রৈখিক বীজগণিত/কোশেন্ট স্পেস বা ভাগফল জগত

সংজ্ঞা

ধরি, $F$ ফিল্ডের ওপর $V$ একটি ভেক্টর স্পেস বা জগত এবং $H$ সেটির একটি সাবস্পেস। এবার এমন একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক সংজ্ঞায়িত করি যেখানে $V$-এর অন্তর্ভুক্ত দুটি উপাদান $x$ এবং $y$ তখনই সমতুল্য হবে যখন $𝐱-𝐲$ হবে $H$-এর একটি উপাদান। যদি $𝐱$ উপাদানটি $X$ শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত হয় এবং $𝐲$ উপাদানটি $Y$শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত হয়, তবে দুটি সমতুল্য শ্রেণি $X$ এবং $Y$-এর যোগফলকে এমন একটি সমতুল্য শ্রেণি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার মধ্যে $𝐱+𝐲$ বিদ্যমান থাকে। একইভাবে, $aX$ স্কেলার গুণিতককে (যেখানে $a$ হলো $F$-এর একটি উপাদান) এমন একটি সমতুল্য শ্রেণি হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যার মধ্যে $a𝐱$ বিদ্যমান থাকে, যখন $𝐱$ হলো $X$-এর একটি উপাদান।

এই যোগফলটি সুসংজ্ঞায়িত, কারণ যদি ${𝐱}_{\mathrm{𝟏}}$ ও ${𝐱}_{\mathrm{𝟐}}$ উপাদান দুটি $X$-এর অন্তর্ভুক্ত হয় এবং ${𝐲}_{\mathrm{𝟏}}$ ও ${𝐲}_{\mathrm{𝟐}}$ উপাদান দুটি $Y$এর অন্তর্ভুক্ত হয়, তবে:

$({𝐱}_{\mathrm{𝟏}}+{𝐲}_{\mathrm{𝟏}})-({𝐱}_{\mathrm{𝟐}}+{𝐲}_{\mathrm{𝟐}})=({𝐱}_{\mathrm{𝟏}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟐}})+({𝐲}_{\mathrm{𝟏}}-{𝐲}_{\mathrm{𝟐}})$

যা $H$-এর একটি উপাদান; সুতরাং তাদের যোগফলগুলো সমতুল্য।

স্কেলার গুণিতকগুলোও সুসংজ্ঞায়িত, কারণ যদি ${𝐱}_{\mathrm{𝟏}}$ ও ${𝐱}_{\mathrm{𝟐}}$ উপাদান দুটি $X$-এর অন্তর্ভুক্ত হয় এবং $a$ যদি $F$-এর একটি উপাদান হয়, তবে:

$a{𝐱}_{\mathrm{𝟏}}-a{𝐱}_{\mathrm{𝟐}}=a({𝐱}_{\mathrm{𝟏}}-{𝐱}_{\mathrm{𝟐}})$

যা $H$-এর একটি উপাদান; সুতরাং এরা সমতুল্য।

ধরি, $X$, $Y$ এবং $Z$ হলো সমতুল্য শ্রেণি এবং $𝐱\in X$, $𝐲\in Y$, $𝐳\in Z$ এবং $a$, $b\in F$। এখানে $X+Y$ এবং $Y+X$ উভয় শ্রেণির মধ্যেই $𝐱+𝐲$ বিদ্যমান থাকে, তাই এরা অভিন্ন। ঠিক একইভাবে, $(X+Y)+Z$ এবং $$X+(Y+Z)$$ উভয় শ্রেণির মধ্যেই $𝐱+𝐲+𝐳$ বিদ্যমান থাকে, তাই এরাও অভিন্ন। যোগ প্রক্রিয়ার জন্য $H$ হলো অভেদ, কারণ $H$-এর যেকোনো উপাদান $h$-এর জন্য $(𝐱+h)-𝐱=h$ যা $H$-এর অন্তর্ভুক্ত, অর্থাৎ $X+H=X$। এছাড়া $-𝐱$ ধারণকারী সমতুল্য শ্রেণিটি হলো $x$-এর বিপরীত। আবার $1X$ শ্রেণি $1𝐱=𝐱$ বিদ্যমান থাকে বিধায় এটি $X$-এর সমান। $a(bX)$ এবং $(ab)X$ উভয় শ্রেণিই $ab𝐱$ থাকে বলে এরা অভিন্ন। এবং $(a+b)X$ ও $aX+bX$ অভিন্ন কারণ উভয় শ্রেণিই $a𝐱+b𝐱$ বিদ্যমান থাকে। সবশেষে, $a(X+Y)$ এবং $aX+aY$ অভিন্ন কারণ উভয় শ্রেণির মধ্যেই $a𝐱+a𝐲$ উপাদানটি থাকে।

ওপরের আলোচনাটি প্রমাণ করে যে, উপরে সংজ্ঞায়িত যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়া সংবলিত সমতুল্য শ্রেণিগুলোও একটি ভেক্টর স্পেস গঠন করে, যাকে কোশেন্ট স্পেস বা ভাগফল জগত বলা হয়। এই ভেক্টর স্পেসটিকে $V/H$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

উপপাদ্য

যদি $V$-এর মাত্রা $d$ হয় এবং $H$-এর মাত্রা $s$ হয়, তবে $V/H$-এর মাত্রা হবে $d-s$।