রৈখিক বীজগণিত/উৎপাদক বিশ্লেষণ ও জটিল সংখ্যা: একটি পর্যালোচনা

এই উপ-অনুচ্ছেদটি কেবল একটি পর্যালোচনা এবং আমরা এর প্রধান ফলাফলগুলোকে জানা হিসেবে ধরে নিচ্ছি।

পূর্ণসংখ্যার যেমন একটি ভাগ প্রক্রিয়া রয়েছে—যেমন, "$21$ এর মধ্যে $4$ যায় $5$ বার এবং ভাগশেষ থাকে $1$"—বহুপদীর ক্ষেত্রেও তেমনই রয়েছে।

উপপাদ্য ১.১ (বহুপদীর ভাগ উপপাদ্য)

ধরা যাক, $c(x)$ একটি বহুপদী। যদি $m(x)$ একটি অ-শূন্য বহুপদী হয়, তবে এমন একটি ভাগফল বহুপদী $q(x)$ এবং ভাগশেষ বহুপদী $r(x)$ থাকবে যেন:

$c(x)=m(x)\cdot q(x)+r(x)$

যেখানে $r(x)$ এর ঘাত অবশ্যই $m(x)$ এর ঘাতের চেয়ে কম হবে।

এই বইয়ে শূন্য বহুপদীসহ ধ্রুবক বহুপদীগুলোর ঘাত $0$ ধরা হয়েছে। (এটি কোনো আদর্শ সংজ্ঞা নয়, তবে এখানে ব্যবহারের জন্য সুবিধাজনক।)

পূর্ণসংখ্যার ভাগের ক্ষেত্রে "$21$ এর মধ্যে $4$ যায় $5$ বার এবং ভাগশেষ থাকে $1$"—বলার মূল তাৎপর্য হলো ভাগশেষটি $4$ এর চেয়ে কম; অর্থাৎ $4$ যেখানে $5$ বার যায়, সেখানে তা $6$ বার যেতে পারে না। একইভাবে, বহুপদীর ভাগ সংক্রান্ত বিবৃতির মূল তাৎপর্য লুকিয়ে আছে এর শেষ শর্তটিতে।

উদাহরণ ১.২

যদি $c(x)=2x^{3}-3x^{2}+4x$ এবং $m(x)=x^{2}+1$ হয়, তবে $q(x)=2x-3$ এবং $r(x)=2x+3$ হবে। লক্ষ্য করুন যে, $r(x)$ এর ঘাত $m(x)$ এর ঘাতের চেয়ে কম।

অনুসিদ্ধান্ত ১.৩

$c(x)$-কে $x-\lambda$ দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগশেষ পাওয়া যায়, তা হলো ধ্রুবক বহুপদী $r(x)=c(\lambda )$।

প্রমাণ

ভাগশেষটিকে অবশ্যই একটি ধ্রুবক বহুপদী হতে হবে, কারণ এর ঘাত ভাজক $x-\lambda$ এর ঘাতের চেয়ে কম। ধ্রুবকটি নির্ধারণ করার জন্য, উপপাদ্যের $m(x)$-কে $x-\lambda$ ধরে এবং $x$ এর পরিবর্তে $\lambda$ বসিয়ে আমরা পাই: $c(\lambda )=(\lambda -\lambda )\cdot q(\lambda )+r(x)$।

যদি একটি ভাজক $m(x)$ কোনো ভাজ্য $c(x)$-কে নিঃশেষে ভাগ করে—যার অর্থ $r(x)$ একটি শূন্য বহুপদী হয়, তবে $m(x)$-কে $c(x)$ এর একটি উৎপাদক বলা হয়। এই উৎপাদকের যেকোনো মূল বা বীজ (যেকোনো $\lambda \in \mathbb {R}$ যেন $m(\lambda )=0$ হয়), তা $c(x)$ এরও একটি মূল হবে; কারণ $c(\lambda )=m(\lambda )\cdot q(\lambda )=0$। পূর্ববর্তী অনুসিদ্ধান্তটি থেকে সরাসরি নিচের বিপরীত উপপাদ্যটি পাওয়া যায়।

অনুসিদ্ধান্ত ১.৪

যদি $\lambda$ কোনো বহুপদী $c(x)$ এর একটি মূল বা বীজ হয়, তবে $x-\lambda$ দ্বারা $c(x)$ নিঃশেষে বিভাজ্য হবে; অর্থাৎ, $x-\lambda$ হলো $c(x)$ এর একটি উৎপাদক।

একটি উচ্চ-ঘাতের বহুপদীর মূল এবং উৎপাদক খুঁজে বের করা কঠিন হতে পারে। তবে দ্বিঘাত বহুপদীর জন্য আমাদের কাছে দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র রয়েছে: $ax^{2}+bx+c$ এর মূলগুলো হলো—

$\lambda _{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\qquad \lambda _{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

(যদি নিশ্চয়ক বা ডিসক্রিমিন্যান্ট $b^{2}-4ac$ ঋণাত্মক হয়, তবে বহুপদীটির কোনো বাস্তব সংখ্যার মূল থাকে না)। যে বহুপদীকে বাস্তব সংখ্যা সহগবিশিষ্ট দুটি নিম্ন-ঘাতের বহুপদীতে বিশ্লেষণ করা যায় না, তাকে বাস্তব সংখ্যার ওপর অবিশ্লেষণীয় বলা হয়।

উপপাদ্য ১.৫

যেকোনো ধ্রুবক বা রৈখিক বহুপদী বাস্তব সংখ্যার ওপর অবিশ্লেষণীয়। একটি দ্বিঘাত বহুপদী বাস্তব সংখ্যার ওপর অবিশ্লেষণীয় হবে যদি এবং কেবল যদি এর নিশ্চয়ক ঋণাত্মক হয়। কোনো ত্রিঘাত বা উচ্চ-ঘাতের বহুপদী বাস্তব সংখ্যার ওপর অবিশ্লেষণীয় নয়।

অনুসিদ্ধান্ত ১.৬

বাস্তব সহগবিশিষ্ট যেকোনো বহুপদীকে রৈখিক এবং অবিশ্লেষণীয় দ্বিঘাত বহুপদীর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায়। এই উৎপাদকে বিশ্লেষণটি অনন্য ; অর্থাৎ যেকোনো দুটি উৎপাদকে বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে একই উৎপাদকের ঘাত বা পাওয়ার একই থাকবে।

পূর্ণসংখ্যার মৌলিক উৎপাদকে বিশ্লেষণের সাথে এর সাদৃশ্যটি লক্ষ্য করুন। উভয় ক্ষেত্রেই, এই অনন্যতার শর্তটি অত্যন্ত দরকারী।

উদাহরণ ১.৭

অনন্যতার কারণে আমরা এগুলোকে গুণ না করেই জানতে পারি যে, $(x+3)^{2}(x^{2}+1)^{3}$ এবং $(x+3)^{4}(x^{2}+x+1)^{2}$ পরস্পর সমান নয়।

উদাহরণ ১.৮

অনন্যতা অনুযায়ী, যদি $c(x)=m(x)\cdot q(x)$ হয়, যেখানে $c(x)=(x-3)^{2}(x+2)^{3}$ এবং $m(x)=(x-3)(x+2)^{2}$, তবে আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারি যে $q(x)=(x-3)(x+2)$ হবে।

যদিও $x^{2}+1$ এর কোনো বাস্তব মূল নেই এবং তাই এটি বাস্তব সংখ্যার ওপর উৎপাদকে বিশ্লেষণ করা যায় না; তবে আমরা যদি একটি কাল্পনিক মূল ধরে নিই—যাকে ঐতিহ্যগতভাবে $i$ দ্বারা প্রকাশ করা হয় যেন $i^{2}+1=0$ হয়—তাহলে $x^{2}+1$-কে রৈখিক বহুপদীর গুণফল $(x-i)(x+i)$ হিসেবে বিশ্লেষণ করা সম্ভব।

তাই আমরা এই মূল $i$-কে বাস্তব সংখ্যার সাথে যুক্ত করি এবং যোগ, গুণ ইত্যাদির সাপেক্ষে নতুন এই পদ্ধতিটিকে সীমাবদ্ধ করি (অর্থাৎ, আমরা $1$ এবং $i$ এর সমস্ত রৈখিক সমাবেশের অন্তর্ভুক্ত করে $3+i$, $2i$, এবং $3+2i$ ইত্যাদিও যোগ করি)। এর ফলে আমরা একটি নতুন গঠন পাই, যাকে জটিল সংখ্যা বলা হয় এবং একে $\mathbb {C}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়।

$\mathbb {C}$ সেট-এ আমরা এমন সব দ্বিঘাত বহুপদীকেও উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি (অন্তত কিছু তো বটেই), যা বাস্তব সংখ্যার মধ্যে থাকলে অবিশ্লেষণীয় রয়ে যেত। আশ্চর্যের বিষয় হলো, জটিল সংখ্যার জগতে ($\mathbb {C}$) আমরা কেবল $x^{2}+1$ বা এর কাছাকাছি সম্পর্কের বহুপদীগুলোই নয়, বরং যেকোনো দ্বিঘাত বহুপদীকে উৎপাদকে বিশ্লেষণ করতে পারি:

$ax^{2}+bx+c=a\cdot {\big (}x-{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{\big )}\cdot {\big (}x-{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{\big )}$

উদাহরণ ১.৯

দ্বিঘাত বহুপদী $x^{2}+x+1$-কে জটিল সংখ্যার ওপর দুটি এক-ঘাতের (রৈখিক) বহুপদীর গুণফল হিসেবে বিশ্লেষণ করা যায়:

${\big (}x-{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}{\big )}{\big (}x-{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}{\big )}={\big (}x-(-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i){\big )}{\big (}x-(-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i){\big )}$

অনুসিদ্ধান্ত ১.১০ (বীজগণিতের মৌলিক উপপাদ্য)

জটিল সহগবিশিষ্ট বহুপদীগুলোকে জটিল সহগবিশিষ্ট রৈখিক বহুপদীতে বিশ্লেষণ করা যায়। এই উৎপাদকে বিশ্লেষণটি অনন্য।

তথ্যসূত্র

• এবিংহাউস, এইচ. ডি. (১৯৯০), নাম্বারস, স্প্রিংগার-ভারল্যাগ উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

• বার্কহফ, গ্যারেট; ম্যাকলেন, সন্ডার্স (১৯৬৫), সার্ভে অব মডার্ন অ্যালজেব্রা (তৃতীয় সংস্করণ), ম্যাকমিলান উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)