রৈখিক বীজগণিত/আকার ফাংশন হিসেবে নির্ণায়ক/সমাধান

সমাধানসমূহ

সমস্যা ১

গঠিত ক্ষেত্রটির আয়তন নির্ণয় করুন।

1. $\langle {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}\rangle$
2. $\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}8\\-3\\8\end{pmatrix}}\rangle$
3. $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\\2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\3\\0\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\7\end{pmatrix}}\rangle$

উত্তর

প্রতিটি ক্ষেত্রে প্রথমে নির্ণায়ক বের করুন এবং তারপর প্রাপ্ত মানের পরম মান গ্রহণ করুন।

1. $7$
2. $0$
3. $58$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২

নিচের তিনটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত ঘনবস্তু বা বক্সের অভ্যন্তরে কি এই ভেক্টরটি অবস্থিত?

${\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$

ভেক্টর তিনটি হলো:

${\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}}$

উত্তর

নিচের সমীকরণটি সমাধান করলে:

$c_{1}{\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}}+c_{2}{\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}}+c_{3}{\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$

আমরা অনন্য সমাধান হিসেবে $c_{3}=11/57$, $c_{2}=-40/57$ এবং $c_{1}=99/57$ পাই। যেহেতু $c_{1}>1$, তাই ভেক্টরটি বক্সের ভেতরে অবস্থিত নয়।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৩

এই ক্ষেত্রটির আয়তন নির্ণয় করুন।

উত্তর

সামান্তরিকীয় ঘনবস্তুটিকে এমনভাবে সরিয়ে নিন যেন এটি মূলবিন্দু থেকে শুরু হয়। এর ফলে এটি নিচের ভেক্টর দুটি দ্বারা গঠিত একটি বক্সে পরিণত হবে:

$\langle {\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\rangle$

এবং এখন এই নির্ণায়কের পরম মান সহজেই $3$ হিসেবে গণনা করা যায়।

${\begin{vmatrix}3&2\\0&1\end{vmatrix}}=3$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৪

ধরা যাক, $\left|A\right|=3$। নিচের ক্ষেত্রগুলোতে আয়তন কত গুণ পরিবর্তিত হবে?

1. $A$
2. $A^{2}$
3. $A^{-2}$

উত্তর

1. $3$
2. $9$
3. $1/9$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৫

নিচের প্রতিটি রূপান্তর বক্সের আকারকে কত গুণ পরিবর্তন করে?

1. ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2x\\3y\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}3x-y\\-2x+y\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x-y\\x+y+z\\y-2z\end{pmatrix}}$

উত্তর

প্রতিটি রূপান্তরকে আদর্শ ভিত্তির সাপেক্ষে প্রকাশ করুন এবং তাদের নির্ণায়ক বের করুন।

1. $6$
2. $-1$
3. $-5$

সমস্যা ৬

এই ম্যাট্রিক্সের ক্রিয়ার অধীনে $[2..4]\times [2..5]$ আয়তক্ষেত্রটির প্রতিচ্ছবির ক্ষেত্রফল কত হবে?

${\begin{pmatrix}2&3\\4&-1\end{pmatrix}}$

উত্তর

এখানে প্রারম্ভিক ক্ষেত্রফল হলো $6$ এবং ম্যাট্রিক্সটি আকারকে $-14$ গুণ পরিবর্তন করে। সুতরাং, প্রতিচ্ছবির ক্ষেত্রফল হবে $84$।

সমস্যা ৭

যদি $t:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ আয়তনকে $7$ গুণ পরিবর্তন করে এবং $s:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ আয়তনকে $3/2$ গুণ পরিবর্তন করে, তবে তাদের সংযোজন আয়তনকে কত গুণ পরিবর্তন করবে?

উত্তর

আয়তন $21/2$ গুণ পরিবর্তিত হবে।

সমস্যা ৮

একটি বক্সের সংজ্ঞা এবং একটি স্প্যানের সংজ্ঞার মধ্যে পার্থক্য কী?

উত্তর

একটি বক্সের ক্ষেত্রে আমরা ভেক্টরগুলোকে একটি নির্দিষ্ট ধারাবাহিকতা বা ক্রম অনুযায়ী সাজাই (মন্তব্যে যেমন বলা হয়েছে, এখানে ভেক্টরের ক্রম ঠিক থাকাটা খুব জরুরি)। কিন্তু একটি স্প্যানের ক্ষেত্রে আমরা ভেক্টরগুলোকে কেবল একটি দল বা সেট হিসেবে বিবেচনা করি। এছাড়াও, $\mathbb {R} ^{n}$-এর উপসেট হিসেবে একটি বক্সের জন্য অবশ্যই $n$-সংখ্যক ভেক্টর থাকতে হবে; তবে একটি স্প্যানের ক্ষেত্রে যেকোনো সংখ্যক ভেক্টর থাকতে পারে। সবশেষে, একটি বক্সের জন্য সহগ $t_{1}$, ..., $t_{n}$ শুধুমাত্র $[0..1]$ ব্যবধির মধ্যে সীমাবদ্ধ থাকে, কিন্তু একটি স্প্যানের ক্ষেত্রে সহগগুলো সমগ্র $\mathbb {R}$ জুড়ে যেকোনো মান গ্রহণ করতে পারে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৯

এই চিত্রটি কেন উপপাদ্য ১.৫-এর সাথে সাংঘর্ষিক নয়?

	${\xrightarrow[{}]{\scriptstyle {\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}}}$
ক্ষেত্রফল হলো $2$	নির্ণায়ক হলো $2$	ক্ষেত্রফল হলো $5$

উত্তর

এই চিত্রটি বিভ্রান্ত করার জন্য আঁকা হয়েছে। বাম পাশের চিত্রটি আসলে দুটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত কোনো বক্স নয়। আমরা যদি এটিকে মূলবিন্দুর দিকে সরিয়ে নিই, তবে এটি নিচের অনুক্রমটি দ্বারা গঠিত বক্সে পরিণত হয়:

$\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix}}\rangle$

এরপর ম্যাট্রিক্সের ক্রিয়ার অধীনে প্রাপ্ত প্রতিচ্ছবিটি নিচের অনুক্রম দ্বারা গঠিত একটি বক্স:

$\langle {\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}\rangle$

যার ক্ষেত্রফল হলো $4$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১০

$\left|TS\right|=\left|ST\right|$ কি সত্য? $\left|T(SP)\right|=\left|(TS)P\right|$ কি সত্য?

উত্তর

উভয় ক্ষেত্রেই উত্তর হলো 'হ্যাঁ'। উদাহরণস্বরূপ, প্রথমটির ক্ষেত্রে $\left|TS\right|=\left|T\right|\cdot \left|S\right|=\left|S\right|\cdot \left|T\right|=\left|ST\right|$।

সমস্যা ১১

1. মনে করি, $\left|A\right|=3$ এবং $\left|B\right|=2$। $\left|A^{2}\cdot {{B}^{\rm {trans}}}\cdot B^{-2}\cdot {{A}^{\rm {trans}}}\right|$-এর মান নির্ণয় করো।
2. ধরা যাক $\left|A\right|=0$। প্রমাণ করো যে, $\left|6A^{3}+5A^{2}+2A\right|=0$।

উত্তর

1. যদি এটি সংজ্ঞায়িত হয়, তবে এর মান হবে $(3^{2})\cdot (2)\cdot (2^{-2})\cdot (3)$।
2. $\left|6A^{3}+5A^{2}+2A\right|=\left|A\right|\cdot \left|6A^{2}+5A+2I\right|$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১২

ধরা যাক, $T$ একটি ম্যাট্রিক্স যা (আদর্শ ভিত্তির সাপেক্ষে) সমতলের ভেক্টরগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\theta$ রেডিয়ান কোণে আবর্তন করার মানচিত্রকে উপস্থাপন করে। $T$ কোন গুণক দ্বারা আকার পরিবর্তন করে?

উত্তর

${\begin{vmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{vmatrix}}=1$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৩

ক্ষেত্রফল সংরক্ষণ করে এমন একটি রূপান্তর $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ কি অবশ্যই দৈর্ঘ্যও সংরক্ষণ করবে?

উত্তর

না, উদাহরণস্বরূপ নিচের ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক

$T={\begin{pmatrix}2&0\\0&1/2\end{pmatrix}}$

হলো $1$, তাই এটি ক্ষেত্রফল সংরক্ষণ করে। কিন্তু ভেক্টর $T{\vec {e}}_{1}$-এর দৈর্ঘ্য হলো $2$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৪

একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট (linearly dependent set) দ্বারা সীমাবদ্ধ $\mathbb {R} ^{3}$-এ একটি সামান্তরিকীয় ঘনবস্তুর আয়তন কত?

উত্তর

এর মান শূন্য।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৫

$(1,2,1)$, $(3,-1,4)$, এবং $(2,2,2)$ শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট $\mathbb {R} ^{3}$-এ অবস্থিত ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। (এখানে ক্ষেত্রফল চাওয়া হয়েছে, আয়তন নয়। ত্রিভুজটি একটি সমতল গঠন করে— সেই সমতলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?)

উত্তর

ত্রিভুজটির তিনটি বাহুর মধ্যে দুটি বাহু নিচের ভেক্টরগুলো দ্বারা গঠিত হয়েছে।

${\begin{pmatrix}2\\2\\2\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}3\\-1\\4\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\-3\\3\end{pmatrix}}$

এই ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার একটি উপায় হলো এই দুটি ভেক্টরের ওপর লম্ব এমন একটি একক দৈর্ঘ্যের ভেক্টর তৈরি করা। এই দুটি সম্পর্ক থেকে

${\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}\qquad {\begin{pmatrix}2\\-3\\3\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

আমরা একটি সমীকরণ জোট পাই

${\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&+&z&=&0\\2x&-&3y&+&3z&=&0\end{array}}\;{\xrightarrow[{}]{-2\rho _{1}+\rho _{2}}}\;{\begin{array}{*{3}{rc}r}x&&&+&z&=&0\\&&-3y&+&z&=&0\end{array}}$

যার সমাধান সেটটি হলো নিম্নরূপ:

$\{{\begin{pmatrix}-1\\1/3\\1\end{pmatrix}}z\,{\big |}\,z\in \mathbb {R} \},$

একক দৈর্ঘ্যের একটি সমাধান হলো এটি:

${\frac {1}{\sqrt {19/9}}}{\begin{pmatrix}-1\\1/3\\1\end{pmatrix}}$

সুতরাং, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে এই নির্ণায়কের পরম মান।

${\begin{vmatrix}1&2&-3/{\sqrt {19}}\\0&-3&1/{\sqrt {19}}\\1&3&3/{\sqrt {19}}\end{vmatrix}}=-12/{\sqrt {19}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৬

উপপাদ্য ১.৫-এর একটি বিকল্প প্রমাণে নির্ণায়ক ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করা হয়েছে।

1. লক্ষ্য করুন যে, $S$ গঠনকারী ভেক্টরগুলো একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট তৈরি করবে যদি এবং কেবল যদি $\left|S\right|=0$ হয়; এবং এই ক্ষেত্রে ফলাফলটি সঠিক কি না তা যাচাই করুন।
2. যখন $\left|S\right|\neq 0$, তখন সকল রূপান্তরের জন্য $\left|TS\right|/\left|S\right|=\left|T\right|$ দেখানোর উদ্দেশ্যে, $T\mapsto \left|TS\right|/\left|S\right|$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত $d:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R}$ ফাংশনটি বিবেচনা করুন। দেখান যে, $d$ ফাংশনটি একটি নির্ণায়কের প্রথম বৈশিষ্ট্যটি মেনে চলে।
3. দেখান যে, $d$ ফাংশনটিতে একটি নির্ণায়ক ফাংশনের অবশিষ্ট তিনটি বৈশিষ্ট্যও বিদ্যমান।
4. উপসংহারে প্রমাণ করুন যে, $\left|TS\right|=\left|T\right|\cdot \left|S\right|$।

উত্তর

1. যেহেতু একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেটের প্রতিচ্ছবিও রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়, তাই যদি $S$ গঠনকারী ভেক্টরগুলো একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট তৈরি করে, তবে $\left|S\right|=0$ হবে। এর ফলে $t(S)$ গঠনকারী ভেক্টরগুলোও একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট তৈরি করবে, যার অর্থ $\left|TS\right|=0$ হবে। এই বিশেষ ক্ষেত্রে সমীকরণটি সত্য বলে প্রমাণিত হয়।
2. আমাদের এটি যাচাই করতে হবে যে, যদি $T[b]{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}+\rho _{j}}}{\hat {T}}$ হয়, তবে $d(T)=\left|TS\right|/\left|S\right|=\left|{\hat {T}}S\right|/\left|S\right|=d({\hat {T}})$ হবে। আমরা এটি এভাবে পরীক্ষা করতে পারি যে, প্রথমে পিভটিং করে তারপর গুণ করে ${\hat {T}}S$ নির্ণয় করলে যে ফলাফল পাওয়া যায়, তা প্রথমে গুণ করে $TS$ বের করার পর পিভটিং করার ফলাফলের সমান। কারণ পিভটিং প্রক্রিয়ার ফলে নির্ণায়ক $\left|TS\right|$-এর মানের কোনো পরিবর্তন হয় না, ফলে আমরা পাই $\left|{\hat {T}}S\right|=\left|TS\right|$ এবং এর থেকে প্রমাণিত হয় যে $d({\hat {T}})=d(T)$। এই যাচাইকরণটি এভাবে কাজ করে: $TS$-এর $i$-তম সারির $k$ গুণকে $TS$-এর $j$-তম সারির সাথে যোগ করার পর, $j,p$ ভুক্তিটি হবে $(kt_{i,1}+t_{j,1})s_{1,p}+\dots +(kt_{i,r}+t_{j,r})s_{r,p}$, যা মূলত ${\hat {T}}S$-এর $j,p$ ভুক্তি।
3. দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যের ক্ষেত্রে আমাদের শুধু এটি যাচাই করা প্রয়োজন যে, সারি বিনিময়ের ($T[b]{\xrightarrow[{}]{\rho _{i}\leftrightarrow \rho _{j}}}{\hat {T}}$) পর গুণ করে ${\hat {T}}S$ নির্ণয় করলে যে ফলাফল আসে, তা প্রথমে $T$ এবং $S$ গুণ করার পর সারি বিনিময় করার ফলাফলের সমান। যেহেতু সারির বিনিময়ের ফলে নির্ণায়ক $\left|TS\right|$-এর চিহ্নের পরিবর্তন ঘটে, তাই আমরা পাই $\left|{\hat {T}}S\right|=-\left|TS\right|$, এবং এর ফলে $d({\hat {T}})=-d(T)$ হয়। এই যাচাইকরণ পদ্ধতিটি প্রথম বৈশিষ্ট্যের মতোই কাজ করে। তৃতীয় বৈশিষ্ট্যের জন্য আমাদের কেবল এটি দেখানো প্রয়োজন যে, $T[b]{\xrightarrow[{}]{k\rho _{i}}}{\hat {T}}$ প্রক্রিয়াটি সম্পন্ন করার পর ${\hat {T}}S$ গণনা করলে যে ফলাফল পাওয়া যায়, তা প্রথমে $TS$ গণনা করে তারপর স্কেলার গুণন করার ফলাফলের সমান। যেহেতু নির্ণায়ক $\left|TS\right|$-এর মান $k$ গুণ বৃদ্ধি পায়, তাই আমরা পাই $\left|{\hat {T}}S\right|=k\left|TS\right|$ এবং এর ফলে $d({\hat {T}})=k\,d(T)$ হয়। এক্ষেত্রেও যুক্তিটি উপরের পদ্ধতিগুলোর মতোই কাজ করে। চতুর্থ বৈশিষ্ট্যটি হলো, যদি $T$ ম্যাট্রিক্সটি $I$ হয় তবে ফলাফল হবে $1$, যা অত্যন্ত স্পষ্ট।
4. নির্ণায়ক ফাংশনগুলো অনন্য হয়ে থাকে, তাই $\left|TS\right|/\left|S\right|=d(T)=\left|T\right|$, এবং এর ফলে $\left|TS\right|=\left|T\right|\left|S\right|$ হয়।

সমস্যা ১৭

এমন একটি নন-আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ দিন যার বৈশিষ্ট্য হলো ${{A}^{\rm {trans}}}=A^{-1}$। দেখান যে, যদি ${{A}^{\rm {trans}}}=A^{-1}$ হয় তবে $\left|A\right|=\pm 1$ হবে। এর বিপরীত উক্তিটি কি সত্য?

উত্তর

যেকোনো পারমিউটেশন ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্যটি দেখা যায় যে, ম্যাট্রিক্সটির ট্রান্সপোজ বা বিম্ব ম্যাট্রিক্সই হলো তার বিপরীত ম্যাট্রিক্স।

এই প্রতিপাদনের জন্য আমরা জানি যে, $\left|{{A}^{\rm {trans}}}\right|=\left|A\right|$। সুতরাং, $1=\left|A\cdot A^{-1}\right|=\left|A\cdot {{A}^{\rm {trans}}}\right|=\left|A\right|\cdot \left|{{A}^{\rm {trans}}}\right|=\left|A\right|^{2}$।

এর বিপরীত উক্তিটি সত্য নয়; নিচে একটি উদাহরণ দেওয়া হলো।

${\begin{pmatrix}3&1\\2&1\end{pmatrix}}$

সমস্যা ১৮

নির্ণায়কের একটি বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্য হলো, কোনো একটি সারি থেকে একটি স্কেলার রাশি কমন নিলে বা বের করে আনলে পুরো নির্ণায়কটি সেই স্কেলার দ্বারা গুণ হয়। এই বৈশিষ্ট্যটি দেখায় যে, যেখানে $H$ একটি $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্স, সেখানে $cH$-এর নির্ণায়ক হবে $H$-এর নির্ণায়কের $c^{3}$ গুণ। জ্যামিতিকভাবে এটি ব্যাখ্যা করুন, অর্থাৎ উপপাদ্য ১.৫ ব্যবহার করে এটি বুঝিয়ে বলুন।

উত্তর

যখন একটি ঘনবস্তুর বাহুগুলো $c$ গুণ লম্বা হয়, তখন সেই ঘনবস্তুর আয়তন $c^{3}$ গুণ বৃদ্ধি পায় বা এতে $c^{3}$ গুণ বেশি ঘন একক আয়তন থাকে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৯

$H$ এবং $G$ ম্যাট্রিক্স দুটিকে সদৃশ বলা হবে যদি সেখানে এমন একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স $P$ থাকে যেন $H=P^{-1}GP$ হয় (আমরা পঞ্চম অধ্যায়ে এই সম্পর্কটি নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করব)। দেখান যে, সদৃশ ম্যাট্রিক্সগুলোর নির্ণায়ক সমান হয়।

উত্তর

যদি $H=P^{-1}GP$ হয়, তবে $\left|H\right|=\left|P^{-1}\right|\left|G\right|\left|P\right|=\left|P^{-1}\right|\left|P\right|\left|G\right|=\left|P^{-1}P\right|\left|G\right|=\left|G\right|$ হবে।

সমস্যা ২০

আমরা সাধারণত $\mathbb {R} ^{2}$-এ ভেক্টরগুলোকে আদর্শ ভিত্তির সাপেক্ষে প্রকাশ করি, যাতে প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত ভেক্টরগুলোর উভয় স্থানাঙ্কই ধনাত্মক হয়।

         ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}+3\\+2\end{pmatrix}}$

মূলবিন্দুর চারদিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরলে, আমরা পর্যায়ক্রমে চারটি ক্ষেত্রের মধ্য দিয়ে যাই:

$\cdots \;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow \cdots \,.$

এই ভিত্তিটি ব্যবহার করলে:

$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\rangle$         

এটিও ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে একই আবর্তন বা চক্র প্রদান করে। আমরা বলি যে এই দুটি ভিত্তির "অরিয়েন্টেশন" বা বিন্যাস একই।

1. কেন তারা একই চক্র প্রদান করে?
2. অক্ষের ওপর একক ভেক্টরগুলোর আর কোন কোন বিন্যাস একই চক্র প্রদান করবে?
3. সেই (ক্রমিক) ভিত্তিগুলো থেকে গঠিত ম্যাট্রিক্সগুলোর নির্ণায়ক বের করুন।
4. ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আর কী কী চক্র সম্ভব এবং তাদের সাথে সংশ্লিষ্ট নির্ণায়কগুলো কী কী?
5. $\mathbb {R} ^{1}$-এর ক্ষেত্রে কী ঘটে?
6. $\mathbb {R} ^{3}$-এর ক্ষেত্রে কী ঘটে?

সাধারণ পাঠকদের জন্য অরিয়েন্টেশন বা বিন্যাস সম্পর্কে একটি চমৎকার আলোচনা (গার্ডনার, ১৯৯০)-এ পাওয়া যাবে।

উত্তর

1. নতুন ভিত্তিটি হলো পুরনো ভিত্তিটিকে $\pi /4$ কোণে আবর্তন করার ফল।
2. $\langle {\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}}\rangle$, $\langle {\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\rangle$
3. প্রতিটি ক্ষেত্রেই নির্ণায়কের মান হলো $+1$ (এই ভিত্তিগুলোকে ধনাত্মক বিন্যাস সম্পন্ন বলা হয়)।
4. যেহেতু এক সময়ে কেবল একটি চিহ্নের পরিবর্তন হতে পারে, তাই অন্য যে চক্রটি সম্ভব তা হলো:

   $\cdots \;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow \cdots \,.$

   এখানে প্রতিটি সংশ্লিষ্ট নির্ণায়কের মান হলো $-1$ (এই ধরনের ভিত্তিগুলোকে একটি ঋণাত্মক অভিমুখ বা নেগেটিভ ওরিয়েন্টেশন সম্পন্ন বলা হয়)।
5. এখানে একটি ধনাত্মক অভিমুখী ভিত্তি $\langle (1)\rangle$ এবং একটি ঋণাত্মক অভিমুখী ভিত্তি $\langle (-1)\rangle$ রয়েছে।
6. এখানে মোট $48$টি ভিত্তি বিদ্যমান (প্রথম একক ভেক্টরের জন্য $6$টি অর্ধ-অক্ষ নির্বাচনের সুযোগ রয়েছে, দ্বিতীয়টির জন্য $4$টি এবং শেষটির জন্য $2$টি নির্বাচনের সুযোগ থাকে)। এদের মধ্যে অর্ধেক হলো ধনাত্মক অভিমুখী, যা নিচের বাম পাশের আদর্শ ভিত্তির মতো; আর বাকি অর্ধেক হলো ঋণাত্মক অভিমুখী, যা ডান পাশেরটির মতো।

                   

   $\mathbb {R} ^{3}$-এর ক্ষেত্রে ধনাত্মক অভিমুখকে অনেক সময় "ডানহাতি অভিমুখ" (right hand orientation) বলা হয়। এর কারণ হলো, যদি কোনো ব্যক্তির ডান হাতের আঙুলগুলোকে ${\vec {e}}_{1}$ থেকে ${\vec {e}}_{2}$-এর দিকে বাঁকানো হয়, তবে বৃদ্ধাঙ্গুলিটি ${\vec {e}}_{3}$-এর দিক নির্দেশ করবে।

সমস্যা ২১

এই প্রশ্নটিতে ঐচ্ছিক 'নির্ণায়ক ফাংশনের অস্তিত্ব' উপবিভাগ থেকে তথ্য ব্যবহার করা হয়েছে। নির্ণায়কের বিন্যাস বিস্তার সূত্র ব্যবহার করে উপপাদ্য ১.৫ প্রমাণ করুন।

উত্তর

আমরা $\det({\vec {s}}_{1},\dots ,{\vec {s}}_{n})$-এর সাথে $\det(t({\vec {s}}_{1}),\dots ,t({\vec {s}}_{n}))$-এর তুলনা করব যাতে দেখানো যায় যে, দ্বিতীয়টি প্রথমটির থেকে $\left|T\right|$ গুণক দ্বারা পৃথক। আমরা আদর্শ ভিত্তির সাপেক্ষে ${\vec {s}}\,$ ভেক্টরগুলোকে উপস্থাপন করব:

${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}({\vec {s}}_{i})={\begin{pmatrix}s_{1,i}\\s_{2,i}\\\vdots \\s_{n,i}\end{pmatrix}}$

এবং এরপর আমরা ম্যাট্রিক্স-ভেক্টর গুণের মাধ্যমে ম্যাপ অ্যাপ্লিকেশন বা মানচিত্রের প্রয়োগটি উপস্থাপন করব:

${\begin{array}{rl}{\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{n}}(\,t({\vec {s}}_{i})\,)&=\left({\begin{array}{cccc}t_{1,1}&t_{1,2}&\ldots &t_{1,n}\\t_{2,1}&t_{2,2}&\ldots &t_{2,n}\\&\vdots \\t_{n,1}&t_{n,2}&\ldots &t_{n,n}\end{array}}\right){\begin{pmatrix}s_{1,j}\\s_{2,j}\\\vdots \\s_{n,j}\end{pmatrix}}\\&=s_{1,j}{\begin{pmatrix}t_{1,1}\\t_{2,1}\\\vdots \\t_{n,1}\end{pmatrix}}+s_{2,j}{\begin{pmatrix}t_{1,2}\\t_{2,2}\\\vdots \\t_{n,2}\end{pmatrix}}+\dots +s_{n,j}{\begin{pmatrix}t_{1,n}\\t_{2,n}\\\vdots \\t_{n,n}\end{pmatrix}}\\&=s_{1,j}{\vec {t}}_{1}+s_{2,j}{\vec {t}}_{2}+\dots +s_{n,j}{\vec {t}}_{n}\end{array}}$

যেখানে ${\vec {t}}_{i}$ হলো $T$ ম্যাট্রিক্সের $i$-তম কলাম। এরপর $\det(t({\vec {s}}_{1}),\,\dots ,\,t({\vec {s}}_{n}))$-এর মান হবে: $\det(s_{1,1}{\vec {t}}_{1}\!+\!s_{2,1}{\vec {t}}_{2}\!+\!\dots \!+\!s_{n,1}{\vec {t}}_{n},\,\dots ,\,s_{1,n}{\vec {t}}_{1}\!+\!s_{2,n}{\vec {t}}_{2}\!+\!\dots \!+\!s_{n,n}{\vec {t}}_{n})$।

বিন্যাস প্রসারণ সূত্রের প্রতিপাদনের মতো এখানেও আমরা মাল্টিলিনিয়ারিটি বৈশিষ্ট্যটি প্রয়োগ করি। এক্ষেত্রে প্রথমে প্রথম আর্গুমেন্টের যোগফল অনুযায়ী এটিকে এভাবে বিভক্ত করা হয়:

$\det(s_{1,1}{\vec {t}}_{1},\,\dots ,\,s_{1,n}{\vec {t}}_{1}+s_{2,n}{\vec {t}}_{2}+\dots +s_{n,n}{\vec {t}}_{n})+\cdots {}+\det(s_{n,1}{\vec {t}}_{n},\,\ldots ,\,s_{1,n}{\vec {t}}_{1}+s_{2,n}{\vec {t}}_{2}+\dots +s_{n,n}{\vec {t}}_{n})$

এবং এরপর এই $n$-সংখ্যক প্রতিটি পদকে দ্বিতীয় আর্গুমেন্টের যোগফল অনুযায়ী একইভাবে বিভক্ত করা হয়। এভাবে পর্যায়ক্রমে প্রক্রিয়াটি চলতে থাকে। বিন্যাস প্রসারণের প্রতিপাদনের মতোই শেষ পর্যন্ত আমরা $n^{n}$ সংখ্যক নির্ণায়ক পদের যোগফল পাই, যার প্রতিটি নিচের আকারের হয়: $\det(s_{i_{1},1}{\vec {t}}_{i_{1}},s_{i_{2},2}{\vec {t}}_{i_{2}},\,\dots ,\,s_{i_{n},n}{\vec {t}}_{i_{n}})$। প্রতিটি $s_{i,j}$ পদকে বাইরে নিয়ে আসলে পাওয়া যায়: $=s_{i_{1},1}s_{i_{2},2}\dots s_{i_{n},n}\cdot \det({\vec {t}}_{i_{1}},{\vec {t}}_{i_{2}},\,\dots ,\,{\vec {t}}_{i_{n}})$।

বিন্যাস প্রসারণের প্রতিপাদনের মতোই, যখনই $i_{1}$, ..., $i_{n}$ সূচকগুলোর মধ্যে যেকোনো দুটি সমান হয়, তখন নির্ণায়কটির দুটি আর্গুমেন্ট একই হয়ে যায় এবং এর মান $0$ হয়। তাই আমাদের কেবল সেই ক্ষেত্রগুলো বিবেচনা করতে হবে যেখানে $i_{1}$, ..., $i_{n}$ সূচকগুলো $1$, ..., $n$ সংখ্যাগুলোর একটি বিন্যাস গঠন করে। সুতরাং আমরা পাই:

$\det(t({\vec {s}}_{1}),\dots ,t({\vec {s}}_{n}))=\sum _{{\text{permutations }}\phi }s_{\phi (1),1}\dots s_{\phi (n),n}\det({\vec {t}}_{\phi (1)},\dots ,{\vec {t}}_{\phi (n)})$।

$\det({\vec {t}}_{\phi (1)},\ldots ,{\vec {t}}_{\phi (n)})$-এর কলামগুলো অদলবদল করে পুনরায় $T$ ম্যাট্রিক্সটি পাওয়া যায়, যার ফলে চিহ্নের পরিবর্তন ঘটে এবং একটি $\operatorname {sgn} {\phi }$ গুণক যুক্ত হয়। এরপর $T$-এর নির্ণায়কটিকে আলাদা বা ফ্যাক্টর আউট করে নেওয়া হয়।

$=\sum _{\phi }s_{\phi (1),1}\dots s_{\phi (n),n}\det({\vec {t}}_{1},\dots ,{\vec {t}}_{n})\cdot \operatorname {sgn} {\phi }=\det(T)\sum _{\phi }s_{\phi (1),1}\dots s_{\phi (n),n}\cdot \operatorname {sgn} {\phi }.$

কোনো ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক তার ট্রান্সপোজের নির্ণায়কের সমান—এই প্রমাণের মতো এখানেও আমরা $s$ পদগুলোর স্থান পরিবর্তন করি যাতে সেগুলো কলাম নম্বরের পরিবর্তে সারির ঊর্ধ্বক্রম অনুসারে সাজানো থাকে (এবং আমরা $\operatorname {sgn}(\phi )$-এর বদলে $\operatorname {sgn}(\phi ^{-1})$ ব্যবহার করি)।

$=\det(T)\sum _{\phi }s_{1,\phi ^{-1}(1)}\dots s_{n,\phi ^{-1}(n)}\cdot \operatorname {sgn} {\phi ^{-1}}=\det(T)\det({\vec {s}}_{1},{\vec {s}}_{2},\dots ,{\vec {s}}_{n})$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২২

1. দেখাও যে, এটি $\mathbb {R} ^{2}$-এ $(x_{2},y_{2})$ এবং $(x_{3},y_{3})$ বিন্দুগামী একটি সরলরেখার সমীকরণ নির্দেশ করে।

   ${\begin{vmatrix}x&x_{2}&x_{3}\\y&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}=0$

2. প্রমাণ করো যে, $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2},y_{2})$ এবং $(x_{3},y_{3})$ শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো:

   ${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}.$

3. প্রমাণ করো যে, যদি কোনো ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2},y_{2})$ এবং $(x_{3},y_{3})$-এর স্থানাঙ্কগুলো পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল কোনো একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $N$ অথবা $N/2$ হবে।

উত্তর

1. এটি বীজগাণিতিকভাবে যাচাই করা বেশ সহজ।

   $0=xy_{2}+x_{2}y_{3}+x_{3}y-x_{3}y_{2}-xy_{3}-x_{2}y=x\cdot (y_{2}-y_{3})+y\cdot (x_{3}-x_{2})+x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}$

   যা সরলীকরণ করলে পরিচিত এই রূপটি পাওয়া যায়:

   $y=x\cdot (x_{3}-x_{2})/(y_{3}-y_{2})+(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})/(y_{3}-y_{2})$

   (যেখানে $y_{3}-y_{2}=0$ হওয়ার বিষয়টি সহজেই সমাধান করা সম্ভব)। জ্যামিতিক ধারণা লাভের জন্য, এই চিত্রটি তিনটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত একটি ঘনবস্তু বা বক্স প্রদর্শন করছে। লক্ষ্য করুন যে, তিনটি ভেক্টরই $z=1$ সমতলে গিয়ে শেষ হয়েছে। ডানদিকের ভেক্টর দুটির নিচে $(x_{2},y_{2})$ এবং $(x_{3},y_{3})$ বিন্দুগামী একটি রেখা অবস্থিত।

   

   এই ঘনবস্তুটির আয়তন তখনই অশূন্য হবে, যদি না তিনটি ভেক্টরের প্রান্তবিন্দু দ্বারা গঠিত ত্রিভুজটি বা সমরেখ হয়। এটি কেবল তখনই ঘটে (ধরে নেওয়া হচ্ছে যে $(x_{2},y_{3})\neq (x_{3},y_{3})$), যদি $(x,y)$ বিন্দুটি অন্য দুটি বিন্দুগামী রেখার ওপর অবস্থিত হয়।

2. উদ্ধৃত উৎসে উত্তরটি যেভাবে দেওয়া হয়েছিল। $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2},y_{2})$ এবং $(x_{3},y_{3})$ শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের $(x_{1},y_{1})$ বিন্দুগামী উচ্চতা বা লম্ব দূরত্ব উপরের সমীকরণের সাধারণ রূপ থেকে প্রচলিত পদ্ধতিতে নির্ণয় করা যায়:

   ${\frac {1}{\sqrt {(x_{2}-x_{3})^{2}+(y_{2}-y_{3})^{2}}}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}.$

   পরবর্তী ধাপে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নিচের মতো পাওয়া যায়:

   ${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}.$

   এই ব্যাখ্যাটি প্রচলিত প্রমাণের তুলনায় এর কার্যপদ্ধতি বা মোডাস অপারেন্ডি আরও স্পষ্টভাবে ফুটিয়ে তোলে, যেখানে সাধারণত কতগুলো পদের সমষ্টিকে নির্ণায়কের সমান দেখানো হয়।
3. উদ্ধৃত উৎসে উত্তরটি যেভাবে দেওয়া হয়েছিল। ধরি,

   $D={\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}$

   তাহলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হবে $(1/2)\left|D\right|$। এখন যদি স্থানাঙ্কগুলো সব পূর্ণসংখ্যা হয়, তবে $D$ একটি পূর্ণসংখ্যা হবে।

তথ্যসূত্র

• Bittinger, Marvin (proposer) (১৯৭৩), "Quickie 578", Mathematics Magazine, American Mathematical Society, 46 (5): 286,296  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• Gardner, Martin (১৯৯০), The New Ambidextrous Universe (Third Revised সংস্করণ), W. H. Freeman and Company উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• Peterson, G. M. (১৯৫৫), "Area of a triangle", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 62 (4): 249  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• Weston, J. D. (১৯৫৯), "Volume in Vector Spaces", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 66 (7): 575–577  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.