রৈখিক বীজগণিত/উপজগতের সংমিশ্রণ/সমাধান

সমাধানসমূহ

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১

নিচে বর্ণিত প্রতিটি ক্ষেত্রে $\mathbb {R} ^{2}$ ভেক্টর জগৎটি $W_{1}$ এবং $W_{2}$ উপজগৎ (subspaces) দুটির প্রত্যক্ষ সমষ্টি (direct sum) কি না, তা যাচাই করে সিদ্ধান্ত গ্রহণ করুন।

1. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$
2. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}s\\s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}s\\1.1s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
3. $W_{1}=\mathbb {R} ^{2}$, $W_{2}=\{{\vec {0}}\}$
4. $W_{1}=W_{2}=\{{\begin{pmatrix}t\\t\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$
5. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}$

উত্তর

এই সমস্যাগুলোর প্রত্যেকটি সমাধানের ক্ষেত্রে আমরা লিনিয়ার অ্যালজেব্রার অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ একটি উপপাদ্য বা লেমা ৪.১৫ (Lemma 4.15) প্রয়োগ করতে পারি, যা মূলত দুটি উপজগৎের প্রত্যক্ষ সমষ্টির বৈশিষ্ট্য ও শর্তাবলি বর্ণনা করে।

1. হ্যাঁ, এটি একটি প্রত্যক্ষ সমষ্টি। এই দ্বিমাত্রিক সমতলটি (plane) মূলত $W_{1}$ এবং $W_{2}$ এর সমষ্টি হিসেবে গঠিত হয়েছে। এর কারণ হলো, যেকোনো স্কেলার রাশি $a$ এবং $b$ এর জন্য আমরা ভেক্টরটিকে নিম্নোক্তভাবে বিশ্লেষণ করতে পারি:

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a-b\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b\\b\end{pmatrix}}$

   উপরের এই গাণিতিক প্রকাশটি স্পষ্টভাবে দেখায় যে, সমতলের যেকোনো সাধারণ ভেক্টরকে এই দুটি উপজগৎ থেকে প্রাপ্ত ভেক্টরসমূহের সমষ্টি হিসেবে উপস্থাপন করা সম্ভব। বস্তুত, এই উপজগৎ দুটি মূলবিন্দুগামী দুটি ভিন্ন সরলরেখা নির্দেশ করে, যার ফলে এদের ছেদবিন্দু বা ইন্টারসেকশনটি কেবল একটি ট্রিভিয়াল (trivial) বা শূন্য ভেক্টর। সুতরাং প্রত্যক্ষ সমষ্টির শর্ত এখানে পূর্ণ হয়েছে।
2. হ্যাঁ, এটিও একটি প্রত্যক্ষ সমষ্টি। সমতলের যেকোনো ভেক্টর যে এই দুটি অংশের ভেক্টরসমূহের একটি রৈখিক সমাবেশ বা কম্বিনেশন হিসেবে প্রকাশযোগ্য, তা বোঝার জন্য নিচের গাণিতিক সম্পর্কটি বিবেচনা করা যাক:

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}1\\1.1\end{pmatrix}}$

   আমরা খুব সহজেই লক্ষ্য করতে পারি যে, নিম্নোক্ত সেটটি:

   $\{{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\1.1\end{pmatrix}}\}$

   এই ভেক্টর জগতের একটি ভিত্তি বা বেসিস (basis) গঠন করে। এর কারণ হলো, ভেক্টর দুটি স্পষ্টতই রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent) এবং $\mathbb {R} ^{2}$ জগতে এদের সদস্য সংখ্যা বা আকার দুই। ফলে উপরের সমীকরণটির একটি এবং কেবলমাত্র একটি অনন্য সমাধান বিদ্যমান, যা নির্দেশ করে যে প্রতিটি বিশ্লেষণ বা ডিকম্পোজিশন অনন্য। বিকল্পভাবে, আমরা সমীকরণটি সমাধান করার জন্য নিচের পদ্ধতি অনুসরণ করতে পারি:

   ${\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&a\\c_{1}&+&1.1c_{2}&=&b\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{2}{rc}r}c_{1}&+&c_{2}&=&a\\&&0.1c_{2}&=&-a+b\end{array}}$

   এই সমীকরণ ব্যবস্থা থেকে আমরা পাই যে, $c_{2}=10(-a+b)$ এবং $c_{1}=11a-10b$। ফলশ্রুতিতে আমরা ভেক্টরটিকে এভাবে লিখতে পারি:

   ${\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}11a-10b\\11a-10b\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-10a+10b\\1.1\cdot (-10a+10b)\end{pmatrix}}$

   যা আমাদের প্রয়োজনীয় শর্ত পূরণ করে। পূর্ববর্তী উত্তরের মতোই, এখানেও প্রতিটি উপজগৎ মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা এবং তাদের পারস্পরিক ছেদবিন্দু কেবল শূন্য ভেক্টর বা ট্রিভিয়াল।
3. হ্যাঁ, এটি একটি প্রত্যক্ষ সমষ্টি। এই ক্ষেত্রে সমতলের প্রতিটি ভেক্টরকে নিম্নোক্ত উপায়ে একটি সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব:

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}$

এবং এই উপজগৎ (subspace) দুটির সাধারণ ছেদবিন্দু বা ইন্টারসেকশনটি অত্যন্ত তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল (trivial)।

না। এক্ষেত্রে উপজগৎ দুটির ছেদবিন্দুটি তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল নয়।

না। এগুলো প্রকৃতপক্ষে কোনো উপজগৎ বা সাবস্পেস নয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২

গাণিতিকভাবে দেখাও যে, ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় জগত $\mathbb {R} ^{3}$ হলো $xy$-সমতলের সাথে নিচের প্রতিটি উপাদানের একটি সরাসরি সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সাম (direct sum)।

1. $z$-অক্ষ
2. রেখাটি হলো:

   $\{{\begin{pmatrix}z\\z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$

উত্তর

এই প্রতিটি ক্ষেত্রের গাণিতিক সমাধান করার জন্য আমরা সরাসরি সমষ্টি সংক্রান্ত লেমা ৪.১৫ (Lemma 4.15) ব্যবহার করতে পারি।

1. ত্রিমাত্রিক জগত $\mathbb {R} ^{3}$-এর যেকোনো ভেক্টরকে নিচের পদ্ধতিতে দুটি ভেক্টরের সমষ্টি হিসেবে বিশ্লেষণ বা ডিকম্পোজ করা সম্ভব।

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}}$

   বস্তুত, $xy$-সমতল এবং $z$-অক্ষের সাধারণ ছেদবিন্দুটি হলো একটি তুচ্ছ উপজগৎ বা ট্রিভিয়াল সাবস্পেস (trivial subspace), যা শুধুমাত্র মূলবিন্দু ধারণ করে।
2. একইভাবে, $\mathbb {R} ^{3}$ জগতের যেকোনো ভেক্টরকে নিম্নোক্তভাবে ভেঙে লেখা যেতে পারে:

   ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-z\\y-z\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}z\\z\\z\end{pmatrix}}$

   এবং এক্ষেত্রেও এই দুটি উপজগৎের সাধারণ ছেদবিন্দুটি অত্যন্ত তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল।

সমস্যা ৩

${\mathcal {P}}_{2}$ কি $\{a+bx^{2}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{cx\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ এই সেট দুটির সরাসরি সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সাম?

উত্তর

হ্যাঁ, এটি একটি সরাসরি সমষ্টি। এই সেট দুটি যে প্রকৃতপক্ষে উপজগৎ বা সাবস্পেস, তা প্রমাণ করা অত্যন্ত সহজ এবং একটি সাধারণ গাণিতিক প্রক্রিয়া। এই জগৎটি যে এই দুটির সরাসরি সমষ্টি, তা বোঝার জন্য লক্ষ্য করুন যে ${\mathcal {P}}_{2}$-এর প্রতিটি সদস্যের একটি অনন্য বিশ্লেষণ বা ইউনিক ডিকম্পোজিশন রয়েছে, যা হলো: $m+nx+px^{2}=(m+px^{2})+(nx)$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৪

বহুপদী জগত ${\mathcal {P}}_{n}$-এর ক্ষেত্রে, জোড় (even) বহুপদীগুলো হলো এই সেটের সদস্য:

${\mathcal {E}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=p(x){\text{ for all }}x\}$

এবং বিজোড় (odd) বহুপদীগুলো হলো এই সেটের সদস্য:

${\mathcal {O}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=-p(x){\text{ for all }}x\}$

গাণিতিকভাবে প্রমাণ করো যে, এই জোড় এবং বিজোড় বহুপদীগুলোর সেট দুটি হলো পরস্পর পরিপূরক উপজগৎ বা কমপ্লিমেন্টারি সাবস্পেস (complementary subspaces)।

উত্তর

এই উপসেটগুলো যে প্রকৃতপক্ষে ভেক্টর উপজগৎ বা সাবস্পেস (subspace), তা প্রমাণ করা অত্যন্ত সহজ এবং গাণিতিক রুটিন কাজের অন্তর্ভুক্ত। আমরা লেমা ৪.১৫-এর (Lemma 4.15) সাহায্য নিয়ে যুক্তি প্রদর্শন করব যে, এরা একে অপরের পরিপূরক বা কমপ্লিমেন্ট হিসেবে কাজ করে। এখানে ছেদক সেট বা ইন্টারসেকশন ${\mathcal {E}}\cap {\mathcal {O}}$ হলো একটি ট্রিভিয়াল বা তুচ্ছ সেট। এর কারণ হলো, একমাত্র শূন্য বহুপদীই (zero polynomial) একই সাথে $p(-x)=p(x)$ এবং $p(-x)=-p(x)$—এই উভয় শর্ত পূরণ করতে সক্ষম। সমগ্র ভেক্টর জগৎটি যে এই উপজগৎগুলোর সমষ্টি, অর্থাৎ ${\mathcal {E}}+{\mathcal {O}}={\mathcal {P}}_{n}$, তা বোঝার জন্য লক্ষ্য করুন যে, $p_{0}(x)=1$, $p_{2}(x)=x^{2}$, $p_{4}(x)=x^{4}$ ইত্যাদি জোড় ঘাতের বহুপদীগুলো ${\mathcal {E}}$-এর অন্তর্ভুক্ত। অন্যদিকে, $p_{1}(x)=x$, $p_{3}(x)=x^{3}$ ইত্যাদি বিজোড় ঘাতের বহুপদীগুলো ${\mathcal {O}}$-এর সদস্য। ফলশ্রুতিতে, ${\mathcal {P}}_{n}$-এর যেকোনো সদস্য বা বহুপদীকে ${\mathcal {E}}$ এবং ${\mathcal {O}}$-এর সদস্যদের একটি রৈখিক সমাবেশ বা কম্বিনেশন হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব।

সমস্যা ৫

$\mathbb {R} ^{3}$-এর এই উপজগৎগুলোর (subspaces) মধ্যে কোনগুলো

$W_{1}$: $x$-অক্ষ,      $W_{2}$: $y$-অক্ষ,      $W_{3}$: $z$-অক্ষ,     
$W_{4}$: $x+y+z=0$ সমতল,      $W_{5}$: $yz$-সমতল

একত্রে যুক্ত হয়ে নিচের ফলাফলগুলো প্রদান করতে পারে?

1. সমষ্টি হিসেবে $\mathbb {R} ^{3}$ গঠন করে?
2. সরাসরি সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সাম (direct sum) হিসেবে $\mathbb {R} ^{3}$ গঠন করে?

উত্তর

নিচের প্রতিটি সংমিশ্রণই $\mathbb {R} ^{3}$ গঠন করে।

1. সহজে পড়ার সুবিধার্থে এগুলোকে আলাদা আলাদা লাইনে বিভক্ত করা হয়েছে।

   $W_{1}+W_{2}+W_{3}$, $W_{1}+W_{2}+W_{3}+W_{4}$, $W_{1}+W_{2}+W_{3}+W_{5}$, $W_{1}+W_{2}+W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
       $W_{1}+W_{2}+W_{4}$, $W_{1}+W_{2}+W_{4}+W_{5}$, $W_{1}+W_{2}+W_{5}$,
   $W_{1}+W_{3}+W_{4}$, $W_{1}+W_{3}+W_{5}$, $W_{1}+W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{1}+W_{4}$, $W_{1}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{1}+W_{5}$,
   $W_{2}+W_{3}+W_{4}$, $W_{2}+W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{2}+W_{4}$, $W_{2}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{3}+W_{4}$, $W_{3}+W_{4}+W_{5}$,
   $W_{4}+W_{5}$

2. $W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}$, $W_{1}\oplus W_{4}$, $W_{1}\oplus W_{5}$, $W_{2}\oplus W_{4}$, $W_{3}\oplus W_{4}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৬

প্রমাণ করুন যে, ${\mathcal {P}}_{n}=\{a_{0}\,{\big |}\,a_{0}\in \mathbb {R} \}\oplus \dots \oplus \{a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{n}\in \mathbb {R} \}$।

উত্তর

এটি সুস্পষ্ট যে, এদের প্রত্যেকটিই এক একটি উপজগৎ বা সাবস্পেস। এই উপজগৎগুলোর ভিত্তি বা বেসিস $B_{i}=\langle x^{i}\rangle$ গুলোকে যখন একত্রে বা পর্যায়ক্রমে সাজানো হয় (concatenated), তখন তারা সমগ্র ভেক্টর জগতের জন্য একটি পূর্ণাঙ্গ ভিত্তি গঠন করে।

সমস্যা ৭

যদি $W_{1}\subseteq W_{2}$ হয়, তবে $W_{1}+W_{2}$-এর মান কত হবে?

উত্তর

এটি হলো $W_{2}$।

সমস্যা ৮

উদাহরণ ৪.৫-কে কি সাধারণীকরণ করা সম্ভব? অর্থাৎ, নিচের এই গাণিতিক উক্তিটি সত্য নাকি মিথ্যা: যদি একটি ভেক্টর স্পেস $V$-এর একটি ভিত্তি (basis) $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ থাকে, তবে কি এটি ওই ভিত্তিগুলোর একমাত্রিক সাবস্পেসসমূহের স্প্যানগুলোর সরাসরি সমষ্টি (direct sum) হিসেবে প্রকাশ করা যাবে, অর্থাৎ $V=[\{{\vec {\beta }}_{1}\}]\oplus \dots \oplus [\{{\vec {\beta }}_{n}\}]$?

উত্তর

লেমা ৪.৮-এর গাণিতিক প্রমাণের ওপর ভিত্তি করে এটি নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে উক্তিটি সম্পূর্ণ সত্য।

সমস্যা ৯

$\mathbb {R} ^{4}$-কে কি দুটি ভিন্ন উপায়ে সরাসরি সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সাম হিসেবে বিভক্ত করা সম্ভব? একইভাবে, $\mathbb {R} ^{1}$-এর ক্ষেত্রেও কি এমনটি করা সম্ভব?

উত্তর

$\mathbb {R} ^{4}$-এর ক্ষেত্রে দুটি ভিন্ন ধরনের সরাসরি সমষ্টির বিভাজন খুঁজে পাওয়া অত্যন্ত সহজ। উদাহরণস্বরূপ, একটি বিভাজন হতে পারে $W_{1}=[\{{\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2}\}]$ এবং $W_{2}=[\{{\vec {e}}_{3},{\vec {e}}_{4}\}]$। আবার অন্য একটি বিকল্প বিভাজন হতে পারে $U_{1}=[\{{\vec {e}}_{1}\}]$ এবং $U_{2}=[\{{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3},{\vec {e}}_{4}\}]$। (প্রকৃতপক্ষে, আরও অনেক উপায়ে এটি করা সম্ভব, যেমন $\mathbb {R} ^{4}$ এবং এর ট্রিভিয়াল সাবস্পেসের মাধ্যমেও এটি প্রকাশ করা যায়।)

এর বিপরীতে, $\mathbb {R} ^{1}$-এর ক্ষেত্রে পরিস্থিতি ভিন্ন। যেহেতু এর ভিত্তিতে একটি মাত্র ভেক্টর থাকে, তাই এই ভিত্তির যেকোনো বিভাজন করলে একটি অংশে কোনো উপাদান থাকবে না এবং অন্য অংশে একটি মাত্র উপাদান থাকবে। ফলশ্রুতিতে, $\mathbb {R} ^{1}$-এর যেকোনো বিভাজনে মূলত $\mathbb {R} ^{1}$ নিজে এবং এর ট্রিভিয়াল সাবস্পেসই অন্তর্ভুক্ত থাকে।

সমস্যা ১০

এই অনুশীলনটি সেটগুলোর মধ্যে "$+$" চিহ্ন ব্যবহারের গাণিতিক রীতিটিকে আরও স্বাভাবিক ও বোধগম্য করে তোলে। প্রমাণ করুন যে, যদি $W_{1},\dots ,W_{k}$ কোনো একটি ভেক্টর স্পেসের সাবস্পেস হয়, তবে:

$W_{1}+\dots +W_{k}=\{{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}+\dots +{\vec {w}}_{k}\,{\big |}\,{\vec {w}}_{1}\in W_{1},\dots ,{\vec {w}}_{k}\in W_{k}\},$

এবং এর মাধ্যমে এটি প্রমাণিত হয় যে, সাবস্পেসসমূহের সমষ্টি মূলত ওই সাবস্পেসগুলোর সকল সম্ভাব্য ভেক্টর সমষ্টির সমন্বয়ে গঠিত একটি নতুন সাবস্পেস।

উত্তর

সেট ইনক্লুশন বা সেটের অন্তর্ভুক্তির বিষয়টি একদিক থেকে প্রমাণ করা বেশ সহজ: $\{{\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}\,{\big |}\,{\vec {w}}_{i}\in W_{i}\}$ সেটটি $[W_{1}\cup \dots \cup W_{k}]$-এর একটি সাবসেট বা উপসেট। এর কারণ হলো, প্রতিটি ${\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$ হলো ওই ইউনিয়ন বা সংযোগ সেট থেকে নেওয়া ভেক্টরসমূহের একটি সমষ্টি।

অন্যদিকের অন্তর্ভুক্তির (inclusion) বিষয়টি প্রমাণ করার নিমিত্তে, উপজগৎগুলোর সংযোগ সেট (union) থেকে সংগৃহীত ভেক্টরগুলোর যেকোনো রৈখিক বিন্যাস বা লিনিয়ার কম্বিনেশনের ক্ষেত্রে ভেক্টর যোগের বিনিময় বিধি (commutativity) প্রয়োগ করতে হবে। এর মাধ্যমে $W_{1}$ থেকে আসা ভেক্টরগুলোকে ক্রমানুসারে প্রথমে, এরপর $W_{2}$ থেকে আসা ভেক্টরগুলোকে এবং একইভাবে পরবর্তী উপজগৎগুলোর ভেক্টরগুলোকে সাজানো সম্ভব হয়। এখন, $W_{1}$ উপজগৎের ভেক্টরগুলোকে একত্রে যোগ করলে আমরা একটি ভেক্টর ${\vec {w}}_{1}\in W_{1}$ লাভ করব, একইভাবে $W_{2}$ এর ভেক্টরগুলো যোগ করলে ${\vec {w}}_{2}\in W_{2}$ পাওয়া যাবে। এই প্রক্রিয়ার চূড়ান্ত ফলাফলটি কাঙ্ক্ষিত গাণিতিক কাঠামো বা রূপ পরিগ্রহ করবে।

সমস্যা ১১

(উদাহরণ ৪.১৯ দ্রষ্টব্য। এই অনুশীলনীটি গাণিতিকভাবে এটি প্রদর্শন করে যে, প্রতিটি জোড়া উপজগৎের ছেদ বা ইন্টারসেকশন ট্রিভিয়াল বা তুচ্ছ হওয়ার শর্তটি সকল উপজগৎের সাধারণ ছেদ তুচ্ছ হওয়ার শর্তের তুলনায় অনেক বেশি শক্তিশালী।) এমন একটি ভেক্টর স্পেস এবং তিনটি উপজগৎ $W_{1}$, $W_{2}$, এবং $W_{3}$ এর উদাহরণ প্রদান করুন যেখানে মূল স্পেসটি এই উপজগৎগুলোর সমষ্টির সমান হবে এবং তিনটি উপজগৎের সাধারণ ছেদ $W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}$ হবে তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল, কিন্তু তাদের জোড়ায় জোড়ায় ছেদসমূহ যেমন $W_{1}\cap W_{2}$, $W_{1}\cap W_{3}$, এবং $W_{2}\cap W_{3}$ হবে অতিনগণ্য বা নন-ট্রিভিয়াল।

উত্তর

এর একটি উপযুক্ত উদাহরণ হতে পারে মূল ভেক্টর স্পেস হিসেবে ত্রিমাত্রিক বাস্তব ভেক্টর স্পেস $\mathbb {R} ^{3}$ বিবেচনা করা। এখানে তিনটি উপজগৎ হিসেবে যথাক্রমে $xy$-সমতল, $xz$-সমতল এবং $yz$-সমতলকে গ্রহণ করা যেতে পারে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১২

প্রমাণ করুন যে, যদি $V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$ হয়, তবে যখনই $i\neq j$ হবে, তখনই $W_{i}\cap W_{j}$ হবে তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল। এটি নির্দেশ করে যে, লেমা ৪.১৫ এর প্রমাণের প্রথম অংশটি দুইয়ের অধিক উপজগৎের ক্ষেত্রেও সফলভাবে সম্প্রসারিত করা সম্ভব। (উদাহরণ ৪.১৯ থেকে দেখা যায় যে, এই সিদ্ধান্তটির বিপরীতমুখী প্রয়োগ সম্ভব নয়; অর্থাৎ প্রমাণের অন্য অংশটি এক্ষেত্রে কার্যকর হয় না।)

উত্তর

স্বাভাবিকভাবেই, শূন্য ভেক্টরটি প্রতিটি উপজগৎের অন্তর্ভুক্ত থাকে, যার ফলে তাদের সাধারণ ছেদ সেটে অন্ততপক্ষে ওই একটি ভেক্টর বিদ্যমান থাকে। ডাইরেক্ট সাম বা প্রত্যক্ষ সমষ্টির সংজ্ঞা অনুযায়ী, উপজগৎগুলোর সেট $\{W_{1},\dots ,W_{k}\}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন বা ইন্ডিপেন্ডেন্ট। এর ফলে যখন $i\neq j$ হয়, তখন $W_{i}$ এর কোনো অশূন্য ভেক্টর $W_{j}$ এর কোনো সদস্যের গুণিতক হতে পারে না। বিশেষভাবে বলতে গেলে, $W_{i}$ থেকে নেওয়া কোনো অশূন্য ভেক্টর কখনোই $W_{j}$ এর কোনো সদস্যের সমান হতে পারবে না।

সমস্যা ১৩

স্মরণ করুন যে, কোনো রৈখিকভাবে স্বাধীন বা লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেটে শূন্য ভেক্টর থাকতে পারে না। এখন প্রশ্ন হলো, উপজগৎগুলোর একটি স্বাধীন সেটে কি তুচ্ছ উপজগৎ বা ট্রিভিয়াল সাবস্পেস থাকা সম্ভব?

উত্তর

এই উপজগৎ বা সাবস্পেসগুলোর মধ্যে একটি তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল উপজগৎও (trivial subspace) অন্তর্ভুক্ত থাকতে পারে; ত্রিমাত্রিক বাস্তব ভেক্টর স্থান $\mathbb {R} ^{3}$-এর উপজগৎগুলোর এই সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন বা ইন্ডিপেন্ডেন্ট হিসেবে গণ্য হবে: $\{\{{\vec {0}}\},x{\text{-axis}}\}$। এখানে লক্ষ্যণীয় যে, ট্রিভিয়াল উপজগৎ $\{{\vec {0}}\}$ থেকে প্রাপ্ত কোনো অশূন্য ভেক্টরই $x$-অক্ষের কোনো ভেক্টরের গুণিতক হতে পারে না। এর কারণ অত্যন্ত সহজ—ট্রিভিয়াল উপজগৎে কোনো অশূন্য ভেক্টরই বিদ্যমান নেই যা এই ধরনের গুণিতক হওয়ার জন্য প্রার্থী হতে পারে (এবং একইভাবে, $x$-অক্ষের কোনো অশূন্য ভেক্টরও ট্রিভিয়াল উপজগৎের শূন্য ভেক্টরের গুণিতক হওয়া সম্ভব নয়)।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৪

প্রতিটি উপজগৎ বা সাবস্পেসের কি একটি পরিপূরক বা কমপ্লিমেন্ট থাকা সম্ভব?

উত্তর

হ্যাঁ, প্রতিটি উপজগৎেরই পরিপূরক বিদ্যমান। একটি ভেক্টর স্থানের যেকোনো উপজগৎের জন্য আমরা প্রথমে সেই উপজগৎের একটি ভিত্তি বা বেসিস $\langle {\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{k}\rangle$ গ্রহণ করতে পারি এবং পরবর্তীতে সেটিকে সম্প্রসারিত করে সম্পূর্ণ ভেক্টর স্থানের জন্য একটি নতুন ভিত্তি $\langle {\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{k},{\vec {\beta }}_{k+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ তৈরি করা সম্ভব। এমতাবস্থায়, মূল উপজগৎটির পরিপূরক উপজগৎের ভিত্তি হবে মূলত এই বর্ধিত অংশটি, অর্থাৎ: $\langle {\vec {\beta }}_{k+1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৫

ধরা যাক, $W_{1},W_{2}$ হলো একটি ভেক্টর স্থানের দুটি পৃথক উপজগৎ।

1. যদি ধরে নেওয়া হয় যে $S_{1}$ সেটটি $W_{1}$-কে স্প্যান বা বিস্তৃত করে এবং $S_{2}$ সেটটি $W_{2}$-কে স্প্যান করে, তবে কি $S_{1}\cup S_{2}$ সংযোগ সেটটি $W_{1}+W_{2}$ সমষ্টিকে স্প্যান করতে পারে? এটি কি আবশ্যিকভাবেই স্প্যান করবে?
2. ধরা যাক, $S_{1}$ হলো $W_{1}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেট এবং $S_{2}$ হলো $W_{2}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেট। এমতাবস্থায় $S_{1}\cup S_{2}$ কি $W_{1}+W_{2}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেট হতে পারে? এটি কি সর্বদা রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে বাধ্য?

উত্তর

1. এটি অবশ্যই স্প্যান করবে। গাণিতিক সংজ্ঞানুযায়ী, $W_{1}+W_{2}$ সেটের যেকোনো সদস্যকে ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব, যেখানে ${\vec {w}}_{1}\in W_{1}$ এবং ${\vec {w}}_{2}\in W_{2}$। যেহেতু $S_{1}$ সেটটি $W_{1}$-কে স্প্যান করে, তাই ${\vec {w}}_{1}$ ভেক্টরটিকে $S_{1}$-এর সদস্যদের একটি রৈখিক সমাবেশ বা কম্বিনেশন হিসেবে লেখা যায়। একইভাবে, ${\vec {w}}_{2}$ ভেক্টরটিও $S_{2}$-এর সদস্যদের একটি রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশযোগ্য।

এটি যে রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent) হতে পারে তা বোঝার একটি অত্যন্ত সহজ উপায় হলো প্রতিটি সেটকে একটি ফাঁকা সেট বা শূন্য সেট হিসেবে বিবেচনা করা। অন্যদিকে, যদি আমরা $\mathbb {R} ^{1}$ জগতের কথা চিন্তা করি, যেখানে $W_{1}=\mathbb {R} ^{1}$ এবং $W_{2}=\mathbb {R} ^{1}$ এবং $S_{1}=\{1\}$ ও $S_{2}=\{2\}$ হিসেবে নির্ধারিত হয়, তবে তাদের সংযোগ সেট $S_{1}\cup S_{2}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে না।

সমস্যা ১৬

যখন একটি ভেক্টর জগতকে (vector space) সরাসরি সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সাম (direct sum) হিসেবে বিশ্লেষণ করা হয়, তখন উপজগতগুলোর (subspaces) মাত্রার যোগফল মূল জগতের মাত্রার সমান হয়। তবে কোনো জগতকে যখন কেবল তার উপজগতগুলোর সাধারণ সমষ্টি হিসেবে উপস্থাপন করা হয়, তখন পরিস্থিতি এতটা সহজ বা সরল থাকে না। এই অনুশীলনীতে মূলত দুটি উপজগতের বিশেষ ক্ষেত্রটি বিবেচনা করা হয়েছে।

1. ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ ম্যাট্রিক্স জগতের এই উপজগতগুলোর জন্য $W_{1}\cap W_{2}$, $\dim(W_{1}\cap W_{2})$, $W_{1}+W_{2}$, এবং $\dim(W_{1}+W_{2})$ এর মান নির্ণয় করুন।

   $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {R} \}\qquad W_{2}=\{{\begin{pmatrix}0&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

2. মনে করুন, $U$ এবং $W$ হলো একটি ভেক্টর জগতের দুটি উপজগত। ধরা যাক, $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$ অনুক্রমটি $U\cap W$ এর জন্য একটি ভিত্তি (basis) হিসেবে কাজ করে। পরিশেষে, ধরে নিন যে পূর্বোক্ত অনুক্রমটিকে বর্ধিত করে একটি নতুন অনুক্রম $\langle {\vec {\mu }}_{1},\dots ,{\vec {\mu }}_{j},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k}\rangle$ তৈরি করা হয়েছে যা $U$ এর ভিত্তি, এবং অপর একটি অনুক্রম $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{p}\rangle$ তৈরি করা হয়েছে যা $W$ এর ভিত্তি। এখন প্রমাণ করুন যে, এই সম্মিলিত অনুক্রমটি

   $\langle {\vec {\mu }}_{1},\dots ,{\vec {\mu }}_{j},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{p}\rangle$

   হবে সমষ্টিগত জগত $U+W$ এর একটি ভিত্তি।
3. উপরোক্ত প্রমাণের ভিত্তিতে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হোন যে, $\dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$।
4. ধরা যাক, $W_{1}$ এবং $W_{2}$ হলো একটি দশ-মাত্রিক (ten-dimensional) জগতের দুটি আট-মাত্রিক উপজগত। এক্ষেত্রে $\dim(W_{1}\cap W_{2})$ এর জন্য সম্ভাব্য সকল মান তালিকাভুক্ত করুন।

উত্তর

1. এক্ষেত্রে ছেদবিন্দু (intersection) এবং সমষ্টির (sum) মানগুলো হলো যথাক্রমে

   $\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}\qquad \{{\begin{pmatrix}0&b\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c,d\in \mathbb {R} \}$

   যাদের মাত্রা বা ডাইমেনশন হলো যথাক্রমে এক এবং তিন।
2. আমরা $U\cap W$ এর ভিত্তিকে $B_{U\cap W}$ দ্বারা চিহ্নিত করি, $U$ এর ভিত্তিকে $B_{U}$ দ্বারা, $W$ এর ভিত্তিকে $B_{W}$ দ্বারা এবং আলোচ্য সমষ্টির ভিত্তিকে $B_{U+W}$ দ্বারা প্রকাশ করি। এটি প্রমাণ করার জন্য যে $B_{U+W}$ ভিত্তি সেটটি $U+W$ উপজগৎ (span) করে, আমাদের লক্ষ্য করতে হবে যে $U+W$ থেকে নেওয়া যেকোনো ভেক্টর $c{\vec {u}}+d{\vec {w}}$-কে $B_{U+W}$-এর ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ (linear combination) হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব। এটি করার পদ্ধতিটি অত্যন্ত সহজ; কেবল ${\vec {u}}$ ভেক্টরটিকে $B_{U}$-এর সাপেক্ষে এবং ${\vec {w}}$ ভেক্টরটিকে $B_{W}$-এর সাপেক্ষে প্রকাশ করলেই এই গাণিতিক সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত হয়। সবশেষে আমরা এটি দেখানোর মাধ্যমে আমাদের এই গাণিতিক প্রমাণটি সম্পন্ন করব যে, $B_{U+W}$ সেটটি প্রকৃতপক্ষে রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent)। এই বিষয়টি যাচাই করার জন্য নিচের সমীকরণটি বিবেচনা করা যাক:

   $c_{1}{\vec {\mu }}_{1}+\dots +c_{j+1}{\vec {\beta }}_{1}+\dots +c_{j+k+p}{\vec {\omega }}_{p}={\vec {0}}$

   গাণিতিক বিশ্লেষণের সুবিধার্থে উপরের এই সমীকরণটিকে আমরা ভিন্নভাবে সাজিয়ে নিম্নোক্ত উপায়ে পুনরায় লিখতে পারি:

   $c_{1}{\vec {\mu }}_{1}+\dots +c_{j}{\vec {\mu }}_{j}=-c_{j+1}{\vec {\beta }}_{1}-\dots -c_{j+k+p}{\vec {\omega }}_{p}$

   এখানে বিশেষভাবে লক্ষণীয় যে, সমীকরণের বাম পাশের অংশটি যোগ করলে যে ভেক্টরটি পাওয়া যায় তা $U$ উপজগৎের অন্তর্ভুক্ত, অন্যদিকে ডান পাশের অংশটি যোগ করলে যে ভেক্টরটি পাওয়া যায় তা $W$ উপজগৎের অন্তর্ভুক্ত। ফলশ্রুতিতে, সমীকরণের উভয় পক্ষই আসলে $U\cap W$ সেটের একটি সদস্যকে নির্দেশ করছে। যেহেতু বাম পাশের অংশটি $U\cap W$-এর একটি সদস্য, তাই একে অবশ্যই $B_{U\cap W}$-এর সদস্যদের মাধ্যমে প্রকাশ করা সম্ভব হবে। এর ফলে উপরে বর্ণিত বাম পাশের ${\vec {\mu }}$ ভেক্টরগুলোর সমাবেশটি ${\vec {\beta }}$ ভেক্টরগুলোর একটি সমাবেশের সমান হয়ে দাঁড়ায়। তবে, বাস্তব তথ্য হলো $B_{U}$ ভিত্তিটি রৈখিকভাবে স্বাধীন, যা নির্দেশ করে যে এই ধরনের যেকোনো সমাবেশ অবশ্যই তুচ্ছ (trivial) হতে হবে। বিশেষ করে, বাম পাশের সহগসমূহ $c_{1}$, ..., $c_{j}$ সবগুলোর মানই শূন্য হতে বাধ্য। একইভাবে, ${\vec {\omega }}$ ভেক্টরগুলোর সহগসমূহও সব শূন্য হয়ে যাবে। এর ফলে উপরের সমীকরণটি শুধুমাত্র ${\vec {\beta }}$ ভেক্টরগুলোর মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক হিসেবে অবশিষ্ট থাকে। কিন্তু যেহেতু আমরা জানি যে $B_{U\cap W}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন, তাই ${\vec {\beta }}$ ভেক্টরগুলোর সকল সহগও অনিবার্যভাবে শূন্য হবে।
3. পূর্ববর্তী আইটেমে উল্লিখিত ভিত্তি ভেক্টরগুলো গণনা করলেই আমরা দেখতে পাই যে: $\dim(U+W)=j+k+p$, এবং $\dim(U)=j+k$, এবং $\dim(W)=k+p$, এবং $\dim(U\cap W)=k$।
4. আমরা জানি যে ভেক্টর জগতের মাত্রার সূত্রানুসারে, $\dim(W_{1}+W_{2})=\dim(W_{1})+\dim(W_{2})-\dim(W_{1}\cap W_{2})$। যেহেতু $W_{1}\subseteq W_{1}+W_{2}$ একটি প্রতিষ্ঠিত সত্য, তাই আমরা বলতে পারি যে $W_{1}+W_{2}$-এর মাত্রা অবশ্যই $W_{1}$-এর মাত্রার চেয়ে বেশি বা সমান হতে হবে। অর্থাৎ, এর মাত্রা আট, নয় অথবা দশ হওয়ার সম্ভাবনা রয়েছে। এই মানগুলো মূল সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে আমরা তিনটি ভিন্ন ভিন্ন গাণিতিক সম্ভাবনা খুঁজে পাই: $8=8+8-\dim(W_{1}\cap W_{2})$ অথবা $9=8+8-\dim(W_{1}\cap W_{2})$ অথবা $10=8+8-\dim(W_{1}\cap W_{2})$। ফলস্বরূপ, $\dim(W_{1}\cap W_{2})$-এর মান অবশ্যই আট, সাত অথবা ছয় হতে হবে। (এই তিনটি ক্ষেত্রের প্রত্যেকটিই যে বাস্তবে সম্ভব তা উদাহরণ দিয়ে দেখানো বেশ সহজ, যেমন $\mathbb {R} ^{10}$ ভেক্টর জগতের ক্ষেত্রে এটি সহজেই প্রমাণ করা যায়।)

সমস্যা ১৭

ধরি, $V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$ একটি ভেক্টর জগত এবং প্রতিটি সূচক $i$-এর জন্য ধরে নেওয়া যাক যে $S_{i}$ হলো $W_{i}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপসেট। এখন এটি প্রমাণ করতে হবে যে, সকল $S_{i}$-এর সংযোগ সেটটি (union) রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে।

উত্তর

প্রতিটি $S_{i}$ সেটকে $W_{i}$ উপজগৎের (subspace) একটি ভিত্তি $B_{i}$ পর্যন্ত বর্ধিত করা যাক। এই ভিত্তিগুলোর পর্যায়ক্রমিক সংযোগ বা কনক্যাটেনেশন $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ হলো সমগ্র ভেক্টর জগত $V$-এর একটি ভিত্তি, এবং ফলশ্রুতিতে এর প্রতিটি সদস্য একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent) সেট গঠন করে। প্রকৃতপক্ষে, $S_{1}\cup \cdots \cup S_{k}$ সংযোগটি ওই রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটেরই একটি উপসেট, এবং গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী এটি নিজেও রৈখিকভাবে স্বাধীন হিসেবে গণ্য হবে।

সমস্যা ১৮

একটি ম্যাট্রিক্সকে তখনই **প্রতিসম** (symmetric) বলা হয় যখন এর প্রতিটি সূচক জোড়া $i$ এবং $j$-এর জন্য, $i,j$ তম ভুক্তিটি $j,i$ তম ভুক্তির সমান হয়। অন্যদিকে, একটি ম্যাট্রিক্সকে **বিপ্রতিসম** বা **অপ্রতিসম** (antisymmetric) বলা হয় যদি এর প্রতিটি $i,j$ তম ভুক্তি সংশ্লিষ্ট $j,i$ তম ভুক্তির ঋণাত্মক মানের সমান হয়।

1. একটি $2\!\times \!2$ মাত্রার প্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং একটি $2\!\times \!2$ মাত্রার বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ দাও। (দ্রষ্টব্য: দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সটির ক্ষেত্রে প্রধান কর্ণের ভুক্তিগুলোর ব্যাপারে সতর্ক থাকতে হবে।)
2. একটি বর্গাকার প্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং এর ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্সের মধ্যে গাণিতিক সম্পর্ক কী? একইভাবে একটি বর্গাকার বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং এর ট্রান্সপোজের মধ্যে সম্পর্ক কী?
3. প্রমাণ করো যে, ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ হলো প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের জগত এবং বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের জগতের একটি সরাসরি সমষ্টি (direct sum)।

উত্তর

1. নিচে এই ধরনের দুটি ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ প্রদান করা হলো:

   ${\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}$

   বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে এটি লক্ষ্যণীয় যে, এর প্রধান কর্ণের উপাদানগুলো অবশ্যই শূন্য হতে হবে।
2. একটি বর্গাকার প্রতিসম ম্যাট্রিক্স সর্বদা তার নিজস্ব ট্রান্সপোজের সমান হয়। অন্যদিকে, একটি বর্গাকার বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স তার ট্রান্সপোজের ঋণাত্মক মানের সমান হয়ে থাকে।
3. এই দুটি সেট যে উপজগৎ (subspace) গঠন করে তা দেখানো অত্যন্ত সহজসাধ্য। ধরা যাক, $A\in {\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ একটি ম্যাট্রিক্স। $A$-কে একটি প্রতিসম এবং একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের যোগফল হিসেবে প্রকাশ করার জন্য আমরা নিম্নোক্ত পর্যবেক্ষণটি ব্যবহার করতে পারি:

   $A=(1/2)(A+{{A}^{\rm {trans}}})+(1/2)(A-{{A}^{\rm {trans}}})$

   এখানে লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে, প্রথম অংশটি একটি প্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং দ্বিতীয় অংশটি একটি বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স। সুতরাং, ${\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}$ হলো এই দুটি উপজগৎের সমষ্টি। এই সমষ্টিটি যে সরাসরি (direct), তা প্রমাণের জন্য ধরে নিই একটি ম্যাট্রিক্স $A$ একইসাথে প্রতিসম $A={{A}^{\rm {trans}}}$ এবং বিপ্রতিসম $A=-{{A}^{\rm {trans}}}$। সেক্ষেত্রে গাণিতিকভাবে $A=-A$ হয়, যার অর্থ হলো $A$-এর সকল ভুক্তি বা উপাদান অবশ্যই শূন্য।

সমস্যা ১৯

ধরা যাক $W_{1},W_{2},W_{3}$ হলো একটি ভেক্টর জগতের তিনটি উপজগৎ। এখন প্রমাণ করো যে, $(W_{1}\cap W_{2})+(W_{1}\cap W_{3})\subseteq W_{1}\cap (W_{2}+W_{3})$। এই অন্তর্ভুক্তিকরণ বা ইনক্লুশন কি বিপরীতভাবেও সত্য হতে পারে?

উত্তর

ধরে নিই যে, ${\vec {v}}\in (W_{1}\cap W_{2})+(W_{1}\cap W_{3})$। তাহলে ভেক্টরের সংজ্ঞা অনুযায়ী আমরা লিখতে পারি ${\vec {v}}={\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3}$, যেখানে ${\vec {w}}_{2}\in W_{1}\cap W_{2}$ এবং ${\vec {w}}_{3}\in W_{1}\cap W_{3}$। এখানে বিশেষভাবে লক্ষ্যণীয় যে, ${\vec {w}}_{2},{\vec {w}}_{3}\in W_{1}$ এবং যেহেতু একটি উপজগৎ সর্বদা যোগ প্রক্রিয়ার অধীনে আবদ্ধ (closed under addition), তাই স্বাভাবিকভাবেই ${\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3}\in W_{1}$ হবে। ফলশ্রুতিতে, ${\vec {v}}={\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3}\in W_{1}\cap (W_{2}+W_{3})$ সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত হয়।

এই উদাহরণটি গাণিতিকভাবে প্রমাণ করে যে উপসেটের অন্তর্ভুক্তি বা ইনক্লুশন (inclusion) প্রক্রিয়াটি কঠোর বা স্ট্রিক্ট (strict) হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, দ্বিমাত্রিক বাস্তব ভেক্টর জগত $\mathbb {R} ^{2}$-এর কথা বিবেচনা করা যাক। এখানে আমরা $W_{1}$-কে $x$-অক্ষ হিসেবে, $W_{2}$-কে $y$-অক্ষ হিসেবে এবং $W_{3}$-কে $y=x$ সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত সরলরেখা হিসেবে গ্রহণ করি। এমতাবস্থায়, $W_{1}\cap W_{2}$ এবং $W_{1}\cap W_{3}$ উভয়ই তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল (trivial) উপজগত গঠন করে, যার ফলে তাদের সমষ্টিও একটি তুচ্ছ উপজগত হিসেবেই গণ্য হয়। তবে লক্ষ্যণীয় যে, $W_{2}+W_{3}$ এর সমষ্টি সম্পূর্ণ $\mathbb {R} ^{2}$ জগতকে নির্দেশ করে। এর ফলশ্রুতিতে, $W_{1}\cap (W_{2}+W_{3})$ এর মান দাঁড়ায় স্বয়ং $x$-অক্ষ।

সমস্যা ২০

$\mathbb {R} ^{2}$ জগতে $x$-অক্ষ এবং $y$-অক্ষের উদাহরণটি থেকে এটি স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয় যে, $W_{1}\oplus W_{2}=V$ হওয়ার অর্থ এই নয় যে $W_{1}\cup W_{2}=V$ হবে। এখন প্রশ্ন হলো, এমন কোনো বিশেষ পরিস্থিতি কি তৈরি হওয়া সম্ভব যেখানে $W_{1}\oplus W_{2}=V$ এবং $W_{1}\cup W_{2}=V$ উভয় শর্তই একসাথে সত্য প্রমাণিত হয়?

উত্তর

এটি কেবল তখনই ঘটা সম্ভব যখন $W_{1}$ অথবা $W_{2}$-এর মধ্যে অন্তত একটি উপজগত তুচ্ছ বা ট্রিভিয়াল হয়। প্রকৃতপক্ষে, এটিই একমাত্র উপায় যার মাধ্যমে এই বিশেষ গাণিতিক পরিস্থিতিটি তৈরি হতে পারে।

এই বিষয়টি প্রমাণ করার জন্য আমরা প্রাথমিকভাবে ধরে নিই যে উভয় উপজগতই অ-তুচ্ছ বা নন-ট্রিভিয়াল। এখন প্রতিটি উপজগত থেকে একটি করে শূন্য নয় এমন ভেক্টর ${\vec {w}}_{1},{\vec {w}}_{2}$ নির্বাচন করি এবং তাদের সমষ্টি ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ বিবেচনা করি। এই ভেক্টর সমষ্টিটি $W_{1}$-এর অন্তর্ভুক্ত হতে পারে না। কারণ যদি ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}={\vec {v}}\in W_{1}$ হয়, তবে তার অর্থ দাঁড়াবে ${\vec {w}}_{2}={\vec {v}}-{\vec {w}}_{1}$ ভেক্টরটিও $W_{1}$-এর অন্তর্ভুক্ত। কিন্তু এটি উপজগতগুলোর স্বাধীনতার (independence) যে প্রাথমিক ধারণা বা অনুমান, তার সরাসরি পরিপন্থী। একইভাবে যুক্তি প্রদর্শন করা যায় যে, ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ ভেক্টরটি $W_{2}$-এরও অন্তর্ভুক্ত নয়। সুতরাং দেখা যাচ্ছে যে, $V$ জগতের মধ্যে এমন একটি উপাদান বিদ্যমান যা $W_{1}\cup W_{2}$ সংযোগ সেটের অন্তর্ভুক্ত নয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২১

পরিপূরক উপজগত বা কমপ্লিমেন্টারি সাবস্পেসের জন্য আমাদের যে মডেল, অর্থাৎ $\mathbb {R} ^{2}$ জগতের $x$-অক্ষ এবং $y$-অক্ষ, সেখানে এমন একটি বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা এখানে এখনও ব্যবহৃত হয়নি। যদি $U$ কোনো $\mathbb {R} ^{n}$ জগতের একটি উপজগত হয়, তবে আমরা $U$-এর অরথোগোনাল কমপ্লিমেন্ট (orthogonal complement) বা লম্ব পরিপূরককে নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$U^{\perp }=\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\,{\big |}\,{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=0{\text{ for all }}{\vec {u}}\in U\}$

(একে উচ্চারণ করা হয় "$U$ পার্প" বা U perp হিসেবে)।

1. $\mathbb {R} ^{2}$ জগতে $x$-অক্ষের লম্ব পরিপূরক বা অরথোকমপ্লিমেন্ট নির্ণয় করুন।
2. $\mathbb {R} ^{3}$ জগতে $x$-অক্ষের লম্ব পরিপূরক নির্ণয় করুন।
3. $\mathbb {R} ^{3}$ জগতে $xy$-তলের লম্ব পরিপূরক নির্ণয় করুন।
4. গাণিতিকভাবে প্রমাণ করুন যে, কোনো উপজগতের লম্ব পরিপূরক নিজেও একটি উপজগত হিসেবে গণ্য হয়।
5. দেখান যে, যদি $W$ উপজগৎটি $U$-এর লম্ব পরিপূরক হয়, তবে $U$-ও $W$-এর লম্ব পরিপূরক হবে।
6. প্রমাণ করুন যে, একটি উপজগত এবং তার লম্ব পরিপূরকের ছেদবিন্দু বা ইন্টারসেকশন সর্বদা তুচ্ছ (trivial) হয়।
7. এই সিদ্ধান্তে উপনীত হোন যে, যেকোনো $n$ এবং উপজগত $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$-এর জন্য আমরা পাই $\mathbb {R} ^{n}=U\oplus U^{\perp }$।
8. দেখান যে, $\dim(U)+\dim(U^{\perp })$-এর সমষ্টি মূল জগতের মাত্রার (dimension) সমান।

উত্তর

1. সেটটি হলো

$\{{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\,{\big |}\,{\begin{pmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}=0{\text{ for all }}x\in \mathbb {R} \}$

গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে এটি অত্যন্ত সহজেই অনুধাবন করা সম্ভব যে, উপরোক্ত সেটটি মূলত দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার $y$-অক্ষকে নির্দেশ করছে।

এটি ত্রিমাত্রিক কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার $yz$-সমতলকে উপস্থাপন করে।

স্থানাঙ্ক জ্যামিতির প্রেক্ষাপটে এটি $z$-অক্ষ হিসেবে চিহ্নিত হয়।

ধরা যাক, $U$ হলো $\mathbb {R} ^{n}$ ভেক্টর জগতের একটি নির্দিষ্ট উপ-জগত বা সাবস্পেস। যেহেতু শূন্য ভেক্টরটি জগতের প্রতিটি ভেক্টরের সাথেই লম্বভাবে অবস্থান করে, তাই স্বাভাবিকভাবেই $U^{\perp }$ বা অর্থোকম্প্লিমেন্টের মধ্যে শূন্য ভেক্টরটি অন্তর্ভুক্ত থাকে। এখন আমাদের কেবল এটি প্রমাণ করতে হবে যে, এই অর্থোকম্প্লিমেন্ট সেটটি রৈখিক বিন্যাস বা লিনিয়ার কম্বিনেশনের অধীনে বদ্ধ (closed)। যদি আমরা $U^{\perp }$ থেকে দুটি ভেক্টর ${\vec {w}}_{1}$ এবং ${\vec {w}}_{2}$ গ্রহণ করি, তবে সংজ্ঞানুযায়ী $U$-এর অন্তর্ভুক্ত সকল ভেক্টর ${\vec {u}}$-এর জন্য ${\vec {w}}_{1}\cdot {\vec {u}}=0$ এবং ${\vec {w}}_{2}\cdot {\vec {u}}=0$ হবে। ফলশ্রুতিতে, তাদের রৈখিক বিন্যাসের ক্ষেত্রে আমরা পাই $(c_{1}{\vec {w}}_{1}+c_{2}{\vec {w}}_{2})\cdot {\vec {u}}=c_{1}({\vec {w}}_{1}\cdot {\vec {u}})+c_{2}({\vec {w}}_{2}\cdot {\vec {u}})=0$। এর মাধ্যমে গাণিতিকভাবে প্রমাণিত হয় যে, $U^{\perp }$ সেটটি রৈখিক বিন্যাসের অধীনে বদ্ধ এবং এটি একটি বৈধ সাবস্পেস।

ভেক্টর বীজগণিতের একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ এবং মৌলিক বৈশিষ্ট্য হলো এই যে, সমগ্র ভেক্টর জগতের মধ্যে কেবলমাত্র শূন্য ভেক্টরই (zero vector) নিজের সাথে লম্ব বা অর্থোগোনাল হতে পারে; অন্য কোনো ভেক্টরের ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্যটি প্রযোজ্য নয়।

গাণিতিক সংজ্ঞা এবং ইতিপূর্বে আলোচিত যুক্তিগুলোর আলোকে এই সিদ্ধান্তটি অত্যন্ত সরাসরি এবং তাৎক্ষণিকভাবে গ্রহণ করা সম্ভব।

ডাইমেনশন বা মাত্রাসমূহের যোগফল সংক্রান্ত বৈশিষ্ট্যটি প্রমাণ করার জন্য অনুসিদ্ধান্ত ৪.১৩ এবং লেমা ৪.১৫-এর সাহায্য নেওয়া যেতে পারে। এই প্রমাণটি সম্পন্ন করতে আমাদের কেবল এটি দেখানো প্রয়োজন যে, $U$ এবং এর অর্থোকম্প্লিমেন্ট $U^{\perp }$-এর ছেদবিন্দু বা ইন্টারসেকশন হলো একটি ট্রিভিয়াল সাবস্পেস বা শূন্য ভেক্টর সেট $\{{\vec {0}}\}$। প্রকৃতপক্ষে, এই সমস্যার পূর্ববর্তী অংশগুলোতেই আমরা এই বিষয়টি নিশ্চিতভাবে প্রমাণ করেছি।

}}

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

প্রশ্ন ২২

অনুসিদ্ধান্ত ৪.১৩-এর বিষয়টি বিবেচনা করুন। এই গাণিতিক সম্পর্কটি কি উভয় দিক থেকেই কার্যকর— অর্থাৎ, যদি আমরা ধরে নিই যে $V=W_{1}+\dots +W_{k}$, তবে কি $V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$ হওয়ার জন্য $\dim(V)=\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$ শর্তটি একটি 'যদি এবং কেবল যদি' (if and only if) সম্পর্ক হিসেবে কাজ করবে?

উত্তর

হ্যাঁ, বাম-থেকে-ডান দিকের এই প্রতিপাদনটি মূলত অনুসিদ্ধান্ত ৪.১৩-এর অন্তর্ভুক্ত। এখন বিপরীত দিকটি প্রমাণের উদ্দেশ্যে আমরা ধরে নিচ্ছি যে, ভেক্টর জগত $V$-এর মাত্রা হবে তার উপজগতগুলোর মাত্রার সমষ্টির সমান, অর্থাৎ $\dim(V)=\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$। ধরা যাক, $B_{1},\dots ,B_{k}$ হলো যথাক্রমে $W_{1},\dots ,W_{k}$ নামক উপজগতগুলোর জন্য নির্ধারিত ভিত্তি বা বেসিস। যেহেতু ভেক্টর জগত $V$ এই উপজগতগুলোর সমষ্টি হিসেবে গঠিত, তাই $V$-এর অন্তর্ভুক্ত যেকোনো ভেক্টর ${\vec {v}}\in V$-কে আমরা ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\cdots +{\vec {w}}_{k}$ এই আকারে প্রকাশ করতে পারি। এখানে প্রতিটি ${\vec {w}}_{i}$-কে তার সংশ্লিষ্ট ভিত্তি $B_{i}$-এর ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশ (linear combination) হিসেবে উপস্থাপন করা সম্ভব। এর মাধ্যমে এটি প্রতীয়মান হয় যে, ভিত্তিগুলোর সংযোগ বা কনক্যাটেনেশন $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ সম্পূর্ণ ভেক্টর জগত $V$-কে স্প্যান (span) করে বা বিস্তৃত করে। বর্তমানে এই সংযোগকৃত সেটে মোট সদস্য সংখ্যা হলো $\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$। ফলশ্রুতিতে, এটি এমন একটি স্প্যানিং সেট হিসেবে আত্মপ্রকাশ করে যার আকার বা সদস্য সংখ্যা ঠিক $\dim(V)$-এর সমান। যেহেতু এই সেটটি $V$-কে স্প্যান করে এবং এর সদস্য সংখ্যা $V$-এর মাত্রার সমান, তাই গাণিতিক নিয়ম অনুযায়ী এই সংযোগটি $V$-এর একটি ভিত্তি হিসেবে গণ্য হবে। এর মাধ্যমেই প্রমাণিত হয় যে, $V$ হলো উপজগতগুলোর একটি সরাসরি সমষ্টি (direct sum)।

সমস্যা ২৩

আমরা জানি যে, যদি $V=W_{1}\oplus W_{2}$ হয়, তবে $V$-এর জন্য এমন একটি ভিত্তি খুঁজে পাওয়া সম্ভব যা $W_{1}$ এবং $W_{2}$-এর পৃথক দুটি ভিত্তিতে বিভক্ত হয়ে যায়। কিন্তু আমরা কি আরও জোরালোভাবে এই দাবি করতে পারি যে, $V$-এর প্রতিটি ভিত্তিই (every basis) একইভাবে $W_{1}$ এবং $W_{2}$-এর ভিত্তিতে বিভক্ত হবে?

উত্তর

না, এমন দাবি করা সম্ভব নয়। উদাহরণস্বরূপ, $\mathbb {R} ^{2}$-এর আদর্শ ভিত্তি (standard basis) বিবেচনা করা যাক। এই ভিত্তিটি $x=y$ এবং $x=-y$ রেখাদ্বয় দ্বারা গঠিত পরিপূরক উপজগতগুলোর ভিত্তিতে বিভক্ত হয় না।

সমস্যা ২৪

আমরা ভেক্টর উপজগতের সমষ্টির ক্ষেত্রে ব্যবহৃত "$+$" প্রক্রিয়ার বীজগণিত বা এর বৈশিষ্ট্যগুলো নিয়ে প্রশ্ন তুলতে পারি।

1. এটি কি বিনিময়যোগ্য বা ক্রমবিনিময়ী (commutative)? অর্থাৎ, $W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{1}$ কি সর্বদা সত্য?
2. এটি কি সংযোগযোগ্য বা অনুষঙ্গী (associative)? অর্থাৎ, $(W_{1}+W_{2})+W_{3}=W_{1}+(W_{2}+W_{3})$ কি সঠিক?
3. ধরা যাক $W$ কোনো একটি ভেক্টর জগতের উপজগত। এখন দেখান যে, $W+W=W$ হবে।
4. এখানে কি কোনো অভেদ উপাদান (identity element) থাকা আবশ্যক? অর্থাৎ এমন কোনো উপজগত $I$ কি বিদ্যমান, যার জন্য সকল উপজগত $W$-এর ক্ষেত্রে $I+W=W+I=W$ শর্তটি পালিত হয়?
5. এখানে কি বাম-বর্জন বিধি (left-cancelation) কার্যকর হয়? অর্থাৎ যদি $W_{1}+W_{2}=W_{1}+W_{3}$ হয়, তবে কি আমরা বলতে পারি যে $W_{2}=W_{3}$? একইভাবে ডান-বর্জন বিধির (right cancelation) ক্ষেত্রেও কি এটি প্রযোজ্য?

উত্তর

1. হ্যাঁ, যেকোনো উপজগৎ (subspaces) $W_{1},W_{2}$-এর জন্য $W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{1}$ সমীকরণটি সত্য বলে গণ্য হবে। এর মূল কারণ হলো, সমীকরণের উভয় পক্ষই মূলত $W_{1}\cup W_{2}=W_{2}\cup W_{1}$ এই সংযোগ সেটের স্প্যান (span) বা বিস্তৃতিকে নির্দেশ করে। যেহেতু সেটের সংযোগ প্রক্রিয়ায় উপাদানের ক্রমের কোনো পরিবর্তন ফলাফলে কোনো প্রভাব ফেলে না, তাই উপজগৎের যোগফলও বিনিময়যোগ্য।
2. এই গাণিতিক বৈশিষ্ট্যটি পূর্ববর্তীটির মতোই অত্যন্ত সাদৃশ্যপূর্ণ। এখানে সমীকরণের উভয় পক্ষই মূলত $(W_{1}\cup W_{2})\cup W_{3}=W_{1}\cup (W_{2}\cup W_{3})$ এই সংযোগ সেটের স্প্যান বা বিস্তৃতিকে উপস্থাপন করে। সেটের সংযোগ বিধি অনুযায়ী এটি একটি সংযোগমূলক (associative) প্রক্রিয়া, যার ফলে উপজগৎগুলোর যোগফলের ক্ষেত্রেও একই নিয়ম কার্যকর হয়।
3. যেহেতু এটি দুটি সেটের মধ্যে সমতা নির্দেশ করে, তাই আমরা পারস্পরিক অন্তর্ভুক্তির (mutual inclusion) মাধ্যমে এর সত্যতা প্রমাণ করতে পারি। এটি অত্যন্ত স্পষ্ট যে, $W\subseteq W+W$ শর্তটি সর্বদা সত্য। অন্যদিকে, $W+W\subseteq W$ প্রমাণের ক্ষেত্রে আমাদের মনে রাখতে হবে যে, প্রতিটি উপজগৎ বা সাবস্পেস যোগজ প্রক্রিয়ার অধীনে আবদ্ধ (closed under addition)। ফলস্বরূপ, ${\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ আকারের যেকোনো ভেক্টরের যোগফল অবশ্যই $W$ সেটের মধ্যেই অবস্থান করবে।
4. প্রতিটি ভেক্টর জগতের (vector space) ক্ষেত্রে, উপজগৎ বা সাবস্পেস যোগজ প্রক্রিয়ার সাপেক্ষে অভেদ উপাদান (identity element) হিসেবে কাজ করে তুচ্ছ উপজগৎটি (trivial subspace), যা মূলত শুধুমাত্র শূন্য ভেক্টর নিয়ে গঠিত।
5. উপজগৎ যোগের ক্ষেত্রে বাম-বর্জন (left cancellation) বা ডান-বর্জন (right cancellation) বিধির কোনোটিই কার্যকর হওয়ার প্রয়োজন নেই। উদাহরণস্বরূপ, ত্রিমাত্রিক বাস্তব জগত বা $\mathbb {R} ^{3}$-এর কথা বিবেচনা করা যাক। এখানে যদি আমরা $W_{1}$-কে $xy$-সমতল হিসেবে ধরি, $W_{2}$-কে $x$-অক্ষ এবং $W_{3}$-কে $y$-অক্ষ হিসেবে গ্রহণ করি, তবে দেখা যাবে যে বর্জন বিধিটি এখানে খাটছে না।

সমস্যা ২৫

সরাসরি যোগফল (direct sum) প্রক্রিয়ার বিভিন্ন বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্যসমূহ গভীরভাবে পর্যালোচনা করুন।

1. সরাসরি যোগফল কি বিনিময়যোগ্য (commute)? অর্থাৎ, $V=W_{1}\oplus W_{2}$ হলে কি এটি নিশ্চিতভাবে বোঝায় যে $V=W_{2}\oplus W_{1}$ হবে?
2. প্রমাণ করুন যে সরাসরি যোগফল প্রক্রিয়াটি সংযোগমূলক (associative): $(W_{1}\oplus W_{2})\oplus W_{3}=W_{1}\oplus (W_{2}\oplus W_{3})$।
3. দেখান যে, ত্রিমাত্রিক জগত $\mathbb {R} ^{3}$ হলো তিনটি অক্ষের সরাসরি যোগফল। এখানে প্রাসঙ্গিক বিষয়টি হলো, পূর্ববর্তী পয়েন্টের ভিত্তিতে আমাদের আলাদাভাবে উল্লেখ করার প্রয়োজন নেই যে তিনটি অক্ষের মধ্যে কোন দুটিকে আগে একত্রিত করা হয়েছে।
4. সরাসরি যোগফল প্রক্রিয়াটি কি বাম-বর্জন (left-cancel) বিধি মেনে চলে? অর্থাৎ, $W_{1}\oplus W_{2}=W_{1}\oplus W_{3}$ হলে কি তা $W_{2}=W_{3}$ হওয়াকে নির্দেশ করে? এটি কি ডান-বর্জন (right-cancel) বিধিও মেনে চলে?
5. এই গাণিতিক প্রক্রিয়ার সাপেক্ষে একটি অভেদ উপাদান (identity element) বিদ্যমান রয়েছে। সেই উপাদানটি খুঁজে বের করুন।
6. এই প্রক্রিয়ার সাপেক্ষে কি কিছু বা সমস্ত উপজগৎের বিপরীত উপাদান (inverses) থাকে? অর্থাৎ, কোনো ভেক্টর জগতের এমন কোনো উপজগৎ $W$ কি থাকা সম্ভব, যার জন্য অন্য একটি উপজগৎ $U$ এমনভাবে বিদ্যমান থাকবে যাতে $U\oplus W$ এর মান পূর্ববর্তী পয়েন্টে উল্লিখিত অভেদ উপাদানের সমান হয়?

উত্তর

1. এই দুটি ক্ষেত্রই পরস্পর সমান হওয়ার মূল কারণ হলো, প্রত্যেকটির ক্ষেত্রেই $V$ ভেক্টর জগৎটিকে তখনই সরাসরি সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সাম (direct sum) হিসেবে গণ্য করা হবে, যদি এবং কেবল যদি $V$ এর অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি ভেক্টর ${\vec {v}}\in V$-কে একটি অনন্য বা অদ্বিতীয় উপায়ে ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}$ এবং ${\vec {v}}={\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{1}$ আকারে যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব হয়। এখানে অনন্যতা বলতে বোঝানো হয়েছে যে, এই নির্দিষ্ট ভেক্টরগুলোকে অন্য কোনো ভিন্ন উপায়ে যোগ করে ওই একই ফলাফল পাওয়া সম্ভব নয়।
2. একইভাবে, এই উপাদানের সমতার ভিত্তি হলো এই যে, প্রত্যেকটির জন্য $V$ ভেক্টর জগৎটি ডাইরেক্ট সাম হিসেবে বিবেচিত হবে তখনই, যখন $V$ এর অন্তর্গত প্রতিটি ভেক্টর ${\vec {v}}\in V$-কে প্রতিটি উপ-জগত থেকে সংগৃহীত ভেক্টরের সমষ্টি হিসেবে একটি নির্দিষ্ট ও অনন্য উপায়ে উপস্থাপন করা যায়, যেমন— ${\vec {v}}=({\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})+{\vec {w}}_{3}$ এবং ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+({\vec {w}}_{2}+{\vec {w}}_{3})$। এই গাণিতিক প্রকাশভঙ্গিটি ভেক্টর যোগের সংযোগ বিধি বা অ্যাসোসিয়েটিভ প্রপার্টিকেও স্পষ্টভাবে নির্দেশ করে।
3. ত্রিমাত্রিক বাস্তব ভেক্টর জগত বা $\mathbb {R} ^{3}$-এর অন্তর্ভুক্ত যেকোনো ভেক্টরকে অত্যন্ত সুনির্দিষ্টভাবে তিনটি স্থানাঙ্ক অক্ষ থেকে প্রাপ্ত ভেক্টরসমূহের সমষ্টি হিসেবে বিশ্লেষণ বা ডিকম্পোজ (decompose) করা সম্ভব। এই বিভাজন প্রক্রিয়াটি সম্পূর্ণ অনন্য, অর্থাৎ প্রতিটি অক্ষের উপাংশগুলো একটি নির্দিষ্ট ভেক্টরের জন্য সর্বদা অপরিবর্তিত থাকে।
4. না, এটি সর্বক্ষেত্রে সত্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, আমরা যদি দ্বিমাত্রিক বাস্তব তল $\mathbb {R} ^{2}$-এর কথা বিবেচনা করি, তবে ধরা যাক $W_{1}$ হলো $x$-অক্ষ, $W_{2}$ হলো $y$-অক্ষ এবং $W_{3}$ হলো $y=x$ সমীকরণ দ্বারা চিহ্নিত সরলরেখাটি। এই ক্ষেত্রে দেখা যায় যে, এদের সমষ্টির মাধ্যমে কোনো ভেক্টরকে প্রকাশ করার পদ্ধতিটি অনন্য থাকে না, যা ডাইরেক্ট সামের মৌলিক শর্তকে লঙ্ঘন করে।
5. যেকোনো ভেক্টর জগতের আলোচনায়, ট্রিভিয়াল সাবস্পেস (trivial subspace) বা শূন্য উপ-জগৎটি ডাইরেক্ট সাম বা সরাসরি সমষ্টির ক্রিয়ার সাপেক্ষে অভেদ উপাদান বা আইডেন্টিটি এলিমেন্ট (identity element) হিসেবে কাজ করে। বস্তুত, যেকোনো উপ-জগতের সাথে এই শূন্য উপ-জগতের ডাইরেক্ট সাম গ্রহণ করলে মূল উপ-জগৎটির কোনো পরিবর্তন ঘটে না।
6. যেকোনো ভেক্টর জগতে কেবলমাত্র ট্রিভিয়াল সাবস্পেসেরই একটি ডাইরেক্ট-সাম বিপরীত বা ইনভার্স (inverse) বিদ্যমান থাকে, যা মূলত ওই ট্রিভিয়াল সাবস্পেস নিজেই। এই গাণিতিক সত্যটি অনুধাবন করার একটি কার্যকর উপায় হলো এই যে, ডাইরেক্ট সামের ক্ষেত্রে উপ-জগতগুলোর মাত্রা বা ডাইমেনশন (dimension) পরস্পর যুক্ত হয় এবং এর ফলে সামগ্রিক মাত্রা বৃদ্ধি পায়। যেহেতু মাত্রা কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই কেবল শূন্য মাত্রার ক্ষেত্রেই বিপরীত উপাদানের অস্তিত্ব থাকা সম্ভব।