রৈখিক বীজগণিত/গ্রাম-স্মিট অর্থোগোনালাইজেশন

রৈখিক বীজগণিত
← একটি রেখার ওপর অর্থোগোনাল প্রজেকশন	গ্রাম-স্মিট অর্থোগোনালাইজেশন	একটি সাবস্পেসের ওপর প্রজেকশন →

এই উপবিভাগটি ঐচ্ছিক। এর জন্য পূর্ববর্তী (যা নিজেও ঐচ্ছিক) উপবিভাগের বিষয়বস্তু জানা প্রয়োজন। এখানকার কাজগুলো কেবল পঞ্চম অধ্যায়ের শেষ দুটি বিভাগে প্রয়োজন হবে।

পূর্ববর্তী উপবিভাগ থেকে জানা যায় যে, $\vec{s}$ দ্বারা গঠিত রেখার ওপর প্রজেকশন বা অভিক্ষেপ নিলে একটি ভেক্টর $\vec{v}$ -কে দুটি অংশে বিভক্ত করা যায়:

\vec{v} = {proj}_{[\vec{s}]} (\vec{v}) + (\vec{v} - {proj}_{[\vec{s}]} (\vec{v}))

এই অংশ দুটি পরস্পর অর্থোগোনাল বা লম্ব হওয়ায় এরা "পরস্পরের ওপর কোনো প্রভাব ফেলে না"। আমরা এখন এই ধারণাটিকে আরও বিকশিত করব।

সংজ্ঞা ২.১

${\vec{v}}_{1}, \dots, {\vec{v}}_{k} \in ℝ^{n}$ ভেক্টরগুলোকে পরস্পর অর্থোগোনাল বলা হয় যখন তাদের যেকোনো দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হয়। অর্থাৎ, যদি $i \neq j$ হয়, তবে তাদের ডট গুণফল ${\vec{v}}_{i} \cdot {\vec{v}}_{j}$ শূন্য হবে।

উপপাদ্য ২.২: যদি একটি সেটের ${{\vec{v}}_{1}, \dots, {\vec{v}}_{k}} \subset ℝ^{n}$ ভেক্টরগুলো পরস্পর অর্থোগোনাল এবং অশুন্য হয়, তবে সেটটি লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট বা রৈখিকভাবে স্বাধীন।

প্রমাণ

একটি রৈখিক সম্পর্ক বিবেচনা করি: $c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2} + \dots + c_{k} {\vec{v}}_{k} = \vec{0}$ । যদি $i \in [1.. k]$ হয়, তবে সমীকরণের উভয় পাশে ${\vec{v}}_{i}$ দিয়ে ডট গুণ করে পাই:

\begin{matrix} {\vec{v}}_{i} \cdot (c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2} + \dots + c_{k} {\vec{v}}_{k}) & = {\vec{v}}_{i} \cdot \vec{0} \\ c_{i} \cdot ({\vec{v}}_{i} \cdot {\vec{v}}_{i}) & = 0 \end{matrix}

যেহেতু ${\vec{v}}_{i}$ একটি অশুন্য ভেক্টর, তাই উপরের সমীকরণটি দেখায় যে $c_{i}$ -এর মান অবশ্যই শূন্য হবে।

অনুসিদ্ধান্ত ২.৩: যদি একটি $k$ মাত্রার স্পেসের $k$ আকারের কোনো সাবসেটের ভেক্টরগুলো পরস্পর অর্থোগোনাল এবং অশুন্য হয়, তবে ওই সেটটি সেই স্পেসের একটি বেসিস (ভিত্তি)।

প্রমাণ

একটি $k$ মাত্রার স্পেসের যেকোনো লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট $k$ আকারের সাবসেটই একটি বেসিস।

অবশ্যই, অনুসিদ্ধান্ত ২.৩-এর বিপরীত বক্তব্যটি সত্য নয়। অর্থাৎ, $ℝ^{n}$ -এর প্রতিটি সাবস্পেসের সব বেসিসই পরস্পর অর্থোগোনাল ভেক্টর দিয়ে গঠিত হবে এমন কোনো কথা নেই। তবে আমরা এর একটি আংশিক বিপরীত উপপাদ্য পেতে পারি। সেটি হলো: $ℝ^{n}$ -এর প্রতিটি সাবস্পেসের জন্য অন্তত এমন একটি বেসিস পাওয়া সম্ভব, যা পরস্পর অর্থোগোনাল ভেক্টর দ্বারা গঠিত।

উদাহরণ ২.৪

$ℝ^{2}$ -এর এই বেসিসের সদস্য ${\vec{β}}_{1}$ এবং ${\vec{β}}_{2}$ পরস্পর অর্থোগোনাল নয়।

B = ⟨ (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) ⟩

যাইহোক, আমরা এই $B$ থেকে একই স্পেসের জন্য একটি নতুন বেসিস তৈরি করতে পারি যার সদস্যরা পরস্পর অর্থোগোনাল হবে। নতুন বেসিসের প্রথম সদস্য হিসেবে আমরা সরাসরি ${\vec{β}}_{1}$ -কে ব্যবহার করব।

{\vec{κ}}_{1} = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix})

নতুন বেসিসের দ্বিতীয় সদস্যটি পাওয়ার জন্য আমরা ${\vec{β}}_{2}$ থেকে ${\vec{κ}}_{1}$ -এর অভিমুখে থাকা অংশটিকে বাদ দেব।

{\vec{κ}}_{2} = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) - {proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} ((\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 \\ 2 \end{matrix})

এর ফলে ${\vec{β}}_{2}$ -এর বাকি অংশ হিসেবে আমরা ওপরে চিত্রে প্রদর্শিত ${\vec{κ}}_{2}$ ভেক্টরটি পাই, যা ${\vec{κ}}_{1}$ -এর ওপর লম্ব (এটি ${\vec{κ}}_{1}$ -এর স্প্যানের ওপর প্রজেকশনের সংজ্ঞামতেই অর্থোগোনাল)। অনুসিদ্ধান্ত অনুযায়ী, ${{\vec{κ}}_{1}, {\vec{κ}}_{2}}$ হলো $ℝ^{2}$ -এর একটি বেসিস।

সংজ্ঞা ২.৫

একটি ভেক্টর স্পেসের যে বেসিসের ভেক্টরগুলো পরস্পর অর্থোগোনাল, তাকে একটি অর্থোগোনাল বেসিস (লম্ব ভিত্তি) বলা হয়।

উদাহরণ ২.৬: $ℝ^{3}$ -এর এই বেসিসটিকে

⟨ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) ⟩

একটি অর্থোগোনাল বেসিসে রূপান্তর করার জন্য আমরা প্রথম ভেক্টরটিকে যেভাবে আছে সেভাবেই রাখব।

{\vec{κ}}_{1} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix})

প্রদত্ত দ্বিতীয় ভেক্টর ${\vec{β}}_{2}$ থেকে শুরু করে তার মধ্য থেকে ${\vec{κ}}_{1}$ -এর দিকের অংশটি বাদ দিয়ে আমরা ${\vec{κ}}_{2}$ পাব।

{\vec{κ}}_{2} = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) - {proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} ((\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 2 / 3 \\ 2 / 3 \\ 2 / 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 / 3 \\ 4 / 3 \\ - 2 / 3 \end{matrix})

সবশেষে, প্রদত্ত তৃতীয় ভেক্টরটি নিয়ে তার থেকে ${\vec{κ}}_{1}$ -এর দিকের অংশ এবং একই সাথে ${\vec{κ}}_{2}$ -এর দিকের অংশ বাদ দিয়ে আমরা ${\vec{κ}}_{3}$ পাব।

{\vec{κ}}_{3} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix}) - {proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})) - {proj}_{[{\vec{κ}}_{2}]} ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 3 \end{matrix})) = (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

আবারও অনুসিদ্ধান্তের সাহায্যে বলা যায় যে:

⟨ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 2 / 3 \\ 4 / 3 \\ - 2 / 3 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) ⟩

হলো এই স্পেসের একটি বেসিস।

পরবর্তী ফলাফলটি প্রমাণ করে যে, উদাহরণগুলোতে ব্যবহৃত এই প্রক্রিয়াটি $ℝ^{n}$ -এর যেকোনো সাবস্পেসের যেকোনো বেসিসের ক্ষেত্রেই কাজ করে (আমরা কেবল $ℝ^{n}$ -এর মধ্যেই সীমাবদ্ধ থাকছি কারণ আমরা অন্য ভেক্টর স্পেসের জন্য অর্থোগোনালিটির সংজ্ঞা এখানে দিইনি)।

উপপাদ্য ২.৭ (গ্রাম-শমিট অর্থোগোনালাইজেশন): যদি $⟨ {\vec{β}}_{1}, \dots {\vec{β}}_{k} ⟩$ কোনো একটি $ℝ^{n}$ সাবস্পেসের বেসিস হয়, তবে যেখানে—

\begin{matrix} {\vec{κ}}_{1} & = {\vec{β}}_{1} \\ {\vec{κ}}_{2} & = {\vec{β}}_{2} - {proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} ({\vec{β}}_{2}) \\ {\vec{κ}}_{3} & = {\vec{β}}_{3} - {proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} ({\vec{β}}_{3}) - {proj}_{[{\vec{κ}}_{2}]} ({\vec{β}}_{3}) \\ ⋮ \\ {\vec{κ}}_{k} & = {\vec{β}}_{k} - {proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} ({\vec{β}}_{k}) - \dots - {proj}_{[{\vec{κ}}_{k - 1}]} ({\vec{β}}_{k}) \end{matrix}

এই $\vec{κ}$ ভেক্টরগুলো একই সাবস্পেসের একটি অর্থোগোনাল বেসিস গঠন করবে।

প্রমাণ

আমরা গাণিতিক আরোহ বিধি ব্যবহার করে যাচাই করব যে প্রতিটি ${\vec{κ}}_{i}$ অশুন্য, এটি $⟨ {\vec{β}}_{1}, \dots {\vec{β}}_{i} ⟩$ -এর স্প্যানের মধ্যে অবস্থিত এবং এর পূর্ববর্তী সমস্ত ভেক্টরের ওপর লম্ব: ${\vec{κ}}_{1} \cdot {\vec{κ}}_{i} = \dots = {\vec{κ}}_{i - 1} \cdot {\vec{κ}}_{i} = 0$ । এর সাহায্যে এবং অনুসিদ্ধান্ত ২.৩ ব্যবহার করে আমরা দেখাতে পারব যে, $⟨ {\vec{κ}}_{1}, \dots {\vec{κ}}_{k} ⟩$ ভেক্টরগুলো $⟨ {\vec{β}}_{1}, \dots {\vec{β}}_{k} ⟩$ -এর মতো একই স্পেসের একটি বেসিস।

যুক্তিটির মূল ধারা বোঝার জন্য আমরা $i = 3$ পর্যন্ত কেসগুলো দেখাব। এর বাকি বিবরণ সম্পন্ন করার কাজটি সমস্যা ১৫-তে দেওয়া হয়েছে।

$i = 1$ কেসটি খুবই সাধারণ— ${\vec{κ}}_{1}$ -কে ${\vec{β}}_{1}$ -এর সমান ধরা হলে এটি একটি অশুন্য ভেক্টর হয়, কারণ ${\vec{β}}_{1}$ একটি বেসিসের সদস্য। এটি স্বাভাবিকভাবেই কাঙ্ক্ষিত স্প্যানের মধ্যে থাকে এবং "পূর্ববর্তী সকল ভেক্টরের ওপর লম্ব হওয়ার" শর্তটি এখানে স্বতঃসিদ্ধভাবে পূর্ণ হয়।

$i = 2$ কেসের জন্য ${\vec{κ}}_{2}$ -এর সংজ্ঞাটি বিস্তারিত রূপ লিখি:

{\vec{κ}}_{2} = {\vec{β}}_{2} - {proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} ({\vec{β}}_{2}) = {\vec{β}}_{2} - \frac{{\vec{β}}_{2} \cdot {\vec{κ}}_{1}}{{\vec{κ}}_{1} \cdot {\vec{κ}}_{1}} \cdot {\vec{κ}}_{1} = {\vec{β}}_{2} - \frac{{\vec{β}}_{2} \cdot {\vec{κ}}_{1}}{{\vec{κ}}_{1} \cdot {\vec{κ}}_{1}} \cdot {\vec{β}}_{1}

এই বিস্তারিত রূপটি দেখায় যে ${\vec{κ}}_{2}$ অবশ্যই অশুন্য, অন্যথায় এটি $\vec{β}$ ভেক্টরগুলোর মধ্যে একটি অশূন্য রৈখিক নির্ভরশীলতা তৈরি করত (এটি অশূন্য কারণ ${\vec{β}}_{2}$ -এর সহগ হলো $1$ )। এটি আরও দেখায় যে ${\vec{κ}}_{2}$ কাঙ্ক্ষিত স্প্যানের মধ্যেই রয়েছে। সবশেষে, একমাত্র পূর্ববর্তী ভেক্টরের সাথে ${\vec{κ}}_{2}$ অর্থোগোনাল:

{\vec{κ}}_{1} \cdot {\vec{κ}}_{2} = {\vec{κ}}_{1} \cdot ({\vec{β}}_{2} - {proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} ({\vec{β}}_{2})) = 0

কারণ এই প্রজেকশনটি অর্থোগোনাল বা লম্ব।

একটি বিবরণ ছাড়া $i = 3$ কেসটি $i = 2$ কেসের মতোই। $i = 2$ কেসের মতো সংজ্ঞাটি বিস্তারিত রূপ দিলে পাই:

\begin{matrix} {\vec{κ}}_{3} & = {\vec{β}}_{3} - \frac{{\vec{β}}_{3} \cdot {\vec{κ}}_{1}}{{\vec{κ}}_{1} \cdot {\vec{κ}}_{1}} \cdot {\vec{κ}}_{1} - \frac{{\vec{β}}_{3} \cdot {\vec{κ}}_{2}}{{\vec{κ}}_{2} \cdot {\vec{κ}}_{2}} \cdot {\vec{κ}}_{2} \\ = {\vec{β}}_{3} - \frac{{\vec{β}}_{3} \cdot {\vec{κ}}_{1}}{{\vec{κ}}_{1} \cdot {\vec{κ}}_{1}} \cdot {\vec{β}}_{1} - \frac{{\vec{β}}_{3} \cdot {\vec{κ}}_{2}}{{\vec{κ}}_{2} \cdot {\vec{κ}}_{2}} \cdot ({\vec{β}}_{2} - \frac{{\vec{β}}_{2} \cdot {\vec{κ}}_{1}}{{\vec{κ}}_{1} \cdot {\vec{κ}}_{1}} \cdot {\vec{β}}_{1}) \end{matrix}

এটি দেখায় যে ${\vec{κ}}_{3}$ অশুন্য এবং স্প্যানের মধ্যে রয়েছে। একটি গণনার মাধ্যমে দেখানো যায় যে ${\vec{κ}}_{3}$ তার পূর্ববর্তী ভেক্টর ${\vec{κ}}_{1}$ -এর ওপর লম্ব:

\begin{matrix} {\vec{κ}}_{1} \cdot {\vec{κ}}_{3} & = {\vec{κ}}_{1} \cdot ({\vec{β}}_{3} - {proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} ({\vec{β}}_{3}) - {proj}_{[{\vec{κ}}_{2}]} ({\vec{β}}_{3})) \\ = {\vec{κ}}_{1} \cdot ({\vec{β}}_{3} - {proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} ({\vec{β}}_{3})) - {\vec{κ}}_{1} \cdot {proj}_{[{\vec{κ}}_{2}]} ({\vec{β}}_{3}) \\ = 0 \end{matrix}

( $i = 2$ কেসের সাথে এখানেই পার্থক্য— দ্বিতীয় লাইনে দুই ধরনের পদ রয়েছে। প্রথম পদটি শূন্য কারণ এই প্রজেকশনটি অর্থোগোনাল, যা আমরা $i = 2$ কেসেও দেখেছি। দ্বিতীয় পদটি শূন্য কারণ ${\vec{κ}}_{1}$ ভেক্টরটি ${\vec{κ}}_{2}$ -এর ওপর লম্ব, ফলে এটি ${\vec{κ}}_{2}$ দ্বারা গঠিত রেখার যেকোনো ভেক্টরের ওপরও লম্ব হবে।) একইভাবে যাচাই করা যায় যে ${\vec{κ}}_{3}$ তার অপর পূর্ববর্তী ভেক্টর ${\vec{κ}}_{2}$ -এর ওপরও লম্ব।

বেসিসের ভেক্টরগুলোকে শুধু অর্থোগোনাল রাখাই শেষ কথা নয়, আমরা প্রতিটি ভেক্টরকে তার নিজস্ব দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করে তাদের দৈর্ঘ্য এক (১) একক করতে পারি (আমরা দৈর্ঘ্যকে নরমালাইজ বা প্রমিত করতে পারি)।

উদাহরণ ২.৮

উদাহরণ ২.৬-এর অর্থোগোনাল বেসিসের প্রতিটি ভেক্টরের দৈর্ঘ্য নরমালাইজ করলে এই অর্থোনরমাল বেসিস পাওয়া যায়।

⟨ (\begin{matrix} 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3} \\ 1 / \sqrt{3} \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 / \sqrt{6} \\ 2 / \sqrt{6} \\ - 1 / \sqrt{6} \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 / \sqrt{2} \\ 0 \\ 1 / \sqrt{2} \end{matrix}) ⟩

এর সহজ বোধ্যতা এবং $ℝ^{n}$ -এর স্ট্যান্ডার্ড বেসিস $ℰ_{n}$ -এর সাথে সাদৃশ্যের পাশাপাশি, একটি অর্থোনরমাল বেসিস কিছু গণনাকে অনেক সহজ করে দেয়। উদাহরণস্বরূপ, অনুশীলনী ৯ দেখতে পারেন।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

$ℝ^{2}$ -এর নিচের প্রতিটি বেসিসের ওপর গ্রাম-শমিট প্রক্রিয়া প্রয়োগ করুন।

$⟨ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) ⟩$
$⟨ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 3 \end{matrix}) ⟩$
$⟨ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \end{matrix}) ⟩$

তারপর এই অর্থোগোনাল বেসিসগুলোকে অর্থোনরমাল বেসিসে রূপান্তর করুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

$ℝ^{3}$ -এর নিচের প্রতিটি বেসিসের ওপর গ্রাম-শমিট প্রক্রিয়া প্রয়োগ করুন।

$⟨ (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) ⟩$
$⟨ (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{matrix}) ⟩$

তারপর এই অর্থোগোনাল বেসিসগুলোকে অর্থোনরমাল বেসিসে রূপান্তর করুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

$ℝ^{3}$ -এর এই সাবস্পেসটির জন্য একটি অর্থোনরমাল বেসিস নির্ণয় করুন: সমতল $x - y + z = 0$ ।

সমস্যা ৪

$ℝ^{4}$ -এর এই সাবস্পেসটির জন্য একটি অর্থোনরমাল বেসিস নির্ণয় করুন:

{(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) | x - y - z + w = 0 এবং x + z = 0}

সমস্যা ৫

প্রমাণ করুন যে, $ℝ^{n}$ -এর যেকোনো লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট সাবসেটকে তার স্প্যান পরিবর্তন না করেই অর্থোগোনালাইজ করা সম্ভব।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৬

ইতিমধ্যে অর্থোগোনাল এমন কোনো বেসিসের ওপর গ্রাম-শমিট প্রক্রিয়া প্রয়োগ করলে কী ঘটবে?

সমস্যা ৭

ধরি, $⟨ {\vec{κ}}_{1}, \dots, {\vec{κ}}_{k} ⟩$ হলো $ℝ^{n}$ -এর একগুচ্ছ পরস্পর অর্থোগোনাল ভেক্টর।

প্রমাণ করুন যে, স্পেসের যেকোনো ভেক্টর $\vec{v}$ -এর জন্য, $\vec{v} - ({proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} (\vec{v}) + \dots + {proj}_{[{\vec{v}}_{k}]} (\vec{v}))$ ভেক্টরটি ${\vec{κ}}_{1}$ , ..., ${\vec{κ}}_{k}$ -এর প্রতিটির ওপর লম্ব।
${\vec{κ}}_{1}$ হিসেবে পার্স করতে ব্যর্থ ('\e' অজানা ফাংশন): {\displaystyle \vec{\e}_1} , ${\vec{κ}}_{2}$ হিসেবে পার্স করতে ব্যর্থ ('\e' অজানা ফাংশন): {\displaystyle \vec{\e}_2} ব্যবহার করে এবং $\vec{v}$ -এর উপাংশ যথাক্রমে $1$ , $2$ , ও $3$ নিয়ে $ℝ^{3}$ -এ পূর্ববর্তী বিষয়টি প্রদর্শন করুন।
দেখান যে, ${proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} (\vec{v}) + \dots + {proj}_{[{\vec{v}}_{k}]} (\vec{v}) $$ হলো $\vec{κ}$ ভেক্টরগুলোর স্প্যানের মধ্যে থাকা এমন একটি ভেক্টর যা পার্স করতে ব্যর্থ ('\v' অজানা ফাংশন): {\displaystyle \vec{\v}} -এর সবচেয়ে নিকটবর্তী। ইঙ্গিত: পূর্ববর্তী অংশের প্রদর্শনের সাথে একটি ভেক্টর $d_{1} {\vec{κ}}_{1} + d_{2} {\vec{κ}}_{2}$ যোগ করুন এবং উৎপন্ন ত্রিভুজে পিথাগোরাসের উপপাদ্য প্রয়োগ করুন।

সমস্যা ৮

$ℝ^{3}$ -এর এমন একটি ভেক্টর নির্ণয় করুন যা নিচের দুটি ভেক্টরের প্রতিটির ওপর লম্ব:

(\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix})

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৯: অর্থোগোনাল বেসিসের একটি সুবিধা হলো, এরা কোনো বেসিসের সাপেক্ষে একটি ভেক্টরের রিপ্রেজেন্টেশন বা প্রকাশ নির্ণয়ের কাজকে সহজ করে দেয়।

$ℝ^{2}$ -এর এই ভেক্টর এবং এই নন-অর্থোগোনাল বেসিসের জন্য—
$\vec{v} = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \end{matrix}) B = ⟨ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) ⟩$
প্রথমে বেসিসের সাপেক্ষে ভেক্টরটিকে প্রকাশ করুন। তারপর প্রতিটি বেসিস ভেক্টর $[{\vec{β}}_{1}]$ এবং $[{\vec{β}}_{2}]$ -এর স্প্যানের ওপর ভেক্টরটির প্রজেকশন নির্ণয় করুন।
$ℝ^{2}$ -এর এই অর্থোগোনাল বেসিসের সাহায্যে—
$K = ⟨ (\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ - 1 \end{matrix}) ⟩$
একই ভেক্টর $\vec{v}$ -কে এই বেসিসের সাপেক্ষে প্রকাশ করুন। তারপর প্রতিটি বেসিস ভেক্টরের স্প্যানের ওপর ভেক্টরটির প্রজেকশন নির্ণয় করুন। লক্ষ্য করুন যে প্রকাশের সহগ এবং প্রজেকশনের সহগ একই আসছে।
ধরি, $K = ⟨ {\vec{κ}}_{1}, \dots, {\vec{κ}}_{k} ⟩$ হলো $ℝ^{n}$ -এর কোনো একটি সাবস্পেসের অর্থোগোনাল বেসিস। প্রমাণ করুন যে সাবস্পেসের যেকোনো ভেক্টর $\vec{v}$ -এর জন্য, ${R e p}_{K} (\vec{v})$ প্রকাশের $i$ -তম উপাংশটি হলো ${proj}_{[{\vec{κ}}_{i}]} (\vec{v})$ থেকে প্রাপ্ত স্কেলার সহগ <math定>(\vec{v}\cdot\vec{\kappa}_i)/(\vec{\kappa}_i\cdot\vec{\kappa}_i)</math>।
প্রমাণ করুন যে, $\vec{v} = {proj}_{[{\vec{κ}}_{1}]} (\vec{v}) + \dots + {proj}_{[{\vec{κ}}_{k}]} (\vec{v})$ ।

সমস্যা ১০

বেসেলের অসমতা। নিচের অর্থোনরমাল সেটগুলো বিবেচনা করুন:

B_{1} = {{\vec{e}}_{1}} B_{2} = {{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}} B_{3} = {{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}} B_{4} = {{\vec{e}}_{1}, {\vec{e}}_{2}, {\vec{e}}_{3}, {\vec{e}}_{4}}

এর সাথে $\vec{v} \in ℝ^{4}$ ভেক্টরটি নিন যার উপাংশগুলো হলো $4$ , $3$ , $2$ , এবং $1$ ।

$B_{1}$ -এ থাকা ভেক্টরের স্প্যানের ওপর $\vec{v}$ -এর প্রজেকশনের সহগ $c_{1}$ নির্ণয় করুন। যাচাই করুন যে $| \vec{v} |^{2} \geq | c_{1} |^{2}$ হয়।
$B_{2}$ -এর ভেক্টর দুটির স্প্যানের ওপর $\vec{v}$ -এর প্রজেকশনের সহগ $c_{1}$ এবং $c_{2}$ নির্ণয় করুন। যাচাই করুন যে $| \vec{v} |^{2} \geq | c_{1} |^{2} + | c_{2} |^{2}$ হয়।
$B_{3}$ -এর ভেক্টরগুলোর সাথে সংশ্লিষ্ট সহগ $c_{1}$ , $c_{2}$ , ও $c_{3}$ এবং $B_{4}$ -এর ভেক্টরগুলোর জন্য $c_{1}$ , $c_{2}$ , $c_{3}$ , ও $c_{4}$ নির্ণয় করুন। যাচাই করুন যে $| \vec{v} |^{2} \geq | c_{1} |^{2} + \dots + | c_{3} |^{2}$ এবং $| \vec{v} |^{2} \geq | c_{1} |^{2} + \dots + | c_{4} |^{2}$ হয়।

প্রমাণ করুন যে এটি সাধারণভাবে সত্য: যেখানে ${{\vec{κ}}_{1}, \dots, {\vec{κ}}_{k}}$ একটি অর্থোনরমাল সেট এবং স্পেস থেকে নেওয়া একটি ভেক্টর $\vec{v}$ -এর প্রজেকশনের সহগ হলো $c_{i}$ , তখন $| \vec{v} |^{2} \geq | c_{1} |^{2} + \dots + | c_{k} |^{2}$ হবে। ইঙ্গিত: একটি উপায় হলো $0 \leq | \vec{v} - (c_{1} {\vec{κ}}_{1} + \dots + c_{k} {\vec{κ}}_{k}) |^{2}$ অসমতাটি দেখা এবং $c$ সহগগুলোকে বিস্তারিত রূপে লেখা।

সমস্যা ১১

প্রমাণ বা অপ্রমাণ করুন: $ℝ^{n}$ -এর প্রতিটি ভেক্টরই কোনো না কোনো অর্থোগোনাল বেসিসের অন্তর্ভুক্ত থাকে।

সমস্যা ১২

দেখাও যে একটি $n \times n$ ম্যাট্রিক্সের কলামগুলো একটি অর্থোনরমাল সেট গঠন করবে যদি এবং কেবল যদি ম্যাট্রিক্সটির ইনভার্স (বিপরীত ম্যাট্রিক্স) তার ট্রান্সপোজের সমান হয়। এমন একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করুন।

সমস্যা ১৩

উপপাদ্য ২.২-এর প্রমাণটি কি ভেক্টরের সেটটি ফাঁকা হওয়ার (অর্থাৎ, $k = 0$ হওয়ার) সম্ভাবনাটি বিবেচনা করতে ব্যর্থ হয়েছে?

সমস্যা ১৪

উপপাদ্য ২.৭-এ যেকোনো বেসিস $B = ⟨ {\vec{β}}_{1}, \dots, {\vec{β}}_{k} ⟩$ থেকে একটি অর্থোগোনাল বেসিস $K = ⟨ {\vec{κ}}_{1}, \dots, {\vec{κ}}_{k} ⟩$ -এ রূপান্তরের বেসিস পরিবর্তন বর্ণনা করা হয়েছে। বেসিস পরিবর্তনের ম্যাট্রিক্স ${R e p}_{B, K} (id)$ বিবেচনা করুন।

প্রমাণ করুন যে, উপপাদ্যের বিপরীত দিকে বেসিস পরিবর্তনকারী ম্যাট্রিক্স ${R e p}_{K, B} (id)$ -এর আকার আপার ট্রায়াঙ্গুলার অর্থাৎ এর প্রধান কর্ণের নিচের সমস্ত ভুক্তি শূন্য।
প্রমাণ করুন যে একটি আপার ট্রায়াঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স ম্যাট্রিক্সও আপার ট্রায়াঙ্গুলার হয় (যদি ম্যাট্রিক্সটি ইনভার্টিবল হয়)। এটি দেখায় যে উপপাদ্যে বর্ণিত দিকে বেসিস পরিবর্তনকারী ম্যাট্রিক্স ${R e p}_{B, K} (id)$ -ও আপার ট্রায়াঙ্গুলার।

সমস্যা ১৫: উপপাদ্য ২.৭-এর প্রমাণের গাণিতিক আরোহ বিধির যুক্তিটি সম্পূর্ণ করুন।

Solutions

রৈখিক বীজগণিত
← একটি রেখার ওপর অর্থোগোনাল প্রজেকশন	গ্রাম-স্মিট অর্থোগোনালাইজেশন	একটি সাবস্পেসের ওপর প্রজেকশন →