রৈখিক বীজগণিত/উপজগত

ধরি, V হলো একটি ফিল্ড F-এর ওপর একটি ভেক্টর স্পেস। V ভেক্টর স্পেসের ভেতরে অবস্থিত ভেক্টরসমূহের একটি অ-শূন্য সেট H-কে V-এর একটি সাবস্পেস বলা হবে যদি:

1. যদি u এবং v ভেক্টরদ্বয় H-এর উপাদান হয়, তবে u+v অবশ্যই H-এর একটি উপাদান হবে।

1. যদি u ভেক্টরটি H-এর উপাদান হয় এবং c একটি স্কেলার হিসেবে F-এর উপাদান হয়, তবে cu অবশ্যই H-এর একটি উপাদান হবে।

যেখানে H-এর মধ্যে ভেক্টর যোগ এবং স্কেলার গুণন ঠিক একইভাবে সংজ্ঞায়িত, যেভাবে V-এর ক্ষেত্রে করা হয় (যখন সংশ্লিষ্ট ভেক্টরগুলো H-এর অন্তর্ভুক্ত থাকে)।

যেকোনো ভেক্টর স্পেসের সাবস্পেস নিজেও একটি ভেক্টর স্পেস। এর কারণ হলো, যখন x, y এবং z ভেক্টরত্রয় H-এর উপাদান এবং c ও d স্কেলারদ্বয় F-এর উপাদান হয়, তখন এটি স্পষ্ট যে x+y=y+x এবং (x+y)+z=x+(y+z) সত্য হবে কারণ তারা মূলত V-এরই উপাদান। একইভাবে 1x=x, c(dx)=(cd)x, (a+b)x=ax+bx, a(x+y)=ax+ay সম্পর্কগুলোও বজায় থাকে যেহেতু x এবং y ভেক্টরগুলো V-এর অন্তর্ভুক্ত। এছাড়া সাবস্পেসের দ্বিতীয় শর্তানুসারে, প্রতিটি x-এর জন্য সেটের মধ্যে একটি 0x বিদ্যমান থাকে যা ওই সেটের আইডেন্টিটি বা অভেদক হিসেবে কাজ করে; ফলে এর আইডেন্টিটি সাবস্পেসের ভেতরেই থাকে। আবার দ্বিতীয় শর্তানুসারেই, প্রতিটি x-এর জন্য একটি (-1)x বিদ্যমান থাকে যা এর বিপরীতক বা ইনভার্স হিসেবে কাজ করে। অতএব, একটি ভেক্টর স্পেসের সকল সাবস্পেসই আসলে একেকটি ভেক্টর স্পেস।

সাবস্পেসের বৈশিষ্ট্যসমূহ

যদি একগুচ্ছ ভেক্টর একটি ভেক্টর স্পেস V-এর সাবস্পেস H-এর অন্তর্ভুক্ত হয় এবং ভেক্টরগুলো V-তে রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে তারা H-এর মধ্যেও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে। এর থেকে প্রতীয়মান হয় যে, H-এর মাত্রা V-এর মাত্রার চেয়ে কম বা সমান।

এছাড়াও, একটি সাবস্পেস H-এর প্রতিটি বেসিসের জন্য V-তে এমন একটি বেসিস বিদ্যমান থাকে যা H-এর ওই বেসিসটিকে ধারণ করে। এটি ইতিপূর্বে প্রমাণিত 'কমপ্লিশন থিওরেম' বা পূর্ণতা উপপাদ্য থেকে অনুসরণ করা যায়।

মাত্রা

একটি ফিল্ড F-এর ওপর অবস্থিত ভেক্টর স্পেস V-এর একগুচ্ছ ভেক্টর v₁, v₂, v₃, ..., v_n-কে একটি সাবস্পেস H-এর ওপর রৈখিকভাবে স্বাধীন বলা হয় যখন, F ফিল্ডের উপাদান a₁, a₂, a₃, ..., a_n-এর জন্য a₁v₁+a₂v₂+a₃v₃+...+a_nv_n কেবলমাত্র তখনই H-এর একটি উপাদান হবে যখন a₁, a₂, a₃, ..., a_n সবার মান ০ হয়। কেবলমাত্র ০ ভেক্টর ধারণকারী সাবস্পেসের ওপর রৈখিকভাবে স্বাধীন হওয়া এবং সাধারণ রৈখিকভাবে স্বাধীন হওয়া স্পষ্টতই একই কথা। V-এর অন্তর্ভুক্ত সর্বোচ্চ যতগুলো ভেক্টর H-এর ওপর রৈখিকভাবে স্বাধীন হতে পারে, তাকে H-এর ওপর V-এর মাত্রা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়।

যদি V-এর একগুচ্ছ ভেক্টর O, H-এর ওপর রৈখিকভাবে স্বাধীন হয় এবং একগুচ্ছ ভেক্টর I, H-এর মধ্যে রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে ওই দুই সেটের সংযোগ সেটটিও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে। এর কারণ হলো, যদি ওই ভেক্টরগুলোর কোনো লিনিয়ার কম্বিনেশন থাকে, তবে সেটি কেবল তখনই ০ হতে পারে যদি O-এর ভেক্টরগুলোর লিনিয়ার কম্বিনেশন I-এর ভেক্টরগুলোর লিনিয়ার কম্বিনেশনের বিপরীত হয়। যেহেতু I-এর লিনিয়ার কম্বিনেশন H-এর ভেতরে অবস্থিত, তাই এটি নির্দেশ করে যে O-এর উপাদানগুলোর সহগসমূহ সব ০, যার ফলে I-এর সকল উপাদানও ০ হতে বাধ্য।

যদি কোনো ভেক্টর স্পেস V-এর একটি সাবস্পেস H থাকে, এবং H-এর একটি বেসিস B ও V-এর একটি বেসিস C হয় (যেখানে B, C-এর অন্তর্ভুক্ত), তবে C-B-এর উপাদানগুলো H-এর ওপর রৈখিকভাবে স্বাধীন। কারণ H-এর যেকোনো উপাদান অবশ্যই B-এর উপাদানগুলোর ওপর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল (যেহেতু এটি H-এর বেসিস), এবং যেহেতু C-B-এর উপাদানগুলো পরস্পরের ওপর রৈখিকভাবে স্বাধীন, তাই তাদের এমন কোনো লিনিয়ার কম্বিনেশন (যেখানে সব সহগ ০ নয়) H-এর উপাদান হতে পারবে না। এর মাধ্যমে প্রমাণিত হয় যে তারা সবাই H-এর ওপর রৈখিকভাবে স্বাধীন। সুতরাং, যদি একটি ভেক্টর স্পেসের মাত্রা d হয় এবং একটি সাবস্পেসের মাত্রা s হয়, তবে ওই সাবস্পেসের ওপর ভেক্টর স্পেসটির মাত্রা হবে d-s।