রৈখিক বীজগণিত/কোয়ান্টিফায়ার

স্বাভাবিক সংখ্যা সম্পর্কে নিচের এই দুটি বিবৃতির তুলনা করা যাক: "এমন একটি $x$ আছে যার জন্য $x$ সংখ্যাটি $x^{2}$ দ্বারা বিভাজ্য" — এই বিবৃতিটি সত্য; পক্ষান্তরে, "সকল সংখ্যা $x$-এর জন্য, $x$ সংখ্যাটি $x^{2}$ দ্বারা বিভাজ্য" — এই বিবৃতিটি মিথ্যা। আমরা এই "এমন একটি আছে" এবং "সকলের জন্য" পূর্বপদ বা উপসর্গগুলোকে কোয়ান্টিফায়ার বা পরিমাণক বলে থাকি।

সবার জন্য বা সার্বিক পরিমাণক

"সকলের জন্য" উপসর্গটিকে বলা হয় সার্বিক পরিমাণক, যাকে প্রতিকের সাহায্যে $\forall$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

কোয়ান্টিফায়ারের ক্ষেত্রে ভেনচিত্র খুব একটা সহায়ক হয় না, তবে এক অর্থে আমরা চিত্রের চারপাশে যে চতুর্ভুজ বা বাক্সটি আঁকি, তা সার্বিক পরিমাণক প্রদর্শন করে; কারণ এটি সম্ভাব্য উপাদানসমূহের সার্বিক সেটকে সীমানাভুক্ত করে।

কোনো একটি বিবৃতি সব ক্ষেত্রেই সত্য তা প্রমাণ করতে হলে, আমাদের দেখাতে হবে যে সেটি প্রতিটি একক ক্ষেত্রের জন্যই সত্য। সুতরাং, "$p$ দ্বারা বিভাজ্য প্রতিটি সংখ্যার বর্গ $p^{2}$ দ্বারা বিভাজ্য হবে" — এটি প্রমাণ করার জন্য, $pn$ আকারের একটি একক সংখ্যা নেওয়া যাক এবং সেটিকে বর্গ করা যাক: $(pn)^{2}=p^{2}n^{2}$। এটি একটি "সাধারণ উপাদান" ভিত্তিক প্রমাণ।

এই ধরণের যুক্তির ক্ষেত্রে আমাদের সতর্ক থাকতে হবে যেন আমরা সেই উপাদানটির জন্য অনুমিতি বা পূর্বশর্তে উল্লেখ করা বৈশিষ্ট্য ছাড়া অন্য কোনো অতিরিক্ত বৈশিষ্ট্য ধরে না নিই। উদাহরণস্বরূপ, এই ধরণের ভুল যুক্তি একটি সাধারণ ভুল: "যদি $n$ একটি মৌলিক সংখ্যা দ্বারা বিভাজ্য হয়, ধরা যাক $2$, যাতে করে $n=2k$ হয়; তবে $n^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}$ এবং সংখ্যাটির বর্গ উক্ত মৌলিক সংখ্যার বর্গ দ্বারা বিভাজ্য হবে।" এটি কেবল $p=2$ ক্ষেত্রের জন্য একটি যুক্তি, কিন্তু এটি সাধারণ বা যেকোনো $p$-এর জন্য কোনো প্রমাণ নয়।

অস্তিত্বসূচক পরিমাণক

আমরা অস্তিত্বসূচক পরিমাণক-ও ব্যবহার করব, যাকে প্রতিকের সাহায্যে $\exists$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় এবং এটিকে "এমন একটির অস্তিত্ব আছে" হিসেবে পড়া হয়।

উপরে যেমনটি উল্লেখ করা হয়েছে, কোয়ান্টিফায়ারের ক্ষেত্রে ভেনচিত্র খুব একটা কাজে আসে না; তবে "এমন একটি সংখ্যা আছে যার জন্য $P$ সত্য" এর একটি চিত্র এটি দেখাতে পারে যে—এমন উপাদান একের অধিকও হতে পারে এবং সব সংখ্যারই যে $P$ শর্ত পূরণ করতে হবে এমন কোনো বাধ্যবাধকতা নেই।

কোনো অস্তিত্বসূচক প্রতিজ্ঞা প্রমাণ করার জন্য সেই বৈশিষ্ট্যটি পূরণ করে এমন একটি উদাহরণ উপস্থাপন করাই যথেষ্ট। যেমন—একবার $2^{2^{5}}+1$ সংখ্যাটি মৌলিক কি না সেই প্রশ্নটি মীমাংসা করার জন্য, গণিতবিদ অয়লার এর একটি উৎপাদক বা ভাজক হিসেবে $641$ সংখ্যাটি খুঁজে বের করেছিলেন। তবে এমন কিছু প্রমাণও রয়েছে যা কোনো কিছুর অস্তিত্ব প্রমাণ করে ঠিকই, কিন্তু সেটি কীভাবে খুঁজে পাওয়া যাবে তার সুনির্দিষ্ট উপায় বলে দেয় না। পরবর্তী উপ-পরিচ্ছেদে বর্ণিত ইউক্লিডের যুক্তিটি দেখায় যে অসীম সংখ্যক মৌলিক সংখ্যা রয়েছে, কিন্তু সেগুলোর নাম সুনির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করে না। সাধারণভাবে বলতে গেলে, কোনো কিছুর অস্তিত্ব প্রদর্শন করা একেবারে কিছু না থাকার চেয়ে ভালো হলেও, একটি বাস্তব উদাহরণ দিতে পারা আরও উত্তম; আর যদি সবকটি দৃষ্টান্তের একটি পূর্ণাঙ্গ তালিকা দেওয়া যায়, তবে তা সবচেয়ে চমৎকার। তা সত্ত্বেও, গণিতবিদগণ যতটুকু পাওয়া যায় তা নিয়েই সন্তুষ্ট থাকেন।

সবশেষে, "এমন কোনো উপাদান আছে কি না?" এই প্রশ্নের পাশাপাশি আমরা প্রায়শই জিজ্ঞেস করি "কয়টি আছে?"। আর এই কারণেই অস্তিত্বের প্রশ্নের সাথে সাথে অনেক সময় অনন্যতা বা এককত্বের বিষয়টিও চলে আসে। অনেক সময় এই দুটি যুক্তিকে আলাদা করে ফেললে প্রমাণ করা সহজ হয়। তাই মনে রাখা দরকার—কোনো কিছুর অস্তিত্ব প্রমাণ করলেই যেমন এটি প্রমাণিত হয় না যে সেটি অনন্য বা কেবল একটিই আছে; ঠিক তেমনি কোনো কিছু অনন্য বা একক তা প্রমাণ করলেই তার বাস্তব অস্তিত্ব সুনিশ্চিত হয় না। (স্পষ্টতই, "অন্য যেকোনো সংখ্যার চেয়ে বেশি উৎপাদক বিশিষ্ট স্বাভাবিক সংখ্যাটি" অনন্য বা একক হবে ঠিকই, কিন্তু বাস্তবে এমন কোনো সংখ্যার কোনো অস্তিত্বই নেই)।