ্য ২.৬ অনুযায়ী, এটি তখনই সম্ভব যদি এবং কেবল যদি ম্যাট্রিক্সটি এমন একটি $n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের সমতুল্য হয় যার প্রধান কর্ণের সকল ভুক্তি বা উপাদানগুলো ১ (অর্থাৎ একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স)।

সমস্যা ৬

দেখাও যে, যেখানে $A$ একটি নন-সিঙ্গুলার বর্গাকার ম্যাট্রিক্স, যদি $P$ এবং $Q$ এমন দুটি নন-সিঙ্গুলার বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হয় যাতে $PAQ=I$ সম্পর্কটি বজায় থাকে, তবে $QP=A^{-1}$ হবে।

উত্তর

যদি $PAQ=I$ হয়, তবে সমীকরণের উভয় পক্ষকে $Q$ দ্বারা গুণ করে আমরা পাই $QPAQ=Q$। এখান থেকে ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী পাওয়া যায় $QPA=I$, এবং ফলস্বরূপ এটি প্রমাণিত হয় যে $QP=A^{-1}$।

সমস্যা ৭

উপপাদ্য ২.৬ কেন এটি প্রদর্শন করে না যে প্রতিটি ম্যাট্রিক্সই ডায়াগোনালাইজেবল বা কর্ণীকরণযোগ্য (এই প্রসঙ্গে উদাহরণ ২.২ দ্রষ্টব্য)?

উত্তর

উদাহরণ ২.২-এর পরবর্তী সংজ্ঞা অনুযায়ী, একটি ম্যাট্রিক্স $M$-কে তখনই কর্ণীয়করণযোগ্য বা ডায়াগোনালাইজেবল (diagonalizable) বলা হবে, যদি এটি এমন একটি রূপান্তর $M={\rm {Rep}}_{B,D}(t)$-কে উপস্থাপন করে যেখানে এমন একটি ভিত্তি ${\hat {B}}$ বিদ্যমান থাকে যার ফলে ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {B}}}(t)$ একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স বা ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সে পরিণত হয়। এখানে একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত হলো, রূপান্তরের আদি এবং অন্তিম ভিত্তি অবশ্যই অভিন্ন হতে হবে। তবে উপপাদ্য ২.৬ আমাদের কেবল এই তথ্য প্রদান করে যে, সেখানে এমন দুটি ভিত্তি ${\hat {B}}$ এবং ${\hat {D}}$ বিদ্যমান থাকতে পারে যার মাধ্যমে আমরা ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(t)$ উপস্থাপনায় পরিবর্তন করে একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স পেতে পারি। কিন্তু এই উপপাদ্য থেকে এমন কোনো সুনির্দিষ্ট কারণ বা প্রমাণ পাওয়া যায় না যা নির্দেশ করে যে আমরা ${\hat {B}}$ এবং ${\hat {D}}$ ভিত্তি দুটিকে এমনভাবে নির্বাচন করতে পারব যাতে তারা একে অপরের সমান বা অভিন্ন হয়।

সমস্যা ৮

ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য (matrix equivalent) ম্যাট্রিক্সসমূহের ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্সগুলোও কি অবশ্যই ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হবে?

উত্তর

হ্যাঁ, অবশ্যই হবে। আমরা জানি যে কোনো ম্যাট্রিক্সের সারির র‍্যাঙ্ক (row rank) এবং কলামের র‍্যাঙ্ক (column rank) সর্বদা সমান থাকে। ফলশ্রুতিতে, একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজের র‍্যাঙ্ক মূল ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্কের সমান হয়। যেহেতু সমান আকারের এবং সমান র‍্যাঙ্কবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সসমূহ পরস্পর ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হয়ে থাকে, তাই তাদের ট্রান্সপোজগুলোও অনিবার্যভাবে সমতুল্য হবে।

সমস্যা ৯

যদি $k=0$ হয়, তবে উপপাদ্য ২.৬-এর ক্ষেত্রে কী ঘটবে?

উত্তর

গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী, কেবলমাত্র একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স বা জিরো ম্যাট্রিক্সেরই র‍্যাঙ্ক শূন্য হতে পারে। সুতরাং $k=0$ হওয়ার অর্থ হলো সংশ্লিষ্ট ম্যাট্রিক্সটি একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স।

সমস্যা ১০

দেখাও যে, ম্যাট্রিক্স-সমতুল্যতা (matrix-equivalence) একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক বা ইকুইভ্যালেন্স রিলেশন (equivalence relation)।

উত্তর

কোনো সম্পর্ককে সমতুল্যতা সম্পর্ক হিসেবে প্রমাণ করতে হলে তার প্রতিফলন (reflexivity), প্রতিসাম্য (symmetry) এবং সংক্রমণ (transitivity) ধর্মগুলো যাচাই করতে হয়। প্রতিফলনের ক্ষেত্রে, যেকোনো ম্যাট্রিক্স যে নিজের সাথে সমতুল্য তা দেখানোর জন্য আমরা $P$ এবং $Q$ উভয়কেই অভেদক ম্যাট্রিক্স বা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স হিসেবে বিবেচনা করতে পারি। প্রতিসাম্যের ক্ষেত্রে, যদি $H_{1}=PH_{2}Q$ হয়, তবে গাণিতিকভাবে $H_{2}=P^{-1}H_{1}Q^{-1}$ লেখা সম্ভব (যেহেতু $P$ এবং $Q$ নন-সিঙ্গুলার বা অবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স, তাই তাদের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্সের অস্তিত্ব রয়েছে)। সবশেষে, সংক্রমণের ক্ষেত্রে ধরে নেওয়া যাক $H_{1}=P_{2}H_{2}Q_{2}$ এবং $H_{2}=P_{3}H_{3}Q_{3}$। এখন মান প্রতিস্থাপনের মাধ্যমে আমরা পাই $H_{1}=P_{2}(P_{3}H_{3}Q_{3})Q_{2}=(P_{2}P_{3})H_{3}(Q_{3}Q_{2})$। যেহেতু দুটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের গুণফলও একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স হয় (ইতিমধ্যেই প্রমাণিত হয়েছে যে বিপরীতযোগ্য ম্যাট্রিক্সের গুণফলও বিপরীতযোগ্য এবং কীভাবে সেই বিপরীত ম্যাট্রিক্স গণনা করতে হয় তাও দেখানো হয়েছে), সেহেতু $H_{1}$ ম্যাট্রিক্সটি $H_{3}$-এর সাথে ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হিসেবে প্রমাণিত হয়।

সমস্যা ১১

প্রমাণ করো যে, একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স তার নিজস্ব ম্যাট্রিক্স-সমতুল্যতা শ্রেণিতে (equivalence class) একাই অবস্থান করে। এই ধরনের বৈশিষ্ট্যসম্পন্ন অন্য কোনো ম্যাট্রিক্স কি বিদ্যমান আছে?

উত্তর

উপপাদ্য ২.৬ অনুযায়ী, একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স তার শ্রেণিতে একক বা অনন্য, কারণ এটিই একমাত্র $m\!\times \!n$ আকারের ম্যাট্রিক্স যার র‍্যাঙ্ক শূন্য। শূন্য ম্যাট্রিক্স ব্যতীত অন্য কোনো ম্যাট্রিক্সই তার শ্রেণিতে একা থাকে না; কারণ যেকোনো ম্যাট্রিক্সের যেকোনো অশূন্য স্কেলার গুণফলের র‍্যাঙ্ক ওই মূল ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্কের সমান হয়ে থাকে।

সমস্যা ১২

$\mathbb {R} ^{1}$ এবং $\mathbb {R} ^{3}$ জগতের ওপর রূপান্তরকারী ম্যাট্রিক্সসমূহের ম্যাট্রিক্স-সমতুল্যতা শ্রেণিগুলো কী কী?

উত্তর

গাণিতিক পরিভাষায়, $1\!\times \!1$ আকারের ম্যাট্রিক্সগুলোর ক্ষেত্রে মূলত দুই ধরনের ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য শ্রেণি (matrix-equivalence classes) পরিলক্ষিত হয়— যার একটি হলো শূন্য র‍্যাঙ্কবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সের শ্রেণি এবং অন্যটি হলো এক র‍্যাঙ্কবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্সের শ্রেণি। একইভাবে, যদি আমরা $3\!\times \!3$ আকারের ম্যাট্রিক্সগুলোর দিকে লক্ষ্য করি, তবে দেখা যাবে যে এই ম্যাট্রিক্সগুলো মোট চারটি পৃথক ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য শ্রেণিতে বিভক্ত হয়ে থাকে।

সমস্যা ১৩

সর্বমোট কতগুলো ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য শ্রেণি বিদ্যমান থাকতে পারে?

উত্তর

যেকোনো $m\!\times \!n$ আকারের ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে, প্রতিটি সম্ভাব্য র‍্যাঙ্কের জন্য আলাদা আলাদা শ্রেণি বিদ্যমান থাকে। এখানে যদি $k$ মানটি $m$ এবং $n$-এর মধ্যে ক্ষুদ্রতম মান (minimum) হয়, তবে র‍্যাঙ্ক $0$, $1$, ..., থেকে শুরু করে $k$ পর্যন্ত প্রতিটি র‍্যাঙ্কের জন্য একটি করে শ্রেণি থাকবে। গাণিতিক হিসাব অনুযায়ী, এর ফলে মোট $k+1$ সংখ্যক শ্রেণি পাওয়া যায়। (স্বাভাবিকভাবেই, যদি আমরা সকল সম্ভাব্য আকারের ম্যাট্রিক্সকে একত্রে বিবেচনা করি, তবে সামগ্রিকভাবে অসীম সংখ্যক শ্রেণি পাওয়া যাবে।)

সমস্যা ১৪

ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য শ্রেণিগুলো কি স্কেলার গুণন (scalar multiplication) এবং যোগ (addition) প্রক্রিয়ার অধীনে আবদ্ধ বা 'ক্লোজড' (closed) থাকে?

উত্তর

এই শ্রেণিগুলো অশূন্য স্কেলার গুণনের ক্ষেত্রে আবদ্ধ থাকে, কারণ কোনো ম্যাট্রিক্সকে একটি অশূন্য স্কেলার দিয়ে গুণ করলে প্রাপ্ত নতুন ম্যাট্রিক্সটির র‍্যাঙ্ক মূল ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্কের সমানই থাকে। তবে যোগ প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে এগুলো আবদ্ধ নয়; উদাহরণস্বরূপ বলা যায়, $H+(-H)$ অপারেশনটির ফলাফল হিসেবে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক শূন্য হয়ে যায়, যা মূল ম্যাট্রিক্সের শ্রেণি থেকে ভিন্ন হতে পারে।

সমস্যা ১৫

ধরা যাক, $t:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ একটি রূপান্তর যা ${\mathcal {E}}_{n},{\mathcal {E}}_{n}$-এর সাপেক্ষে $T$ দ্বারা উপস্থাপিত হয়।

1. নিচের এই নির্দিষ্ট ক্ষেত্রটির জন্য ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ নির্ণয় করুন।

   $T={\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix}}\qquad B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

2. সাধারণ ক্ষেত্রে ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$-এর বর্ণনা দিন যেখানে ভিত্তি বা বেসিস হলো $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$।

উত্তর

1. আমাদের কাছে নিম্নোক্ত মানগুলো রয়েছে:

   ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})={\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}}\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\mbox{id}})={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})^{-1}={\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}-1&1\\-2&1\end{pmatrix}}$

   এবং এর ফলে চূড়ান্ত উত্তরটি দাঁড়ায় নিম্নরূপ:

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}1&-1\\2&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&1\\-2&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2&0\\-5&2\end{pmatrix}}$

   একটি দ্রুত যাচাইকরণের জন্য আমরা যথেচ্ছভাবে একটি ভেক্টর গ্রহণ করতে পারি:

   ${\vec {v}}={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}$

   যা থেকে পাওয়া যায়:

   ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\7\end{pmatrix}}=t({\vec {v}})$

   অন্যদিকে, $B,B$-এর সাপেক্ষে গণনা করলে দেখা যায়:

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-2&0\\-5&2\end{pmatrix}}_{B,B}{\begin{pmatrix}1\\-3\end{pmatrix}}_{B}={\begin{pmatrix}-2\\-11\end{pmatrix}}_{B}$

   যা একই ফলাফল প্রদান করে।

   $-2\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}-11\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}9\\7\end{pmatrix}}$

2. গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে আমরা নিম্নোক্ত সম্পর্কটি লক্ষ্য করতে পারি:

   ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\mbox{id}})\cdot T\cdot {\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})$

   এবং এই প্রশ্নের প্রথম অংশে যেভাবে আলোচনা করা হয়েছে, ঠিক সেভাবেই আমরা পাই যে:

   ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})=\left({\begin{array}{c|c|c}{\vec {\beta }}_{1}&\;\cdots \;&{\vec {\beta }}_{n}\end{array}}\right)\qquad {\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},B}({\mbox{id}})={\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})^{-1}$

   সুতরাং, এখানে $Q$ দ্বারা সেই ম্যাট্রিক্সটিকে নির্দেশ করা হয়েছে যার কলাম বা স্তম্ভগুলো হলো সংশ্লিষ্ট ভিত্তি ভেক্টরসমূহ। এর ফলশ্রুতিতে আমরা এই সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)=Q^{-1}TQ$।

সমস্যা ১৬

1. ধরা যাক, $V$ নামক একটি ভেক্টর জগতের দুটি ভিন্ন ভিত্তি হলো $B_{1}$ এবং $B_{2}$। অন্যদিকে, মনে করা যাক যে $W$ নামক অপর একটি ভেক্টর জগতের ভিত্তি হিসেবে $D$-কে বিবেচনা করা হয়েছে। যদি $h:V\to W$ একটি রৈখিক চিত্রণ বা লিনিয়ার ম্যাপ হয়, তবে ${\rm {Rep}}_{B_{1},D}(h)$ থেকে ${\rm {Rep}}_{B_{2},D}(h)$ নির্ণয় করার গাণিতিক সূত্রটি খুঁজে বের করুন।
2. পূর্ববর্তী প্রশ্নটির অনুরূপভাবে, এবার $V$-এর জন্য একটি ভিত্তি এবং $W$-এর জন্য দুটি ভিন্ন ভিত্তি বিবেচনা করে সমস্যাটির সমাধান পুনরায় সম্পন্ন করুন।

উত্তর

1. এই সমস্যার ক্ষেত্রে পরিবর্তিত অ্যারো ডায়াগ্রাম বা তীরচিত্রটি নিচে উপস্থাপন করা হলো।

   

   যেহেতু $W$ ভেক্টর জগতের ভিত্তি পরিবর্তনের কোনো প্রয়োজন নেই (অথবা আমরা তাত্ত্বিকভাবে বলতে পারি যে ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্স $P$ হলো একটি অভেদ বা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স), তাই আমরা পাই যে: ${\rm {Rep}}_{B_{2},D}(h)={\rm {Rep}}_{B_{1},D}(h)\cdot Q$ যেখানে $Q={\rm {Rep}}_{B_{2},B_{1}}({\mbox{id}})$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত।
2. এক্ষেত্রে সংশ্লিষ্ট অ্যারো ডায়াগ্রামটি হবে নিম্নরূপ:

   

   গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী আমরা পাই যে, ${\rm {Rep}}_{B,D_{2}}(h)=P\cdot {\rm {Rep}}_{B,D_{1}}(h)$ যেখানে ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্সটি হলো $P={\rm {Rep}}_{D_{1},D_{2}}({\mbox{id}})$।

সমস্যা ১৭

1. যদি দুটি ম্যাট্রিক্স পরস্পর ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য (matrix-equivalent) এবং বিপরীতযোগ্য (invertible) হয়, তবে তাদের বিপরীত ম্যাট্রিক্সগুলোও কি অবশ্যই ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হবে?
2. যদি দুটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সগুলো পরস্পর ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হয়, তবে মূল ম্যাট্রিক্স দুটিও কি অবশ্যই ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হবে?
3. যদি দুটি ম্যাট্রিক্স বর্গাকার (square) এবং পরস্পর ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হয়, তবে তাদের বর্গসমূহও কি অবশ্যই ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হতে হবে?
4. যদি দুটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের বর্গসমূহ পরস্পর ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হয়, তবে মূল ম্যাট্রিক্স দুটিও কি অবশ্যই ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হবে?

উত্তর

1. নিচে এই সমস্যার জন্য প্রয়োজনীয় অ্যারো ডায়াগ্রাম এবং বিপরীত ফাংশন বা অপেক্ষকের ক্ষেত্রে সেই ডায়াগ্রামের একটি পরিবর্তিত সংস্করণ প্রদান করা হলো।

   হ্যাঁ, ম্যাট্রিক্সের বিপরীত মানগুলো (inverses) মূলত সংশ্লিষ্ট মানচিত্র বা ম্যাপগুলোর বিপরীত রূপকেই প্রতিফলিত করে। সহজভাবে বললে, আমরা ডায়াগ্রামের নিচের ডান কোণ থেকে নিচের বাম কোণে পৌঁছাতে পারি প্রথমে উপরে উঠে, তারপর বাম দিকে অগ্রসর হয়ে এবং সবশেষে নিচে নামার মাধ্যমে। অন্যভাবে ব্যাখ্যা করলে, যেখানে ${\hat {H}}=PHQ$ (এবং $P,Q$ উভয়ই বিপরীতযোগ্য বা ইনভার্টিবল ম্যাট্রিক্স) এবং $H,{\hat {H}}$ ও বিপরীতযোগ্য হয়, তবে গাণিতিক সমীকরণটি দাঁড়াবে: ${\hat {H}}^{-1}=Q^{-1}H^{-1}P^{-1}$।

2. হ্যাঁ; এটি মূলত পূর্ববর্তী অংশটিরই একটি ভিন্নতর শব্দচয়নে পুনরাবৃত্তি মাত্র।
3. না, এক্ষেত্রে আমাদের অতিরিক্ত একটি অনুমিতি বা শর্তের প্রয়োজন হবে: যদি কোনো নির্দিষ্ট ভিত্তি $B$-এর সাপেক্ষে $H$ ম্যাট্রিক্সটি $h$ রূপান্তরকে একই প্রারম্ভিক ও প্রান্তিক ভিত্তি $B,B$-এর মাধ্যমে উপস্থাপন করে, তবেই $H^{2}$ ম্যাট্রিক্সটি $h\circ h$ কম্পোজিশনকে উপস্থাপন করবে। একটি সুনির্দিষ্ট উদাহরণ হিসেবে বিবেচনা করা যাক, নিচের এই দুটি ম্যাট্রিক্সের উভয়েরই র‍্যাঙ্ক (rank) হলো এক। ফলে তারা ম্যাট্রিক্স সমতুল্য (matrix equivalent) হিসেবে গণ্য হয়:

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

   কিন্তু এই ম্যাট্রিক্স দুটির বর্গগুলো কিন্তু ম্যাট্রিক্স সমতুল্য নয়— কারণ প্রথম ম্যাট্রিক্সটির বর্গের র‍্যাঙ্ক এক হলেও দ্বিতীয়টির বর্গের র‍্যাঙ্ক শূন্য হয়ে যায়।
4. না। নিচের এই দুটি ম্যাট্রিক্স নিজেরা ম্যাট্রিক্স সমতুল্য না হওয়া সত্ত্বেও এদের বর্গগুলো কিন্তু ম্যাট্রিক্স সমতুল্য হতে পারে।

   ${\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

সমস্যা ১৮

বর্গাকার ম্যাট্রিক্সসমূহকে তখন সদৃশ (similar) বলা হয় যখন তারা একই লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন বা রূপান্তরকে উপস্থাপন করে, তবে শর্ত হলো প্রারম্ভিক ও প্রান্তিক ভিত্তি উভয় ক্ষেত্রেই একই ভিত্তি ব্যবহার করতে হবে। অর্থাৎ, ${\rm {Rep}}_{B_{1},B_{1}}(t)$ ম্যাট্রিক্সটি ${\rm {Rep}}_{B_{2},B_{2}}(t)$-এর সদৃশ।

1. ম্যাট্রিক্স সদৃশতার একটি সংজ্ঞা প্রদান করুন যা সংজ্ঞা ২.৩-এর অনুরূপ।
2. প্রমাণ করুন যে, সকল সদৃশ ম্যাট্রিক্সই আসলে ম্যাট্রিক্স সমতুল্য।
3. দেখান যে, সদৃশতা (similarity) একটি সমতুল্য সম্পর্ক (equivalence relation)।
4. দেখান যে, যদি $T$ এবং ${\hat {T}}$ সদৃশ হয়, তবে $T^{2}$ এবং ${\hat {T}}^{2}$-ও সদৃশ হবে, একইভাবে তাদের ঘনফল (cubes) এবং উচ্চতর ঘাতগুলোও সদৃশ হবে। পূর্ববর্তী অনুশীলনীটির সাথে এর বৈপরীত্য লক্ষ্য করুন।
5. প্রমাণ করুন যে এমন কিছু ম্যাট্রিক্স সমতুল্য ম্যাট্রিক্স রয়েছে যারা আসলে সদৃশ নয়।

উত্তর

1. উপযুক্ত অ্যারো ডায়াগ্রাম বা তীর চিহ্নের চিত্রের মাধ্যমেই এই সংজ্ঞাটি অনুধাবন করা সম্ভব।

   

   রৈখিক বীজগণিতের আলোচনায়, দুটি ম্যাট্রিক্স $T$ এবং ${\hat {T}}$-কে পরস্পর সদৃশ (similar) বলা হবে, যদি সেখানে এমন একটি অবিশিষ্ট বা নন-সিঙ্গুলার (nonsingular) ম্যাট্রিক্স $P$ বিদ্যমান থাকে যার ফলে ${\hat {T}}=P^{-1}TP$ সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
2. এখানে গাণিতিক প্রমাণের সুবিধার্থে আমরা $P^{-1}$-কে $P$ হিসেবে এবং মূল $P$-কে $Q$ হিসেবে বিবেচনা করতে পারি।
3. এই গাণিতিক যুক্তিটি মূলত দশম সমস্যার (Problem 10) অনুরূপ, যেখানে ম্যাট্রিক্সের সমতুল্যতা নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করা হয়েছে। এই সম্পর্কের আত্মবাচকতা বা রিফ্লেক্সিভিটি (Reflexivity) অত্যন্ত সুস্পষ্ট: কারণ যেকোনো ম্যাট্রিক্স $T$-এর ক্ষেত্রে আমরা লিখতে পারি $T=I^{-1}TI$, যেখানে $I$ হলো একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স। একইভাবে প্রতিসাম্যতা বা সিমেট্রি (Symmetry) প্রমাণ করাও বেশ সহজসাধ্য: যদি ${\hat {T}}=P^{-1}TP$ হয়, তবে এটি নির্দেশ করে যে $T=P{\hat {T}}P^{-1}$। এই ফলাফলটি অর্জনের জন্য মূল সমীকরণটির ডান দিক থেকে $P^{-1}$ দ্বারা এবং বাম দিক থেকে $P$ দ্বারা গুণ করতে হবে। এবার সংক্রমণশীলতা বা ট্রানজিটিভিটি (Transitivity) প্রমাণের ক্ষেত্রে ধরে নেওয়া যাক যে, $T_{1}={P_{2}}^{-1}T_{2}P_{2}$ এবং $T_{2}={P_{3}}^{-1}T_{3}P_{3}$। এমতাবস্থায় আমরা পাই, $T_{1}={P_{2}}^{-1}({P_{3}}^{-1}T_{3}P_{3})P_{2}=({P_{2}}^{-1}{P_{3}}^{-1})T_{3}(P_{3}P_{2})$। এখানে লক্ষ্যণীয় যে, $P_{3}P_{2}$ নিজেই একটি বিপরীতযোগ্য বা ইনভার্টিবল ম্যাট্রিক্স, যার বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো ${P_{2}}^{-1}{P_{3}}^{-1}$; আর এর মাধ্যমেই আমাদের প্রমাণটি সফলভাবে সম্পন্ন হয়।
4. এখন ধরা যাক যে, ${\hat {T}}=P^{-1}TP$ সম্পর্কটি বিদ্যমান। ম্যাট্রিক্সের বর্গের ক্ষেত্রে আমরা দেখতে পাই: ${\hat {T}}^{2}=(P^{-1}TP)(P^{-1}TP)=P^{-1}T(PP^{-1})TP=P^{-1}T^{2}P$। গাণিতিক আরোহ বিধি বা ইনডাকশন (Induction) পদ্ধতি অনুসরণ করে ম্যাট্রিক্সের উচ্চতর ঘাত বা পাওয়ারের ক্ষেত্রেও এই একই ফলাফল পাওয়া সম্ভব।
5. নিচে প্রদত্ত এই দুটি ম্যাট্রিক্স পরস্পর সমতুল্য (matrix equivalent) হলেও তাদের বর্গসমূহ কিন্তু গাণিতিকভাবে সমতুল্য নয়।

   ${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

   উপরের এই গাণিতিক বিশ্লেষণ ও পূর্ববর্তী আইটেমের উদাহরণের প্রেক্ষিতে এটি স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয় যে, ম্যাট্রিক্সের সদৃশতা (matrix similarity) এবং ম্যাট্রিক্সের সমতুল্যতা (matrix equivalence) সম্পূর্ণ ভিন্ন দুটি ধারণা।