রৈখিক বীজগণিত/আকার ফাংশন হিসেবে নির্ণায়ক

সামান্তরিকের এই চিত্রটি আমাদের কাছে বেশ পরিচিত, যা মূলত দুটি ভেক্টরের যোগফল নির্ণয়ের জ্যামিতিক পদ্ধতি থেকে এসেছে।

এই সামান্তরিকটি কতটুকু জায়গা জুড়ে আছে তা বের করার একটি সহজ উপায় আছে। প্রথমে সামান্তরিকটির চারপাশে একটি আয়তক্ষেত্র এঁকে নিতে হবে। এরপর সেই আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল থেকে বাড়তি ছোট ছোট অংশগুলোর ক্ষেত্রফল বাদ দিলেই সামান্তরিকের আসল ক্ষেত্রফল পাওয়া যাবে।

         ${\begin{array}{l}{\text{সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল}}\\\quad ={\text{আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল}}-{\text{A-এর ক্ষেত্রফল}}-{\text{B-এর ক্ষেত্রফল}}\\\qquad -\cdots -{\text{F-এর ক্ষেত্রফল}}\\\quad =(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2})-x_{2}y_{1}-x_{1}y_{1}/2\\\qquad -x_{2}y_{2}/2-x_{2}y_{2}/2-x_{1}y_{1}/2-x_{2}y_{1}\\\quad =x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{array}}$

সামান্তরিকের এই ক্ষেত্রফলের মান যে নির্ণায়কের মানের সমান, তা মোটেও কোনো কাকতালীয় বিষয় নয়:

${\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{vmatrix}}=x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}$

নির্ণায়কের সংজ্ঞায় যে বৈশিষ্ট্যগুলো বিদ্যমান, সেগুলো এমন একটি ফাংশনের জন্য অত্যন্ত যৌক্তিক স্বতঃসিদ্ধ হিসেবে কাজ করে যা কোনো ম্যাট্রিক্সের ভেক্টরগুলো দ্বারা সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের আকার বা পরিমাপ নির্ধারণ করে।

উদাহরণস্বরূপ, নিচের চিত্রটি লক্ষ্য করলে দেখা যায় যে, একটি বক্স-নির্ধারক ভেক্টরকে কোনো স্কেলার দ্বারা গুণ করলে তার ফলাফল কী হয় (এখানে স্কেলার হিসেবে $k=1.4$ ব্যবহার করা হয়েছে)।

        

এখানে $k{\vec {v}}$ এবং ${\vec {w}}$ দ্বারা গঠিত অঞ্চলটি, ${\vec {v}}$ এবং ${\vec {w}}$ দ্বারা বেষ্টিত ছায়াবৃত অঞ্চলের তুলনায় $k$ গুণ বেশি বড়। অর্থাৎ, গাণিতিকভাবে আমরা লিখতে পারি: ${\text{size}}\,(k{\vec {v}},{\vec {w}})=k\cdot {\text{size}}\,({\vec {v}},{\vec {w}})$ এবং সাধারণভাবে আমরা আকারের পরিমাপ থেকে এটিই প্রত্যাশা করি যে: ${\text{size}}\,(\dots ,k{\vec {v}},\dots )=k\cdot {\text{size}}\,(\dots ,{\vec {v}},\dots )$। এই নিয়মটি নির্ণায়কের একটি পরিচিত বৈশিষ্ট্য, যা আমরা আগে থেকেই জানি।

নির্ণায়কের আরেকটি গুণ হলো, পিভটিং করলে এর মানের কোনো পরিবর্তন হয় না। নিচে পিভটিং করার আগে এবং পরে বক্স বা ঘনবস্তুটি দেখতে কেমন হয়, তা দেখানো হলো (এখানে স্কেলার হিসেবে $k=0.35$ ব্যবহার করা হয়েছে)।

    

যদিও ডানদিকের অঞ্চলটি, যা $v$ এবং $k{\vec {v}}+{\vec {w}}$ দ্বারা গঠিত, বামদিকের ছায়াবৃত অঞ্চলের তুলনায় বেশি হেলানো; তবুও এই দুটির ভূমি এবং উচ্চতা একই। ফলে এদের ক্ষেত্রফলও সমান। এটি চিত্রিত করে যে, ${\text{size}}\,({\vec {v}},k{\vec {v}}+{\vec {w}})={\text{size}}\,({\vec {v}},{\vec {w}})$। সাধারণভাবে বললে, ${\text{size}}\,(\dots ,{\vec {v}},\dots ,{\vec {w}},\dots )={\text{size}}\,(\dots ,{\vec {v}},\dots ,k{\vec {v}}+{\vec {w}},\dots )$, যা মূলত নির্ণায়কের একটি স্বতঃসিদ্ধের (postulate) ভিন্ন রূপ।

অবশ্যই, এই চিত্রটি

দেখায় যে ${\text{size}}\,({\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2})=1$। আমরা স্বাভাবিকভাবেই একে যেকোনো সংখ্যক মাত্রার জন্য বর্ধিত করতে পারি, যেমন: ${\text{size}}\,({\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n})=1$। এটি মূলত এই বৈশিষ্ট্যেরই প্রতিফলন যে, অভেদ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের মান সর্বদা এক হয়।

এ থেকে বোঝা যায় যে, নির্ণায়কের দ্বিতীয় বৈশিষ্ট্যটি আসলে বাড়তি বা আলাদা করে বলার প্রয়োজন নেই। তাই আমরা বলতে পারি, একটি বক্সের আকার বা আয়তন বোঝার জন্য নির্ণায়কের সব বৈশিষ্ট্যই একদম ঠিকঠাক। নির্ণায়ক যে আসলেও আছে এবং এটি যে অনন্য বা এর উত্তর যে একটাই হবে, তা আমরা আগের আলোচনা থেকেই বুঝতে পারি। এর মাধ্যমে এটিও নিশ্চিত হওয়া যায় যে, আমাদের হাতের এই নিয়মগুলোই যথেষ্ট এবং নতুন করে আর কোনো নিয়মের প্রয়োজন নেই। অর্থাৎ, ভেক্টরগুলো দ্বারা গঠিত বক্সের আকার হিসেবে $\det({\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n})$-কে ব্যাখ্যা করার একটি সহজাত বা স্বজ্ঞাত যুক্তি আমরা পেয়েছি। (মন্তব্য: আরও একটি মৌলিক পদ্ধতি, যা নিচের সংজ্ঞার দিকে নিয়ে যায়, তা ওয়েস্টন, ১৯৫৯-এ বর্ণিত হয়েছে।)

উদাহরণ ১.১

এই সামান্তরিকীয় ঘনবস্তুর আয়তন হলো $12$, যা উচ্চমাধ্যমিক জ্যামিতির সাধারণ সূত্র ব্যবহার করে খুঁজে পাওয়া সম্ভব।

         ${\begin{vmatrix}2&0&-1\\0&3&0\\2&1&1\end{vmatrix}}=12$

মন্তব্য ১.২

যদিও নির্ণায়কের সংজ্ঞার ২ নম্বর বৈশিষ্ট্যটি অতিরিক্ত বা অনাবশ্যক বলে মনে হতে পারে, তবে এটি একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ বিষয় তুলে ধরে। নিচের এই দুটি উদাহরণ বিবেচনা করুন।

${\begin{vmatrix}4&1\\2&3\end{vmatrix}}=10$	${\begin{vmatrix}1&4\\3&2\end{vmatrix}}=-10$

এই দুটির মধ্যে একমাত্র পার্থক্য হলো ভেক্টরগুলো যে ক্রমে নেওয়া হয়েছে তার বিন্যাস। যদি আমরা প্রথমে ${\vec {u}}$ ভেক্টরটি নিই এবং তারপর ${\vec {v}}$ ভেক্টরের দিকে যাই, অর্থাৎ চিত্রে প্রদর্শিত ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকের বৃত্তচাপটি অনুসরণ করি, তবে চিহ্নটি ধনাত্মক হয়। অন্যদিকে, ঘড়ির কাঁটার দিকের বৃত্তচাপ অনুসরণ করলে চিহ্নটি ঋণাত্মক হয়। আকার ফাংশন থেকে প্রাপ্ত এই চিহ্নটি বক্সের "ওরিয়েন্টেশন" বা "দিকবিন্যাস" প্রকাশ করে। (আমরা যদি কোনো ঋণাত্মক স্কেলার দিয়ে গুণ করার প্রভাব কল্পনা করি, তবে সেখানেও একই ধরনের ফলাফল দেখতে পাব।)

ওরিয়েন্টেশনের ধারণাটি বেশ কৌতূহলোদ্দীপক এবং গুরুত্বপূর্ণ হলেও এটি কিছুটা জটিল। পরবর্তী আলোচনার বিকাশের জন্য এটি সরাসরি প্রয়োজন নেই, তাই আমরা আপাতত এটি এড়িয়ে যাব। (দেখুন সমস্যা ২০।)

সংজ্ঞা ১.৩

$\langle {\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{n}\rangle$ দ্বারা গঠিত (যেখানে প্রতিটি ভেক্টর $\mathbb {R} ^{n}$ থেকে নেওয়া হয়েছে) বক্স (বা সামান্তরিকীয় ঘনবস্তু) বলতে $\{t_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +t_{n}{\vec {v}}_{n}\,{\big |}\,t_{1},\ldots ,t_{n}\in [0..1]\}$ সেটটিকে বোঝায়। একটি বক্সের আয়তন হলো সেই ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের পরম মান, যার কলাম হিসেবে এই ভেক্টরগুলো ব্যবহার করা হয়েছে।

উদাহরণ ১.৪

আয়তন যেহেতু একটি পরম মান, তাই ভেক্টরগুলো কোন ক্রমে সাজানো হয়েছে তার ওপর এটি নির্ভর করে না। উদাহরণ ১.১-এ বর্ণিত সামান্তরিকীয় ঘনবস্তুটির আয়তন নিচের নির্ণায়কটির পরম মান হিসেবেও গণনা করা যেতে পারে।

${\begin{vmatrix}0&2&-1\\3&0&0\\1&2&1\end{vmatrix}}=-12$

আয়তনের এই সংজ্ঞাটি ভেক্টর দিয়ে তৈরি বক্সের মতো গাণিতিক কাঠামোগুলোর একটি জ্যামিতিক ব্যাখ্যা প্রদান করে। পরবর্তী ফলাফলটি এই জ্যামিতিকে বিভিন্ন ফাংশনের সাথে সম্পর্কিত করবে যা এই স্পেস বা স্থানগুলোর ওপর কাজ করে।

উপপাদ্য ১.৫

একটি রূপান্তর $t:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}$ সকল বক্সের আকারকে একই গুণক দ্বারা পরিবর্তন করে। নির্দিষ্টভাবে বলতে গেলে, একটি বক্সের প্রতিচ্ছবির আকার $\left|t(S)\right|$ হলো মূল বক্সের আকার $\left|S\right|$-এর $\left|T\right|$ গুণ। এখানে $T$ হলো আদর্শ ভিত্তির সাপেক্ষে $t$-কে উপস্থাপনকারী একটি ম্যাট্রিক্স। অর্থাৎ, সকল $n\!\times \!n$ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে, গুণফলের নির্ণায়ক হলো ম্যাট্রিক্সগুলোর পৃথক নির্ণায়কের গুণফলের সমান: $\left|TS\right|=\left|T\right|\cdot \left|S\right|$।

উপরের বাক্য দুটি মূলত একই ধারণাকে প্রকাশ করছে; প্রথমটি রূপান্তরের মাধ্যমে এবং দ্বিতীয়টি ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। যদিও আমরা সাধারণত রূপান্তরের দৃষ্টিভঙ্গি থেকে আলোচনা করতে পছন্দ করি, তবে দ্বিতীয় বাক্যটি অর্থাৎ ম্যাট্রিক্স সংস্করণটি প্রমাণের জন্য বেশি সুবিধাজনক এবং পরবর্তীতে আমরা এই ফলাফলটি এই পদ্ধতিতেই ব্যবহার করব। (এর বিকল্প প্রমাণগুলো সমস্যা ১৬ এবং সমস্যা ২১ হিসেবে দেওয়া হয়েছে।)

প্রমাণ

এই দুটি বিবৃতি সমতুল্য কারণ $\left|t(S)\right|=\left|TS\right|$। এখানে উভয়ই একক বক্স ${\mathcal {E}}_{n}$-এর সেই প্রতিচ্ছবি বক্সটির আকার নির্দেশ করে, যা $t\circ s$ বিন্যাসের মাধ্যমে গঠিত হয়েছে (যেখানে $s$ হলো আদর্শ ভিত্তির সাপেক্ষে $S$ দ্বারা উপস্থাপিত রূপান্তর)।

প্রথমে $\left|T\right|=0$ হওয়ার ক্ষেত্রটি বিবেচনা করা যাক। একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক শূন্য হয় যদি এবং কেবল যদি ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য না হয়। লক্ষ্য করুন যে, যদি $TS$ বিপরীতযোগ্য হয়, তবে এমন একটি ম্যাট্রিক্স $M$ থাকবে যাতে $(TS)M=I$ হয়। এখন ম্যাট্রিক্স গুণনের সংযোগ বিধি অনুযায়ী $T(SM)=I$ থেকে দেখা যায় যে, $T$-ও বিপরীতযোগ্য (যার বিপরীত ম্যাট্রিক্স হলো $SM$)। সুতরাং, যদি $T$ বিপরীতযোগ্য না হয়, তবে $TS$-ও বিপরীতযোগ্য হবে না — অর্থাৎ যদি $\left|T\right|=0$ হয় তবে $\left|TS\right|=0$ হবে। এই ক্ষেত্রে ফলাফলটি সত্য প্রমাণিত হয়।

এখন এমন একটি ক্ষেত্র বিবেচনা করা যাক যেখানে $\left|T\right|\neq 0$, অর্থাৎ $T$ একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স। মনে করে দেখুন যে, যেকোনো নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সকে কতগুলো এলিমেন্টারি বা প্রাথমিক ম্যাট্রিক্সের গুণফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়। সুতরাং, আমরা লিখতে পারি $TS=E_{1}E_{2}\cdots E_{r}S$। এই যুক্তির পরবর্তী অংশে আমরা এটি যাচাই করব যে, যদি $E$ একটি এলিমেন্টারি ম্যাট্রিক্স হয়, তবে $\left|ES\right|=\left|E\right|\cdot \left|S\right|$ হবে। এর ফলে কাঙ্ক্ষিত ফলাফলটি পাওয়া যাবে, কারণ তখন $\left|TS\right|=\left|E_{1}\cdots E_{r}S\right|=\left|E_{1}\right|\cdots \left|E_{r}\right|\cdot \left|S\right|=\left|E_{1}\cdots E_{r}\right|\cdot \left|S\right|=\left|T\right|\cdot \left|S\right|$ সমীকরণটি সিদ্ধ হয়।

যদি এলিমেন্টারি ম্যাট্রিক্স $E$ হয় $M_{i}(k)$, তবে $M_{i}(k)S$ হবে $S$ ম্যাট্রিক্সের সমান, কেবল এর $i$-তম সারিটি $k$ দ্বারা গুণ করা থাকবে। নির্ণায়ক ফাংশনের তৃতীয় বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী আমরা পাই যে, $\left|M_{i}(k)S\right|=k\cdot \left|S\right|$। আবার তৃতীয় বৈশিষ্ট্য মতেই $\left|M_{i}(k)\right|=k$ হয়, কারণ আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সের $i$-তম সারিকে $k$ দিয়ে গুণ করেই $M_{i}(k)$ পাওয়া যায়। সুতরাং, $E=M_{i}(k)$-এর জন্য $\left|ES\right|=\left|E\right|\cdot \left|S\right|$ সম্পর্কটি সঠিক। একইভাবে $E=P_{i,j}=-1$ এবং $E=C_{i,j}(k)$-এর ক্ষেত্রগুলোও যাচাই করা সম্ভব। }}

উদাহরণ ১.৬

স্ট্যান্ডার্ড বেসিস বা আদর্শ ভিত্তির সাপেক্ষে নিচের ম্যাট্রিক্সটি দ্বারা প্রকাশিত ম্যাপ $t$-এর প্রয়োগ বিবেচনা করা যাক:

${\begin{pmatrix}1&1\\-2&0\end{pmatrix}}$

এটি বক্সগুলোর আকার দ্বিগুণ করে দেবে, যেমন নিচের চিত্রটি থেকে:

         ${\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}}=3$

এই চিত্রে রূপান্তরিত হবে:

         ${\begin{vmatrix}3&3\\-4&-2\end{vmatrix}}=6$

অনুসিদ্ধান্ত ১.৭

যদি কোনো ম্যাট্রিক্স ইনভার্টিবল বা বিপরীতযোগ্য হয়, তবে তার বিপরীত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক হবে মূল ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের বিপরীত মান, অর্থাৎ $\left|T^{-1}\right|=1/\left|T\right|$।

প্রমাণ

$1=\left|I\right|=\left|TT^{-1}\right|=\left|T\right|\cdot \left|T^{-1}\right|$

মনে রাখবেন যে, নির্ণায়কগুলো অ্যাডিটিভ হোমোমরফিজম নয়; অর্থাৎ $\det(A+B)$ এবং $\det(A)+\det(B)$ সমান হওয়ার প্রয়োজন নেই। এর বিপরীতে, উপরের উপপাদ্য থেকে আমরা জানি যে নির্ণায়কগুলো হলো মাল্টিপ্লিকেটিভ হোমোমরফিজম: অর্থাৎ $\det(AB)$ অবশ্যই $\det(A)\cdot \det(B)$-এর সমান হবে।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

নিচে গঠিত অঞ্চলটির আয়তন নির্ণয় করুন।

1. $\langle {\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\4\end{pmatrix}}\rangle$
2. $\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}8\\-3\\8\end{pmatrix}}\rangle$
3. $\langle {\begin{pmatrix}1\\2\\0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\2\\2\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\3\\0\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\1\\0\\7\end{pmatrix}}\rangle$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২

নিচের তিনটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত বক্স বা ঘনবস্তুর ভেতরে কি এই ভেক্টরটি অবস্থিত?

${\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$

ভেক্টর তিনটি হলো:

${\begin{pmatrix}3\\3\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}2\\6\\1\end{pmatrix}}\quad {\begin{pmatrix}1\\0\\5\end{pmatrix}}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৩

নিচের চিত্রিত অঞ্চলটির আয়তন নির্ণয় করুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৪

ধরা যাক, $\left|A\right|=3$। নিচের ক্ষেত্রগুলোতে আয়তন কী অনুপাতে বা কত গুণ পরিবর্তিত হবে?

1. $A$
2. $A^{2}$
3. $A^{-2}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৫

নিচের প্রতিটি রূপান্তর বক্সের আকারকে কী অনুপাতে বা কত গুণ পরিবর্তন করে?

1. ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}2x\\3y\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}3x-y\\-2x+y\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}x-y\\x+y+z\\y-2z\end{pmatrix}}$

সমস্যা ৬

এই ম্যাট্রিক্সটির ক্রিয়ার ফলে $[2..4]\times [2..5]$ আয়তক্ষেত্রটির যে প্রতিচ্ছবি তৈরি হবে, তার ক্ষেত্রফল কত?

${\begin{pmatrix}2&3\\4&-1\end{pmatrix}}$

}}

সমস্যা ৭

যদি $t:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ রূপান্তরটি আয়তনকে $7$ গুণ পরিবর্তন করে এবং $s:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}$ রূপান্তরটি আয়তনকে $3/2$ গুণ পরিবর্তন করে, তবে তাদের সংযোজিত রূপান্তরটি আয়তনকে কত গুণ পরিবর্তন করবে?

সমস্যা ৮

একটি 'বক্স'-এর সংজ্ঞার সাথে একটি 'স্প্যান'-এর সংজ্ঞার পার্থক্য কী কী?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৯

নিচের চিত্রটি কেন উপপাদ্য ১.৫-এর সাথে সাংঘর্ষিক নয়?

	${\xrightarrow[{}]{\scriptstyle {\begin{pmatrix}2&1\\0&1\end{pmatrix}}}}$
ক্ষেত্রফল হলো $2$	নির্ণায়ক হলো $2$	ক্ষেত্রফল হলো $5$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১০

$\left|TS\right|=\left|ST\right|$ কি সত্য? আবার $\left|T(SP)\right|=\left|(TS)P\right|$ কি সত্য?

সমস্যা ১১

1. ধরুন, $\left|A\right|=3$ এবং $\left|B\right|=2$। তাহলে $\left|A^{2}\cdot {{B}^{\rm {trans}}}\cdot B^{-2}\cdot {{A}^{\rm {trans}}}\right|$-এর মান নির্ণয় করুন।
2. মনে করুন $\left|A\right|=0$। প্রমাণ করুন যে, $\left|6A^{3}+5A^{2}+2A\right|=0$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১২

ধরি, $T$ হলো এমন একটি ম্যাট্রিক্স যা (আদর্শ ভিত্তির সাপেক্ষে) সমতলের ভেক্টরগুলোকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে $\theta$ রেডিয়ান কোণে আবর্তন করে। $T$ ম্যাট্রিক্সটি আকারকে (size) কত গুণ পরিবর্তন করে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৩

একটি রূপান্তর $t:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ যদি ক্ষেত্রফল অপরিবর্তিত রাখে, তবে সেটি কি অবশ্যই দৈর্ঘ্যও অপরিবর্তিত রাখবে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৪

একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট দ্বারা সীমাবদ্ধ $\mathbb {R} ^{3}$-এ অবস্থিত একটি সামান্তরিকীয় ঘনবস্তুর আয়তন কত?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৫

$\mathbb {R} ^{3}$-এ অবস্থিত একটি ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো হলো $(1,2,1)$, $(3,-1,4)$, এবং $(2,2,2)$। এই ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করুন। (মনে রাখবেন, এখানে আয়তন নয় বরং ক্ষেত্রফল চাওয়া হয়েছে। ত্রিভুজটি একটি সমতল গঠন করে— সেই সমতলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল কত?)

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৬

উপপাদ্য ১.৫-এর একটি বিকল্প প্রমাণে নির্ণায়ক ফাংশনের সংজ্ঞা ব্যবহার করা হয়।

1. লক্ষ্য করুন যে, $S$ গঠনকারী ভেক্টরগুলো একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট তৈরি করবে যদি এবং কেবল যদি $\left|S\right|=0$ হয়। এই ক্ষেত্রে ফলাফলটি সঠিক কি না তা যাচাই করুন।
2. $\left|S\right|\neq 0$ ক্ষেত্রটির জন্য, সকল রূপান্তরের ক্ষেত্রে $\left|TS\right|/\left|S\right|=\left|T\right|$ দেখাতে নিচের ফাংশনটি বিবেচনা করুন: $d:{\mathcal {M}}_{n\!\times \!n}\to \mathbb {R}$ যেখানে $T\mapsto \left|TS\right|/\left|S\right|$। দেখান যে, $d$ ফাংশনটি নির্ণায়কের প্রথম বৈশিষ্ট্যটি মেনে চলে।
3. দেখান যে, $d$ ফাংশনটি নির্ণায়ক ফাংশনের বাকি তিনটি বৈশিষ্ট্যও মেনে চলে।
4. এখান থেকে সিদ্ধান্ত নিন যে, $\left|TS\right|=\left|T\right|\cdot \left|S\right|$।

সমস্যা ১৭

অভেদ ম্যাট্রিক্স নয় এমন একটি ম্যাট্রিক্সের উদাহরণ দিন যার বৈশিষ্ট্য হলো ${{A}^{\rm {trans}}}=A^{-1}$। দেখান যে, যদি ${{A}^{\rm {trans}}}=A^{-1}$ হয়, তবে $\left|A\right|=\pm 1$ হবে। এর বিপরীত উক্তিটি কি সত্য?

সমস্যা ১৮

নির্ণায়কের একটি বীজগাণিতিক বৈশিষ্ট্য হলো— কোনো একটি সারি থেকে একটি স্কেলার কমন নিলে নির্ণায়কটি সেই স্কেলার দ্বারা গুণ হয়। এটি থেকে বোঝা যায় যে, যদি $H$ একটি $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে $cH$-এর নির্ণায়ক হবে $H$-এর নির্ণায়কের $c^{3}$ গুণ। জ্যামিতিকভাবে অর্থাৎ উপপাদ্য ১.৫ ব্যবহার করে বিষয়টি ব্যাখ্যা করুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৯

যদি এমন একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স $P$ থাকে যেন $H=P^{-1}GP$ হয়, তবে $H$ এবং $G$ ম্যাট্রিক্স দুটিকে সদৃশ বলা হয় (আমরা পঞ্চম অধ্যায়ে এই সম্পর্কটি নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করব)। দেখান যে, সদৃশ ম্যাট্রিক্সগুলোর নির্ণায়ক সমান হয়।

সমস্যা ২০

আমরা সাধারণত $\mathbb {R} ^{2}$-এর ভেক্টরগুলোকে আদর্শ ভিত্তির সাপেক্ষে প্রকাশ করি, যাতে প্রথম চতুর্ভাগে অবস্থিত ভেক্টরগুলোর উভয় স্থানাঙ্কই ধনাত্মক হয়।

         ${\rm {Rep}}_{{\mathcal {E}}_{2}}({\vec {v}})={\begin{pmatrix}+3\\+2\end{pmatrix}}$

মূলবিন্দুর চারদিকে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে ঘুরলে আমরা চারটি অঞ্চলের মধ্য দিয়ে আবর্তিত হই:

$\cdots \;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\+\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}-\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow {\begin{pmatrix}+\\-\end{pmatrix}}\;\longrightarrow \cdots \,.$

এই ভিত্তিটি (basis) ব্যবহার করলে

$B=\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\end{pmatrix}}\rangle$         

একই ধরনের ঘড়ির কাঁটার বিপরীতমুখী আবর্তন পাওয়া যায়। আমরা বলি যে এই দুটি ভিত্তির 'ওরিয়েন্টেশন' একই।

1. কেন তারা একই আবর্তন প্রদান করে?
2. অক্ষের ওপর একক ভেক্টরগুলোর আর কোন কোন বিন্যাস একই আবর্তন প্রদান করে?
3. সেই (ক্রমবিন্যস্ত) ভিত্তিগুলো থেকে গঠিত ম্যাট্রিক্সগুলোর নির্ণায়ক বের করুন।
4. ঘড়ির কাঁটার বিপরীতমুখী আর কী কী আবর্তন সম্ভব এবং তাদের সাথে সংশ্লিষ্ট নির্ণায়কগুলো কী কী?
5. $\mathbb {R} ^{1}$-এর ক্ষেত্রে কী ঘটে?
6. $\mathbb {R} ^{3}$-এর ক্ষেত্রে কী ঘটে?

ওরিয়েন্টেশন সম্পর্কে সাধারণ পাঠকদের জন্য একটি চমৎকার আলোচনা -এ রয়েছে।

সমস্যা ২১

এই প্রশ্নটিতে ঐচ্ছিক 'ডিটারমিন্যান্ট ফাংশন বিদ্যমান' উপবিভাগের বিষয়বস্তু ব্যবহার করা হয়েছে। নির্ণায়কের বিন্যাস প্রসারণ সূত্র ব্যবহার করে উপপাদ্য ১.৫ প্রমাণ করুন।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২২

1. দেখান যে, এটি $(x_{2},y_{2})$ এবং $(x_{3},y_{3})$ বিন্দুগামী $\mathbb {R} ^{2}$-এ একটি সরলরেখার সমীকরণ প্রদান করে।

   ${\begin{vmatrix}x&x_{2}&x_{3}\\y&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}=0$

2. প্রমাণ করুন যে, $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2},y_{2})$ এবং $(x_{3},y_{3})$ শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো:

   ${\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\\1&1&1\end{vmatrix}}.$

3. প্রমাণ করুন যে, $(x_{1},y_{1})$, $(x_{2},y_{2})$ এবং $(x_{3},y_{3})$ শীর্ষবিন্দুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজ, যার স্থানাঙ্কগুলো পূর্ণসংখ্যা, তার ক্ষেত্রফল কোনো একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা $N$-এর জন্য $N$ অথবা $N/2$ হবে।

সমাধান

তথ্যসূত্র

• বিটিঞ্জার, মার্ভিন (প্রস্তাবক) (১৯৭৩), "কুইকি ৫৭৮", ম্যাথমেটিকস ম্যাগাজিন, আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল সোসাইটি, ৪৬ (৫): ২৮৬,২৯৬  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• গার্ডনার, মার্টিন (১৯৯০), দ্য নিউ অ্যাম্বিডেক্সট্রাস ইউনিভার্স (তৃতীয় পরিমার্জিত সংস্করণ সংস্করণ), ডব্লিউ. এইচ. ফ্রিম্যান অ্যান্ড কোম্পানি উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• পিটারসন, জি. এম. (১৯৫৫), "একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল", আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল মান্থলি, আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল সোসাইটি, ৬২ (৪): ২৪৯  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.

• ওয়েস্টন, জে. ডি. (১৯৫৯), "ভেক্টর স্পেসে আয়তন", আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল মান্থলি, আমেরিকান ম্যাথমেটিক্যাল সোসাইটি, ৬৬ (৭): ৫৭৫–৫৭৭  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

.