রৈখিক বীজগণিত/কর্ণায়িতকরণ যোগ্যতা

পূর্ববর্তী উপ-অনুচ্ছেদে সদৃশতা বা সিমিলারিটি (similarity) সম্পর্কটি সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। সেখানে দেখানো হয়েছে যে, যদিও সদৃশ ম্যাট্রিক্সগুলো অবশ্যই ম্যাট্রিক্স সমতুল্য (matrix equivalent) হয়, তবে এর বিপরীতটি সব সময় সত্য নয়। কিছু ম্যাট্রিক্স-সমতুল্য শ্রেণি দুই বা ততোধিক সদৃশ শ্রেণিতে (similarity classes) বিভক্ত হয়ে যায় (উদাহরণস্বরূপ, নন-সিঙ্গুলার বা অ-ব্যতিক্রমী $n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সগুলোর কথা বলা যেতে পারে)। এর অর্থ হলো ম্যাট্রিক্স সমতুল্যতার ক্যানোনিকাল রূপ (canonical form), যা একটি ব্লক আংশিক-অভেদক (block partial-identity), সেটি ম্যাট্রিক্স সদৃশতার ক্যানোনিকাল রূপ হিসেবে ব্যবহার করা যাবে না। কারণ আংশিক-অভেদকগুলো একাধিক সদৃশ শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত হতে পারে না, ফলে এমন অনেক সদৃশ শ্রেণি রয়েছে যেগুলোতে কোনো আংশিক-অভেদক নেই। নিচের চিত্রটি এই বিষয়টি ব্যাখ্যা করছে। এই বইয়ের আগের অংশগুলোর মতো এখানেও শ্রেণির প্রতিনিধিদের তারকা চিহ্নের মাধ্যমে দেখানো হয়েছে।

আমরা এখন সদৃশ শ্রেণিগুলোর প্রতিনিধিদের জন্য একটি ক্যানোনিকাল রূপ তৈরি করার চেষ্টা করছি। আমরা স্বাভাবিকভাবেই আমাদের আগের কাজের ওপর ভিত্তি করে এটি করার চেষ্টা করব। এর অর্থ হলো, প্রথমত আংশিক অভেদক ম্যাট্রিক্সগুলো যে সদৃশ শ্রেণির অন্তর্ভুক্ত, সেগুলোর প্রতিনিধিত্ব করবে। এর পাশাপাশি, এই প্রতিনিধিগুলো যেন যতটা সম্ভব সহজ ও সরল হয় সেদিকেও খেয়াল রাখা হবে। আংশিক-অভেদক রূপের সবচেয়ে সহজ সম্প্রসারণ হলো একটি ডায়াগোনাল বা কর্ণ রূপ (diagonal form)।

সংজ্ঞা ২.১

একটি রূপান্তরকে (transformation) ডায়াগোনালাইজেবল (diagonalizable) বলা হয় যদি ডোমেইন এবং কো-ডোমেইনের জন্য একই বেসিস বা ভিত্তির সাপেক্ষে এর একটি ডায়াগোনাল বা কর্ণ উপস্থাপনা থাকে। একটি ডায়াগোনালাইজেবল ম্যাট্রিক্স হলো এমন একটি ম্যাট্রিক্স যা একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সের সদৃশ। অর্থাৎ, $T$ ডায়াগোনালাইজেবল হবে যদি এমন একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স $P$ থাকে যেন $PTP^{-1}$ একটি ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্স হয়।

উদাহরণ ২.২

নিচের ম্যাট্রিক্সটি

${\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}$

হলো ডায়াগোনালাইজেবল।

${\begin{pmatrix}2&0\\0&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-2\\1&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}}^{-1}$

উদাহরণ ২.৩

সব ম্যাট্রিক্স ডায়াগোনালাইজেবল নয়। নিচের ম্যাট্রিক্সটির বর্গ হলো

$N={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}$

একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স। সুতরাং, $N$ দ্বারা উপস্থাপিত যেকোনো চিত্রণ $n$-এর ক্ষেত্রে (যেখানে ডোমেইন এবং কোডোমেইনের ভিত্তি একই), তাদের সংযোজন $n\circ n$ একটি শূন্য চিত্রণ হবে। এর অর্থ হলো, এই ধরনের কোনো চিত্রণ $n$-কে কোনো ভিত্তির ($B,B$) সাপেক্ষে কর্ণ ম্যাট্রিক্স হিসেবে উপস্থাপন করা সম্ভব নয়। কারণ, একটি অশূন্য কর্ণ ম্যাট্রিক্সের কোনো ঘাতই কখনো শূন্য হতে পারে না। অর্থাৎ, $N$-এর সদৃশ শ্রেণিতে (similarity class) কোনো কর্ণ ম্যাট্রিক্স নেই। }}

এই উদাহরণটি আমাদের দেখায় যে, একটি ক্যানোনিকাল বা আদর্শ আকারের জন্য কর্ণ আকার (diagonal form) সবসময় উপযুক্ত নয়— কারণ আমরা প্রতিটি ম্যাট্রিক্স সদৃশ শ্রেণিতে একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স খুঁজে পাই না। তবে, আমরা যে ক্যানোনিকাল আকারটি তৈরি করছি তার একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য রয়েছে; সেটি হলো, যদি কোনো ম্যাট্রিক্সকে কর্ণীকরণ করা সম্ভব হয়, তবে সেই কর্ণ ম্যাট্রিক্সটিই হবে ওই সদৃশ শ্রেণির ক্যানোনিকাল প্রতিনিধি। নিচের ফলাফলটি বিশ্লেষণ করে দেখাবে যে কোন চিত্রণগুলোকে কর্ণীকরণ করা সম্ভব।

অনুসিদ্ধান্ত ২.৪

একটি রূপান্তর $t$ কর্ণীকরণযোগ্য হবে যদি এবং কেবল যদি সেখানে এমন একটি ভিত্তি $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},\ldots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ এবং কিছু স্কেলার $\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}$ থাকে, যাতে প্রতিটি $i$-এর জন্য $t({\vec {\beta }}_{i})=\lambda _{i}{\vec {\beta }}_{i}$ শর্তটি পূরণ হয়।

প্রমাণ

একটি কর্ণ উপস্থাপন ম্যাট্রিক্স বিবেচনা করার মাধ্যমে সংজ্ঞা থেকেই এটি সরাসরি প্রমাণিত হয়।

${\rm {Rep}}_{B,B}(t)=\left({\begin{array}{c|c|c}\vdots &&\vdots \\{\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\beta }}_{1}))&\cdots &{\rm {Rep}}_{B}(t({\vec {\beta }}_{n}))\\\vdots &&\vdots \end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c|c|c}\lambda _{1}&&0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&&\lambda _{n}\end{array}}\right)$

ম্যাট্রিক্স উপস্থাপনের সংজ্ঞা অনুযায়ী, এই ধরনের উপস্থাপনা থাকা আর উল্লিখিত শর্তাবলি পূরণ করে এমন একটি ভিত্তি থাকা— এই দুটি বিষয় একে অপরের সমতুল্য।

উদাহরণ ২.৫

নিচের ম্যাট্রিক্সটিকে কর্ণীকরণ করার জন্য:

$T={\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}$

আমরা এটিকে আদর্শ ভিত্তির সাপেক্ষে একটি রূপান্তরের উপস্থাপন $T={\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2},{\mathcal {E}}_{2}}(t)$ হিসেবে ধরে নেব এবং আমরা এমন একটি ভিত্তি $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2}\rangle$ খুঁজব যাতে:

${\rm {Rep}}_{B,B}(t)={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0\\0&\lambda _{2}\end{pmatrix}}$

অর্থাৎ, এমনভাবে যেন $t({\vec {\beta }}_{1})=\lambda _{1}{\vec {\beta }}_{1}$ এবং $t({\vec {\beta }}_{2})=\lambda _{2}{\vec {\beta }}_{2}$ হয়।

${\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {\beta }}_{1}=\lambda _{1}\cdot {\vec {\beta }}_{1}\qquad {\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\vec {\beta }}_{2}=\lambda _{2}\cdot {\vec {\beta }}_{2}$

আমরা এমন কিছু স্কেলার $x$ খুঁজছি যার জন্য নিচের এই সমীকরণটির

${\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}=x\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$

এমন কিছু সমাধান $b_{1}$ এবং $b_{2}$ থাকবে, যেখানে তারা উভয়ই একসাথে শূন্য নয়। এখন এই সমীকরণটিকে একটি রৈখিক সমীকরণ ব্যবস্থা (linear system) হিসেবে পুনরায় লিখলে পাওয়া যায়:

${\begin{array}{*{2}{rc}r}(3-x)\cdot b_{1}&+&2\cdot b_{2}&=&0\\&&(1-x)\cdot b_{2}&=&0\end{array}}\qquad (*)$

নিচের সমীকরণটির ক্ষেত্রে, দুটি সংখ্যার গুণফল কেবল তখনই শূন্য হতে পারে যদি তাদের মধ্যে অন্তত একটির মান শূন্য হয়। সুতরাং এখানে দুটি সম্ভাবনা রয়েছে: $b_{2}=0$ অথবা $x=1$। যদি $b_{2}=0$ হয়, তবে প্রথম সমীকরণ থেকে আমরা পাই যে হয় $b_{1}=0$ অথবা $x=3$ হবে। যেহেতু $b_{1}=0$ এবং $b_{2}=0$ উভয়ই একসাথে শূন্য হওয়ার বিষয়টি এখানে গ্রহণযোগ্য নয়, তাই আমাদের কাছে কেবল $x=3$ হওয়ার সম্ভাবনাটিই অবশিষ্ট থাকে। এই মানটি ব্যবহার করলে, ($*$) চিহ্নিত প্রথম সমীকরণটি দাঁড়ায় $0\cdot b_{1}+2\cdot b_{2}=0$। এর ফলে $3$-এর সাথে সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলোর দ্বিতীয় উপাদানটি শূন্য হবে এবং প্রথম উপাদানটি যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারবে (অর্থাৎ এটি একটি স্বাধীন চলক)।

${\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\0\end{pmatrix}}=3\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\0\end{pmatrix}}$

অর্থাৎ, ($*$) সমীকরণ ব্যবস্থার একটি সমাধান হলো $\lambda _{1}=3$, এবং এর মাধ্যমে আমরা প্রথম ভিত্তি ভেক্টরটি (basis vector) পাই।

${\vec {\beta }}_{1}={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}$

আবার $x=1$ হওয়ার সম্ভাবনার ক্ষেত্রে, ($*$) চিহ্নিত প্রথম সমীকরণটি হয় $2\cdot b_{1}+2\cdot b_{2}=0$। এর ফলে $1$-এর সাথে সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলোর দ্বিতীয় উপাদানটি হবে তাদের প্রথম উপাদানের ঋণাত্মক মান।

${\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\\-b_{1}\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}b_{1}\\-b_{1}\end{pmatrix}}$

সুতরাং, অন্য সমাধানটি হলো $\lambda _{2}=1$ এবং দ্বিতীয় ভিত্তি ভেক্টরটি হবে নিম্নরূপ:

${\vec {\beta }}_{2}={\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}$

সবশেষে, সাদৃশ্য চিত্রটি (similarity diagram) অঙ্কন করলে

এবং ${\rm {Rep}}_{B,{\mathcal {E}}_{2}}({\mbox{id}})$ ম্যাট্রিক্সটি নির্ণয় করা সহজ—এই বিষয়টি লক্ষ্য করলে আমরা নিচের কর্ণায়নটি (diagonalization) পাই।

${\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}$

}}

পরবর্তী উপ-পরিচ্ছেদে, আমরা অনুসিদ্ধান্ত ২.৪-এর বৈশিষ্ট্যগুলো আরও নিবিড়ভাবে পর্যালোচনার মাধ্যমে এই উদাহরণটিকে আরও বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করব। এর মধ্যে $\lambda$-এর মানগুলো খুঁজে বের করার জন্য আমরা সচরাচর যে পদ্ধতিটি ব্যবহার করি, সেটিসহ অন্য একটি বিকল্প পদ্ধতিও দেখানো হবে।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

উদাহরণ ২.২-এ বর্ণিত ম্যাট্রিক্সটির জন্য উদাহরণ ২.৫-এর ধাপগুলো পুনরাবৃত্তি করো।

সমস্যা ২

নিচের ঊর্ধ্ব-ত্রিভুজাকার (upper triangular) ম্যাট্রিক্সগুলোকে কর্ণায়িত (diagonalize) করো।

1. ${\begin{pmatrix}-2&1\\0&2\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}5&4\\0&1\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্সের (diagonal matrix) ঘাত বা শক্তিগুলো (powers) কী রূপ ধারণ করে?

সমস্যা ৪

একই আকারের দুটি কর্ণ ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ দাও যারা সদৃশ (similar) নয়। ভিন্ন ভিন্ন দুটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স কি অবশ্যই ভিন্ন ভিন্ন সদৃশতা শ্রেণি (similarity classes) থেকে আসতে হবে?

সমস্যা ৫

একটি অ-ব্যতিক্রমী (nonsingular) কর্ণ ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ দাও। একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স কি কখনো ব্যতিক্রমী (singular) হতে পারে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৬

দেখাও যে, যদি কোনো কর্ণ ম্যাট্রিক্সের কর্ণের কোনো উপাদানই শূন্য না হয়, তবে সেই ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্সটি হবে মূল কর্ণের উপাদানগুলোর বিপরীত মানের সমন্বয়ে গঠিত একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স। যদি কর্ণের কোনো একটি উপাদান শূন্য হয়, তবে কী ঘটবে?

সমস্যা ৭

উদাহরণ ২.৫-এর শেষে থাকা সমীকরণটি—

${\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}$

—কিছুটা বিভ্রান্তিকর মনে হতে পারে। কারণ এখানে $P$ হিসেবে আমাদের প্রথম ম্যাট্রিক্সটি নিতে হবে (যা এখানে বিপরীত বা ইনভার্স হিসেবে দেখানো হয়েছে), এবং $P^{-1}$-এর জন্য আমাদের প্রথম ম্যাট্রিক্সটির বিপরীত ম্যাট্রিক্স নিতে হবে। এর ফলে দুটি $-1$ ঘাত একে অপরকে বাতিল করে দেয় এবং এই ম্যাট্রিক্সটি কোনো $-1$ সুপারস্ক্রিপ্ট ছাড়াই প্রদর্শিত হয়।

1. যাচাই করে দেখো যে, তুলনামূলক সহজভাবে উপস্থাপিত এই সমীকরণটি সঠিক কি না।

   ${\begin{pmatrix}3&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&2\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}}^{-1}$

2. আগের বিষয়টি কি কেবল একটি কাকতালীয় ঘটনা? নাকি আমরা সব সময়ই $P$ এবং $P^{-1}$-এর অবস্থান অদলবদল করতে পারি?

সমস্যা ৮

দেখাও যে, উদাহরণ ২.৫-এ কর্ণীকরণের (diagonalize) জন্য ব্যবহৃত $P$ ম্যাট্রিক্সটি অনন্য (unique) নয়।

সমস্যা ৯

নিচের ম্যাট্রিক্সটির ঘাত (power) নির্ণয়ের জন্য একটি সূত্র খুঁজে বের করো। ইঙ্গিত: সমস্যা ৩ দেখো।

${\begin{pmatrix}-3&1\\-4&2\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১০

নিচের ম্যাট্রিক্সগুলোকে কর্ণীকরণ (diagonalize) করো।

1. ${\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$

সমস্যা ১১

ম্যাট্রিক্সের বিভিন্ন প্রক্রিয়ার সাথে কর্ণীকরণ কীভাবে সম্পর্কিত তা আমরা যাচাই করতে পারি। ধরে নাও, $t,s:V\to V$ এর প্রতিটিই কর্ণীকরণযোগ্য (diagonalizable)। তবে কি সকল স্কেলার $c$-এর জন্য $ct$ কর্ণীকরণযোগ্য হবে? $t+s$ এবং $t\circ s$-এর ক্ষেত্রেই বা কী ঘটবে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১২

দেখাও যে, নিচের আকারের ম্যাট্রিক্সগুলো কর্ণীকরণযোগ্য নয়।

${\begin{pmatrix}1&c\\0&1\end{pmatrix}}\qquad c\neq 0$

সমস্যা ১৩

দেখাও যে, নিচের প্রতিটি ম্যাট্রিক্সই কর্ণীকরণযোগ্য।

1. ${\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}x&y\\y&z\end{pmatrix}}\qquad x,y,z{\text{ হলো স্কেলার}}$

Solutions