রৈখিক বীজগণিত/ইউনিটারি ও হারমিশিয়ান ম্যাট্রিক্স

ইউনিটারি ম্যাট্রিক্স

রৈখিক রূপান্তর বা লিনিয়ার ম্যাপগুলোর মধ্যে "আইসোমেট্রিক" বা "দূরত্বসংরক্ষক ম্যাপ" অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। এই ধরনের ম্যাপকে "আইসোমেট্রি"-ও বলা হয়। ধরা যাক, $u:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}$ একটি যেকোনো আইসোমেট্রিক লিনিয়ার ম্যাপ নির্দেশ করছে। অর্থোনরমাল ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত অধ্যায় থেকে মনে করে দেখুন যে, যেকোনো আইসোমেট্রিক ম্যাপ যা ${\vec {0}}$-কে ${\vec {0}}$-এ ম্যাপ করে, তা রৈখিক বা লিনিয়ার হয়।

আইসোমেট্রির দূরত্বসংরক্ষক বৈশিষ্ট্যের অর্থ হলো এটি কোণও সংরক্ষণ করে। যদি ${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {C} ^{n}$ দুটি যেকোনো ভেক্টর হয়, তবে আইসোমেট্রিক রূপান্তরের মাধ্যমে ডট গুণফল বা ইনার প্রোডাক্ট সংরক্ষিত থাকে: $u({\vec {a}})\cdot u({\vec {b}})={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$।

$\mathbb {C} ^{n}$-এর আদর্শ ভিত্তি ভেক্টর ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},\dots ,{\vec {e}}_{n}$ সবগুলোই একক দৈর্ঘ্যের এবং এরা পরস্পরের ওপর লম্ব বা অর্থোগোনাল: ${\vec {e}}_{i}\cdot {\vec {e}}_{j}=\left\{{\begin{array}{cc}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{array}}\right.$

যদি $U={\text{Rep}}(u)={\begin{pmatrix}{\vec {u}}_{1}&{\vec {u}}_{2}&\dots &{\vec {u}}_{n}\\\end{pmatrix}}$ ম্যাট্রিক্সটি আইসোমেট্রিক লিনিয়ার ম্যাপ $u$-কে প্রকাশ করে, তবে এর কলামগুলো ${\vec {u}}_{i}=u({\vec {e}}_{i})$-ও একক দৈর্ঘ্যের হবে এবং পরস্পরের ওপর লম্ব বা অর্থোগোনাল হবে: ${\vec {u}}_{i}\cdot {\vec {u}}_{j}=\left\{{\begin{array}{cc}1&(i=j)\\0&(i\neq j)\end{array}}\right.$

একটি ম্যাট্রিক্সের "হারমিশিয়ান ট্রান্সপোজ" হলো ম্যাট্রিক্সটির ট্রান্সপোজ বা সারি-কলাম বিনিময় করার পাশাপাশি এর জটিল সংখ্যাগুলোর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বা কনজুগেট প্রয়োগ করা:

${\begin{pmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\dots &a_{1,m}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\dots &a_{2,m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\dots &a_{n,m}\\\end{pmatrix}}^{H}={\begin{pmatrix}a_{1,1}^{*}&a_{2,1}^{*}&\dots &a_{n,1}^{*}\\a_{1,2}^{*}&a_{2,2}^{*}&\dots &a_{n,2}^{*}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{1,m}^{*}&a_{2,m}^{*}&\dots &a_{n,m}^{*}\\\end{pmatrix}}$

$U$-এর কলামগুলোর অর্থোনরমাল বৈশিষ্ট্যের কারণে $U$-এর বিপরীত বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্সটি হবে কেবলই এর হারমিশিয়ান ট্রান্সপোজ: $U^{-1}=U^{H}$। যে ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স তার হারমিশিয়ান ট্রান্সপোজের সমান, তাকে "ইউনিটারি" ম্যাট্রিক্স বলা হয়। একটি ইউনিটারি ম্যাট্রিক্স $U$-এর প্রধান বৈশিষ্ট্য হলো এটি একটি বর্গাকার ম্যাট্রিক্স হবে এবং $U^{H}U=UU^{H}=I$ শর্তটি মেনে চলবে (এখানে লক্ষ্য করুন যে, $I={\text{Rep}}({\text{id}})$ হলো অভেদ বা আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স)। ইউনিটারি ম্যাট্রিক্সগুলো আইসোমেট্রিক লিনিয়ার ম্যাপকে নির্দেশ করে।

হারমিশিয়ান ম্যাট্রিক্স

একটি বর্গাকার $n\times n$ ম্যাট্রিক্স $A$-এর ক্ষেত্রে—যেভাবে $A^{T}=A$ হলে $A$-কে প্রতিসম বা সিমেট্রিক বলা হয়, ঠিক একইভাবে $A^{H}=A$ হলে $A$-কে হারমিশিয়ান বলা হয়। এর অর্থ হলো $A$-এর কর্ণ বরাবর বিপরীত দিকে থাকা ভুক্তিগুলো পরস্পরের অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বা কমপ্লেক্স কনজুগেট।

উদাহরণস্বরূপ, $A={\begin{pmatrix}4&6i\\6i&5\end{pmatrix}}$ ম্যাট্রিক্সটি প্রতিসম বা সিমেট্রিক কিন্তু হারমিশিয়ান নয়। অন্যদিকে, $A={\begin{pmatrix}4&6i\\-6i&5\end{pmatrix}}$ ম্যাট্রিক্সটি হারমিশিয়ান কিন্তু প্রতিসম বা সিমেট্রিক নয়।

দ্বিঘাত রূপ

বাস্তব মানসম্পন্ন ভুক্তিবিশিষ্ট একটি বর্গাকার $n\times n$ ম্যাট্রিক্স $A$ দেওয়া থাকলে, $Q({\vec {x}})={\vec {x}}^{T}A{\vec {x}}$ ফাংশনটি হলো ${\vec {x}}\in \mathbb {R} ^{n}$-এর ভুক্তিগুলোর একটি দ্বিঘাত ফাংশন, যাকে একটি "দ্বিঘাত রূপ" বলা হয়। দ্বিঘাত রূপের সব পদের ঘাত ২ হয়। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক একটি দ্বিঘাত রূপ $Q(x_{1},x_{2})=4x_{1}^{2}-7x_{1}x_{2}+5x_{2}^{2}$। এখানে $Q(x_{1},x_{2})$-কে এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে:

$Q{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-7\\0&5\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}$

অথবা এভাবেও প্রকাশ করা যায়:

$Q{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}4&-3.5\\-3.5&5\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\\end{pmatrix}}$

$i\neq j$ এর জন্য $x_{i}x_{j}$ পদের সহগ হলো $(i,j)$ এবং $(j,i)$ ভুক্তির সমষ্টি। তাই $x_{i}x_{j}$-এর সহগকে $(i,j)$ এবং $(j,i)$ ভুক্তির মধ্যে সমানভাবে ভাগ করে দেওয়াটা যুক্তিযুক্ত মনে হয়, যা মূলত $A$-কে প্রতিসম বা সিমেট্রিক হতে বাধ্য করে: $A^{T}=A$।

জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে এটিকে সাধারণীকরণ করলে দাঁড়ায়—দ্বিঘাত রূপ $Q({\vec {x}})={\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}$ বিবেচনা করুন, যেখানে ${\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}$ একটি যেকোনো ভেক্টর। বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে $A$-কে প্রতিসম হওয়ার যে প্রয়োজনীয়তা ছিল, জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে $A$-কে হারমিশিয়ান হওয়ার প্রয়োজনীয়তা ঠিক তার মতোই। $A$ যদি হারমিশিয়ান হয়, তবে $Q({\vec {x}})$ সর্বদা একটি বাস্তব সংখ্যা প্রদান করে:

উপপাদ্য

যদি $A$ হারমিশিয়ান হয়, তবে দ্বিঘাত রূপ $Q({\vec {x}})={\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}$ সর্বদা একটি বাস্তব সংখ্যা প্রদান করে।

প্রমাণ

$\forall {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}:{\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}\in \mathbb {R} \iff \forall {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}:{\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}=({\vec {x}}^{H}A{\vec {x}})^{*}\iff \forall {\vec {x}}\in \mathbb {C} ^{n}:{\vec {x}}^{H}A{\vec {x}}={\vec {x}}^{H}A^{H}{\vec {x}}$

যেহেতু $A$ হারমিশিয়ান হওয়ার কারণে $A^{H}=A$ হয়, তাই $Q({\vec {x}})$ সর্বদা একটি বাস্তব সংখ্যা প্রদান করে।