রৈখিক বীজগণিত/কলামের রৈখিক নির্ভরশীলতা

ধরা যাক, C₁, C₂, C₃, ..., Cₙ হলো m সংখ্যক সংখ্যার n টি কলাম:

$C_{n}={\begin{bmatrix}a_{1n}\\a_{2n}\\a_{3n}\\\vdots \\a_{mn}\\\end{bmatrix}}$

কলামগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ n₁C₁+n₂C₂+n₃C₃+...+nₙCₙ হলো নিচের কলামটি:

$C_{n}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\\\vdots \\c_{m}\\\end{bmatrix}}$।

এখানে প্রতিটি cᵢ উপাদানটি কলামগুলোর সংশ্লিষ্ট উপাদানের যোগফল হিসেবে পাওয়া যায়। যেমন: cᵢ = n₁aᵢ₁ + n₂aᵢ₂ + ... + nₙaᵢₙ।

যেখানে cₖ = n₁aₖ₁ + n₂aₖ₂ + n₃aₖ₃ + ... + nₙaₖₙ।

উপপাদ্য

যদি n-তম ক্রমের একটি নির্ণায়ক A = aᵢⱼ থাকে এবং সেখানে n-সংখ্যক উপাদানের n টি কলাম থাকে যেন j তম কলামের i তম ভুক্তি aᵢⱼ এর সমান হয় তবে যদি ওই কলামগুলোর মধ্যে যেকোনো একটি কলাম অন্য কলামগুলোর রৈখিক সমাবেশ হয়, তবে ওই নির্ণায়কের মান ০ হবে।

প্রমাণ

ধরা যাক, k তম কলামটি অন্য কলামগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ,

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &c_{1}a_{11}+c_{2}a_{12}+\ldots +c_{n}a_{1n}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &c_{1}a_{21}+c_{2}a_{22}+\ldots +c_{n}a_{2n}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &c_{1}a_{31}+c_{2}a_{32}+\ldots +c_{n}a_{3n}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &c_{1}a_{n1}+c_{2}a_{n2}+\ldots +c_{n}a_{nn}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}$

অতঃপর নির্ণায়কের রৈখিক ধর্ম অনুযায়ী, নির্ণায়কটির মান হবে—

$c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{11}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{21}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{31}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{n1}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{22}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{32}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{n2}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}+c_{3}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{13}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{23}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{33}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{n3}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}+\ldots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\ldots &a_{1n}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&\ldots &a_{2n}&\ldots &a_{2n}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&\ldots &a_{3n}&\ldots &a_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&a_{n3}&\ldots &a_{nn}&\ldots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}$।

যেহেতু এই ম্যাট্রিক্সগুলোর প্রতিটিতে পুনরাবৃত্ত কলাম রয়েছে, তাই এদের নির্ণায়কের মান ০ এবং তাদের যোগফলও ০ হয়।

ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক

একটি ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্ক হলো সেই সর্বোচ্চ ক্রমের মাইনর যার মান ০ এর সমান নয়। কোনো ম্যাট্রিক্সের র‍্যাঙ্কের সমান ক্রমের মাইনরকে ওই ম্যাট্রিক্সের 'ভিত্তি মাইনর' বলা হয় এবং এই মাইনরটি যে কলামগুলোকে অন্তর্ভুক্ত করে সেগুলোকে 'ভিত্তি কলাম' বলা হয়।