রৈখিক বীজগণিত/গাউস-জর্ডান রিডাকশন/সমাধান

সমাধান

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

গাউস-জর্ডান রিডাকশন ব্যবহার করে প্রতিটি সমীকরণ জোট সমাধান করুন।

1. $\begin{array}{ccccc}x& +& y& =& 2\\ x& -& y& =& 0\end{array}$
2. $\begin{array}{ccccccc}x& & & -& z& =& 4\\ 2x& +& 2y& & & =& 1\end{array}$
3. $\begin{array}{ccccc}3x& -& 2y& =& 1\\ 6x& +& y& =& 1/2\end{array}$
4. $\begin{array}{ccccccc}2x& -& y& & & =& -1\\ x& +& 3y& -& z& =& 5\\ & & y& +& 2z& =& 5\end{array}$

উত্তর

এই উত্তরগুলোতে কেবল গাউস-জর্ডান রিডাকশন প্রক্রিয়াটি দেখানো হয়েছে। এর সাহায্যে সমাধান সেটটি বর্ণনা করা খুবই সহজ।

1. $\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 1& -1& 0\end{array}\right)\underset{}{\overset{-{\rho }_1+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& -2& -2\end{array}\right)\underset{}{\overset{-(1/2){\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 2\\ 0& 1& 1\end{array}\right)\underset{}{\overset{-{\rho }_2+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 4\\ 2& 2& 0& 1\end{array}\right)\underset{}{\overset{-2{\rho }_1+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 4\\ 0& 2& 2& -7\end{array}\right)\underset{}{\overset{(1/2){\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 4\\ 0& 1& 1& -7/2\end{array}\right)$

3. $\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 6& 1& 1/2\end{array}\right)\underset{}{\overset{-2{\rho }_1+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}3& -2& 1\\ 0& 5& -3/2\end{array}\right)\underset{(1/5){\rho }_2}{\overset{(1/3){\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& -2/3& 1/3\\ 0& 1& -3/10\end{array}\right)\underset{}{\overset{(2/3){\rho }_2+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2/15\\ 0& 1& -3/10\end{array}\right)$

4. এখানে একটি সারি অদলবদল করলে হিসাব-নিকাশ সহজ হয়।

   $\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& -1\\ 1& 3& -1& 5\\ 0& 1& 2& 5\end{array}\right)\underset{}{\overset{-(1/2){\rho }_1+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& -1\\ 0& 7/2& -1& 11/2\\ 0& 1& 2& 5\end{array}\right)\underset{}{\overset{{\rho }_2\leftrightarrow {\rho }_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& -1\\ 0& 1& 2& 5\\ 0& 7/2& -1& 11/2\end{array}\right)$

   $\begin{array}{cc}& \underset{}{\overset{-(7/2){\rho }_2+{\rho }_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}2& -1& 0& -1\\ 0& 1& 2& 5\\ 0& 0& -8& -12\end{array}\right)\underset{-(1/8){\rho }_2}{\overset{(1/2){\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& -1/2& 0& -1/2\\ 0& 1& 2& 5\\ 0& 0& 1& 3/2\end{array}\right)\\ & \underset{}{\overset{-2{\rho }_3+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& -1/2& 0& -1/2\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3/2\end{array}\right)\underset{}{\overset{(1/2){\rho }_2+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 1/2\\ 0& 1& 0& 2\\ 0& 0& 1& 3/2\end{array}\right)\end{array}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের রিডিউসড একিলন ফর্ম নির্ণয় করুন।

1. $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 2& 0& 4\\ -1& -3& -3\end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 1& 2\\ 1& 4& 2& 1& 5\\ 3& 4& 8& 1& 2\end{array}\right)$
4. $\left(\begin{array}{cccc}0& 1& 3& 2\\ 0& 0& 5& 6\\ 1& 5& 1& 5\end{array}\right)$

উত্তর

গাউস-জর্ডান রিডাকশন ব্যবহার করে পাই:

1. $\underset{}{\overset{-(1/2){\rho }_1+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 0& 5/2\end{array}\right)\underset{(2/5){\rho }_2}{\overset{(1/2){\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 0& 1\end{array}\right)\underset{}{\overset{-(1/2){\rho }_2+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
2. $\underset{{\rho }_1+{\rho }_3}{\overset{-2{\rho }_1+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 0& -6& 2\\ 0& 0& -2\end{array}\right)\underset{-(1/2){\rho }_3}{\overset{-(1/6){\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 1\\ 0& 1& -1/3\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\underset{-{\rho }_3+{\rho }_1}{\overset{(1/3){\rho }_3+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& 3& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\underset{}{\overset{-3{\rho }_2+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

3. $\underset{-3{\rho }_1+{\rho }_3}{\overset{-{\rho }_1+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 1& 2\\ 0& 4& -1& 0& 3\\ 0& 4& -1& -2& -4\end{array}\right)\underset{}{\overset{-{\rho }_2+{\rho }_3}{\to }}\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 1& 2\\ 0& 4& -1& 0& 3\\ 0& 0& 0& -2& -7\end{array}\right)$

   $\underset{-(1/2){\rho }_3}{\overset{(1/4){\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 1& 2\\ 0& 1& -1/4& 0& 3/4\\ 0& 0& 0& 1& 7/2\end{array}\right)\underset{}{\overset{-{\rho }_3+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 3& 0& -3/2\\ 0& 1& -1/4& 0& 3/4\\ 0& 0& 0& 1& 7/2\end{array}\right)$

4. $\underset{}{\overset{{\rho }_1\leftrightarrow {\rho }_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 5& 1& 5\\ 0& 0& 5& 6\\ 0& 1& 3& 2\end{array}\right)\underset{}{\overset{{\rho }_2\leftrightarrow {\rho }_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 5& 1& 5\\ 0& 1& 3& 2\\ 0& 0& 5& 6\end{array}\right)\underset{}{\overset{(1/5){\rho }_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 5& 1& 5\\ 0& 1& 3& 2\\ 0& 0& 1& 6/5\end{array}\right)$

   $\underset{-{\rho }_3+{\rho }_1}{\overset{-3{\rho }_3+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 5& 0& 19/5\\ 0& 1& 0& -8/5\\ 0& 0& 1& 6/5\end{array}\right)\underset{}{\overset{-5{\rho }_2+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 59/5\\ 0& 1& 0& -8/5\\ 0& 0& 1& 6/5\end{array}\right)$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

গাউস-জর্ডান রিডাকশন ব্যবহার করে প্রতিটি সমীকরণ জোটের সমাধান সেট নির্ণয় করুন, তারপর সেখান থেকে প্যারামেট্রাইজেশনটি চিহ্নিত করুন।

1. $\begin{array}{ccccccc}2x& +& y& -& z& =& 1\\ 4x& -& y& & & =& 3\end{array}$
2. $\begin{array}{ccccccccc}x& & & -& z& & & =& 1\\ & & y& +& 2z& -& w& =& 3\\ x& +& 2y& +& 3z& -& w& =& 7\end{array}$
3. $\begin{array}{ccccccccc}x& -& y& +& z& & & =& 0\\ & & y& & & +& w& =& 0\\ 3x& -& 2y& +& 3z& +& w& =& 0\\ & & -y& & & -& w& =& 0\end{array}$
4. $\begin{array}{ccccccccccc}a& +& 2b& +& 3c& +& d& -& e& =& 1\\ 3a& -& b& +& c& +& d& +& e& =& 3\end{array}$

উত্তর

ধাপগুলোর "গাউস"

অংশের জন্য সমস্যা ১.২.৫ উত্তরগুলো দেখতে পারেন।

1. "জর্ডান" অংশের ধাপগুলো নিচে দেওয়া হলো:

   $\underset{-(1/3){\rho }_2}{\overset{(1/2){\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 1/2& -1/2& 1/2\\ 0& 1& -2/3& -1/3\end{array}\right)\underset{}{\overset{-(1/2){\rho }_2+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}1& 0& -1/6& 2/3\\ 0& 1& -2/3& -1/3\end{array}\right)$

   সমাধান সেটটি হলো:

   $\{\left(\begin{array}{c}2/3\\ -1/3\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1/6\\ 2/3\\ 1\end{array}\right)z|z\in ℝ\}$

2. দ্বিতীয় অংশটি হলো:

   $\underset{}{\overset{{\rho }_3+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& -1& 0& 1\\ 0& 1& 2& 0& 3\\ 0& 0& 0& 1& 0\end{array}\right)$

   সুতরাং সমাধানটি নিচে দেওয়া হলো:

   $\{\left(\begin{array}{c}1\\ 3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}1\\ -2\\ 1\\ 0\end{array}\right)z|z\in ℝ\}$

3. জর্ডান অংশের এই ধাপগুলো:

   $\underset{}{\overset{{\rho }_2+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& 1& 1& 0\\ 0& 1& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$

   এর থেকে পাওয়া যায়:

   $\{\left(\begin{array}{c}0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)z+\left(\begin{array}{c}-1\\ -1\\ 0\\ 1\end{array}\right)w|z,w\in ℝ\}$

   (অবশ্যই, বর্ণনায় শূন্য ভেক্টরটি বাদ দেওয়া যেতে পারে)।
4. জর্ডান অংশের ধাপগুলো:

   $\underset{}{\overset{-(1/7){\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccccc}1& 2& 3& 1& -1& 1\\ 0& 1& 8/7& 2/7& -4/7& 0\end{array}\right)\underset{}{\overset{-2{\rho }_2+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& 5/7& 3/7& 1/7& 1\\ 0& 1& 8/7& 2/7& -4/7& 0\end{array}\right)$

   এর থেকে এই সমাধান সেটটি পাওয়া যায়:

   $\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}-5/7\\ -8/7\\ 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)c+\left(\begin{array}{c}-3/7\\ -2/7\\ 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)d+\left(\begin{array}{c}-1/7\\ 4/7\\ 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)e|c,d,e\in ℝ\}$

সমস্যা ৪

এই ম্যাট্রিক্সটির দুটি ভিন্ন একিলন ফর্ম রূপ দেখান।

$\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 3\\ 6& 4& 1& 2\\ 1& 5& 1& 5\end{array}\right)$

উত্তর

সাধারণ গাউস পদ্ধতি প্রয়োগ করে একটি রূপ পাওয়া যায়:

$\underset{-(1/2){\rho }_1+{\rho }_3}{\overset{-3{\rho }_1+{\rho }_2}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 3\\ 0& 1& -2& -7\\ 0& 9/2& 1/2& 7/2\end{array}\right)\underset{}{\overset{-(9/2){\rho }_2+{\rho }_3}{\to }}\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 3\\ 0& 1& -2& -7\\ 0& 0& 19/2& 35\end{array}\right)$

এবং বাহ্যিক যেকোনো পরিবর্তন যেমন একদম নিচের সারিটিকে $2$ দিয়ে গুণ করলে:

$\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 1& 3\\ 0& 1& -2& -7\\ 0& 0& 19& 70\end{array}\right)$

আরেকটি রূপ পাওয়া যায়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৫

নিচের প্রতিটি আকারের ম্যাট্রিক্সের জন্য সম্ভাব্য রিডিউসড একিলন ফর্মগুলোর তালিকা তৈরি করুন।

1. $2\times 2$
2. $2\times 3$
3. $3\times 2$
4. $3\times 3$

উত্তর

নিচে তালিকাভুক্ত ক্ষেত্রগুলোতে আমরা $a,b\in ℝ$ ধরে নিয়েছি। এই কারণে, তালিকায় থাকা কিছু ক্যানোনিকাল ফর্ম মূলত অসংখ্য কেস বা ক্ষেত্রকে অন্তর্ভুক্ত করে। বিশেষ করে, এর মধ্যে $a=0$ এবং $b=0$ কেসগুলোও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে।

1. $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& a\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& 1& b\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}1& a\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\\ 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$
4. $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}1& a& b\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& a\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 1\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& a\\ 0& 1& b\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}1& a& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$, $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৬

একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের ওপর গাউস-জর্ডান রিডাকশন প্রয়োগ করলে কী ফলাফল পাওয়া যায়?

উত্তর

একটি নন-সিঙ্গুলার সমজাতীয় রৈখিক সমীকরণ জোটের একটি অনন্য সমাধান থাকে। তাই একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স অবশ্যই এমন একটি (বর্গাকার) ম্যাট্রিক্সে রূপান্তরিত হবে যার প্রধান কর্ণ বরাবর (উপরের-বাম থেকে নিচের-ডান পর্যন্ত) সবগুলো ভুক্তি $1$ এবং বাকি সমস্ত ভুক্তি $0$ হবে, যেমন—

$\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),\text{অথবা}\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\text{ইত্যাদি।}$

সমস্যা ৭

লেমা ৪-এর প্রমাণে সারি পিভটিং অপারেশনের ওপর $i\ne j$ শর্তটির উল্লেখ রয়েছে।

1. সারি অপারেশনের সংজ্ঞায় সারি অদলবদল অপারেশন ${\rho }_i\leftrightarrow {\rho }_j$-এর ওপর একটি $i\ne j$ শর্ত থাকে। দেখান যে— $A\underset{}{\overset{{\rho }_i\leftrightarrow {\rho }_j}{\to }}\underset{}{\overset{{\rho }_i\leftrightarrow {\rho }_j}{\to }}A$ এই ক্ষেত্রে ওই শর্তটির কোনো প্রয়োজন নেই।
2. অশূন্য ভুক্তিযুক্ত একটি $2\times 2$ ম্যাট্রিক্স লিখুন এবং দেখান যে, $-1\cdot {\rho }_1+{\rho }_1$ অপারেশনটি $1\cdot {\rho }_1+{\rho }_1$ দ্বারা বিপরীতমুখী বা পূর্বাবস্থায় ফিরিয়ে আনা যায় না।
3. ওই লেমার প্রমাণটিকে আরও বিস্তারিতভাবে লিখুন যাতে ঠিক কোন জায়গায় পিভটিংয়ের ওপর $i\ne j$ শর্তটি ব্যবহৃত হয়েছে তা স্পষ্টভাবে বোঝা যায়।

উত্তর

1. ${\rho }_i\leftrightarrow {\rho }_i$ অপারেশনটি $A$-এর কোনো পরিবর্তন করে না।
2. উদাহরণস্বরূপ:

   $\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)\underset{}{\overset{-{\rho }_1+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 3& 4\end{array}\right)\underset{}{\overset{{\rho }_1+{\rho }_1}{\to }}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 3& 4\end{array}\right)$

   ম্যাট্রিক্সটিকে পরিবর্তিত অবস্থাতেই রেখে দেয়।
3. যদি $i\ne j$ হয়, তবে:

   $\begin{array}{ccc}\left(\begin{array}{c}⋮\\ a_{i,1}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮\\ a_{j,1}& \cdots & a_{j,n}\\ ⋮\end{array}\right)& \underset{}{\overset{k{\rho }_i+{\rho }_j}{\to }}& \left(\begin{array}{c}⋮\\ a_{i,1}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮\\ k{a}_{i,1}+a_{j,1}& \cdots & k{a}_{i,n}+a_{j,n}\\ ⋮\end{array}\right)\\ & \underset{}{\overset{-k{\rho }_i+{\rho }_j}{\to }}& \left(\begin{array}{c}⋮\\ a_{i,1}& \cdots & a_{i,n}\\ ⋮\\ -k{a}_{i,1}+k{a}_{i,1}+a_{j,1}& \cdots & -k{a}_{i,n}+k{a}_{i,n}+a_{j,n}\\ ⋮\end{array}\right)\end{array}$

   প্রকৃতপক্ষেই মূল ম্যাট্রিক্স $A$-কে ফিরিয়ে দেয়। (অবশ্যই, যদি $i=j$ হতো, তবে তৃতীয় ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলোর আকার হতো $-k(k{a}_{i,j}+a_{i,j})+k{a}_{i,j}+a_{i,j}$।)