রৈখিক বীজগণিত/একটি রেখার উপর লম্ব অভিক্ষেপ/সমাধান

সমাধান

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

প্রথম ভেক্টরটিকে দ্বিতীয় ভেক্টর দ্বারা স্প্যান করা রেখার উপর লম্ব-অভিক্ষেপ করো।

${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$ , ${\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}$

উত্তর

প্রতিটিই সংজ্ঞা ১.১-এর সূত্রের একটি সরাসরি প্রয়োগ।

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}={\frac {4}{13}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}12/13\\-8/13\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}={\frac {2}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}={\frac {-1}{6}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1/6\\-1/3\\1/6\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\3\\12\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\4\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ২

ভেক্টরটিকে রেখাটির উপর লম্ব-অভিক্ষেপ করো।

${\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}},\{c{\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$
${\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}$ , $y=3x$ রেখা

উত্তর

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}2\\-1\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}={\frac {-19}{19}}\cdot {\begin{pmatrix}-3\\1\\-3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-1\\3\end{pmatrix}}$
রেখাটিকে $\{c\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ হিসেবে লিখলে এই অভিক্ষেপটি পাওয়া যায়।
${\frac {{\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\frac {-4}{10}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-2/5\\-6/5\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৩

যদিও সংজ্ঞা ১.১-এর আলোচনা মূলত চিত্রের ওপর ভিত্তি করে তৈরি, কিন্তু আমরা কেবল সেই স্পেস বা স্থানগুলোর মধ্যেই সীমাবদ্ধ নই যেগুলো আমরা আঁকতে পারি। $\mathbb {R} ^{4}$ স্পেসে এই ভেক্টরটিকে এই রেখার উপর অভিক্ষেপ করো।

{\vec {v}}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\\3\end{pmatrix}}\qquad \ell =\{c\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}

উত্তর

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\2\\1\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}={\frac {3}{4}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\1\\-1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-3/4\\3/4\\-3/4\\3/4\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৪

সংজ্ঞা ১.১-এ দুটি ভেক্টর ${\vec {s}}$ এবং ${\vec {v}}$ ব্যবহার করা হয়েছে। ধরা যাক, একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর

{\vec {s}}={\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}

নির্ধারণ করে এবং ${\vec {v}}$ ভেক্টরটিকে ${\vec {s}}$ -এর স্প্যান করা রেখার উপর অভিক্ষেপ করে $\mathbb {R} ^{2}$ -এর একটি রূপান্তর পাওয়া গেল। নিচের ভেক্টরগুলোর উপর এটি প্রয়োগ করো।

${\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}$
${\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}$

দেখাও যে, সাধারণভাবে এই প্রক্ষেপণ রূপান্তরটি হলো:

{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}(x_{1}+3x_{2})/10\\(3x_{1}+9x_{2})/10\end{pmatrix}}

এই রূপান্তরের কাজটি একটি ম্যাট্রিক্সের সাহায্যে প্রকাশ করো।

উত্তর

$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3/2\\1/2\end{pmatrix}}$
$\displaystyle {\frac {{\begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\frac {2}{5}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}6/5\\2/5\end{pmatrix}}$

সাধারণভাবে প্রক্ষেপণটি হলো:

{\frac {{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\frac {3x_{1}+x_{2}}{10}}\cdot {\begin{pmatrix}3\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(9x_{1}+3x_{2})/10\\(3x_{1}+x_{2})/10\end{pmatrix}}

এর জন্য সঠিক ম্যাট্রিক্সটি হলো:

{\begin{pmatrix}9/10&3/10\\3/10&1/10\end{pmatrix}}

সমস্যা ৫: উদাহরণ ১.৫ থেকে বোঝা যায় যে, প্রক্ষেপণ বা অভিক্ষেপ ${\vec {v}}$ -কে দুটি অংশে ভাগ করে— ${\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})$ এবং ${\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})$ , যেগুলো পরস্পরের সাথে "মিথস্ক্রিয়া বা ইন্টারঅ্যাক্ট করে না"।

মনে করে দেখো, এই দুটি অংশ পরস্পর লম্ব। দেখাও যে, যেকোনো দুটি অশূন্য লম্ব-ভেক্টর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সেট তৈরি করে।

উত্তর

ধরি, ${\vec {v}}_{1}$ এবং ${\vec {v}}_{2}$ অশূন্য এবং পরস্পর লম্ব। এখন এই লিনিয়ার সম্পর্কটি বিবেচনা করো: $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}={\vec {0}}$ । সমীকরণের উভয় পাশে ${\vec {v}}_{1}$ দিয়ে ডট গুণন (dot product) করে পাই:

{\vec {v}}_{1}\cdot (c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})=c_{1}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{2})=c_{1}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{1})+c_{2}\cdot 0=c_{1}\cdot ({\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {v}}_{1})

যা ${\vec {v}}_{1}\cdot {\vec {0}}={\vec {0}}$ -এর সমান। যেহেতু আমরা ধরে নিয়েছি ${\vec {v}}_{1}$ অশূন্য, তাই এর মানে হলো $c_{1}$ শূন্য। একইভাবে দেখানো যায় যে $c_{2}$ -ও শূন্য।

সমস্যা ৬

যদি ${\vec {v}}$ নিজেই একটি রেখার অংশ হয়, তবে সেই রেখার উপর ${\vec {v}}$ -এর লম্ব-অভিক্ষেপ কী হবে?
দেখাও যে, যদি ${\vec {v}}$ রেখাটির অংশ না হয়, তবে $\{{\vec {v}},{\vec {v}}-{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({{\vec {v}}\,})\}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন।

উত্তর

যদি ভেক্টর ${\vec {v}}\,$ রেখাটির ভেতরেই থাকে, তবে এর লম্ব-অভিক্ষেপ হবে ${\vec {v}}$ নিজেই। এটি হিসেব করে যাচাই করার জন্য লক্ষ করো, যেহেতু ${\vec {v}}\,$ রেখাটিতে অবস্থিত, তাই কোনো স্কেলার $c_{\vec {v}}$ -এর জন্য আমরা লিখতে পারি ${\vec {v}}=c_{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,$ ।
${\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}={\frac {c_{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}=c_{\vec {v}}\cdot {\frac {{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}=c_{\vec {v}}\cdot 1\cdot {\vec {s}}={\vec {v}}$
(মন্তব্য: যদি আমরা ধরে নিই যে ${\vec {v}}\,$ অশূন্য, তবে ${\vec {s}}\,$ -কে ${\vec {v}}$ ধরলে ওপরের হিসাবটি আরও সহজ হয়ে যায়।)
প্রক্ষেপণ ${\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({\vec {v}})$ -এর জন্য $c_{\vec {p}}{\vec {s}}\,$ লেখো। লক্ষ করো, যেহেতু আমরা ধরে নিয়েছি ${\vec {v}}$ রেখাটিতে নেই, তাই ${\vec {v}}$ এবং ${\vec {v}}-c_{\vec {p}}{\vec {s}}\,$ উভয়েই অশূন্য। আরও লক্ষ করো, যদি $c_{\vec {p}}\,$ শূন্য হয়, তবে আমরা মূলত একটি উপাদান বিশিষ্ট সেট $\{{\vec {v}}\,\}$ বিবেচনা করছি, এবং যেহেতু ${\vec {v}}$ অশূন্য, তাই এই সেটটি অবশ্যই রৈখিকভাবে স্বাধীন। সুতরাং, আমাদের কেবল সেই ক্ষেত্রটিই বিবেচনা করতে হবে যেখানে $c_{\vec {p}}$ অশূন্য। একটি লিনিয়ার সম্পর্ক স্থাপন করে পাই:
$a_{1}({\vec {v}})+a_{2}({\vec {v}}-c_{\vec {p}}{\vec {s}})={\vec {0}}$
এখান থেকে সমীকরণটি দাঁড়ায়: $(a_{1}+a_{2})\cdot {\vec {v}}=a_{2}c_{\vec {p}}\cdot {\vec {s}}$ । যেহেতু ${\vec {v}}\,$ রেখাটিতে নেই, তাই স্কেলার $a_{1}+a_{2}$ এবং $a_{2}c_{\vec {p}}$ উভয়কেই শূন্য হতে হবে। $c_{\vec {p}}=0$ -এর ক্ষেত্রটি আগেই আলোচনা করা হয়েছে, তাই বাকি থাকে $a_{2}=0$ -এর ক্ষেত্রটি, আর এটি প্রমাণ করে যে $a_{1}=0$ -ও হবে। অতএব, সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন।

সমস্যা ৭

সংজ্ঞা ১.১-এর শর্ত অনুযায়ী ${\vec {s}}\,$ -কে অশূন্য হতে হবে। কেন? শূন্য ভেক্টর দ্বারা গঠিত (ডিজেনারেট বা অবক্ষয়িত) রেখার উপর কোনো ভেক্টরের লম্ব-অভিক্ষেপের সঠিক সংজ্ঞা কী হওয়া উচিত?

উত্তর

যদি ${\vec {s}}\,$ শূন্য ভেক্টর হয়, তবে রাশিটি দাঁড়ায়:

{\mbox{proj}}_{[{\vec {s}}\,]}({\vec {v}})={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}

এখানে শূন্য দিয়ে ভাগ করতে হয়, যা অসংজ্ঞায়িত। আর সঠিক সংজ্ঞার কথা বললে, প্রক্ষেপণটিকে শূন্য ভেক্টরের স্প্যানের মধ্যে থাকতে হলে, একে অবশ্যই ${\vec {0}}$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করতে হবে।

সমস্যা ৮

সব ভেক্টরই কি কোনো না কোনো রেখার উপর অন্য কোনো ভেক্টরের প্রক্ষেপণ?

উত্তর

$\mathbb {R} ^{n}$ স্পেসের যেকোনো ভেক্টর অন্য কোনো ভেক্টরের কোনো রেখার উপর প্রক্ষেপণ হতে পারে, তবে শর্ত হলো মাত্রা $n$ -এর মান ১-এর চেয়ে বড় হতে হবে। (স্পষ্টতই, যেকোনো ভেক্টর নিজের ভেতর দিয়ে যাওয়া রেখার উপর নিজেই নিজের প্রক্ষেপণ; কিন্তু প্রশ্নটি হলো ${\vec {v}}$ ছাড়া অন্য এমন কোনো ভেক্টর বের করা যার প্রক্ষেপণ ${\vec {v}}$ হবে।)

ধরি, $n>1$ মাত্রায় ${\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}$ । যদি ${\vec {v}}\neq {\vec {0}}$ হয়, তবে আমরা $\ell =\{c{\vec {v}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ রেখাটি বিবেচনা করি, আর যদি ${\vec {v}}={\vec {0}}$ হয়, তবে আমরা $\ell$ হিসেবে যেকোনো (ননডিজেনারেট) রেখা নিতে পারি (আসলে, এই দুই ক্ষেত্রের মধ্যে পার্থক্য করার কোনো প্রয়োজন নেই— আগের অনুশীলনটি দেখো)। ধরি, ${\vec {v}}$ -এর উপাংশগুলো হলো $v_{1},\dots ,v_{n}$ ; যেহেতু $n>1$ , তাই এখানে অন্তত দুটি উপাংশ থাকবে। যদি কোনো একটি উপাংশ $v_{i}$ শূন্য হয়, তবে ${\vec {w}}={\vec {e}}_{i}$ ভেক্টরটি ${\vec {v}}$ -এর উপর লম্ব হবে। যদি কোনো উপাংশই শূন্য না হয়, তবে ${\vec {w}}\,$ ভেক্টরটি, যার উপাংশগুলো $v_{2},-v_{1},0,\dots ,0$ , সেটি ${\vec {v}}$ -এর উপর লম্ব হবে। উভয় ক্ষেত্রেই, লক্ষ করো যে ${\vec {v}}+{\vec {w}}$ কখনোই ${\vec {v}}$ -এর সমান নয়, এবং $\ell$ রেখার উপর ${\vec {v}}+{\vec {w}}$ -এর প্রক্ষেপণ হলো ${\vec {v}}$ ।

{\frac {({\vec {v}}+{\vec {w}})\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\cdot {\vec {v}}={\bigl (}{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}+{\frac {{\vec {w}}\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}{\bigr )}\cdot {\vec {v}}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}{{\vec {v}}\cdot {\vec {v}}}}\cdot {\vec {v}}={\vec {v}}

বাকি থাকা $n=0$ এবং $n=1$ ক্ষেত্র দুটিও আমরা মীমাংসা করতে পারি। মাত্রা $n=0$ হলো একটি ট্রিভিয়াল ভেক্টর স্পেস, যেখানে কেবল একটি ভেক্টরই থাকে, তাই একে অন্য কোনো ভেক্টরের প্রক্ষেপণ হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব নয়। মাত্রা $n=1$ -এর ক্ষেত্রে কেবল একটি (ননডিজেনারেট) রেখাই থাকে এবং প্রতিটি ভেক্টর এর মধ্যেই অবস্থান করে, তাই প্রতিটি ভেক্টর কেবল নিজেরই প্রক্ষেপণ হয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৯

দেখাও যে, ${\vec {s}}$ দ্বারা স্প্যান করা রেখার উপর ${\vec {v}}$ -এর প্রক্ষেপণের দৈর্ঘ্য, ${\vec {v}}\cdot {\vec {s}}$ মানটির পরম মানকে ${\vec {s}}$ ভেক্টরের দৈর্ঘ্য দিয়ে ভাগ করলে যা পাওয়া যায় তার সমান।

উত্তর

এর প্রমাণটি মূলত একটি সাধারণ হিসাব মাত্র।

|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,|=|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}|\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|^{2}}}\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|}}

সমস্যা ১০

একটি বিন্দু থেকে একটি রেখার দূরত্বের সূত্রটি বের করো।

উত্তর

যেহেতু ${\vec {s}}$ দ্বারা স্প্যান করা রেখার উপর ${\vec {v}}$ -এর প্রক্ষেপণ হলো:

{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}

তাই বিন্দুটি থেকে রেখাটির দূরত্বের বর্গ হবে এরকম (কোনো ভেক্টরের নিজের সাথে ডট গুণন ${\vec {w}}\cdot {\vec {w}}$ -কে ${\vec {w}}^{2}$ হিসেবে লেখা যায়):

{\begin{array}{rl}|{\vec {v}}-{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,|^{2}&={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-{\vec {v}}\cdot ({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}})-({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,)\cdot {\vec {v}}+({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}\\&={\vec {v}}\cdot {\vec {v}}-2\cdot ({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}})\cdot {\vec {v}}\cdot {\vec {s}}+({\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}})\cdot {\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\\&={\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\,)\cdot ({\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)-2\cdot ({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}+({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\\&={\frac {({\vec {v}}\cdot {\vec {v}}\,)({\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)-({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,)^{2}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\end{array}}

সমস্যা ১১: ক্যালকুলাস ব্যবহার করে এমন একটি স্কেলার $c$ নির্ণয় করো যেন $(v_{1},v_{2})$ বিন্দু থেকে $(cs_{1},cs_{2})$ -এর দূরত্ব ন্যূনতম হয় (অর্থাৎ, দূরত্ব ফাংশনটি বিবেচনা করো, এর প্রথম অন্তরজকে শূন্য ধরে সমাধান করো)। এটিকে $\mathbb {R} ^{n}$ -এর জন্য সাধারণ রূপ দাও।
উত্তর

যেহেতু বর্গমূল একটি স্ট্রাক্টলি ইনক্রিজিং ফাংশন, তাই আমরা $d$ -এর বর্গমূল নেওয়ার পরিবর্তে সরাসরি $d(c)=(cs_{1}-v_{1})^{2}+(cs_{2}-v_{2})^{2}$ -কে ন্যূনতম করতে পারি। এর অন্তরজ (derivative) হলো: $dd/dc=2(cs_{1}-v_{1})\cdot s_{1}+2(cs_{2}-v_{2})\cdot s_{2}$ । একে শূন্যের সমান ধরলে $2(cs_{1}-v_{1})\cdot s_{1}+2(cs_{2}-v_{2})\cdot s_{2}=c\cdot (2s_{1}^{2}+2s_{2}^{2})-(2v_{1}s_{1}+2v_{2}s_{2})=0$ আমরা একমাত্র ক্রিটিক্যাল পয়েন্ট পাই:

c={\frac {v_{1}s_{1}+v_{2}s_{2}}{{s_{1}}^{2}+{s_{2}}^{2}}}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}

এখন $c$ -এর সাপেক্ষে দ্বিতীয় অন্তরজ নিলে পাই:

{\frac {d^{2}\,d}{dc^{2}}}=2{s_{1}}^{2}+2{s_{2}}^{2}

যা পুরোপুরি ধনাত্মক (যতক্ষণ না পর্যন্ত $s_{1}$ বা $s_{2}$ -এর কোনোটি শূন্য হয়, সেক্ষেত্রে প্রশ্নটি অতি সাধারণ হয়ে যায়) এবং তাই এই ক্রিটিক্যাল পয়েন্টটি একটি ন্যূনতম মান (minimum)।

$\mathbb {R} ^{n}$ -এর জন্য একে সাধারণীকরণ করা বেশ সোজা। $d_{n}(c)=(cs_{1}-v_{1})^{2}+\dots +(cs_{n}-v_{n})^{2}$ বিবেচনা করো, এর অন্তরজ বের করো ইত্যাদি।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১২

প্রমাণ করো যে, একটি রেখার উপর কোনো ভেক্টরের লম্ব-অভিক্ষেপ ওই ভেক্টরটির চেয়ে দৈর্ঘ্যে ছোট হয়।

উত্তর

কোশি-শোয়ার্জ অসমতা $|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|\leq |{\vec {v}}\,|\cdot |{\vec {s}}\,|$ থেকে আমরা পাই যে এই ভগ্নাংশটিকে:

|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}\cdot {\vec {s}}\,|=|{\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}}{{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}}}|\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|^{2}}}\cdot |{\vec {s}}\,|={\frac {|{\vec {v}}\cdot {\vec {s}}\,|}{|{\vec {s}}\,|}}

$|{\vec {v}}\,|$ দ্বারা ভাগ করলে তার মান ১-এর সমান বা তার চেয়ে ছোট হয়। অর্থাৎ, $|{\vec {v}}\,|$ এই ভগ্নাংশটির সমান বা তার চেয়ে বড়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৩: দেখাও যে, একটি রেখার উপর লম্ব-অভিক্ষেপের সংজ্ঞা এর স্প্যানিং ভেক্টরের উপর নির্ভর করে না: যদি ${\vec {s}}$ , ${\vec {q}}$ -এর একটি অশূন্য গুণিতক হয়, তবে

$({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}/{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)\cdot {\vec {s}}$ -এর মান $({\vec {v}}\cdot {\vec {q}}/{\vec {q}}\cdot {\vec {q}}\,)\cdot {\vec {q}}$ -এর সমান হবে।

উত্তর

${\vec {q}}$ -এর জায়গায় $c{\vec {s}}$ লেখো, এবং হিসেব করো: $({\vec {v}}\cdot c{\vec {s}}/c{\vec {s}}\cdot c{\vec {s}}\,)\cdot c{\vec {s}}=({\vec {v}}\cdot {\vec {s}}/{\vec {s}}\cdot {\vec {s}}\,)\cdot {\vec {s}}$ ।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৪

এমন একটি ফাংশন ম্যাপিং বিবেচনা করো যা কোনো সমতলের ভেক্টরকে একই সমতলের $y=x$ রেখার উপর প্রক্ষেপণ করে। নিচের দুটি অংশই দেখায় যে এই ম্যাপটি লিনিয়ার; যার প্রথমটি স্থানাঙ্কের উপর নির্ভরশীল (অর্থাৎ, এটি একটি বেসিস বা ভিত্তি নির্ধারণ করে তারপর হিসাব করে) এবং দ্বিতীয়টি তুলনামূলকভাবে বেশি ধারণাগত (conceptual)।

এমন একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করো যা ফাংশনটির কাজ বর্ণনা করে।
আরও দেখাও যে, সমতলের সবকিছুকে প্রথমে ঘড়ির কাঁটার দিকে $\pi /4$ রেডিয়ান ঘুরিয়ে, তারপর $x$ -অক্ষের উপর প্রক্ষেপণ করে, এবং সবশেষে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\pi /4$ রেডিয়ান ঘুরিয়েও এই ম্যাপটি পাওয়া সম্ভব।

উত্তর

যে রেখাটির স্প্যান করা ভেক্টর
${\vec {s}}={\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}$
-কে নির্দিষ্ট করলে, সূত্র অনুযায়ী এর কাজ হবে এরকম:
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\frac {{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\frac {x+y}{2}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(x+y)/2\\(x+y)/2\end{pmatrix}}$
যা মূলত এই ম্যাট্রিক্সটিরই প্রভাব:
${\begin{pmatrix}1/2&1/2\\1/2&1/2\end{pmatrix}}$
সম্পূর্ণ সমতলকে ঘড়ির কাঁটার দিকে $\pi /4$ রেডিয়ান ঘুরালে $y=x$ রেখাটি $x$ -অক্ষের উপর চলে আসে। এখন প্রক্ষেপণ করে পুনরায় আগের দিকে ঘুরালেই কাঙ্ক্ষিত ফলাফল পাওয়া যায়।

সমস্যা ১৫

${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {R} ^{n}$ -এর জন্য ধরি, ${\vec {b}}$ দ্বারা স্প্যান করা রেখার উপর ${\vec {a}}$ -এর প্রক্ষেপণ হলো ${\vec {v}}_{1}$ ; ${\vec {a}}$ দ্বারা স্প্যান করা রেখার উপর ${\vec {v}}_{1}$ -এর প্রক্ষেপণ হলো ${\vec {v}}_{2}$ ; ${\vec {b}}$ দ্বারা স্প্যান করা রেখার উপর ${\vec {v}}_{2}$ -এর প্রক্ষেপণ হলো ${\vec {v}}_{3}$ ; ইত্যাদি। এভাবে ${\vec {a}}$ এবং ${\vec {b}}$ -এর স্প্যানগুলোর মধ্যে পালাক্রমে চলতে থাকে। অর্থাৎ, যদি $i+1$ জোড় সংখ্যা হয় তবে ${\vec {v}}_{i}$ -এর প্রক্ষেপণ হবে ${\vec {a}}$ -এর স্প্যানের উপর, আর যদি $i+1$ বিজোড় হয় তবে প্রক্ষেপণ হবে ${\vec {b}}$ -এর স্প্যানের উপর। ভেক্টরগুলোর এই ক্রম বা সিকোয়েন্স কি শেষ পর্যন্ত স্থির হবে— অর্থাৎ, এমন কি কোনো যথেষ্ট বড় মানের $i$ আছে যার জন্য ${\vec {v}}_{i+2}$ , ${\vec {v}}_{i}$ -এর সমান হবে এবং ${\vec {v}}_{i+3}$ , ${\vec {v}}_{i+1}$ -এর সমান হবে? যদি তাই হয়, তবে সবচেয়ে ছোট এমন $i$ এর মান কত?