রৈখিক বীজগণিত/উপজগতের সংমিশ্রণ

এই উপ-অনুচ্ছেদটি পাঠ করা ঐচ্ছিক হিসেবে গণ্য করা যেতে পারে। এটি মূলত তৃতীয় অধ্যায় এবং পঞ্চম অধ্যায়ের শেষ অংশগুলোর আলোচনার জন্য এবং মাঝে মাঝে কিছু নির্দিষ্ট অনুশীলনী সমাধানের ক্ষেত্রে প্রয়োজন হয়। গাণিতিক ধারাবাহিকতা বজায় রেখেও পাঠক চাইলে এই অংশটি এড়িয়ে যেতে পারেন।

বর্তমান অধ্যায়টি একটি ভেক্টর জগৎের সংজ্ঞার মাধ্যমে শুরু হয়েছিল এবং এর মাঝের অংশে এই ধারণার প্রাথমিক বিশ্লেষণ তুলে ধরা হয়েছে। এই উপ-অনুচ্ছেদটি সেই বিশ্লেষণের পূর্ণতা দেওয়ার মাধ্যমেই অধ্যায়টি শেষ করবে। এখানে "বিশ্লেষণ" শব্দটি হ্যালসি (১৯৭৯) এর দেওয়া সংজ্ঞার ভিত্তিতে ব্যবহার করা হয়েছে। তার মতে, বিশ্লেষণ মানে হলো কোনো কিছুর মূল বৈশিষ্ট্যগুলোকে আলাদা আলাদা অংশে ভাগ করে তা পরীক্ষা বা নির্ধারণ করার পদ্ধতি।

যেকোনো জটিল বিষয়কে গভীরভাবে বোঝার একটি সাধারণ ও কার্যকর উপায় হলো সেটি কীভাবে বিভিন্ন ক্ষুদ্রতর উপাদানের সমন্বয়ে গঠিত হয়েছে তা পর্যবেক্ষণ করা। উদাহরণস্বরূপ, আমরা ত্রিমাত্রিক জগত বা $\mathbb {R} ^{3}$-কে কল্পনা করতে পারি যা মূলত $x$-অক্ষ, $y$-অক্ষ এবং $z$-অক্ষের সমন্বয়ে গঠিত। এই উপ-অনুচ্ছেদে আমরা এই ধারণাটিকে গাণিতিকভাবে সুনির্দিষ্ট রূপ দান করব; আমরা বিস্তারিতভাবে বর্ণনা করব কীভাবে একটি ভেক্টর জগৎকে তার কয়েকটি উপজগৎের (subspaces) সংমিশ্রণে বিভক্ত বা বিশ্লেষণ করা সম্ভব। উপজগৎসমূহের এই সংযোজন বা সমন্বয়ের ধারণাটি বিকাশের সময় আমরা $\mathbb {R} ^{3}$-এর উদাহরণটিকে একটি আদর্শ মডেল হিসেবে সর্বদা বিবেচনায় রাখব।

গাণিতিকভাবে উপজগৎগুলো হলো উপসেট (subsets), আর সেটসমূহ সাধারণত সংযোগ বা 'ইউনিয়ন' (union) প্রক্রিয়ার মাধ্যমে একত্রিত হয়। তবে উপজগৎগুলোর সমন্বয়ের ক্ষেত্রে সাধারণ ইউনিয়ন প্রক্রিয়াটি আমাদের কাঙ্ক্ষিত ফলাফল প্রদান করে না। প্রথমত, $x$-অক্ষ, $y$-অক্ষ এবং $z$-অক্ষের সংযোগ বা ইউনিয়ন করলে সমগ্র $\mathbb {R} ^{3}$ জগতটি পাওয়া যায় না, যার ফলে আমাদের আদর্শ মডেলটি আলোচনার বাইরে থেকে যায়। তদুপরি, ইউনিয়নের ধারণাটি এখানে ত্রুটিপূর্ণ হওয়ার আরও একটি বিশেষ কারণ রয়েছে: দুটি বা ততোধিক উপজগৎের ইউনিয়ন নিজে একটি উপজগৎ নাও হতে পারে। এর কারণ হলো এটি আবদ্ধতা (closure) ধর্ম মেনে চলে না; উদাহরণস্বরূপ, $\mathbb {R} ^{3}$-এর এই ভেক্টরটি লক্ষ্য করা যাক:

${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}$

এই ভেক্টরটি উল্লিখিত তিনটি অক্ষের কোনোটির মধ্যেই অবস্থিত নয় এবং ফলশ্রুতিতে এটি তাদের ইউনিয়নের অন্তর্ভুক্ত নয়। সুতরাং, উপজগৎগুলোর সদস্যদের পাশাপাশি আমাদের অবশ্যই তাদের সকল রৈখিক সমাবেশকেও (linear combinations) এই প্রক্রিয়ার অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।

সংজ্ঞা ৪.১

যেখানে $W_{1},\dots ,W_{k}$ হলো একটি ভেক্টর জগৎের কতগুলো উপজগৎ, সেখানে তাদের সমষ্টি (sum) হলো তাদের ইউনিয়নের স্প্যান (span): $W_{1}+W_{2}+\dots +W_{k}=[W_{1}\cup W_{2}\cup \dots W_{k}]$।

(ভেক্টরসমূহের মধ্যে "$+$" চিহ্ন ব্যবহারের পাশাপাশি সেটগুলোর মাঝেও এই চিহ্নের ব্যবহার মূলত যেকোনো স্বাভাবিক সমষ্টি বা সঞ্চয়ন প্রক্রিয়ার ক্ষেত্রে এই প্রতীকটি ব্যবহারের প্রচলিত রীতির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।)

উদাহরণ ৪.২

আমাদের আলোচিত $\mathbb {R} ^{3}$ মডেলটি এই প্রক্রিয়ার সাথে যথাযথভাবে খাপ খায়। যেকোনো ভেক্টর ${\vec {w}}\in \mathbb {R} ^{3}$-কে একটি রৈখিক সমাবেশ $c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2}+c_{3}{\vec {v}}_{3}$ হিসেবে লেখা যেতে পারে, যেখানে ${\vec {v}}_{1}$ হলো $x$-অক্ষের একটি সদস্য, এবং একইভাবে অন্যান্যগুলোও। এই পদ্ধতিতে:

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\0\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\w_{2}\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\w_{3}\end{pmatrix}}$

গাণিতিক এই সমীকরণের মাধ্যমে এটি স্পষ্টভাবে প্রতীয়মান হয় যে, ত্রিমাত্রিক জগতের যেকোনো ভেক্টরকে তার অক্ষীয় উপাংশগুলোর সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব। আর এই কারণেই আমরা লিখতে পারি যে, $\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}+y{\text{-axis}}+z{\text{-axis}}$। অর্থাৎ, ত্রিমাত্রিক বাস্তব ভেক্টর জগতটি মূলত তার তিনটি স্থানাঙ্ক অক্ষের রৈখিক সমষ্টির সমান। }}

উদাহরণ ৪.৩

উপজগৎসমূহের সমষ্টি সর্বদা সম্পূর্ণ মূল জগতের সমান নাও হতে পারে; অনেক ক্ষেত্রে এই সমষ্টি মূল জগতের তুলনায় ছোট বা তার একটি নির্দিষ্ট অংশ মাত্র হতে পারে। ধরা যাক, ${\mathcal {P}}_{4}$ নামক বহুপদী জগতের অভ্যন্তরে, $L$ হলো রৈখিক বহুপদীসমূহের একটি উপজগৎ যাকে $\{a+bx\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ আকারে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। আবার ধরা যাক, $C$ হলো বিশুদ্ধ ঘনক বা কিউবিক বহুপদীসমূহের একটি উপজগৎ, যা $\{cx^{3}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। এক্ষেত্রে $L+C$ এর সমষ্টি কিন্তু সম্পূর্ণ ${\mathcal {P}}_{4}$ জগৎকেনির্দেশ করে না। বরং, এটি একটি নির্দিষ্ট উপজগৎ গঠন করে যা হলো $L+C=\{a+bx+cx^{3}\,{\big |}\,a,b,c\in \mathbb {R} \}$।

উদাহরণ ৪.৪

একটি ভেক্টর জগৎকেএকাধিক উপায়ে বিভিন্ন উপজগৎের সমন্বয় হিসেবে বর্ণনা করা সম্ভব। ইতিপূর্বে আমরা $\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}+y{\text{-axis}}+z{\text{-axis}}$ এই বিভাজনটি দেখেছি, তবে এর বাইরেও আমরা $\mathbb {R} ^{3}$-কে $xy{\text{-plane}}+yz{\text{-plane}}$ বা $xy$-সমতল এবং $yz$-সমতলের সমষ্টি হিসেবেও লিখতে পারি। এই বিষয়টি যাচাই করার জন্য লক্ষ্য করুন যে, $\mathbb {R} ^{3}$ জগতের যেকোনো ভেক্টর ${\vec {w}}$-কে $xy$-সমতলের একটি সদস্য এবং $yz$-সমতলের একটি সদস্যের রৈখিক সমাবেশ বা লিনিয়ার কম্বিনেশন হিসেবে প্রকাশ করা যায়; নিচে এ ধরনের দুটি সম্ভাব্য সমাবেশের উদাহরণ প্রদান করা হলো।

${\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\0\\w_{3}\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}\\w_{3}\end{pmatrix}}=1\cdot {\begin{pmatrix}w_{1}\\w_{2}/2\\0\end{pmatrix}}+1\cdot {\begin{pmatrix}0\\w_{2}/2\\w_{3}\end{pmatrix}}$

উপরে প্রদত্ত সংজ্ঞাটি একটি ভেক্টর জগৎকে তারবিভিন্ন অংশের সমন্বয় হিসেবে বিবেচনা করার একটি গাণিতিক পথ প্রদর্শন করে। তবে পূর্ববর্তী উদাহরণটি থেকে এটি স্পষ্ট হয় যে, আমাদের আদর্শ মডেলের অন্তত একটি অত্যন্ত আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্য রয়েছে যা উপজগৎের সমষ্টির সাধারণ সংজ্ঞা দ্বারা পুরোপুরি ব্যাখ্যা করা সম্ভব নয়। ত্রিমাত্রিক জগত বা $\mathbb {R} ^{3}$-এর পরিচিত বিভাজন পদ্ধতিতে আমরা সাধারণত কোনো ভেক্টরের "$x$ অংশ", "$y$ অংশ" কিংবা "$z$ অংশ" নিয়ে আলোচনা করি। এর তাৎপর্য হলো, এই মডেলে প্রতিটি ভেক্টরের একটি অনন্য বিভাজন (unique decomposition) বিদ্যমান, যা মূল জগত গঠনকারী অংশগুলো থেকে প্রাপ্ত। কিন্তু উদাহরণ ৪.৪-এ ব্যবহৃত বিভাজন প্রক্রিয়ায় আমরা কোনো ভেক্টরের নির্দিষ্ট "$xy$ অংশ" সম্পর্কে নিশ্চিতভাবে বলতে পারি না— নিচের এই তিনটি গাণিতিক সমষ্টি লক্ষ্য করুন:

${\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\2\\3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\1\\3\end{pmatrix}}$

এই প্রতিটি সমীকরণই একই ভেক্টরকে প্রথম সমতলের একটি উপাদান এবং দ্বিতীয় সমতলের একটি উপাদানের সমষ্টি হিসেবে বর্ণনা করছে, কিন্তু প্রতি ক্ষেত্রেই ভেক্টরটির সেই নির্দিষ্ট "$xy$ অংশ" ভিন্ন ভিন্ন হচ্ছে। অর্থাৎ, এখানে বিভাজনটি অনন্য নয়, যা গাণিতিক বিশ্লেষণে একটি গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য তৈরি করে।

অর্থাৎ, যখন আমরা বিবেচনা করি যে কীভাবে ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান $\mathbb {R} ^{3}$ তিনটি অক্ষের সমন্বয়ে "কোনো একভাবে" গঠিত হয়েছে, তখন আমাদের উদ্দেশ্য হতে পারে এমন একটি কাঠামো তৈরি করা যেখানে প্রতিটি ভেক্টরের অন্তত একটি বিশ্লিষ্ট রূপ বা বিভাজন (decomposition) বিদ্যমান থাকে। মূলত এই ধারণাটিই আমাদের উপরে উল্লিখিত সংজ্ঞার দিকে ধাবিত করে। তবে, আমরা যদি বিষয়টিকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করতে চাই যে প্রতিটি ভেক্টরের কেবল একটি এবং অনন্য (unique) বিভাজন থাকবে, তবে আমাদের ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশের ওপর অতিরিক্ত কিছু শর্ত আরোপ করার প্রয়োজন পড়বে। এই শর্তটি আসলে কী তা অনুধাবন করার জন্য আমাদের মনে রাখা প্রয়োজন যে, একটি ভিত্তির (basis) সাপেক্ষে যেকোনো ভেক্টরকে অনন্যভাবে উপস্থাপন করা সম্ভব। এই মৌলিক বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করে আমরা একটি ভেক্টর জগৎকেকতগুলো উপজগৎের (subspaces) সমষ্টি হিসেবে এমনভাবে বিভক্ত করতে পারি, যাতে ওই জগতের যেকোনো ভেক্টরকে সেই উপজগৎগুলোর সদস্যদের একটি অনন্য সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা যায়।

উদাহরণ ৪.৫

এখানে আদর্শ উদাহরণ হিসেবে আমরা $\mathbb {R} ^{3}$ জগৎকেবিবেচনা করতে পারি, যার প্রমিত ভিত্তি বা স্ট্যান্ডার্ড বেসিস হলো ${\mathcal {E}}_{3}=\langle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}\rangle$। এক্ষেত্রে $B_{1}=\langle {\vec {e}}_{1}\rangle$ ভিত্তি বিশিষ্ট উপজগৎটি হলো মূলত $x$-অক্ষ। আবার, $B_{2}=\langle {\vec {e}}_{2}\rangle$ ভিত্তি বিশিষ্ট উপজগৎটি $y$-অক্ষকে নির্দেশ করে এবং $B_{3}=\langle {\vec {e}}_{3}\rangle$ ভিত্তি বিশিষ্ট উপজগৎটি হলো $z$-অক্ষ। বাস্তবিকভাবে $\mathbb {R} ^{3}$-এর যেকোনো সদস্যকে এই উপজগৎগুলোর ভেক্টরসমূহের সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা যায়, যা নিচের সমীকরণের মাধ্যমে দেখানো হলো:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\z\end{pmatrix}}$

এই গাণিতিক সত্যটি মূলত এই বিষয়টিকে প্রতিফলিত করে যে ${\mathcal {E}}_{3}$ ভিত্তিটি সমগ্র জগতটিকে বিস্তৃত (span) করে— অর্থাৎ, যেকোনো $x,y,z\in \mathbb {R}$-এর জন্য এই সমীকরণটির

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

একটি সমাধান বিদ্যমান থাকে। অধিকন্তু, এই ধরনের প্রতিটি প্রকাশ যে অনন্য বা ইউনিক, তা এই সত্যেরই প্রতিফলন যে ${\mathcal {E}}_{3}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent)— যার অর্থ হলো উপরের সমীকরণটির মতো যেকোনো সমীকরণের কেবল একটিই অনন্য সমাধান থাকবে।

উদাহরণ ৪.৬

আমাদের যে সবসময় ভিত্তি ভেক্টরগুলোকে একটি একটি করে নিতে হবে এমন কোনো বাধ্যবাধকতা নেই; বরং আমরা যদি সেগুলোকে বৃহত্তর অনুক্রমে একত্রিত (conglomerate) করি, তবে একই ধারণা কার্যকর হবে। পুনরায় $\mathbb {R} ^{3}$ জগত এবং এর প্রমিত ভিত্তি ${\mathcal {E}}_{3}$-এর ভেক্টরগুলোর কথা বিবেচনা করা যাক। এখানে $B_{1}=\langle {\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{3}\rangle$ ভিত্তি বিশিষ্ট উপজগৎটি হলো $xz$-সমতল। অন্যদিকে, $B_{2}=\langle {\vec {e}}_{2}\rangle$ ভিত্তি বিশিষ্ট উপজগৎটি হলো $y$-অক্ষ। পূর্ববর্তী উদাহরণের মতোই, এই জগতের যেকোনো সদস্যকে কেবল একটি এবং অনন্য উপায়ে এই দুটি উপজগৎের সদস্যদের সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\0\\z\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}$

এই অনন্যতা মূলত এই সত্যেরই বহিঃপ্রকাশ যে এই ভেক্টরগুলো একটি ভিত্তি গঠন করে— এবং এই ব্যবস্থাটি বা সিস্টেমটি...

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=(c_{1}{\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}})+c_{2}{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

উপরিউক্ত সমীকরণটির ক্ষেত্রে যেকোনো বাস্তব সংখ্যা $x,y,z\in \mathbb {R}$-এর জন্য একটি এবং কেবলমাত্র একটি অনন্য সমাধান বিদ্যমান থাকে। }}

এই উদাহরণগুলো একটি ভেক্টর জগৎ বা জ্যামিতিক জগৎকে কতগুলো উপ-জগৎ বা সাবস্পেসের সমষ্টি হিসেবে বিভক্ত করার একটি অত্যন্ত স্বাভাবিক ও স্বতঃস্ফূর্ত পদ্ধতি প্রদর্শন করে। এই বিভাজন প্রক্রিয়ার বিশেষত্ব হলো, মূল স্পেসের প্রতিটি ভেক্টরকে এই উপ-অংশগুলো থেকে আসা ভেক্টরসমূহের একটি অনন্য সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব। পরবর্তী ফলাফল বা উপপাদ্যটি আমাদের এটিই নিশ্চিত করে যে, ভেক্টর জগৎের এই ধরনের বিভাজনের ক্ষেত্রে এই পদ্ধতিটিই একমাত্র কার্যকর পথ।

সংজ্ঞার্থ ৪.৭

ধরা যাক, $B_{1}=\langle {\vec {\beta }}_{1,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{1,n_{1}}\rangle$ থেকে শুরু করে $B_{k}=\langle {\vec {\beta }}_{k,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k,n_{k}}\rangle$ পর্যন্ত কতগুলো অনুক্রম বা সিকোয়েন্স রয়েছে। এই অনুক্রমগুলোর সংযোজন বা কনক্যাটেনেশন বলতে বোঝায় তাদের পর্যায়ক্রমিক একত্রীকরণ বা একটির সাথে অন্যটির প্রান্তীয় সংযোগ স্থাপন, যা নিম্নোক্তভাবে প্রকাশ করা হয়:

$B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{2}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}=\langle {\vec {\beta }}_{1,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{1,n_{1}},{\vec {\beta }}_{2,1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k,n_{k}}\rangle$

সহায়ক উপপাদ্য ৪.৮

মনে করি, $V$ একটি ভেক্টর জগৎ যা এর কতগুলো উপ-জগৎ বা সাবস্পেসের সমষ্টি হিসেবে গঠিত, অর্থাৎ $V=W_{1}+\dots +W_{k}$। এখন ধরা যাক, $B_{1}$, ..., $B_{k}$ হলো যথাক্রমে ওই সাবস্পেসগুলোর জন্য নির্ধারিত যেকোনো ভিত্তি বা বেসিস। এমতাবস্থায়, নিচের বিবৃতিগুলো একে অপরের সমতুল্য হবে:

1. $V$ স্পেসের অন্তর্গত প্রতিটি ভেক্টর ${\vec {v}}\in V$-এর জন্য, ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$ (যেখানে ${\vec {w}}_{i}\in W_{i}$) এই গাণিতিক প্রকাশটি সম্পূর্ণ অনন্য বা ইউনিক হবে।
2. ভিত্তিগুলোর সংযোজন বা কনক্যাটেনেশন $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ সামগ্রিকভাবে $V$ স্পেসের জন্য একটি পূর্ণাঙ্গ ভিত্তি হিসেবে কাজ করবে।
3. $\{{\vec {w}}_{1},\dots ,{\vec {w}}_{k}\}$ সেটের অন্তর্গত অশূন্য (nonzero) সদস্যগুলো (যেখানে ${\vec {w}}_{i}\in W_{i}$) একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন বা লিনিয়ারলি ইন্ডিপেন্ডেন্ট সেট গঠন করে— অর্থাৎ, ভিন্ন ভিন্ন সাবস্পেস $W_{i}$ থেকে আসা অশূন্য ভেক্টরগুলোর মধ্যে যেকোনো রৈখিক সম্পর্ক কেবলমাত্র নগণ্য বা ট্রিভিয়াল (যেখানে সকল সহগ শূন্য) হলেই সম্ভব।

প্রমাণ

এই উপপাদ্যটি প্রমাণের লক্ষ্যে আমরা পর্যায়ক্রমে দেখাব যে, প্রথম বিবৃতি থেকে দ্বিতীয়টি (${\text{(1)}}\implies {\text{(2)}}$), দ্বিতীয়টি থেকে তৃতীয়টি (${\text{(2)}}\implies {\text{(3)}}$) এবং সবশেষে তৃতীয়টি থেকে পুনরায় প্রথম বিবৃতিটি (${\text{(3)}}\implies {\text{(1)}}$) যৌক্তিকভাবে অনুসৃত হয়। এই যুক্তিগুলো উপস্থাপনের ক্ষেত্রে আমাদের লক্ষ্য করতে হবে যে, আমরা খুব সহজেই ${\vec {w}}$ ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ থেকে ${\vec {\beta }}$ ভেক্টরগুলোর (ভিত্তি ভেক্টর) একটি রৈখিক সমাবেশে উপনীত হতে পারি:

$(*)\qquad d_{1}{\vec {w}}_{1}+\dots +d_{k}{\vec {w}}_{k}=$

${\begin{array}{rl}&=d_{1}(c_{1,1}{\vec {\beta }}_{1,1}+\dots +c_{1,n_{1}}{\vec {\beta }}_{1,n_{1}})+\dots +d_{k}(c_{k,1}{\vec {\beta }}_{k,1}+\dots +c_{k,n_{k}}{\vec {\beta }}_{k,n_{k}})\\&=d_{1}c_{1,1}\cdot {\vec {\beta }}_{1,1}+\dots +d_{k}c_{k,n_{k}}\cdot {\vec {\beta }}_{k,n_{k}}\end{array}}$

এবং একইভাবে এর বিপরীত প্রক্রিয়াটিও সমানভাবে কার্যকর ও সত্য।

${\text{(1)}}\implies {\text{(2)}}$ এই অংশটি প্রমাণের ক্ষেত্রে, আমরা প্রাথমিকভাবে ধরে নিচ্ছি যে ভেক্টর জগতের প্রতিটি উপাদানের বিভাজন বা ডিকম্পোজিশন (decomposition) অনন্য বা ইউনিক। আমাদের এখন এটি গাণিতিকভাবে প্রদর্শন করতে হবে যে, $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ নামক এই সংযুক্ত ভিত্তিটি সমগ্র ভেক্টর জগৎকেবিস্তৃত (span) করে এবং এটি রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent)। এটি সমগ্র জগৎকেবিস্তৃত করে কারণ আমাদের পূর্বনির্ধারিত শর্তানুসারে $V=W_{1}+\dots +W_{k}$ হওয়ার অর্থ হলো, উক্ত জগতের যেকোনো ভেক্টর ${\vec {v}}$-কে ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$ আকারে প্রকাশ করা সম্ভব। সমীকরণ ($*$) অনুযায়ী এই প্রকাশভঙ্গিটি আসলে ${\vec {v}}$-কে সংযুক্ত ভিত্তি থেকে প্রাপ্ত ${\vec {\beta }}$ ভেক্টরগুলোর একটি রৈখিক সমাবেশ (linear combination) হিসেবে উপস্থাপন করে। রৈখিক স্বাধীনতার বিষয়টি যাচাই করার জন্য, নিচের রৈখিক সম্পর্কটি বিবেচনা করা যাক:

${\vec {0}}=c_{1,1}{\vec {\beta }}_{1,1}+\dots +c_{k,n_{k}}{\vec {\beta }}_{k,n_{k}}$

সমীকরণ ($*$)-এর মতো করে পদগুলোকে পুনরায় বিন্যস্ত করলে (অর্থাৎ, $d_{1}$, ..., $d_{k}$ এর মান $1$ ধরে নিয়ে নিচ থেকে উপরের দিকে অগ্রসর হলে) আমরা শূন্য ভেক্টরের একটি বিভাজন পাই, যা হলো ${\vec {0}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$। যেহেতু আমরা শুরুতেই ধরে নিয়েছি যে ভেক্টরের বিভাজনগুলো অনন্য, এবং আমরা জানি যে শূন্য ভেক্টরের একটি স্বাভাবিক ও সাধারণ বিভাজন হলো ${\vec {0}}={\vec {0}}+\dots +{\vec {0}}$, তাই যৌক্তিকভাবেই প্রতিটি ${\vec {w}}_{i}$ অবশ্যই একটি শূন্য ভেক্টর হবে। এর সরাসরি অর্থ দাঁড়ায় যে, $c_{i,1}{\vec {\beta }}_{i,1}+\dots +c_{i,n_{i}}{\vec {\beta }}_{i,n_{i}}={\vec {0}}$। যেহেতু প্রতিটি $B_{i}$ নিজেই একটি ভিত্তি (basis), তাই তাদের রৈখিক স্বাধীনতার ধর্ম অনুযায়ী আমরা এই কাঙ্ক্ষিত সিদ্ধান্তে উপনীত হতে পারি যে, সকল সহগ $c$-এর মান অবশ্যই শূন্য হবে।

এবার ${\text{(2)}}\implies {\text{(3)}}$ প্রমাণের লক্ষ্যে ধরে নেওয়া যাক যে, $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ হলো সংশ্লিষ্ট ভেক্টর জগতের একটি সুনির্দিষ্ট ভিত্তি। বিভিন্ন উপজগৎ $W_{i}$ থেকে সংগৃহীত অশূন্য ভেক্টরগুলোর মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক বিবেচনা করা যাক, যেমন:

${\vec {0}}=\dots +d_{i}{\vec {w}}_{i}+\cdots$

আমাদের উদ্দেশ্য হলো এটি প্রমাণ করা যে এই সম্পর্কটি নগণ্যবা ট্রিভিয়াল (trivial)। (এখানে সম্পর্কটিকে এই বিশেষ ঢঙে লেখা হয়েছে কারণ আমরা কেবল কয়েকটি $W_{i}$ থেকে নেওয়া অশূন্য ভেক্টরগুলোর সমাবেশ বিবেচনা করছি; উদাহরণস্বরূপ, এই সমাবেশে হয়তো ${\vec {w}}_{1}$ নামক কোনো ভেক্টর নাও থাকতে পারে।) সমীকরণ ($*$)-এর অনুরূপভাবে আমরা লিখতে পারি, ${\vec {0}}=\dots +d_{i}(c_{i,1}{\vec {\beta }}_{i,1}+\dots +c_{i,n_{i}}{\vec {\beta }}_{i,n_{i}})+\cdots =\dots +d_{i}c_{i,1}\cdot {\vec {\beta }}_{i,1}+\dots +d_{i}c_{i,n_{i}}\cdot {\vec {\beta }}_{i,n_{i}}+\cdots$ এবং যেহেতু $B_{1}\!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!\cdots \!{\mathbin {{}^{\frown }}}\!B_{k}$ একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন ভিত্তি, তাই এর প্রতিটি সহগ $d_{i}c_{i,j}$ অবশ্যই শূন্য হতে হবে। যেহেতু ${\vec {w}}_{i}$ একটি অশূন্য ভেক্টর হিসেবে সংজ্ঞায়িত, তাই এর অন্তত একটি সহগ $c_{i,j}$ অবশ্যই শূন্য নয়, যার ফলে অনিবার্যভাবে $d_{i}$-এর মান শূন্য হতে বাধ্য। এই যুক্তিটি প্রতিটি $d_{i}$-এর জন্যই প্রযোজ্য, আর তাই প্রমাণিত হয় যে প্রাথমিক রৈখিক সম্পর্কটি ছিল সম্পূর্ণভাবে তুচ্ছ।

সবশেষে, ${\text{(3)}}\implies {\text{(1)}}$ প্রমাণের জন্য ধরে নেওয়া যাক যে, বিভিন্ন উপজগৎ $W_{i}$ থেকে আগত অশূন্য ভেক্টরগুলোর মধ্যে যেকোনো রৈখিক সম্পর্কই নগণ্যবা ট্রিভিয়াল। কোনো একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর ${\vec {v}}$-এর দুটি ভিন্ন ভিন্ন বিভাজন যথাক্রমে ${\vec {v}}={\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k}$ এবং ${\vec {v}}={\vec {u}}_{1}+\dots +{\vec {u}}_{k}$ বিবেচনা করা যাক; আমাদের লক্ষ্য হলো এটি দেখানো যে এই দুটি বিভাজন আসলে অভিন্ন। এখান থেকে আমরা পাই—

${\vec {0}}=({\vec {w}}_{1}+\dots +{\vec {w}}_{k})-({\vec {u}}_{1}+\dots +{\vec {u}}_{k})=({\vec {w}}_{1}-{\vec {u}}_{1})+\dots +({\vec {w}}_{k}-{\vec {u}}_{k})$

গাণিতিক এই সমীকরণটি আমাদের প্রাথমিক অনুমিতিকে সরাসরি লঙ্ঘন করে, যদি না প্রতিটি ${\vec {w}}_{i}-{\vec {u}}_{i}$ একটি শূন্য ভেক্টর হিসেবে গণ্য হয়। এর মাধ্যমেই প্রমাণিত হয় যে, ভেক্টর জগৎের এই ধরনের বিভাজন বা ডিকম্পোজিশনগুলো গাণিতিকভাবে অনন্য বা ইউনিক হয়ে থাকে।

সংজ্ঞা ৪.৯

উপজগৎের একটি সংগ্রহ $\{W_{1},\ldots ,W_{k}\}$-কে তখনই স্বাধীন (independent) বলা হবে, যদি কোনো একটি উপজগৎ $W_{i}$ থেকে নেওয়া কোনো অশূন্য ভেক্টর অন্য উপজগৎসমূহ $W_{1},\dots ,W_{i-1},W_{i+1},\dots ,W_{k}$-এর ভেক্টরগুলোর রৈখিক সমাবেশ (linear combination) হিসেবে প্রকাশ করা না যায়।

সংজ্ঞা ৪.১০

একটি ভেক্টর জগৎ $V$-কে এর উপজগৎসমূহ $W_{1},\dots ,W_{k}$-এর সরাসরি সমষ্টি বা ডিরেক্ট সাম (অথবা অভ্যন্তরীণ সরাসরি সমষ্টি) বলা হবে যদি $V=W_{1}+W_{2}+\dots +W_{k}$ হয় এবং উপজগৎসমূহের সংগ্রহ $\{W_{1},\dots ,W_{k}\}$ পরস্পর স্বাধীন হয়। গাণিতিক ভাষায় আমরা একে $V=W_{1}\oplus W_{2}\oplus \dots \oplus W_{k}$ আকারে লিখে থাকি।

উদাহরণ ৪.১১

একটি আদর্শ বেঞ্চমার্ক মডেল হিসেবে আমরা ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থানকে বিবেচনা করতে পারি: $\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}\oplus y{\text{-axis}}\oplus z{\text{-axis}}$। এখানে প্রতিটি অক্ষ একটি স্বতন্ত্র উপজগৎ হিসেবে কাজ করে।

উদাহরণ ৪.১২

$2\!\times \!2$ আকারের ম্যাট্রিক্সের জগত বা স্পেসকে নিচের এই সরাসরি সমষ্টির মাধ্যমে প্রকাশ করা সম্ভব:

$\{{\begin{pmatrix}a&0\\0&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,a,d\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{{\begin{pmatrix}0&b\\0&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$

উল্লেখ্য যে, এই ম্যাট্রিক্স স্পেসটিকে আরও অনেক উপায়ে সরাসরি সমষ্টির উপজগৎে বিভক্ত করা সম্ভব; অর্থাৎ সরাসরি সমষ্টির এই বিভাজন প্রক্রিয়াগুলো সবসময় অনন্য বা ইউনিক হয় না।

অনুসিদ্ধান্ত ৪.১৩

একটি সরাসরি সমষ্টির মাত্রা বা ডাইমেনশন হলো এর অন্তর্ভুক্ত প্রতিটি উপজগৎের মাত্রার সমষ্টির সমান।

প্রমাণ

লেমা ৪.৮-এ বর্ণিত তথ্য অনুসারে, ভিত্তি ভেক্টরগুলোর সংযোগ বা কনক্যাটিনেশনের ফলে প্রাপ্ত মোট ভেক্টরের সংখ্যা হলো সেই উপ-ভিত্তিগুলোর ভেক্টর সংখ্যার যোগফলের সমান, যা মূলত ওই সংযোগটি তৈরি করে।

দুটি উপজগৎের ক্ষেত্রে এই বিশেষ পরিস্থিতিটি আলাদাভাবে উল্লেখ করা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ।

সংজ্ঞা ৪.১৪

যখন একটি ভেক্টর জগৎ তার দুটি উপজগৎের সরাসরি সমষ্টি হিসেবে গঠিত হয়, তখন ওই উপজগৎ দুটিকে একে অপরের পরিপূরক বা কমপ্লিমেন্ট বলা হয়।

লেমা ৪.১৫

একটি ভেক্টর জগৎ $V$ তার দুটি উপজগৎ $W_{1}$ এবং $W_{2}$-এর সরাসরি সমষ্টি হবে যদি এবং কেবল যদি এটি ওই দুই উপজগৎের সমষ্টি $V=W_{1}+W_{2}$ হয় এবং তাদের ছেদবিন্দু বা ইন্টারসেকশন নগণ্য হয়, অর্থাৎ $W_{1}\cap W_{2}=\{{\vec {0}}\,\}$।

প্রমাণ

ধরা যাক, প্রথমেই আমরা ধরে নিচ্ছি যে $V=W_{1}\oplus W_{2}$। সংজ্ঞা অনুযায়ী, এর অর্থ দাঁড়ায় যে $V$ ভেক্টর জগতটি এই দুটি উপজগৎের সাধারণ সমষ্টির সমান। এখন আমাদের এটি প্রমাণ করতে হবে যে এই উপজগৎ দুটির ছেদবিন্দু বা ইন্টারসেকশন একটি নগণ্য সেট (trivial intersection); এটি দেখানোর জন্য ধরা যাক ${\vec {v}}$ হলো $W_{1}\cap W_{2}$ সেটের অন্তর্ভুক্ত একটি ভেক্টর এবং আমরা ${\vec {v}}={\vec {v}}$ সমীকরণটি বিবেচনা করি। এই সমীকরণের বাম পাশে থাকা ভেক্টরটি $W_{1}$-এর একটি সদস্য হিসেবে গণ্য হচ্ছে, এবং ডান পাশে থাকা ভেক্টরটিকে $W_{2}$-এর সদস্যদের একটি রৈখিক সমাবেশ বা লিনিয়ার কম্বিনেশন হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে (প্রকৃতপক্ষে এখানে মাত্র একটি সদস্যই বিদ্যমান)। কিন্তু যেহেতু উপজগৎগুলো পরস্পর স্বাধীন, তাই এই স্বাধীনতার শর্তটি নির্দেশ করে যে ${\vec {v}}={\vec {0}}$ হতে হবে, যা আমাদের কাঙ্ক্ষিত ফলাফলটি প্রমাণ করে।

বিপরীত দিক থেকে প্রমাণের জন্য, এবার ধরা যাক $V$ হলো এমন দুটি উপজগৎের সমষ্টি যাদের ছেদবিন্দু বা ইন্টারসেকশন নগণ্য(অর্থাৎ শুধুমাত্র শূন্য ভেক্টর বিদ্যমান)। $V$ যে এই উপজগৎ দুটির একটি প্রত্যক্ষ সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সাম, তা প্রমাণ করার জন্য আমাদের কেবল এটি দেখানোই যথেষ্ট যে উপজগৎ দুটি রৈখিকভাবে স্বাধীন— অর্থাৎ প্রথম উপজগৎের কোনো অশূন্য সদস্যকে দ্বিতীয় উপজগৎের সদস্যদের রৈখিক সমাবেশ হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব নয়, এবং একইভাবে এর উল্টোটাও সত্য। এটি সত্য হওয়ার কারণ হলো, যদি কোনো গাণিতিক সম্পর্ক ${\vec {w}}_{1}=c_{1}{\vec {w}}_{2,1}+\dots +d_{k}{\vec {w}}_{2,k}$ বিদ্যমান থাকে (যেখানে ${\vec {w}}_{1}\in W_{1}$ এবং সকল $j$-এর জন্য ${\vec {w}}_{2,j}\in W_{2}$), তবে দেখা যায় যে বাম পাশের ভেক্টরটিও $W_{2}$-এর অন্তর্ভুক্ত, কারণ সমীকরণের ডান পাশটি মূলত $W_{2}$-এর সদস্যদের একটি সমাবেশ মাত্র। যেহেতু এই দুটি উপজগৎের ছেদবিন্দু তুচ্ছ, তাই গাণিতিক নিয়মানুসারে অবশ্যই ${\vec {w}}_{1}={\vec {0}}$ হতে হবে। একইভাবে এই একই যুক্তি যেকোনো ${\vec {w}}_{2}$ ভেক্টরের ক্ষেত্রেও সমানভাবে প্রযোজ্য হবে।

উদাহরণ ৪.১৬

দ্বি-মাত্রিক স্থানাঙ্ক জগত $\mathbb {R} ^{2}$-এর ক্ষেত্রে, $x$-অক্ষ এবং $y$-অক্ষ হলো একে অপরের পরিপূরক বা কমপ্লিমেন্ট; অর্থাৎ গাণিতিকভাবে একে প্রকাশ করা যায় এভাবে: $\mathbb {R} ^{2}=x{\text{-axis}}\oplus y{\text{-axis}}$। একটি ভেক্টর জগতের একাধিক পরিপূরক উপজগৎ জোড়া থাকতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, এখানে $y=x$ এবং $y=2x$ রেখা দুটি দ্বারা গঠিত উপজগৎগুলোও একে অপরের পরিপূরক হিসেবে কাজ করতে পারে।

উদাহরণ ৪.১৭

ফাংশন জগত $F=\{a\cos \theta +b\sin \theta \,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$-এর ক্ষেত্রে, $W_{1}=\{a\cos \theta \,{\big |}\,a\in \mathbb {R} \}$ এবং $W_{2}=\{b\sin \theta \,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$ উপজগৎ দুটি হলো পরস্পর পরিপূরক। $F$-এর মতো একটি জগতের একাধিক পরিপূরক উপজগৎ জোড়া থাকার পাশাপাশি, একটি নির্দিষ্ট উপজগৎ যেমন $W_{1}$-এরও একাধিক ভিন্ন ভিন্ন পরিপূরক থাকতে পারে— যেমন $W_{1}$-এর আরেকটি পরিপূরক উপজগৎ হতে পারে $W_{3}=\{b\sin \theta +b\cos \theta \,{\big |}\,b\in \mathbb {R} \}$।

উদাহরণ ৪.১৮

ত্রিমাত্রিক জগত $\mathbb {R} ^{3}$-এ, $xy$-তল এবং $yz$-তলগুলো একে অপরের পরিপূরক নয়, যা মূলত উদাহরণ ৪.৪-এর পরবর্তী আলোচনায় বিস্তারিতভাবে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। এখানে $xy$-তলের একটি সঠিক পরিপূরক হলো $z$-অক্ষ। অন্যদিকে, $yz$-তলের একটি পরিপূরক হতে পারে $(1,1,1)$ বিন্দুগামী একটি সরলরেখা।

উদাহরণ ৪.১৯

লেমা ৪.১৫-এর আলোচনার সূত্র ধরে এখানে একটি অত্যন্ত স্বাভাবিক ও যৌক্তিক প্রশ্ন উত্থাপিত হতে পারে: কোনো ভেক্টর জগৎের সাধারণ সমষ্টি $V=W_{1}+\dots +W_{k}$ কি কেবল তখনই একটি সরাসরি সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সাম (direct sum) হিসেবে গণ্য হবে, যদি এবং কেবল যদি এই সাবস্পেসগুলোর সাধারণ ছেদবিন্দু বা ইন্টারসেকশনটি নগণ্য(trivial) হয়? এর উত্তরটি হলো, যখন দুইয়ের অধিক সাবস্পেস বা উপজগৎ বিদ্যমান থাকে, তখন তাদের সাধারণ ছেদবিন্দু কেবল শূন্য ভেক্টর বা নগণ্য হওয়াটাই অনন্য বিয়োজন (unique decomposition) নিশ্চিত করার জন্য যথেষ্ট নয়। অর্থাৎ, এটি নিশ্চিত করার জন্য পর্যাপ্ত নয় যে সংশ্লিষ্ট সাবস্পেসগুলো গাণিতিকভাবে একে অপরের থেকে সম্পূর্ণ স্বাধীন। উদাহরণস্বরূপ, ত্রিমাত্রিক বাস্তব স্থান $\mathbb {R} ^{3}$-এর ক্ষেত্রে ধরা যাক, $W_{1}$ হলো $x$-অক্ষ এবং $W_{2}$ হলো $y$-অক্ষ। এখন তৃতীয় একটি সাবস্পেস $W_{3}$-কে নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা যাক:

$W_{3}=\{{\begin{pmatrix}q\\q\\r\end{pmatrix}}\,{\big |}\,q,r\in \mathbb {R} \}$

এখানে $\mathbb {R} ^{3}=W_{1}+W_{2}+W_{3}$ সমীকরণটি যাচাই করা অত্যন্ত সহজসাধ্য। যদিও এই তিনটি সাবস্পেসের সাধারণ ছেদবিন্দু $W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}$ একটি নগণ্য সেট (অর্থাৎ কেবল মূলবিন্দু), তবুও এদের বিয়োজন বা ডিকম্পোজিশন প্রক্রিয়াটি অনন্য নয়। নিচের সমীকরণটি লক্ষ্য করলে এর প্রমাণ পাওয়া যায়:

${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y-x\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x\\x\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x-y\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}y\\y\\z\end{pmatrix}}$

(এই উদাহরণটি থেকে আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সত্য প্রতীয়মান হয় যে, সাবস্পেসগুলোর প্রতিটি জোড়ার মধ্যকার ছেদবিন্দু (pairwise intersection) নগণ্য হওয়াটাও একটি সরাসরি সমষ্টি গঠনের জন্য পর্যাপ্ত শর্ত নয়। এই বিষয়ে বিস্তারিত আলোচনার জন্য সমস্যা ১১ দেখা যেতে পারে।)

উদাহরণ ৪.২০

ত্রিমাত্রিক বাস্তব স্থান $\mathbb {R} ^{3}$-এর এই নির্দিষ্ট সাবস্পেসটিকে লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে, $\{{\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}\,\mid \,x,y\in \mathbb {R} \}=\{{\begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}}\,\mid \,x\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{{\begin{pmatrix}0\\y\\0\end{pmatrix}}\,\mid \,y\in \mathbb {R} \}$।

এই গাণিতিক উদাহরণটি স্পষ্টভাবে প্রদর্শন করে যে, একটি সরাসরি সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সামকে সর্বদা একটি পূর্ণাঙ্গ বা সর্বোচ্চ স্থান (maximal space) হতে হবে এমন কোনো বাধ্যবাধকতা নেই; এটি একটি বৃহত্তর স্পেসের অংশবিশেষও হতে পারে।

উদাহরণ ৪.২১

এখানে বহুপদী রাশির ক্ষেত্রে একটি সরাসরি সমষ্টি বিবেচনা করা যাক: $\{a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\,\mid \,a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} \}\,\oplus \,\{a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\,\mid \,a_{3},a_{4}\in \mathbb {R} \}={\mathcal {P}}_{4}$। অর্থাৎ, এটি হলো সর্বোচ্চ ৪ ঘাতবিশিষ্ট সকল বহুপদী রাশির একটি ভেক্টর জগৎ।

একইভাবে, ${\mathcal {P}}_{4}\,\oplus \,\{a_{5}x^{5}+a_{6}x^{6}+a_{7}x^{7}\,\mid \,a_{5},a_{6},a_{7}\in \mathbb {R} \}={\mathcal {P}}_{7}$ হলো একটি সরাসরি সমষ্টি, যা সর্বোচ্চ ৭ ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী রাশির স্পেসকে নির্দেশ করে।

এই উদাহরণটি থেকে বোঝা যায় যে, দুটি ভেক্টর জগৎের সরাসরি সমষ্টিকে পুনরায় অন্য একটি স্পেসের সাথে সরাসরি সমষ্টির মাধ্যমে যুক্ত করে আরও বৃহত্তর ভেক্টর জগৎ গঠন করা সম্ভব। অন্তত সসীম-মাত্রিক বহুপদী ভেক্টর জগৎ ${\mathcal {P}}_{n}$-এর ক্ষেত্রে এই প্রক্রিয়াটি অনির্দিষ্টকাল পর্যন্ত পুনরাবৃত্তি করা যেতে পারে।

উদাহরণ ৪.২২

কোনো কোনো ক্ষেত্রে সরাসরি সমষ্টির উপাদান বা পদগুলোকেও (summands) পুনরায় ক্ষুদ্রতর সরাসরি সমষ্টি হিসেবে বিশ্লেষণ বা প্রকাশ করা সম্ভব। যেমন:
$\mathbb {R} ^{3}=x{\text{-axis}}\,\oplus \,yz{\text{-plane}}=x{\text{-axis}}\,\oplus \,(y{\text{-axis}}\,\oplus \,z{\text{-axis}})$,
${\mathcal {P}}_{2}=\{a_{2}x^{2}\mid a_{2}\in \mathbb {R} \}\oplus {\mathcal {P}}_{1}=\{a_{2}x^{2}\mid a_{2}\in \mathbb {R} \}\oplus (\,\{a_{1}x\mid a_{1}\in \mathbb {R} \}\oplus {\mathcal {P}}_{0}\,)$।

বর্তমান এই উপ-পরিচ্ছেদে আমরা একটি ভেক্টর জগৎকে তারমৌলিক গাঠনিক অংশ বা উপাদানগুলোর সমন্বয়ে গঠিত হিসেবে বিবেচনা করার দুটি স্বতন্ত্র ও গুরুত্বপূর্ণ পদ্ধতি সম্পর্কে বিস্তারিত আলোচনা করেছি। এই উভয় পদ্ধতিই রৈখিক বীজগণিতের বিভিন্ন গাণিতিক প্রয়োগের ক্ষেত্রে অত্যন্ত কার্যকর ও ফলপ্রসূ; বিশেষত, এই পাঠ্যপুস্তকের পঞ্চম অধ্যায়ে যখন আমরা 'জর্ডান ফর্ম' (Jordan Form) গঠনের প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন করব, তখন 'সরাসরি সমষ্টি' বা 'ডিরেক্ট সাম' (direct sum)-এর এই সংজ্ঞাটি আমাদের জন্য অপরিহার্য হয়ে দাঁড়াবে।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১

নিচে বর্ণিত প্রতিটি জোড়া উপজগৎের ক্ষেত্রে $\mathbb {R} ^{2}$ জগতটি $W_{1}$ এবং $W_{2}$-এর সরাসরি সমষ্টি (direct sum) কি না, তা গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করে সিদ্ধান্ত গ্রহণ করুন।

1. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}x\\x\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$
2. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}s\\s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}s\\1.1s\end{pmatrix}}\,{\big |}\,s\in \mathbb {R} \}$
3. $W_{1}=\mathbb {R} ^{2}$, $W_{2}=\{{\vec {0}}\}$
4. $W_{1}=W_{2}=\{{\begin{pmatrix}t\\t\end{pmatrix}}\,{\big |}\,t\in \mathbb {R} \}$
5. $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}x\\0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,x\in \mathbb {R} \}$, $W_{2}=\{{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\y\end{pmatrix}}\,{\big |}\,y\in \mathbb {R} \}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২

গাণিতিক যুক্তির মাধ্যমে প্রদর্শন করুন যে, $\mathbb {R} ^{3}$ জগতটি $xy$-তলের সাথে নিচের প্রতিটি উপাদানের সরাসরি সমষ্টি হিসেবে গঠিত।

1. $z$-অক্ষ
2. নিম্নোক্ত সরলরেখাটি:

   $\{{\begin{pmatrix}z\\z\\z\end{pmatrix}}\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \}$

সমস্যা ৩

বহুপদী জগত ${\mathcal {P}}_{2}$ কি প্রকৃতপক্ষে $\{a+bx^{2}\,{\big |}\,a,b\in \mathbb {R} \}$ এবং $\{cx\,{\big |}\,c\in \mathbb {R} \}$-এর সরাসরি সমষ্টি? আপনার উত্তরের সপক্ষে গাণিতিক ব্যাখ্যা প্রদান করুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৪

বহুপদী জগত ${\mathcal {P}}_{n}$-এর ক্ষেত্রে, জোড় বহুপদী (even polynomials) বলতে সেই সকল বহুপদীকে বোঝায় যারা নিম্নোক্ত সেটের শর্ত পূরণ করে:

${\mathcal {E}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=p(x){\text{ সকল }}x{\text{-এর জন্য}}\}$

এবং বিজোড় বহুপদী (odd polynomials) বলতে সেই সকল বহুপদীকে বোঝায় যারা এই সেটের অন্তর্ভুক্ত:

${\mathcal {O}}=\{p\in {\mathcal {P}}_{n}\,{\big |}\,p(-x)=-p(x){\text{ সকল }}x{\text{-এর জন্য}}\}$

গাণিতিকভাবে প্রমাণ করুন যে, এই দুটি উপজগৎ প্রকৃতপক্ষে একে অপরের পরিপূরক উপজগৎ (complementary subspaces)।

সমস্যা ৫

$\mathbb {R} ^{3}$ জগতের অন্তর্ভুক্ত নিচের উপজগৎগুলোর মধ্যে কোনগুলো—

$W_{1}$: $x$-অক্ষ,      $W_{2}$: $y$-অক্ষ,      $W_{3}$: $z$-অক্ষ,     
$W_{4}$: $x+y+z=0$ সমতলটি,      $W_{5}$: $yz$-তল

নিচের পদ্ধতিগুলোর মাধ্যমে এদেরকে কি একত্রিত করা সম্ভব?

1. এদের যোগফল বা সমষ্টি কি $\mathbb {R} ^{3}$ এর সমান হবে?
2. এদের প্রত্যক্ষ সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সাম কি $\mathbb {R} ^{3}$ গঠন করবে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৬

গাণিতিকভাবে প্রমাণ করে দেখান যে, বহুপদী ভেক্টর জগৎ ${\mathcal {P}}_{n}$-কে নিম্নোক্তভাবে প্রত্যক্ষ সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব: ${\mathcal {P}}_{n}=\{a_{0}\,{\big |}\,a_{0}\in \mathbb {R} \}\oplus \dots \oplus \{a_{n}x^{n}\,{\big |}\,a_{n}\in \mathbb {R} \}$।

সমস্যা ৭

যদি $W_{1}\subseteq W_{2}$ হয়, তবে উপজগৎ বা সাবস্পেসদ্বয়ের সমষ্টি $W_{1}+W_{2}$ এর মান কত হবে বা এটি কোন সেটের সমতুল্য হবে তা নির্ণয় করুন।

সমস্যা ৮

এখানে প্রশ্ন হলো, ইতিপূর্বে আলোচিত উদাহরণ ৪.৫-এর ফলাফলটিকে কি একটি সাধারণ নিয়মে রূপান্তর বা জেনারালাইজ করা সম্ভব? অর্থাৎ, নিচের গাণিতিক উক্তিটি সত্য নাকি মিথ্যা তা যাচাই করুন: যদি একটি ভেক্টর জগৎ $V$-এর একটি ভিত্তি বা বেসিস $\langle {\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{n}\rangle$ থাকে, তবে উক্ত ভেক্টর জগৎটি কি তার এক-মাত্রিক উপজগৎসমূহের স্প্যান-এর প্রত্যক্ষ সমষ্টি হবে? গাণিতিকভাবে: $V=[\{{\vec {\beta }}_{1}\}]\oplus \dots \oplus [\{{\vec {\beta }}_{n}\}]$।

সমস্যা ৯

বাস্তব সংখ্যার চার-মাত্রিক ভেক্টর জগৎ $\mathbb {R} ^{4}$-কে কি অন্তত দুটি ভিন্ন উপায়ে প্রত্যক্ষ সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সাম হিসেবে বিশ্লেষণ (decompose) করা সম্ভব? এই একই প্রশ্নটি এক-মাত্রিক ভেক্টর জগৎ $\mathbb {R} ^{1}$-এর ক্ষেত্রেও কি প্রযোজ্য হতে পারে?

সমস্যা ১০

এই গাণিতিক সমস্যাটি সমাধান করলে সেটসমূহের মধ্যবর্তী স্থানে যোগ চিহ্ন বা "$+$" ব্যবহারের যৌক্তিকতা এবং এর গাণিতিক প্রকৃতি আরও স্পষ্টভাবে অনুধাবন করা সম্ভব হবে। প্রমাণ করুন যে, যদি $W_{1},\dots ,W_{k}$ কোনো একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর জগৎের উপজগৎ বা সাবস্পেস হয়, তবে তাদের সমষ্টিকে নিম্নোক্তভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়:

$W_{1}+\dots +W_{k}=\{{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2}+\dots +{\vec {w}}_{k}\,{\big |}\,{\vec {w}}_{1}\in W_{1},\dots ,{\vec {w}}_{k}\in W_{k}\},$

এবং এভাবেই উপজগৎসমূহের (subspaces) সমষ্টি হলো মূলত সেই সকল ভেক্টরের সমষ্টির সমন্বয়ে গঠিত একটি উপজগৎ। }}

সমস্যা ১১

(উদাহরণ ৪.১৯ এর দিকে দৃষ্টিপাত করুন। এই অনুশীলনীটি গাণিতিকভাবে এটিই প্রদর্শন করে যে, প্রতিটি জোড়ার ছেদবিন্দু (pairwise intersection) নগণ্যবা ট্রিভিয়াল হওয়ার শর্তটি, সকল উপজগৎের সাধারণ ছেদবিন্দু নগণ্য হওয়ার শর্তের তুলনায় অনেক বেশি শক্তিশালী এবং তাৎপর্যপূর্ণ।) এমন একটি ভেক্টর জগত এবং তার অন্তর্গত তিনটি উপজগৎ $W_{1}$, $W_{2}$, এবং $W_{3}$ এর উদাহরণ প্রদান করুন যাতে করে মূল জগতটি এই উপজগৎগুলোর সমষ্টি হিসেবে প্রকাশ করা যায় এবং তিনটি উপজগৎের সাধারণ ছেদবিন্দু $W_{1}\cap W_{2}\cap W_{3}$ নগণ্য হলেও, তাদের জোড়ায় জোড়ায় ছেদবিন্দুসমূহ যেমন $W_{1}\cap W_{2}$, $W_{1}\cap W_{3}$, এবং $W_{2}\cap W_{3}$ মোটেও নগণ্যনয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১২

প্রমাণ করুন যে, যদি $V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$ হয়, তবে যখনই $i\neq j$ হবে, তখনই তাদের ছেদবিন্দু $W_{i}\cap W_{j}$ নগণ্যবা ট্রিভিয়াল হবে। এই গাণিতিক প্রমাণটি এটিই নির্দেশ করে যে লেমা ৪.১৫ এর প্রমাণের প্রথম অর্ধাংশটি দুইয়ের অধিক উপজগৎের ক্ষেত্রেও সফলভাবে সম্প্রসারিত করা সম্ভব। (তবে উদাহরণ ৪.১৯ এটিও স্পষ্টভাবে দেখায় যে এই অনুমিতিটি বিপরীতভাবে কাজ করে না; অর্থাৎ প্রমাণের অন্য অংশটি এক্ষেত্রে একইভাবে প্রযোজ্য হয় না।)

সমস্যা ১৩

স্মরণ করুন যে, কোনো রৈখিকভাবে স্বাধীন সেটের (linearly independent set) মধ্যে কখনোই শূন্য ভেক্টর (zero vector) অবস্থান করতে পারে না। এই তাত্ত্বিক প্রেক্ষাপটে, উপজগৎসমূহের একটি স্বাধীন সেট কি কখনো নগণ্যউপজগৎকে (trivial subspace) নিজের অন্তর্ভুক্ত করতে পারে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৪

একটি ভেক্টর জগতের প্রতিটি উপজগৎের কি একটি নির্দিষ্ট পরিপূরক বা কমপ্লিমেন্ট (complement) থাকা গাণিতিকভাবে আবশ্যক?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৫

ধরা যাক, $W_{1},W_{2}$ হলো একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর জগতের দুটি উপজগৎ।

1. মনে করুন যে $S_{1}$ সেটটি $W_{1}$-কে বিস্তৃত (span) করে এবং $S_{2}$ সেটটি $W_{2}$-কে বিস্তৃত করে। এমতাবস্থায় $S_{1}\cup S_{2}$ কি $W_{1}+W_{2}$-কে বিস্তৃত করতে সক্ষম? এটি কি সর্বদা বিস্তৃত করতে বাধ্য?
2. মনে করুন যে $S_{1}$ হলো $W_{1}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপ-সেট এবং $S_{2}$ হলো $W_{2}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপ-সেট। এই পরিস্থিতিতে $S_{1}\cup S_{2}$ কি $W_{1}+W_{2}$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন উপ-সেট হিসেবে গণ্য হতে পারে? এটি কি রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে বাধ্য?

সমস্যা ১৬

যখন একটি ভেক্টর জগৎকেসরাসরি সমষ্টি (direct sum) হিসেবে বিশ্লেষণ বা বিয়োজিত করা হয়, তখন উপজগৎগুলোর মাত্রার (dimensions) যোগফল মূল জগতের মোট মাত্রার সমান হয়। তবে যখন একটি জগৎকেকেবল তার উপজগৎগুলোর সাধারণ সমষ্টি হিসেবে উপস্থাপন করা হয়, তখন পরিস্থিতি গাণিতিকভাবে এতটা সহজ থাকে না। এই অনুশীলনীতে মূলত দুটি উপজগৎের বিশেষ ক্ষেত্রটি গুরুত্বের সাথে বিবেচনা করা হয়েছে।

1. ${\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}$ ম্যাট্রিক্স জগতের এই উপজগৎগুলোর জন্য $W_{1}\cap W_{2}$, $\dim(W_{1}\cap W_{2})$, $W_{1}+W_{2}$, এবং $\dim(W_{1}+W_{2})$ এর মান নির্ণয় করুন।

   $W_{1}=\{{\begin{pmatrix}0&0\\c&d\end{pmatrix}}\,{\big |}\,c,d\in \mathbb {R} \}\qquad W_{2}=\{{\begin{pmatrix}0&b\\c&0\end{pmatrix}}\,{\big |}\,b,c\in \mathbb {R} \}$

2. ধরা যাক, $U$ এবং $W$ হলো একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর জগতের (vector space) দুটি উপজগৎ (subspaces)। মনে করুন যে, $\langle \vec{\beta}_1,\dots,\vec{\beta}_k \rangle$ অনুক্রমটি $U \cap W$ ছেদবিন্দুর বা সাধারণ অঞ্চলের জন্য একটি ভিত্তি (basis) হিসেবে কাজ করে। পরিশেষে, কল্পনা করা যাক যে পূর্বোক্ত অনুক্রমটিকে বর্ধিত করে $\langle \vec{\mu}_1,\dots,\vec{\mu}_j,\vec{\beta}_1,\dots,\vec{\beta}_k \rangle$ অনুক্রমটি তৈরি করা হয়েছে যা $U$ উপজগৎের একটি ভিত্তি হিসেবে কাজ করে, এবং একইভাবে $\langle \vec{\beta}_1,\dots,\vec{\beta}_k, \vec{\omega}_1,\dots,\vec{\omega}_p \rangle$ অনুক্রমটি $W$ উপজগৎের একটি ভিত্তি হিসেবে কাজ করে। এখন প্রমাণ করুন যে, এই সম্মিলিত অনুক্রমটি অর্থাৎ

   $\langle {\vec {\mu }}_{1},\dots ,{\vec {\mu }}_{j},{\vec {\beta }}_{1},\dots ,{\vec {\beta }}_{k},{\vec {\omega }}_{1},\dots ,{\vec {\omega }}_{p}\rangle$

   হলো $U+W$ সমষ্টির (sum) জন্য একটি যথাযথ ভিত্তি।
3. উপরোক্ত প্রমাণের ভিত্তিতে এই সিদ্ধান্তে উপনীত হোন যে, $\dim (U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W)$।
4. ধরা যাক, $W_1$ এবং $W_2$ হলো একটি দশ-মাত্রিক (ten-dimensional) জগতের দুটি আট-মাত্রিক উপজগৎ। $ \dim(W_1\cap W_2) $-এর সম্ভাব্য সকল মান তালিকাভুক্ত করুন।

সমস্যা ১৭

ধরা যাক, $V=W_1\oplus\dots\oplus W_k$ এবং প্রতিটি সূচক (index) $i$-এর জন্য কল্পনা করুন যে $S_i$ হলো $W_i$-এর একটি রৈখিকভাবে স্বাধীন (linearly independent) উপসেট। প্রমাণ করুন যে, সকল $S_i$-এর সংযোগ সেটটি (union) রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে।

সমস্যা ১৮

একটি ম্যাট্রিক্সকে তখনই প্রতিসম (symmetric) বলা হয় যখন এর প্রতিটি সূচক জোড়া $i$ এবং $j$-এর জন্য, $i,j$ ভুক্তিটি (entry) $j,i$ ভুক্তির সমান হয়। অন্যদিকে, একটি ম্যাট্রিক্সকে বিপ্রতিসম (antisymmetric) বলা হয় যদি এর প্রতিটি $i,j$ ভুক্তি সংশ্লিষ্ট $j,i$ ভুক্তির ঋণাত্মক মানের সমান হয়।

1. একটি $2 \! \times \! 2$ প্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং একটি $2 \! \times \! 2$ বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ দিন। (দ্রষ্টব্য: দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রে ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ণের বা ডায়াগনালের ভুক্তিগুলোর ব্যাপারে সতর্ক থাকুন।)
2. একটি বর্গাকার প্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং এর ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্সের মধ্যে সম্পর্ক কী? একইভাবে একটি বর্গাকার বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্স এবং এর ট্রান্সপোজের মধ্যে সম্পর্কটি কী হবে?
3. দেখান যে, $\mathcal{M}_{n \! \times \! n}$ হলো প্রতিসম ম্যাট্রিক্সের জগত এবং বিপ্রতিসম ম্যাট্রিক্সের জগতের প্রত্যক্ষ সমষ্টি (direct sum)।

সমস্যা ১৯

ধরা যাক, $W_1,W_2,W_3$ হলো একটি ভেক্টর জগতের তিনটি উপজগৎ। প্রমাণ করুন যে, $(W_1\cap W_2)+(W_1\cap W_3)\subseteq W_1\cap (W_2+W_3)$। এই অন্তর্ভুক্তিকরণ বা ইনক্লুশনটি কি বিপরীতভাবেও সত্য হতে পারে?

সমস্যা ২০

$\mathbb{R}^2$ তলে $x$-অক্ষ এবং $y$-অক্ষের উদাহরণটি এটি প্রদর্শন করে যে, $W_1\oplus W_2=V$ হলেই তা অনিবার্যভাবে $W_1\cup W_2=V$ হওয়াকে নির্দেশ করে না। $W_1\oplus W_2=V$ এবং $W_1\cup W_2=V$ কি একই সাথে ঘটা সম্ভব?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২১

দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান বা $\mathbb {R} ^{2}$-এর ক্ষেত্রে আমরা সাধারণত $x$-অক্ষ এবং $y$-অক্ষকে পূরক উপজগৎ বা কমপ্লিমেন্টারি সাবস্পেসের (complementary subspaces) একটি আদর্শ উদাহরণ বা মডেল হিসেবে বিবেচনা করে থাকি। তবে এই নির্দিষ্ট গাণিতিক মডেলটির এমন একটি বিশেষ বৈশিষ্ট্য বিদ্যমান, যা বর্তমান আলোচনায় বা এখানে সরাসরি ব্যবহার করা হয়নি। ধরা যাক, $\mathbb {R} ^{n}$ নামক একটি ভেক্টর স্থানের একটি নির্দিষ্ট উপজগৎ বা সাবস্পেস হলো $U$। এই প্রেক্ষাপটে, আমরা $U$-এর লম্ব পূরক বা অর্থোগোনাল কমপ্লিমেন্ট (orthogonal complement)-কে গাণিতিকভাবে নিম্নোক্ত উপায়ে সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$U^{\perp }=\{{\vec {v}}\in \mathbb {R} ^{n}\,{\big |}\,{\vec {v}}\cdot {\vec {u}}=0{\text{ for all }}{\vec {u}}\in U\}$

(একে গাণিতিক পরিভাষায় সাধারণত "$U$ পার্প" বা লম্ব পরিপূরক হিসেবে পাঠ করা হয়)।

1. দ্বিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান $\mathbb {R} ^{2}$-এর অভ্যন্তরে $x$-অক্ষের লম্ব পরিপূরক বা অর্থোকমপ্লিমেন্ট নির্ণয় করুন।
2. ত্রিমাত্রিক স্থান $\mathbb {R} ^{3}$-এর ক্ষেত্রে $x$-অক্ষের লম্ব পরিপূরকটি খুঁজে বের করুন।
3. ত্রিমাত্রিক জ্যামিতিক জগত $\mathbb {R} ^{3}$-এর অন্তর্গত $xy$-তলের লম্ব পরিপূরক বা অর্থোকমপ্লিমেন্ট কত হবে তা গাণিতিকভাবে নির্ধারণ করুন।
4. এটি প্রমাণ করে দেখান যে, কোনো একটি নির্দিষ্ট উপজগৎ বা সাবস্পেসের লম্ব পরিপূরক নিজেও একটি উপজগৎ হিসেবে গণ্য হয়।
5. যদি $W$ উপজগৎটি $U$-এর লম্ব পরিপূরক হয়, তবে প্রমাণ করুন যে $U$-ও হবে $W$-এর লম্ব পরিপূরক।
6. প্রমাণ করুন যে, একটি উপজগৎ এবং তার লম্ব পরিপূরকের মধ্যে কেবল একটি সাধারণ বিন্দু বা ট্রাইভিয়াল ইন্টারসেকশন (সাধারণত শূন্য ভেক্টর) বিদ্যমান থাকে।
7. এই সিদ্ধান্তে উপনীত হোন যে, যেকোনো $n$ এবং $\mathbb {R} ^{n}$-এর যেকোনো উপজগৎ $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$-এর জন্য আমরা এই সম্পর্কটি পাই যে $\mathbb {R} ^{n}=U\oplus U^{\perp }$।
8. প্রদর্শন করুন যে, $U$ এবং তার লম্ব পরিপূরক $U^{\perp }$-এর মাত্রার সমষ্টি (অর্থাৎ $\dim(U)+\dim(U^{\perp })$) সর্বদা মূল বেষ্টনকারী স্থানের মাত্রার সমান হয়ে থাকে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২২

প্রদত্ত অনুসিদ্ধান্ত ৪.১৩ (Corollary 4.13) বিবেচনা করুন। এই গাণিতিক সম্পর্কটি কি উভয় দিকেই একইভাবে কাজ করে— অর্থাৎ, যদি আমরা ধরে নিই যে $V=W_{1}+\dots +W_{k}$, তবে কি $V=W_{1}\oplus \dots \oplus W_{k}$ হওয়ার জন্য $\dim(V)=\dim(W_{1})+\dots +\dim(W_{k})$ হওয়া একটি প্রয়োজনীয় ও পর্যাপ্ত শর্ত?

সমস্যা ২৩

আমরা জানি যে, যদি $V=W_{1}\oplus W_{2}$ হয়, তবে $V$-এর জন্য এমন একটি ভিত্তি বা বেসিস পাওয়া সম্ভব যা $W_{1}$ এবং $W_{2}$-এর পৃথক দুটি ভিত্তিতে বিভক্ত হয়ে যায়। আমরা কি এর চেয়েও জোরালো কোনো দাবি করতে পারি যে, $V$ ভেক্টর স্থানের প্রতিটি ভিত্তিই অনিবার্যভাবে $W_{1}$ এবং $W_{2}$-এর ভিত্তিতে বিভক্ত হবে?

সমস্যা ২৪

আমরা ভেক্টর উপজগৎের যোগ বা "$+$" প্রক্রিয়ার বীজগণিত সম্পর্কে অনুসন্ধান করতে পারি।

1. এই প্রক্রিয়াটি কি বিনিময়যোগ্য বা কমিউটেটিভ; অর্থাৎ $W_{1}+W_{2}=W_{2}+W_{1}$ কি সর্বদা সত্য?
2. এটি কি সংযোগ বিধি বা অ্যাসোসিয়েটিভ নিয়ম মেনে চলে; অর্থাৎ $(W_{1}+W_{2})+W_{3}=W_{1}+(W_{2}+W_{3})$ কি প্রমাণিত হয়?
3. ধরা যাক, $W$ কোনো একটি ভেক্টর স্থানের উপজগৎ। দেখান যে, $W+W=W$ সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।
4. এই প্রক্রিয়ায় কি কোনো অভেদ উপাদান বা আইডেন্টিটি এলিমেন্ট থাকা আবশ্যক, অর্থাৎ এমন কোনো উপজগৎ $I$ কি বিদ্যমান যার জন্য সকল উপজগৎ $W$-এর ক্ষেত্রে $I+W=W+I=W$ হবে?
5. এখানে কি বাম-বর্জন বিধি বা লেফট-ক্যানসেলেশন কার্যকর হয়: যদি $W_{1}+W_{2}=W_{1}+W_{3}$ হয়, তবে কি আমরা বলতে পারি যে $W_{2}=W_{3}$? ডান-বর্জন বিধির (Right cancelation) ক্ষেত্রেই বা কী ঘটবে?

সমস্যা ২৫

প্রত্যক্ষ সমষ্টি বা ডাইরেক্ট সাম প্রক্রিয়ার বীজগণিতীয় বৈশিষ্ট্যসমূহ বিবেচনা করুন।

1. প্রত্যক্ষ সমষ্টি কি বিনিময়যোগ্য: $V=W_{1}\oplus W_{2}$ হওয়া কি এটি নির্দেশ করে যে $V=W_{2}\oplus W_{1}$?
2. প্রমাণ করুন যে প্রত্যক্ষ সমষ্টি সংযোগ বিধি মেনে চলে: $(W_{1}\oplus W_{2})\oplus W_{3}=W_{1}\oplus (W_{2}\oplus W_{3})$।
3. দেখান যে, ত্রিমাত্রিক ইউক্লিডীয় স্থান $\mathbb {R} ^{3}$ হলো তিনটি অক্ষের প্রত্যক্ষ সমষ্টি (এখানে প্রাসঙ্গিক বিষয়টি হলো, পূর্ববর্তী পয়েন্টের সংযোগ বিধি অনুযায়ী আমাদের এটি নির্দিষ্ট করার প্রয়োজন নেই যে কোন দুটি অক্ষকে আগে একত্রিত করা হয়েছে)।
4. প্রত্যক্ষ সমষ্টির ক্ষেত্রে কি বাম-বর্জন বিধি খাটে: অর্থাৎ $W_{1}\oplus W_{2}=W_{1}\oplus W_{3}$ হলে কি $W_{2}=W_{3}$ হওয়া অনিবার্য? এটি কি ডান-বর্জন বিধি মেনে চলে?
5. এই প্রক্রিয়ার সাপেক্ষে একটি অভেদ উপাদান বা আইডেন্টিটি এলিমেন্ট বিদ্যমান। সেটি খুঁজে বের করুন।
6. এই প্রক্রিয়ার সাপেক্ষে কিছু বা সকল উপজগৎের কি বিপরীত উপাদান বা ইনভার্স থাকা সম্ভব: কোনো ভেক্টর স্থানের এমন কোনো উপজগৎ $W$ কি আছে যার জন্য অন্য একটি উপজগৎ $U$ পাওয়া যাবে যাতে $U\oplus W$ পূর্ববর্তী পয়েন্টে প্রাপ্ত অভেদ উপাদানের সমান হয়?

/সমাধান

তথ্যসূত্র

• Halsey, William D. (১৯৭৯), Macmillian Dictionary, Macmillian উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.