রৈখিক বীজগণিত/কর্ণায়িতকরণ যোগ্যতা/সমাধান

সমাধানসমূহ

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

উদাহরণ ২.২-এ প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটির জন্য উদাহরণ ২.৫-এর ধাপগুলো পুনরাবৃত্তি করুন।

উত্তর

যেহেতু ভিত্তি ভেক্টরগুলো (basis vectors) ইচ্ছামতো বেছে নেওয়া যায়, তাই এই সমস্যার অনেকগুলো ভিন্ন ভিন্ন উত্তর হওয়া সম্ভব। তবে, সমাধান করার একটি সম্ভাব্য পদ্ধতি নিচে দেওয়া হলো;

T={\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}

ম্যাট্রিক্সটিকে কর্ণায়িত (diagonalize) করার জন্য এটিকে আদর্শ ভিত্তির (standard basis) সাপেক্ষে একটি রূপান্তরের উপস্থাপনা $T={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(t)$ হিসেবে বিবেচনা করুন। এখন এমন একটি ভিত্তি $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\rangle$ খুঁজুন যেন

{\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}}

হয়, অর্থাৎ যেন $t({\vec {\beta }}_{1})=\lambda _{1}$ এবং $t({\vec {\beta }}_{2})=\lambda _{2}$ হয়।

{\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}{\vec {\beta }}_{1}=\lambda _{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}\qquad {\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}{\vec {\beta }}_{2}=\lambda _{2}\cdot {\vec {\beta }}_{2}

আমরা এমন কিছু স্কেলার $x$ খুঁজছি যার জন্য নিচের এই সমীকরণটির

{\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}=x\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}

এমন সমাধান $b_{1}$ এবং $b_{2}$ পাওয়া যায়, যারা উভয়ই শূন্য নয়। এটিকে একটি রৈখিক সমীকরণ জোট (linear system) হিসেবে পুনরায় লিখলে পাওয়া যায়:

{\begin{array}{*{2}{rc}r}(4-x)\cdot b_{1}&+&-2\cdot b_{2}&=&0\\1\cdot b_{1}&+&(1-x)\cdot b_{2}&=&0\end{array}}

যদি $x=4$ হয়, তবে প্রথম সমীকরণ থেকে পাওয়া যায় যে $b_{2}=0$ , এবং পরবর্তীতে দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে পাওয়া যায় যে $b_{1}=0$ । যেহেতু $b$ -এর উভয় মান শূন্য হওয়া অনুমোদিত নয়, তাই আমরা ধরে নিতে পারি যে $x\neq 4$ ।

{\xrightarrow[{}]{(-1/(4-x))\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}(4-x)\cdot b_{1}&+&-2\cdot b_{2}&=&0\\&&((x^{2}-5x+6)/(4-x))\cdot b_{2}&=&0\end{array}}

নিচের সমীকরণটি বিবেচনা করুন। যদি $b_{2}=0$ হয়, তবে প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা পাই $b_{1}=0$ অথবা $x=4$ । এখানে $b_{1}=b_{2}=0$ হওয়ার সম্ভাবনাটি গ্রহণযোগ্য নয়। নিচের সমীকরণটির ক্ষেত্রে অন্য সম্ভাবনাটি হলো ভগ্নাংশটির লব $x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)$ এর মান শূন্য হওয়া। যখন $x=2$ হয়, তখন প্রথম সমীকরণটি দাঁড়ায় $2b_{1}-2b_{2}=0$ । এর ফলে $x=2$ এর সাথে সংশ্লিষ্ট এমন সব ভেক্টর পাওয়া যায় যাদের প্রথম এবং দ্বিতীয় উপাদানগুলো পরস্পর সমান:

{\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\qquad {\text{(অর্থাৎ }}{\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}{\text{, এবং }}\lambda _{1}=2{\text{)।}}

যদি $x=3$ হয়, তবে প্রথম সমীকরণটি হবে $b_{1}-2b_{2}=0$ । এক্ষেত্রে সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলো হবে এমন যাদের প্রথম উপাদানটি তাদের দ্বিতীয় উপাদানের দ্বিগুণ:

{\vec {\beta }}_{2}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\qquad {\text{(অর্থাৎ }}{\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}=3\cdot {\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}{\text{, এবং তাই }}\lambda _{2}=3{\text{)।}}

নিচের এই চিত্রটি

কীভাবে ডায়াগোনালাইজেশন (diagonalization) বা কর্ণীকরণ করতে হয় তা প্রদর্শন করছে।

{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}

মন্তব্য। এই সমীকরণটি নিচের নাম পরিবর্তনের মাধ্যমে $T=PSP^{-1}$ সংজ্ঞার সাথে মিলে যায়।

T={\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}\quad P={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{-1}\quad P^{-1}={\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}\quad S={\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}

}}

সমস্যা ২

নিচের ঊর্ধ্ব-ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সগুলোকে (upper triangular matrices) কর্ণীকরণ বা ডায়াগোনালাইজ করুন।

${\begin{pmatrix}-2&1\\0&2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}5&4\\0&1\end{pmatrix}}$

উত্তর

সমাধান প্রক্রিয়া শুরু করলে পাই:
${\begin{pmatrix}-2&1\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}=x\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{array}{*{2}{rc}r}(-2-x)\cdot b_{1}&+&b_{2}&=&0\\&&(2-x)\cdot b_{2}&=&0\end{array}}$
এখান থেকে দুটি সম্ভাবনা পাওয়া যায়, যথা: $b_{2}=0$ এবং $x=2$ । $b_{2}=0$ হওয়ার সম্ভাবনাটি বিবেচনা করলে আমরা প্রথম সমীকরণটি পাই, যা হলো $(-2-x)b_{1}=0$ । এক্ষেত্রে আবার দুটি বিষয় হতে পারে: $b_{1}=0$ অথবা $x=-2$ । সুতরাং, এই প্রথম সম্ভাবনাটি থেকে আমরা $x=-2$ পাই এবং এর সাথে সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলোর দ্বিতীয় উপাদানটি শূন্য (zero) ও প্রথম উপাদানটি স্বাধীন বা মুক্ত (free)।
${\begin{pmatrix}-2&1\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\0\end{pmatrix}}=-2\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\0\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$
অন্য সম্ভাবনাটি অনুসরণ করলে প্রথম সমীকরণটি দাঁড়ায় $-4b_{1}+b_{2}=0$ । এর ফলে এই সমাধানের সাথে সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলোর দ্বিতীয় উপাদানটি হবে তাদের প্রথম উপাদানের চার গুণ।
${\begin{pmatrix}-2&1\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\4b_{1}\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\4b_{1}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {\beta }}_{2}={\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}}$
এর কর্ণায়ন (diagonalization) প্রক্রিয়াটি নিচে দেওয়া হলো:
${\begin{pmatrix}1&1\\0&4\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}-2&1\\0&2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&4\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}-2&0\\0&2\end{pmatrix}}$
এই অংশের হিসাবগুলো আগের অংশের মতোই।
${\begin{pmatrix}5&4\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}=x\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}\qquad \Longrightarrow \qquad {\begin{array}{*{2}{rc}r}(5-x)\cdot b_{1}&+&4\cdot b_{2}&=&0\\&&(1-x)\cdot b_{2}&=&0\end{array}}$
নিচের সমীকরণটি থেকে দুটি সম্ভাবনা পাওয়া যায়: $b_{2}=0$ এবং $x=1$ । $b_{2}=0$ হওয়ার সম্ভাবনাটি বিবেচনা করলে এবং $b_{2}$ ও $b_{1}$ উভয়ই শূন্য হওয়ার ক্ষেত্রটি বাদ দিলে আমরা পাই $x=5$ । এর সাথে সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলোর দ্বিতীয় উপাদানটি শূন্য এবং প্রথম উপাদানটি স্বাধীন বা মুক্ত (free)।
${\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$
$x=1$ হওয়ার সম্ভাবনা থেকে প্রথম সমীকরণটি পাওয়া যায় $4b_{1}+4b_{2}=0$ । তাই এর সাথে সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলোর দ্বিতীয় উপাদানটি হবে তাদের প্রথম উপাদানের ঋণাত্মক মান।
${\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$
এভাবে আমরা নিচের কর্ণায়নটি (diagonalization) পাই।
${\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}5&4\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&0\\0&1\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্সের (diagonal matrix) ঘাতসমূহ বা শক্তিগুলো (powers) কী রূপ ধারণ করে?

উত্তর

যেকোনো পূর্ণসংখ্যা $p$ -এর জন্য,

{\begin{pmatrix}d_{1}&0&\\0&\ddots &\\&&d_{n}\end{pmatrix}}^{p}={\begin{pmatrix}d_{1}^{p}&0&\\0&\ddots &\\&&d_{n}^{p}\end{pmatrix}}.

সমস্যা ৪

একই আকারের দুটি কর্ণ ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ দিন যারা সদৃশ (similar) নয়। ভিন্ন ভিন্ন মানের যেকোনো দুটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স কি অবশ্যই ভিন্ন ভিন্ন সদৃশতা শ্রেণি (similarity classes) থেকে আসবে?

উত্তর

নিচের এই দুটি ম্যাট্রিক্স সদৃশ নয়:

{\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}

কারণ এদের প্রত্যেকেই নিজ নিজ সদৃশতা শ্রেণিতে এককভাবে অবস্থান করে।

দ্বিতীয় অংশের ক্ষেত্রে, নিচের এই ম্যাট্রিক্স দুটি:

{\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3&0\\0&2\end{pmatrix}}

পরস্পর সদৃশ, যা $\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\rangle$ থেকে $\langle {\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{1}\rangle$ -এ ভিত্তি (basis) পরিবর্তনকারী ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে দেখানো সম্ভব। (প্রশ্ন: দুটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স কি কেবল তখনই সদৃশ হবে যখন তাদের কর্ণের উপাদানগুলো একে অপরের বিন্যাস বা পারমুটেশন (permutation) হবে?)

সমস্যা ৫

একটি অবিশিষ্ট বা নন-সিঙ্গুলার (nonsingular) কর্ণ ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ দিন। একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স কি কখনো বিশিষ্ট বা সিঙ্গুলার (singular) হতে পারে?

উত্তর

নিচের এই দুটির মধ্যে তুলনা করে দেখুন:

{\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2&0\\0&0\end{pmatrix}}

এখানে প্রথমটি হলো অবিশিষ্ট (nonsingular), আর দ্বিতীয়টি হলো বিশিষ্ট (singular)।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৬

দেখান যে, একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স (inverse) হলো এর উপাদানগুলোর বিপরীত মান নিয়ে গঠিত কর্ণ ম্যাট্রিক্স, যদি কর্ণের কোনো উপাদানই শূন্য না হয়। কর্ণের কোনো উপাদান শূন্য হলে কী ঘটবে?

উত্তর

একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি যে এর উপাদানগুলোর বিপরীত মানের কর্ণ ম্যাট্রিক্স, তা যাচাই করার জন্য কেবল গুণ করলেই যথেষ্ট:

{\begin{pmatrix}a_{1,1}&0\\0&a_{2,2}\\&&\ddots \\&&&a_{n,n}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1/a_{1,1}&0\\0&1/a_{2,2}\\&&\ddots \\&&&1/a_{n,n}\end{pmatrix}}

(এটি যে একটি বাম বিপরীত বা left inverse, তা দেখানোও ঠিক একইভাবে সহজ।)

যদি কোনো কর্ণ ম্যাট্রিক্সের (diagonal matrix) কর্ণের কোনো ভুক্তি (entry) শূন্য হয়, তবে সেই ম্যাট্রিক্সটি সিঙ্গুলার বা ব্যতিক্রমী হয়; অর্থাৎ এর নির্ণায়কের (determinant) মান শূন্য হয়। }}

সমস্যা ৭

উদাহরণ ২.৫-এর শেষে যে সমীকরণটি দেওয়া হয়েছে তা কিছুটা বিভ্রান্তিকর মনে হতে পারে। কারণ এখানে $P$ -এর জন্য আমাদের প্রথম ম্যাট্রিক্সটি নিতে হবে, যা এখানে ইনভার্স বা বিপরীত ম্যাট্রিক্স হিসেবে দেখানো হয়েছে। আবার $P^{-1}$ -এর জন্য আমাদের প্রথম ম্যাট্রিক্সটির ইনভার্স নিতে হবে, যার ফলে দুটি $-1$ পাওয়ার বা ঘাত একে অপরকে বাতিল করে দেয় এবং এই ম্যাট্রিক্সটি কোনো সুপারস্ক্রিপ্ট $-1$ ছাড়াই প্রদর্শিত হয়।

{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}

নিচের এই সুন্দরভাবে উপস্থাপিত সমীকরণটি সঠিক কি না তা যাচাই করুন।
${\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}$
আগের বিষয়টি কি কেবল একটি কাকতালীয় ঘটনা? নাকি আমরা সবসময়ই $P$ এবং $P^{-1}$ -এর অবস্থান অদলবদল করতে পারি?

উত্তর

এটি যাচাই করা বেশ সহজ।
${\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&3\\0&-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3&3\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}$
এটি একটি কাকতালীয় ঘটনা মাত্র। কারণ যদি $T=PSP^{-1}$ হয়, তবে তার মানে এই নয় যে $T$ -কে অবশ্যই $P^{-1}SP$ -এর সমান হতে হবে। এমনকি একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স $D$ -এর ক্ষেত্রেও, $D=PTP^{-1}$ হওয়ার শর্তটি এটি বোঝায় না যে $D$ এবং $P^{-1}TP$ সমান হবে। উদাহরণ ২.২-এর ম্যাট্রিক্সগুলো থেকে বিষয়টি স্পষ্টভাবে বোঝা যায়।
${\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6&0\\5&-1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}6&0\\5&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}-6&12\\-6&11\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৮

দেখান যে, উদাহরণ ২.৫-এ কর্ণায়নের (diagonalize) জন্য ব্যবহৃত $P$ ম্যাট্রিক্সটি অনন্য (unique) নয়।

উত্তর

ম্যাট্রিক্সের কলামগুলো $x$ -এর সাথে সংশ্লিষ্ট ভেক্টর হিসেবে নির্বাচন করা হয়েছে। এই নির্বাচনের পদ্ধতি এবং কলামগুলোর ক্রম সম্পূর্ণ ঐচ্ছিক ছিল। উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি কলাম দুটিকে নিজেদের মধ্যে অদলবদল করি, তবে আমরা একটি ভিন্ন ম্যাট্রিক্স পাব।

সমস্যা ৯

এই ম্যাট্রিক্সটির ঘাত বা শক্তির (powers) জন্য একটি সূত্র নির্ণয় করুন। ইঙ্গিত: সমস্যা ৩ দেখুন।

{\begin{pmatrix}-3&1\\-4&2\end{pmatrix}}

উত্তর

ম্যাট্রিক্সটিকে ডায়াগোনালাইজ (diagonalizing) করার পর প্রাপ্ত ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সটির ঘাত গ্রহণ করলে দেখা যায় যে:

{\begin{pmatrix}-3&1\\-4&2\end{pmatrix}}^{k}={\frac {1}{3}}{\begin{pmatrix}-1&1\\-4&4\end{pmatrix}}+({\frac {-2}{3}})^{k}{\begin{pmatrix}4&-1\\4&-1\end{pmatrix}}.

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১০

নিচের ম্যাট্রিক্সগুলোকে ডায়াগোনালাইজ করুন।

${\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

উত্তর

${\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ১১

আমরা এখন দেখতে পারি যে ডায়াগোনালাইজেশন প্রক্রিয়াটি ম্যাট্রিক্সের বিভিন্ন অপারেশনের সাথে কীভাবে কাজ করে। ধরা যাক, $t,s:V\to V$ এর প্রতিটিই ডায়াগোনালাইজযোগ্য। তাহলে সকল স্কেলার $c$ -এর জন্য $ct$ কি ডায়াগোনালাইজযোগ্য হবে? $t+s$ এবং $t\circ s$ -এর ক্ষেত্রেই বা কী ঘটবে?

উত্তর

হ্যাঁ, এই উপ-পরিচ্ছেদের শেষ উপপাদ্য অনুযায়ী $ct$ ডায়াগোনালাইজযোগ্য।

না, $t+s$ ডায়াগোনালাইজযোগ্য নাও হতে পারে। সহজভাবে বলতে গেলে, সমস্যাটি তখন দেখা দেয় যখন দুটি ম্যাপ বা চিত্রণ ভিন্ন ভিন্ন বেসিসের (bases) সাপেক্ষে ডায়াগোনালাইজড হয় (অর্থাৎ, যখন তারা একইসাথে ডায়াগোনালাইজযোগ্য বা simultaneously diagonalizable নয়)। সুনির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, নিচের এই দুটি ম্যাট্রিক্স ডায়াগোনালাইজযোগ্য হলেও তাদের যোগফল ডায়াগোনালাইজযোগ্য নয়:

{\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}-1&0\\0&0\end{pmatrix}}

(দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সটি আগে থেকেই ডায়াগোনাল আকারে আছে; প্রথমটির জন্য সমস্যা ১০ দেখুন)। এদের যোগফলটি ডায়াগোনালাইজযোগ্য নয় কারণ এর বর্গ করলে একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স (zero matrix) পাওয়া যায়।

একই ধারণা থেকে বোঝা যায় যে $t\circ s$ ম্যাট্রিক্সটি কর্ণীয়করণযোগ্য (diagonalizable) নাও হতে পারে। নিচের এই দুটি ম্যাট্রিক্স কর্ণীয়করণযোগ্য হলেও এদের গুণফল কর্ণীয়করণযোগ্য নয়:

{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

(দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রে, সমস্যা ১০ দেখুন)।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১২

দেখান যে এই আকারের ম্যাট্রিক্সগুলো কর্ণীয়করণযোগ্য নয়।

{\begin{pmatrix}1&c\\0&1\end{pmatrix}}\qquad c\neq 0

উত্তর

যদি

P{\begin{pmatrix}1&c\\0&1\end{pmatrix}}P^{-1}={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}

হয়, তবে

P{\begin{pmatrix}1&c\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}P

সুতরাং

{\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&c\\0&1\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}a&0\\0&b\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}p&cp+q\\r&cr+s\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}ap&aq\\br&bs\end{pmatrix}}\end{array}}

এখানে $1,1$ ভুক্তিগুলো (entries) থেকে দেখা যায় যে $a=1$ এবং $1,2$ ভুক্তিগুলো থেকে দেখা যায় যে $pc=0$ । যেহেতু $c\neq 0$ , এর অর্থ হলো $p=0$ হতে হবে। আবার $2,1$ ভুক্তিগুলো থেকে দেখা যায় যে $b=1$ এবং $2,2$ ভুক্তিগুলো থেকে দেখা যায় যে $rc=0$ । যেহেতু $c\neq 0$ , এর অর্থ হলো $r=0$ হতে হবে। কিন্তু যদি $p$ এবং $r$ উভয়ই $0$ হয়, তবে $P$ ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য (invertible) হবে না।

সমস্যা ১৩

দেখান যে নিচের প্রতিটি ম্যাট্রিক্স কর্ণীয়করণযোগ্য।

${\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}x&y\\y&z\end{pmatrix}}\qquad x,y,z{\text{ হলো স্কেলার রাশি}}$

উত্তর

একটি $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করে আমরা এটি পাই।
${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{ad-bc}}\cdot {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}&={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}ad+2bd-2ac-bc&-ab-2b^{2}+2a^{2}+ab\\cd+2d^{2}-2c^{2}-cd&-bc-2bd+2ac+ad\end{pmatrix}}\end{array}}$
এখন এমন কিছু স্কেলার $a,\ldots ,d$ বেছে নিন যাতে $ad-bc\neq 0$ , $2d^{2}-2c^{2}=0$ এবং $2a^{2}-2b^{2}=0$ শর্তগুলো পূরণ হয়। উদাহরণস্বরূপ, নিচের মানগুলো ব্যবহার করা যেতে পারে:
${\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{-2}}\cdot {\begin{pmatrix}-1&-1\\-1&1\end{pmatrix}}={\frac {1}{-2}}{\begin{pmatrix}-6&0\\0&2\end{pmatrix}}$
উপরের উদাহরণের মতোই,
${\begin{array}{rl}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x&y\\y&z\end{pmatrix}}\cdot {\frac {1}{ad-bc}}\cdot {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}&={\frac {1}{ad-bc}}{\begin{pmatrix}adx+bdy-acy-bcz&-abx-b^{2}y+a^{2}y+abz\\cdx+d^{2}y-c^{2}y-cdz&-bcx-bdy+acy+adz\end{pmatrix}}\end{array}}$
আমরা এমন কিছু স্কেলার $a,\ldots ,d$ খুঁজছি যাতে $ad-bc\neq 0$ , $-abx-b^{2}y+a^{2}y+abz=0$ এবং $cdx+d^{2}y-c^{2}y-cdz=0$ হয়। এখানে $x$ , $y$ এবং $z$ -এর মান যাই হোক না কেন, এই শর্তগুলো বজায় থাকতে হবে। শুরুতেই আমরা ধরে নিচ্ছি যে $y\neq 0$ , কারণ তা না হলে প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সটি ইতিমধ্যেই একটি ডায়াগোনাল বা কর্ণ ম্যাট্রিক্স হিসেবেই থাকত। আমরা এই অনুমানটি ব্যবহার করব কারণ যদি আমরা (ইচ্ছামতো) $a=1$ ধরি, তবে আমরা পাই:
${\begin{array}{rl}-bx-b^{2}y+y+bz&=0\\(-y)b^{2}+(z-x)b+y&=0\end{array}}$
এবং দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র (quadratic formula) প্রয়োগ করলে পাওয়া যায়:
$b={\frac {-(z-x)\pm {\sqrt {(z-x)^{2}-4(-y)(y)}}}{-2y}}\qquad y\neq 0$
(লক্ষ্য করুন যে, যদি $x$ , $y$ এবং $z$ বাস্তব সংখ্যা হয়, তবে এই দুটি $b$ -এর মানও বাস্তব হবে, কারণ এখানে নিশ্চায়ক বা ডিসক্রিমিন্যান্টটি ধনাত্মক)। একইভাবে, যদি আমরা (ইচ্ছামতো) $c=1$ ধরি, তবে:
${\begin{array}{rl}dx+d^{2}y-y-dz&=0\\(y)d^{2}+(x-z)d-y&=0\end{array}}$
এবং এখান থেকে আমরা পাই:
$d={\frac {-(x-z)\pm {\sqrt {(x-z)^{2}-4(y)(-y)}}}{2y}}\qquad y\neq 0$
(উপরের মতোই, যদি $x,y,z\in \mathbb {R}$ হয়, তবে এই নিশ্চায়কটি ধনাত্মক হবে। এর অর্থ হলো একটি প্রতিসম (symmetric), বাস্তব, $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্স একটি বাস্তব ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সের সদৃশ বা সিমিলার হয়)। বিষয়টি যাচাই করার জন্য আমরা $x=1$ , $y=2$ এবং $z=1$ মানগুলো নিয়ে চেষ্টা করে দেখতে পারি।
$b={\frac {0\pm {\sqrt {0+16}}}{-4}}=\mp 1\qquad d={\frac {0\pm {\sqrt {0+16}}}{4}}=\pm 1$
মনে রাখবেন যে, $(b,d)=(+1,+1),\dots ,(-1,-1)$ —এই চারটি সম্ভাব্য জোড়ার সবকটিই কিন্তু $ad-bc\neq 0$ শর্তটি পূরণ করে না।