রৈখিক বীজগণিত/ক্র্যামারের নিয়ম

ক্র্যামারের নিয়ম

নিচের রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থাটি সমাধান করার চেষ্টা করি:
a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃+...+a_1nx_n=b₁
a₂₁x₁+a₂₂x₂+a₂₃x₃+...+a_2nx_n=b₂
a₃₁x₁+a₃₂x₂+a₃₃x₃+...+a_3nx_n=b₃
...
a_n1x₁+a_n2x₂+a_n3x₃+...+a_nnx_n=b_n

এটি সেই বিশেষ ক্ষেত্র যেখানে সমীকরণের সংখ্যা এবং চলকের সংখ্যা সমান।

নিচের ম্যাট্রিক্সটি বিবেচনা করি:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}$

যাকে D দ্বারা চিহ্নিত করা হয়।

প্রথমে, আমরা j তম কলামের সহগুণক Co(a_nj) দিয়ে n তম সমীকরণটিকে গুণ করি এবং সবগুলোকে একত্রে যোগ করি। এর ফলে আমরা পাই:

Co(a_1j)a₁₁x₁+Co(a_1j)a₁₂x₂+Co(a_1j)a₁₃x₃+...+Co(a_1j)a_1nx_n+
Co(a_2j)a₂₁x₁+Co(a_2j)a₂₂x₂+Co(a_2j)a₂₃x₃+...+Co(a_2j)a_2nx_n+
Co(a_3j)a₃₁x₁+Co(a_3j)a₃₂x₂+Co(a_3j)a₃₃x₃+...+Co(a_3j)a_3nx_n+
+...+
Co(a_nj)a_n1x₁+Co(a_nj)a_n2x₂+Co(a_nj)a_n3x₃+...+Co(a_nj)a_nnx_n
=
Co(a_1j)b₁+Co(a_2j)b₂+Co(a_3j)b₃+...+Co(a_nj)b_n.

বাম পাশটি Co(a_1j)a_1jx_j+Co(a_2j)a_2jx_j+Co(a_3j)a_3jx_j+...+Co(a_nj)a_njx_j ব্যতীত বাকি সব পদের জন্য কাটাকাটি হয়ে যায়।

যা মূলত নিচের সমান: $x_{j}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}=x_{j}D$

এবং ডান পাশটি নিচের সমান:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &b_{1}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &b_{2}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &b_{3}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &b_{n}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}$ যাকে D(j) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি মূলত D এর মতোই কেবল এর j তম কলামটি b_k দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে।

D দিয়ে ভাগ করলে আমরা পাই, x_j = ${\frac {D_{j}}{D}}$।

এই সূত্রটিকে ক্র্যামারের নিয়ম বলা হয় এবং যখন D এর মান 0 এর সমান হয় না। তখনই কেবল এই সমাধানটি বিদ্যমান থাকে।

বিশেষভাবে, এই সমাধানটি খুঁজে বের করার প্রক্রিয়ায় আমরা এটিও দেখতে পাই যে এটিই একমাত্র সমাধান, তাই এই সমাধানটি অনন্য।

উদাহরণ

নিচের রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থাটি বিবেচনা করুন:
$3x_{1}+2x_{2}-5x_{3}=15$
$5x_{1}+x_{3}=23$
$x_{2}+x_{3}=12$

ধরা যাক, আমরা কেবল $x_{2}$ এর সমাধান বের করতে চাই। সেক্ষেত্রে আমরা ক্র্যামারের নিয়ম প্রয়োগ করে পাই যে এর সমাধান হবে ${\frac {D_{2}}{D}}$। যেহেতু আমরা জানি—
$D_{2}={\begin{bmatrix}3&15&-5\\5&23&1\\0&12&1\end{bmatrix}}$,
তাই, $x_{2}={\frac {\det {\begin{bmatrix}3&15&-5\\5&23&1\\0&12&1\end{bmatrix}}}{\det {\begin{bmatrix}3&2&-5\\5&0&1\\0&1&1\end{bmatrix}}}}=9$।