রৈখিক বীজগণিত/চিত্রায়ন উপস্থাপনা পরিবর্তন

রৈখিক বীজগণিতের পূর্ববর্তী উপ-পরিচ্ছেদে আমরা বিস্তারিতভাবে আলোচনা করেছি যে কীভাবে একটি নির্দিষ্ট ভিত্তির (basis) সাপেক্ষে কোনো ভেক্টরের উপস্থাপনাকে অন্য একটি ভিত্তির সাপেক্ষে সেই একই ভেক্টরের উপস্থাপনায় রূপান্তর করা যায়। বর্তমান আলোচনায় আমরা দেখব যে কীভাবে একটি নির্দিষ্ট ভিত্তি-যুগলের (pair of bases) সাপেক্ষে কোনো রৈখিক মানচিত্রের (map) উপস্থাপনাকে সম্পূর্ণ ভিন্ন একটি ভিত্তি-যুগলের সাপেক্ষে ওই একই মানচিত্রের উপস্থাপনায় রূপান্তর করা সম্ভব হয়। সহজ কথায়, আমরা এই অ্যারো ডায়াগ্রাম বা তীর চিহ্নের মাধ্যমে প্রদর্শিত চিত্রটিতে বিদ্যমান ম্যাট্রিক্সগুলোর মধ্যকার গাণিতিক সম্পর্কটি নিরূপণ করতে চাই।

এই ডায়াগ্রাম বা চিত্রের নিচের বাম দিক থেকে নিচের ডান দিকে পৌঁছানোর জন্য আমাদের সামনে মূলত দুটি পথ খোলা রয়েছে। আমরা হয় সরাসরি বাম থেকে ডানে যেতে পারি, অথবা বিকল্প হিসেবে প্রথমে উপরে $V_{B}$-এ গিয়ে, সেখান থেকে ডানে $W_{D}$-এ পৌঁছে সবশেষে নিচে নেমে আসতে পারি। ম্যাট্রিক্সের পরিভাষায় এই প্রক্রিয়াটিকে ব্যাখ্যা করলে দেখা যায় যে, আমরা ${\hat {H}}={\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(h)$ ম্যাট্রিক্সটি দুটি উপায়ে গণনা করতে পারি। প্রথমত, সরাসরি ${\hat {B}}$ এবং ${\hat {D}}$ ভিত্তি ব্যবহার করে; অথবা দ্বিতীয়ত, প্রথমে ${\rm {Rep}}_{{\hat {B}},B}({\mbox{id}})$ ব্যবহারের মাধ্যমে ভিত্তি পরিবর্তন করে, তারপর প্রাপ্ত ফলাফলকে $H={\rm {Rep}}_{B,D}(h)$ দ্বারা গুণ করে এবং সবশেষে ${\rm {Rep}}_{D,{\hat {D}}}({\mbox{id}})$ এর মাধ্যমে পুনরায় ভিত্তি পরিবর্তন করে। নিচের সমীকরণটি এই পুরো প্রক্রিয়াটিকে সংক্ষেপে উপস্থাপন করছে:

${\hat {H}}={\rm {Rep}}_{D,{\hat {D}}}({\mbox{id}})\cdot H\cdot {\rm {Rep}}_{{\hat {B}},B}({\mbox{id}})\qquad \qquad (*)$

উপরের সমীকরণটির সাথে তার পূর্ববর্তী বাক্যটির তুলনা করার সময় একটি বিষয় বিশেষভাবে মনে রাখা প্রয়োজন। গাণিতিক ফাংশন বা অপেক্ষকের সংযোজন (function composition) যেহেতু ডান থেকে বাম দিকে পড়া হয় এবং ম্যাট্রিক্সের গুণফল যেহেতু এই সংযোজনকেই উপস্থাপন করে, তাই এই সমীকরণটিও আমাদের ডান থেকে বাম দিকেই পড়তে হবে।

উদাহরণ ২.১

নিচে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি লক্ষ্য করা যাক:

$T={\begin{pmatrix}\cos(\pi /6)&-\sin(\pi /6)\\\sin(\pi /6)&\cos(\pi /6)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}$

এই ম্যাট্রিক্সটি ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ ভিত্তির সাপেক্ষে এমন একটি রূপান্তর $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$-কে উপস্থাপন করে, যা ভেক্টরগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\pi /6$ রেডিয়ান কোণে আবর্তন বা রোটেট করায়।

আমরা ${\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}$ ভিত্তির সাপেক্ষে প্রাপ্ত এই উপস্থাপনাটিকে নিচের ভিত্তিগুলোর সাপেক্ষে রূপান্তর করতে পারি:

${\hat {B}}=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\2\end{pmatrix}}\rangle \qquad {\hat {D}}=\langle {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}\rangle$

এই রূপান্তরের জন্য আমরা উপরে বর্ণিত অ্যারো ডায়াগ্রাম এবং গাণিতিক সূত্র ($*$) ব্যবহার করব।

এই চিত্র থেকে আমরা সরাসরি নিচের সূত্রটি প্রয়োগ করতে পারি:

${\hat {T}}={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\hat {D}}}({\mbox{id}})\cdot T\cdot {\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})$

এখানে বিশেষভাবে লক্ষণীয় যে, ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\hat {D}}}({\mbox{id}})$ ম্যাট্রিক্সটিকে ${\rm {Rep}}_{{\hat {D}},{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})$ এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্স হিসেবে গণনা করা সম্ভব।

${\begin{array}{rl}{\rm {Rep}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}(t)&={\begin{pmatrix}-1&2\\0&3\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}{\sqrt {3}}/2&-1/2\\1/2&{\sqrt {3}}/2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\1&2\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}(5-{\sqrt {3}})/6&(3+2{\sqrt {3}})/3\\(1+{\sqrt {3}})/6&{\sqrt {3}}/3\end{pmatrix}}\end{array}}$

যদিও এই নতুন ম্যাট্রিক্সটি দৃশ্যত কিছুটা জটিল এবং অগোছালো মনে হতে পারে, তবে এটি যে লিনিয়ার ম্যাপটিকে উপস্থাপন করছে তা প্রকৃতপক্ষে অভিন্ন। উদাহরণস্বরূপ, চিত্রে প্রদর্শিত $t$-এর প্রভাবটি পুনরায় ফুটিয়ে তোলার জন্য আমরা প্রথমে ${\hat {B}}$ বেসিস দিয়ে শুরু করতে পারি,

${\rm {Rep}}_{\hat {B}}({\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}_{\hat {B}}$

এরপর এর ওপর ${\hat {T}}$ প্রয়োগ করি,

${\begin{pmatrix}(5-{\sqrt {3}})/6&(3+2{\sqrt {3}})/3\\(1+{\sqrt {3}})/6&{\sqrt {3}}/3\end{pmatrix}}_{{\hat {B}},{\hat {D}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}_{\hat {B}}={\begin{pmatrix}(11+3{\sqrt {3}})/6\\(1+3{\sqrt {3}})/6\end{pmatrix}}_{\hat {D}}$

এবং প্রাপ্ত ফলাফলটি ${\hat {D}}$ বেসিসের সাপেক্ষে যাচাই করে দেখি,

${\frac {11+3{\sqrt {3}}}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+{\frac {1+3{\sqrt {3}}}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(-3+{\sqrt {3}})/2\\(1+3{\sqrt {3}})/2\end{pmatrix}}$

যাতে এটি স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয় যে, এটি উপরে প্রাপ্ত ফলাফলের সাথে হুবহু মিলে যাচ্ছে।

উদাহরণ ২.২

$\mathbb {R} ^{3}$-এর ওপর একটি লিনিয়ার ম্যাপ বিবেচনা করা যাক:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}{\stackrel {t}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}y+z\\x+z\\x+y\end{pmatrix}}$

যাকে আদর্শ বেসিসের (standard basis) সাপেক্ষে এইভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে:

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{3},{\mathcal {E}}_{3}}(t)={\begin{pmatrix}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{pmatrix}}$

এই একই ম্যাপটিকে অন্য একটি বেসিসের সাপেক্ষেও উপস্থাপন করা সম্ভব।

যদি $B=\langle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\rangle$      হয়, তবে ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&2\end{pmatrix}}$

এই উপস্থাপনাটি অনেক বেশি সহজ এবং সুবিধাজনক, কারণ একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স বা ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সের ক্রিয়া বা প্রভাব বোঝা অত্যন্ত সহজসাধ্য।

স্বাভাবিকভাবেই, আমরা সাধারণত এমন ধরনের বেসিস পরিবর্তনকে অগ্রাধিকার দিই যা গাণিতিক উপস্থাপনাটিকে আরও সহজবোধ্য এবং বিশ্লেষণযোগ্য করে তোলে। যখন কোনো লিনিয়ার ম্যাপের প্রারম্ভিক এবং সমাপ্তি বেসিস একই থাকে এবং এর ফলে প্রাপ্ত ম্যাট্রিক্সটি একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স বা ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স হয়, তখন আমরা বলি যে উক্ত ম্যাপ বা ম্যাট্রিক্সটিকে কর্ণায়িত (diagonalized) করা হয়েছে। পঞ্চম অধ্যায়ে আমরা বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব যে কোন কোন ম্যাপ এবং ম্যাট্রিক্স কর্ণায়িত করার যোগ্য বা ডায়াগোনালাইজেবল। পাশাপাশি, যেসব ক্ষেত্রে এটি সরাসরি সম্ভব নয়, সেখানে কীভাবে প্রায়-কর্ণ (nearly diagonal) একটি উপস্থাপনা লাভ করা যায়, তাও আমরা খতিয়ে দেখব।

আমরা এই উপ-অনুচ্ছেদটি সমাপ্ত করার লক্ষ্যে এখন একটি অপেক্ষাকৃত সহজতর ক্ষেত্র বিবেচনা করব, যেখানে লিনিয়ার ম্যাপ বা রূপান্তরের উপস্থাপনাগুলো সম্ভবত ভিন্ন ভিন্ন আদি এবং অন্তিম ভিত্তির (bases) সাপেক্ষে সম্পন্ন করা হয়। পূর্ববর্তী উপ-অনুচ্ছেদে আমরা বিস্তারিতভাবে আলোচনা করেছি এবং দেখেছি যে, একটি ম্যাট্রিক্স তখনই তার ভিত্তি পরিবর্তন করতে সক্ষম হয় যদি এবং কেবল যদি সেটি একটি নন-সিঙ্গুলার বা অবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স হয়। এই গাণিতিক সত্যটি আমাদের উপরে আলোচিত অ্যারো ডায়াগ্রাম বা তীর চিহ্নের মাধ্যমে প্রদর্শিত চিত্র এবং সমীকরণ ($*$)-এর একটি নতুন ও পরিমার্জিত সংস্করণ প্রদান করে।

সংজ্ঞা ২.৩

একই আকারের দুটি ম্যাট্রিক্স $H$ এবং ${\hat {H}}$-কে পরস্পর ম্যাট্রিক্স সমতুল্য (matrix equivalent) বলা হবে, যদি সেখানে এমন দুটি নন-সিঙ্গুলার বা অবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স $P$ এবং $Q$ বিদ্যমান থাকে যাতে ${\hat {H}}=PHQ$ সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

অনুসিদ্ধান্ত ২.৪

ম্যাট্রিক্স সমতুল্য ম্যাট্রিক্সসমূহ মূলত একই লিনিয়ার ম্যাপ বা মানচিত্রকে উপস্থাপন করে, তবে এক্ষেত্রে ভিত্তিগুলোর উপযুক্ত জোড়া নির্বাচন করা আবশ্যক।

অনুশীলনী বা সমস্যা ১০-এ গাণিতিকভাবে এটি যাচাই করে দেখানো হয়েছে যে, ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা প্রকৃতপক্ষে একটি সমতুল্য সম্পর্ক (equivalence relation)। ফলশ্রুতিতে, এই বিশেষ সম্পর্কটি ম্যাট্রিক্সের সমগ্র সেটটিকে বিভিন্ন ম্যাট্রিক্স সমতুল্য শ্রেণীতে (matrix equivalence classes) বিভক্ত বা বিভাজিত করে।

সকল ম্যাট্রিক্স:

$H$ ম্যাট্রিক্সটি ${\hat {H}}$-এর সমতুল্য

ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতাকে সারি সমতুল্যতার (row equivalence) সাথে তুলনা করার মাধ্যমে আমরা এই শ্রেণীগুলো সম্পর্কে গভীর অন্তর্দৃষ্টি লাভ করতে পারি (স্মরণ করা যেতে পারে যে, দুটি ম্যাট্রিক্সকে তখনই সারি সমতুল্য বলা হয় যখন তাদের একটিকে বিভিন্ন সারি অপারেশনের মাধ্যমে অন্যটিতে রূপান্তরিত করা সম্ভব হয়)। ${\hat {H}}=PHQ$ সমীকরণে, $P$ এবং $Q$ ম্যাট্রিক্স দুটি হলো নন-সিঙ্গুলার, যার ফলে এদের প্রত্যেককেই কতগুলো প্রাথমিক রিডাকশন ম্যাট্রিক্সের গুণফল হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব (এই বিষয়ে বিস্তারিত জানতে পূর্ববর্তী উপ-অনুচ্ছেদের লেমা ৪.৮ দেখা যেতে পারে)। এখানে $P$ গঠনকারী রিডাকশন ম্যাট্রিক্সগুলো দ্বারা বাম দিক থেকে গুণ করার অর্থ হলো ম্যাট্রিক্সটির ওপর সারি অপারেশন (row operations) পরিচালনা করা। একইভাবে, $Q$ গঠনকারী রিডাকশন ম্যাট্রিক্সগুলো দ্বারা ডান দিক থেকে গুণ করার মাধ্যমে কলাম অপারেশন (column operations) সম্পন্ন করা হয়। সুতরাং, এটি স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয় যে ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা হলো সারি সমতুল্যতার একটি সাধারণীকৃত রূপ—যেখানে দুটি ম্যাট্রিক্স সারি সমতুল্য হয় যদি একটিকে ধারাবাহিকভাবে সারি রিডাকশন ধাপের মাধ্যমে অন্যটিতে রূপান্তর করা যায়, অন্যদিকে দুটি ম্যাট্রিক্স ম্যাট্রিক্স সমতুল্য হয় যদি একটিকে প্রথমে সারি রিডাকশন এবং পরবর্তীতে কলাম রিডাকশন ধাপের একটি ধারার মাধ্যমে অন্যটিতে রূপান্তরিত করা সম্ভব হয়।

এর ফলে, যদি কোনো ম্যাট্রিক্সসমূহ সারি সমতুল্য হয়, তবে তারা অবশ্যই ম্যাট্রিক্স সমতুল্য হবে (কারণ এক্ষেত্রে আমরা $Q$-কে একটি আইডেন্টিটি বা অভেদ ম্যাট্রিক্স হিসেবে বিবেচনা করতে পারি, যার ফলে কোনো কলাম অপারেশন করার প্রয়োজন পড়ে না)। তবে এর বিপরীত উক্তিটি সব সময় সত্য নয়, অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স সমতুল্য হলেই তারা সারি সমতুল্য হবে এমন কোনো নিশ্চয়তা নেই।

উদাহরণ ২.৫

নিচে প্রদর্শিত এই দুটি ম্যাট্রিক্স

${\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$

পরস্পর ম্যাট্রিক্স সমতুল্য, কারণ দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সটির প্রথম কলামকে $-1$ দ্বারা গুণ করে দ্বিতীয় কলামের সাথে যোগ করার মতো কলাম অপারেশনের মাধ্যমে একে প্রথম ম্যাট্রিক্সে রূপান্তরিত করা সম্ভব। তবে তারা সারি সমতুল্য নয়, কারণ তাদের রিডিউসড এশেলন ফর্ম (reduced echelon forms) ভিন্ন (প্রকৃতপক্ষে, উভয় ম্যাট্রিক্সই ইতিমধ্যে রিডিউসড ফর্মে বা লঘুকৃত আকারে রয়েছে)।

ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা বা ম্যাট্রিক্স ইকুইভ্যালেন্স ক্লাসের জন্য একগুচ্ছ প্রতিনিধি (representatives) নির্ধারণ করার মাধ্যমে আমরা বর্তমান এই পরিচ্ছেদটির সমাপ্তি টানব। গাণিতিক বিশ্লেষণে এই প্রতিনিধিরা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।

উপপাদ্য ২.৬

$k$ র‍্যাঙ্ক বিশিষ্ট যেকোনো $m\!\times \!n$ আকারের ম্যাট্রিক্স এমন একটি $m\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের সাথে সমতুল্য হবে, যার প্রথম $k$ সংখ্যক কর্ণ উপাদান (diagonal entries) হবে ১ এবং অবশিষ্ট সকল ভুক্তি বা উপাদান হবে শূন্য। অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্সটিকে একটি নির্দিষ্ট আদর্শ আকারে রূপান্তর করা সম্ভব।

${\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0&0&\ldots &0\\0&1&\ldots &0&0&\ldots &0\\&\vdots \\0&0&\ldots &1&0&\ldots &0\\0&0&\ldots &0&0&\ldots &0\\&\vdots \\0&0&\ldots &0&0&\ldots &0\end{pmatrix}}$

গাণিতিক পরিভাষায় এই বিশেষ গঠনটিকে অনেক সময় একটি ব্লক আংশিক-অভেদক (block partial-identity) আকার হিসেবে অভিহিত করা হয়। এটি ম্যাট্রিক্সের গঠনগত সরলীকরণের একটি অনন্য উদাহরণ।

$\left({\begin{array}{c|c}I&Z\\\hline Z&Z\end{array}}\right)$

প্রমাণ

উপরে আলোচিত পদ্ধতি অনুসরণ করে, প্রথমে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটির ওপর গাউস-জর্ডান অপনয়ন (Gauss-Jordan reduction) পদ্ধতি প্রয়োগ করে সেটিকে সংকুচিত করতে হবে। এই প্রক্রিয়ায় ব্যবহৃত সকল রূপান্তরকারী ম্যাট্রিক্সকে একত্রিত করে আমরা $P$ ম্যাট্রিক্সটি গঠন করব। এরপর, ম্যাট্রিক্সের লিডিং এন্ট্রি বা প্রধান ভুক্তিগুলো ব্যবহার করে কলাম রিডাকশন বা স্তম্ভ সংকোচন সম্পন্ন করতে হবে। সবশেষে, কলাম বা স্তম্ভগুলোর স্থান পরিবর্তনের (swapping) মাধ্যমে প্রধান ১-গুলোকে কর্ণের অবস্থানে নিয়ে আসতে হবে। এই কলাম অপারেশনগুলোতে ব্যবহৃত সকল রূপান্তরকারী ম্যাট্রিক্সকে একত্রিত করে $Q$ ম্যাট্রিক্সটি পাওয়া যাবে।

উদাহরণ ২.৭

নিচের ম্যাট্রিক্সটির জন্য $P$ এবং $Q$ নির্ণয় করার মাধ্যমে আমরা উপরোক্ত প্রমাণের সত্যতা এবং কার্যকারিতা চিত্রিত করব।

${\begin{pmatrix}1&2&1&-1\\0&0&1&-1\\2&4&2&-2\end{pmatrix}}$

প্রথমে গাউস-জর্ডান পদ্ধতিতে সারি-সংকোচন (row-reduce) সম্পন্ন করা হলো।

${\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&1&-1\\0&0&1&-1\\2&4&2&-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&0&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

এরপর কলাম-রিডাকশন বা স্তম্ভ-সংকোচন করা হলো, যার মধ্যে ডান-গুণন (right-multiplication) প্রক্রিয়াটি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

${\begin{pmatrix}1&2&0&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&-2&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

কলাম বা স্তম্ভগুলোর পারস্পরিক স্থান পরিবর্তনের মাধ্যমে প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন করা হলো।

${\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

পরিশেষে, বাম-গুণকগুলোকে (left-multipliers) একত্রে সমন্বিত করে $P$ এবং ডান-গুণকগুলোকে (right-multipliers) একত্রে সমন্বিত করে $Q$ ম্যাট্রিক্স গঠন করা হয়, যার ফলে আমরা কাঙ্ক্ষিত $PHQ$ সমীকরণটি লাভ করি।

${\begin{pmatrix}1&-1&0\\0&1&0\\-2&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&1&-1\\0&0&1&-1\\2&4&2&-2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0&-2&0\\0&0&1&0\\0&1&0&1\\0&0&0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}}$

অনুসিদ্ধান্ত ২.৮

একই আকারের দুটি ম্যাট্রিক্স তখনই ম্যাট্রিক্স সমতুল্য (matrix equivalent) হবে, যদি এবং কেবল যদি তাদের র‍্যাঙ্ক বা পদমর্যাদা সমান হয়। অর্থাৎ, ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতার শ্রেণীগুলোকে মূলত তাদের নির্দিষ্ট র‍্যাঙ্ক বা পদমর্যাদার মাধ্যমেই বৈশিষ্ট্যমণ্ডিত বা শনাক্ত করা সম্ভব।

প্রমাণ

একই আকারের এবং একই র‍্যাঙ্কবিশিষ্ট দুটি ম্যাট্রিক্স সর্বদা একই ব্লক আংশিক-অভেদক ম্যাট্রিক্সের (block partial-identity matrix) সাথে সমতুল্য হয়ে থাকে।

উদাহরণ ২.৯

যেকোনো $2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে মাত্র তিনটি সম্ভাব্য র‍্যাঙ্ক বা পদমর্যাদা থাকা সম্ভব: শূন্য, এক অথবা দুই। এর ফলশ্রুতিতে, এই ধরনের ম্যাট্রিক্সগুলোর জন্য মোট তিনটি ম্যাট্রিক্স-সমতুল্যতা শ্রেণী বিদ্যমান রয়েছে।

সকল $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স: তিনটি সমতুল্যতা
শ্রেণী

প্রতিটি শ্রেণী মূলত সেই সকল $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স নিয়ে গঠিত যাদের র‍্যাঙ্ক বা পদমর্যাদা অভিন্ন। শূন্য র‍্যাঙ্কবিশিষ্ট ম্যাট্রিক্স মাত্র একটিই রয়েছে (যা হলো শূন্য ম্যাট্রিক্স), তাই সেই নির্দিষ্ট শ্রেণীতে সদস্য সংখ্যা মাত্র একজন; তবে অন্য দুটি শ্রেণীর প্রত্যেকটিতে অগণিত বা অসীম সংখ্যক সদস্য বিদ্যমান।

এই উপ-পরিচ্ছেদে আমরা বিস্তারিতভাবে আলোচনা করেছি যে, কীভাবে একটি প্রথম জোড়া ভিত্তির (bases) সাপেক্ষে কোনো মানচিত্র বা ম্যাপের উপস্থাপনাকে অন্য একটি দ্বিতীয় জোড়া ভিত্তির সাপেক্ষে পরিবর্তিত করা যায়। এই আলোচনার সূত্র ধরেই আমরা একটি সংজ্ঞায় উপনীত হয়েছি, যা ব্যাখ্যা করে যে ঠিক কোন পরিস্থিতিতে ম্যাট্রিক্সগুলো এই পদ্ধতিতে সমতুল্য হিসেবে বিবেচিত হয়। পরিশেষে আমরা লক্ষ্য করেছি যে, প্রারম্ভিক এবং প্রান্তিক ভিত্তিসমূহ (যা সম্ভবত ভিন্ন হতে পারে) সঠিকভাবে নির্বাচন করার মাধ্যমে যেকোনো লিনিয়ার ম্যাপ বা রৈখিক মানচিত্রকে ব্লক আংশিক-অভেদক আকারে (block partial-identity form) উপস্থাপন করা সম্ভব।

এই ধরনের উপস্থাপনার একটি চমৎকার দিক হলো এই যে, কোনো ম্যাপকে যখন এই আকারে প্রকাশ করা হয়, তখন আমরা এক অর্থে সেই ম্যাপটির প্রকৃতি সম্পূর্ণভাবে অনুধাবন করতে পারি: যদি ভিত্তিগুলো হয় $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ এবং $D=\langle {\vec {\delta }}_{1},\dots ,{\vec {\delta }}_{m}\rangle$ তবে ম্যাপটি নিম্নোক্তভাবে কাজ করে:

$c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\beta }}_{k}+c_{k+1}{\vec {\beta }}_{k+1}+\dots +c_{n}{\vec {\beta }}_{n}\;\longmapsto \;c_{1}{\vec {\delta }}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {\delta }}_{k}+{\vec {0}}+\dots +{\vec {0}}$

এখানে $k$ হলো ম্যাপটির র‍্যাঙ্ক বা পদমর্যাদা। এর মাধ্যমে আমরা যেকোনো লিনিয়ার ম্যাপকে এক ধরণের প্রক্ষেপণ বা প্রজেকশন (projection) হিসেবে বিবেচনা করতে পারি।

${\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\\c_{k+1}\\\vdots \\c_{n}\end{pmatrix}}_{B}\;\mapsto \;{\begin{pmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{k}\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}_{D}$

অবশ্যই, এই পদ্ধতিতে প্রকাশিত কোনো ম্যাপকে সঠিকভাবে "বোঝার" জন্য আমাদের $B$ এবং $D$ ভিত্তিদ্বয়ের মধ্যকার পারস্পরিক সম্পর্কটি অনুধাবন করা প্রয়োজন। তবে সেই জটিলতা থাকা সত্ত্বেও, লিনিয়ার ম্যাপ বা রৈখিক মানচিত্রসমূহের শ্রেণীবিন্যাসের ক্ষেত্রে এটি একটি অত্যন্ত কার্যকর ও চমৎকার পদ্ধতি হিসেবে গণ্য হয়।

অনুশীলনীসমূহ

সমস্যা ১

নিচে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সের জোড়াগুলো একে অপরের ম্যাট্রিক্স সমতুল্য (matrix equivalent) কি না, তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে নির্ধারণ করুন।

1. ${\begin{pmatrix}1&3&0\\2&3&0\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}2&2&1\\0&5&-1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&3\\1&1\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}4&0\\0&5\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}}$, ${\begin{pmatrix}1&3\\2&-6\end{pmatrix}}$

সমস্যা ২

নিচে বর্ণিত প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে তাদের নিজস্ব ম্যাট্রিক্স-সমতুল্যতা শ্রেণির (matrix-equivalence class) জন্য নির্ধারিত ক্যানোনিকাল প্রতিনিধি (canonical representative) খুঁজে বের করুন।

1. ${\begin{pmatrix}2&1&0\\4&2&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1&0&2\\1&1&0&4\\3&3&3&-1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৩

মনে করুন যে, নিচে বর্ণিত $B$ এবং $D$ ভিত্তিদ্বয়ের (bases) সাপেক্ষে $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ রৈখিক রূপান্তরটি (linear transformation) একটি নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়েছে। এখানে ভিত্তিগুলো হলো:

$B={\mathcal {E}}_{2}\qquad D=\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

এবং এই রূপান্তরটিকে নিচের ম্যাট্রিক্সটি দ্বারা উপস্থাপন করা হয়েছে:

${\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}$

ভিত্তি পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্সসমূহ (change of basis matrices) ব্যবহার করে প্রতিটি জোড়ার সাপেক্ষে রৈখিক রূপান্তর $t$-কে উপস্থাপন করুন।

1. ${\hat {B}}=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\rangle$, ${\hat {D}}=\langle {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\rangle$
2. ${\hat {B}}=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle$, ${\hat {D}}=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\rangle$

সমস্যা ৪

${\hat {H}}=PHQ$ সমীকরণটির ক্ষেত্রে $P$ এবং $Q$ ম্যাট্রিক্স দুটির আকার বা মাত্রা (size) কী হবে তা গাণিতিক যুক্তিসহ নির্ধারণ করুন।

সমস্যা ৫

উপপাদ্য ২.৬ (Theorem 2.6) ব্যবহার করে এটি প্রমাণ করুন যে, একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স (square matrix) তখনই নন-সিঙ্গুলার বা অ-ব্যতিক্রমী হবে যদি এবং কেবল যদি এটি একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স বা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের (identity matrix) সমতুল্য হয়।

সমস্যা ৬

প্রমাণ করুন যে, যেখানে $A$ একটি নন-সিঙ্গুলার বর্গাকার ম্যাট্রিক্স, যদি $P$ এবং $Q$ এমন দুটি নন-সিঙ্গুলার বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হয় যাতে $PAQ=I$ সম্পর্কটি বজায় থাকে, তবে অবশ্যই $QP=A^{-1}$ হবে।

সমস্যা ৭

উপপাদ্য ২.৬ (Theorem 2.6) কেন এটি প্রদর্শন করে না যে প্রতিটি ম্যাট্রিক্সই ডায়াগোনালাইজেবল বা কর্ণীকরণযোগ্য (উদাহরণ ২.২ Example 2.2 দ্রষ্টব্য)? ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা এবং সদৃশতার মধ্যকার পার্থক্যটি এখানে ব্যাখ্যা করুন।

সমস্যা ৮

ম্যাট্রিক্স সমতুল্য (matrix equivalent) এমন দুটি ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্সগুলোকেও কি অবশ্যই একে অপরের ম্যাট্রিক্স সমতুল্য হতে হবে? আপনার উত্তরের সপক্ষে যুক্তি দিন।

সমস্যা ৯

উপপাদ্য ২.৬-এর (Theorem 2.6) ক্ষেত্রে যদি $k=0$ হয়, তবে ফলাফলটি কী দাঁড়াবে বা এর তাৎপর্য কী হবে?

সমস্যা ১০

প্রমাণ করুন যে ম্যাট্রিক্স-সমতুল্যতা (matrix-equivalence) একটি সমতুল্য সম্পর্ক বা ইকুইভ্যালেন্স রিলেশন (equivalence relation)।

সমস্যা ১১

এটি প্রদর্শন করুন যে একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স (zero matrix) তার নিজস্ব ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণিতে (equivalence class) একাই অবস্থান করে। শূন্য ম্যাট্রিক্স ব্যতীত অন্য কোনো ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে কি এই একই বৈশিষ্ট্য লক্ষ্য করা যায়?

সমস্যা ১২

$\mathbb {R} ^{1}$ এবং $\mathbb {R} ^{3}$ ভেক্টর জগতের ওপর সংজ্ঞায়িত লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশনগুলোর ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণিগুলো (matrix equivalence classes) কী কী হতে পারে?

সমস্যা ১৩

গাণিতিকভাবে একটি নির্দিষ্ট মাত্রার ম্যাট্রিক্সের জন্য মোট কতগুলো ভিন্ন ভিন্ন ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণি থাকা সম্ভব?

সমস্যা ১৪

ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতা শ্রেণিগুলো কি স্কেলার গুণন (scalar multiplication) এবং যোগের (addition) ক্রিয়ার অধীনে আবদ্ধ বা ক্লোজড (closed)?

সমস্যা ১৫

ধরা যাক, $t:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ একটি লিনিয়ার ট্রান্সফরমেশন যা স্ট্যান্ডার্ড বেসিস ${\mathcal {E}}_{n},{\mathcal {E}}_{n}$-এর সাপেক্ষে $T$ ম্যাট্রিক্স দ্বারা উপস্থাপিত হয়।

1. নিচের এই নির্দিষ্ট ক্ষেত্রটির জন্য ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$ নির্ণয় করুন:

   $T={\begin{pmatrix}1&1\\3&-1\end{pmatrix}}\qquad B=\langle {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}\rangle$

2. যখন $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ হয়, তখন সেই সাধারণ ক্ষেত্রের প্রেক্ষাপটে ${\rm {Rep}}_{B,B}(t)$-এর একটি বিস্তারিত বর্ণনা প্রদান করুন।

সমস্যা ১৬

1. মনে করুন, $V$ ভেক্টর জগতের দুটি পৃথক ভিত্তি হলো $B_{1}$ এবং $B_{2}$ এবং আরও ধরে নিন যে, $W$ ভেক্টর জগতের ভিত্তি হলো $D$। এখন যদি একটি রৈখিক রূপান্তর $h:V\to W$ বিদ্যমান থাকে, তবে ${\rm {Rep}}_{B_{1},D}(h)$ থেকে ${\rm {Rep}}_{B_{2},D}(h)$ গণনা করার গাণিতিক সূত্রটি নির্ণয় করুন।
2. পূর্ববর্তী প্রশ্নটির পুনরাবৃত্তি করুন, তবে এক্ষেত্রে $V$ ভেক্টর জগতের জন্য একটি মাত্র ভিত্তি এবং $W$ ভেক্টর জগতের জন্য দুটি ভিন্ন ভিত্তি বিবেচনা করতে হবে।

সমস্যা ১৭

1. যদি দুটি ম্যাট্রিক্স পরস্পর ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য (matrix-equivalent) এবং বিপরীতযোগ্য (invertible) হয়, তবে তাদের বিপরীত ম্যাট্রিক্সগুলোও কি অবশ্যই ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হবে?
2. যদি দুটি ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সগুলো পরস্পর ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হয়, তবে মূল ম্যাট্রিক্স দুটিও কি অপরিহার্যভাবে ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হবে?
3. যদি দুটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স পরস্পর ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হয়, তবে তাদের বর্গসমূহও (squares) কি ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হতে বাধ্য?
4. যদি দুটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সের বর্গসমূহ পরস্পর ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হয়, তবে মূল ম্যাট্রিক্স দুটিও কি ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হবে?

সমস্যা ১৮

দুটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্সকে তখনই সদৃশ (similar) বলা হয়, যখন তারা একই রৈখিক রূপান্তরকে উপস্থাপন করে, তবে এক্ষেত্রে আদি এবং অন্তিম ভিত্তি উভয়ই অভিন্ন হতে হয়। অর্থাৎ, গাণিতিক পরিভাষায় বলতে গেলে, ${\rm {Rep}}_{B_{1},B_{1}}(t)$ ম্যাট্রিক্সটি ${\rm {Rep}}_{B_{2},B_{2}}(t)$ ম্যাট্রিক্সের সদৃশ।

1. সংজ্ঞা ২.৩-এ বর্ণিত ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতার সংজ্ঞার আদলে ম্যাট্রিক্স সদৃশতার একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা প্রদান করুন।
2. প্রমাণ করুন যে, সকল সদৃশ ম্যাট্রিক্সই প্রকৃতপক্ষে ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য।
3. প্রদর্শন করুন যে, ম্যাট্রিক্সের এই সদৃশতা ধর্মটি একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক (equivalence relation)।
4. এটি দেখান যে, যদি $T$ ম্যাট্রিক্সটি ${\hat {T}}$-এর সদৃশ হয়, তবে তাদের বর্গ $T^{2}$ এবং ${\hat {T}}^{2}$ ও পরস্পর সদৃশ হবে; একইভাবে তাদের ঘন (cubes) এবং উচ্চতর ঘাতসমূহও সদৃশ হবে। পূর্ববর্তী অনুশীলনীটির ফলাফলের সাথে এর বৈসাদৃশ্য লক্ষ্য করুন।
5. প্রমাণ করুন যে, এমন কিছু ম্যাট্রিক্সের অস্তিত্ব রয়েছে যারা পরস্পর ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য হওয়া সত্ত্বেও সদৃশ নয়।

সমাধান