রৈখিক বীজগণিত/একটি সেটের স্প্যান বা বিস্তার
সংজ্ঞা
[সম্পাদনা]ধরি, V হলো F ফিল্ডের ওপর একটি ভেক্টর স্পেস। V ভেক্টর স্পেস থেকে n সংখ্যক ভেক্টর x1, x2, x3, ..., xn বেছে নেওয়া হলো। x1, x2, x3, ..., xn দ্বারা বিস্তারকৃত লিনিয়ার ম্যানিফোল্ড বলতে V-এর সেই সমস্ত উপাদানকে বোঝায় যাদেরকে a1x1+a2x2+a3x3+...+anxn আকারে প্রকাশ করা যায়, যেখানে a1, a2, a3, ..., an হলো F ফিল্ডের উপাদান। একে S(x1, x2, x3, ..., xn) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়। এটি স্পষ্টতই V ভেক্টর স্পেসের একটি লিনিয়ার সাবস্পেস। যেহেতু V-এর প্রতিটি লিনিয়ার সাবস্পেস x1, x2, x3, ..., xn এবং তাদের লিনিয়ার কম্বিনেশনগুলোকে ধারণ করে, তাই S(x1, x2, x3, ..., xn) হলো সবচেয়ে ছোট সাবস্পেস যা x1, x2, x3, ..., xn-কে ধারণ করে।
উপপাদ্য
[সম্পাদনা]যদি y1, y2, xy, ..., ym ভেক্টরগুলো S(x1, x2, x3, ..., xn)-এর উপাদান হয়, তবে S(y1, y2, y3, ..., ym) অবশ্যই S(x1, x2, x3, ..., xn)-এর অন্তর্ভুক্ত হবে।
প্রমাণ
[সম্পাদনা]একটি লিনিয়ার ম্যানিফোল্ডের অন্তর্ভুক্ত ভেক্টরগুলোর যেকোনো লিনিয়ার কম্বিনেশনও ওই লিনিয়ার ম্যানিফোল্ডেরই অন্তর্ভুক্ত হয় (যেহেতু ভেক্টরের লিনিয়ার কম্বিনেশনের লিনিয়ার কম্বিনেশনও আদতে ওই ভেক্টরগুলোরই একটি লিনিয়ার কম্বিনেশন)। যেহেতু S(y1, y2, y3, ..., ym)-এর যেকোনো উপাদান ওই ম্যানিফোল্ডের ভেক্টরগুলোর লিনিয়ার কম্বিনেশন, তাই সেটিও এই সেটের ভেতরেই অবস্থান করবে। এর মাধ্যমে প্রমাণিত হয় যে, S(y1, y2, y3, ..., ym) সেটটি S(x1, x2, x3, ..., xn)-এর অন্তর্ভুক্ত।
উপপাদ্য
[সম্পাদনা]যদি একটি ভেক্টর x, অন্যান্য ভেক্টর x1, x2, x3, ..., xn-এর ওপর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল (linearly dependent) হয়, তবে তা S(x, x1, x2, x3, ..., xn)-এরও অন্তর্ভুক্ত হবে।
প্রমাণ
[সম্পাদনা]যেহেতু x, x1, x2, x3, ..., xn সবাই S(x1, x2, x3, ..., xn)-এর অন্তর্ভুক্ত, তাই S(x, x1, x2, x3, ..., xn) অবশ্যই S(x1, x2, x3, ..., xn)-এর অন্তর্ভুক্ত হতে হবে। অতএব, যদি x ভেক্টরটি x1, x2, x3, ..., xn-এর ওপর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়, তবে S(x, x1, x2, x3, ..., xn) এবং S(x1, x2, x3, ..., xn) পরস্পর সমান হবে।
উপপাদ্য
[সম্পাদনা]একগুচ্ছ ভেক্টরের মধ্যে রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরের সর্বোচ্চ সংখ্যা ওই সেটের বিস্তারের মাত্রার সমান।
প্রমাণ
[সম্পাদনা]ধরি, x1, x2, x3, ..., xn ভেক্টরগুলোর মধ্যে d সংখ্যক রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টর রয়েছে এবং অন্য সকল ভেক্টর ওই d সংখ্যক রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরের লিনিয়ার কম্বিনেশন। এই d সংখ্যাটিই হলো x1, x2, x3, ..., xn-এর মধ্যে থাকা রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরের সর্বোচ্চ সংখ্যা। এখন, S(x1, x2, x3, ..., xn)-এর যেকোনো উপাদান অবশ্যই ওই d সংখ্যক রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরের লিনিয়ার কম্বিনেশন হবে, যার ফলে তারা একটি বেসিস গঠন করে। সুতরাং, d হলো S(x1, x2, x3, ..., xn)-এর মাত্রা, যা x1, x2, x3, ..., xn-এর মধ্যে থাকা রৈখিকভাবে স্বাধীন ভেক্টরের সর্বোচ্চ সংখ্যার সমান।