রৈখিক বীজগণিত/আইসোমরফিজমের সংজ্ঞা ও উদাহরণ/সমাধান

সমাধানসমূহ

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১

উদাহরণ ১.৪-কে আদর্শ হিসেবে ব্যবহার করে যাচাই করুন যে, সংজ্ঞার আগে প্রদত্ত অন্বয় দুটি আইসোমরফিজম।

উত্তর

ধরি, চিত্রায়নটি হলো $f$ ।
$(\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \overset{f}{⟼} (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$
এটি একটি এক-এক চিত্রায়ন, কারণ যদি $f$ ডোমেনের দুটি সদস্যকে একই প্রতিচ্ছবিতে পাঠায়, অর্থাৎ যদি $f ((\begin{matrix} a & b \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} c & d \end{matrix}))$ হয়, তবে $f$ -এর সংজ্ঞা অনুযায়ী আমরা পাই যে:
$(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix})$
যেহেতু দুটি কলাম ভেক্টর তখনই সমান হয় যখন তাদের প্রতিটি উপাদান বা কম্পোনেন্ট সমান থাকে, তাই আমরা বলতে পারি $a = c$ এবং $b = d$ । সুতরাং, যদি $f$ ডোমেন থেকে দুটি সারি ভেক্টরকে একই কলাম ভেক্টরে চিত্রায়িত করে, তবে ওই সারি ভেক্টর দুটি অবশ্যই সমান হবে: $(\begin{matrix} a & b \end{matrix}) = (\begin{matrix} c & d \end{matrix})$ । এখন $f$ যে একটি সার্বিক চিত্রায়ন তা দেখানোর জন্য আমাদের প্রমাণ করতে হবে যে, কোডোমেন $ℝ^{2}$ -এর যেকোনো সদস্য ডোমেনের কোনো না কোনো সারি ভেক্টরের প্রতিচ্ছবি। এটি দেখানো বেশ সহজ;
$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$
হলো $f ((\begin{matrix} x & y \end{matrix}))$ -এর ফলাফল। যোগের ধর্ম বজায় রাখার গণনাটি নিচে দেওয়া হলো:
$f ((\begin{matrix} a & b \end{matrix}) + (\begin{matrix} c & d \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} a + c & b + d \end{matrix})) = (\begin{matrix} a + c \\ b + d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) + (\begin{matrix} c \\ d \end{matrix}) = f ((\begin{matrix} a & b \end{matrix})) + f ((\begin{matrix} c & d \end{matrix}))$
স্কেলার গুণের ধর্ম বজায় রাখার গণনাটিও একইভাবে করা যায়।
$f (r \cdot (\begin{matrix} a & b \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} r a & r b \end{matrix})) = (\begin{matrix} r a \\ r b \end{matrix}) = r \cdot (\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}) = r \cdot f ((\begin{matrix} a & b \end{matrix}))$
উদাহরণ ১.২-এ বর্ণিত চিত্রায়নটিকে $f$ দ্বারা চিহ্নিত করা যাক। এটি যে একটি এক-এক চিত্রায়ন, তা প্রমাণ করার জন্য ধরা যাক, $f (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}) = f (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2})$ । তাহলে ফাংশনের সংজ্ঞা অনুযায়ী আমরা পাই,
$(\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} b_{0} \\ b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$
এবং এর ফলে $a_{0} = b_{0}$ , $a_{1} = b_{1}$ এবং $a_{2} = b_{2}$ হবে। সুতরাং, $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} = b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2}$ । এর থেকে প্রমাণিত হয় যে, $f$ চিত্রায়নটি একটি এক-এক চিত্রায়ন। $f$ ফাংশনটি সার্বিক, কারণ প্রতিটি $(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$ -এর জন্য এমন একটি বহুপদী বিদ্যমান যা $f$ দ্বারা ওই মানে পৌঁছায়; আর সেই বহুপদীটি হলো $a + b x + c x^{2}$ । গঠনগত দিক থেকে এটি দেখায় যে, $f$ যোগের প্রক্রিয়াটিকে আগের মতোই বজায় রাখে বা মেনে চলে:
$\begin{matrix} f ((a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}) + (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2})) & = f ((a_{0} + b_{0}) + (a_{1} + b_{1}) x + (a_{2} + b_{2}) x^{2}) \\ = (\begin{matrix} a_{0} + b_{0} \\ a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \end{matrix}) \\ = (\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{0} \\ b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) \\ = f (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}) + f (b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2}) \end{matrix}$
এবং নিচের অংশটি দেখায় যে, এটি স্কেলার গুণের নিয়মকেও মেনে চলে:
$\begin{matrix} f (r (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2})) & = f ((r a_{0}) + (r a_{1}) x + (r a_{2}) x^{2}) \\ = (\begin{matrix} r a_{0} \\ r a_{1} \\ r a_{2} \end{matrix}) \\ = r \cdot (\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) \\ = r f (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}) \end{matrix}$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২

ধরা যাক, $f : 𝒫_{1} \to ℝ^{2}$ একটি চিত্রায়ন যা নিচের নিয়মে সংজ্ঞায়িত:

a + b x \overset{f}{⟼} (\begin{matrix} a - b \\ b \end{matrix})

ডোমেইন বা সংজ্ঞার অঞ্চলের নিচের প্রতিটি উপাদানের প্রতিচ্ছবি নির্ণয় করুন।

$3 - 2 x$
$2 + 2 x$
$x$

দেখান যে, এই চিত্রায়নটি একটি আইসোমরফিজম।

উত্তর

প্রতিচ্ছবিগুলো নিচে দেওয়া হলো:

$(\begin{matrix} 5 \\ - 2 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} 0 \\ 2 \end{matrix})$
$(\begin{matrix} - 1 \\ 1 \end{matrix})$

$f$ একটি এক-এক ফাংশন কি না তা প্রমাণ করার জন্য, প্রথমে ধরে নেওয়া যাক যে এটি দুটি রৈখিক বহুপদীকে একই ইমেজে ম্যাপ করে, অর্থাৎ $f (a_{1} + b_{1} x) = f (a_{2} + b_{2} x)$ । তাহলে আমরা পাই:

(\begin{matrix} a_{1} - b_{1} \\ b_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} - b_{2} \\ b_{2} \end{matrix})

এবং যেহেতু কলাম ভেক্টরগুলো তখনই সমান হয় যখন তাদের প্রতিটি উপাদান পরস্পর সমান থাকে, তাই এখান থেকে বলা যায় $b_{1} = b_{2}$ এবং $a_{1} = a_{2}$ । এর মাধ্যমে প্রমাণিত হয় যে রৈখিক বহুপদী দুটি আসলে সমান, আর তাই $f$ একটি এক-এক ফাংশন।

$f$ একটি সার্বিক ফাংশন কি না তা দেখানোর জন্য লক্ষ করুন যে, কো-ডোমেনের এই সদস্যটি:

(\begin{matrix} s \\ t \end{matrix})

ডোমেনের এই সদস্য $(s + t) + t x$ -এর একটি ইমেজ বা প্রতিচ্ছবি।

$f$ এর গাণিতিক কাঠামো বা গঠন বজায় রাখে কি না তা যাচাই করতে আমরা লেমা ১.৯-এর ২ নম্বর পয়েন্টটি ব্যবহার করতে পারি।

\begin{matrix} f (c_{1} \cdot (a_{1} + b_{1} x) + c_{2} \cdot (a_{2} + b_{2} x)) & = f ((c_{1} a_{1} + c_{2} a_{2}) + (c_{1} b_{1} + c_{2} b_{2}) x) \\ = (\begin{matrix} (c_{1} a_{1} + c_{2} a_{2}) - (c_{1} b_{1} + c_{2} b_{2}) \\ c_{1} b_{1} + c_{2} b_{2} \end{matrix}) \\ = c_{1} \cdot (\begin{matrix} a_{1} - b_{1} \\ b_{1} \end{matrix}) + c_{2} \cdot (\begin{matrix} a_{2} - b_{2} \\ b_{2} \end{matrix}) \\ = c_{1} \cdot f (a_{1} + b_{1} x) + c_{2} \cdot f (a_{2} + b_{2} x) \end{matrix}

}}

সমস্যা ৩

প্রদর্শন করুন যে, উদাহরণ ১.৫-এ বর্ণিত স্বাভাবিক চিত্রায়ন $f_{1}$ একটি আইসোমরফিজম।

উত্তর

এটি এক-এক কি না তা যাচাই করার জন্য ধরে নিন যে, $f_{1} (c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z) = f_{1} (d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z)$ । তাহলে $f_{1}$ -এর সংজ্ঞা অনুযায়ী আমরা পাই, $c_{1} + c_{2} x + c_{3} x^{2} = d_{1} + d_{2} x + d_{3} x^{2}$ । $𝒫_{2}$ -এর সদস্যগুলো তখনই সমান হয় যখন তাদের সহগগুলো একই থাকে। সুতরাং এর অর্থ হলো $c_{1} = d_{1}$ , $c_{2} = d_{2}$ এবং $c_{3} = d_{3}$ । অতএব, $f_{1} (c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z) = f_{1} (d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z)$ থেকে এটিই প্রমাণিত হয় যে $c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z = d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z$ । আর তাই $f_{1}$ একটি এক-এক ফাংশন।

এটি সার্বিক বা 'সার্বিক' কি না তা যাচাই করার জন্য কো-ডোমেনের একটি যথেচ্ছ সদস্য $a_{1} + a_{2} x + a_{3} x^{2}$ বিবেচনা করুন। লক্ষ্য করলে দেখা যাবে যে, এটি প্রকৃতপক্ষে ডোমেনের একটি সদস্যের ইমেজ, যা হলো $f_{1} (a_{1} x + a_{2} y + a_{3} z)$ । (উদাহরণস্বরূপ, $0 + 3 x + 6 x^{2} = f_{1} (0 x + 3 y + 6 z)$ ।)

$f_{1}$ যোগের প্রক্রিয়া বা কাঠামো বজায় রাখে কি না, তা যাচাই করার গণনাটি নিচে দেওয়া হলো।

\begin{matrix} f_{1} ((c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z) + (d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z)) & = f_{1} ((c_{1} + d_{1}) x + (c_{2} + d_{2}) y + (c_{3} + d_{3}) z) \\ = (c_{1} + d_{1}) + (c_{2} + d_{2}) x + (c_{3} + d_{3}) x^{2} \\ = (c_{1} + c_{2} x + c_{3} x^{2}) + (d_{1} + d_{2} x + d_{3} x^{2}) \\ = f_{1} (c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z) + f_{1} (d_{1} x + d_{2} y + d_{3} z) \end{matrix}

$f_{1}$ যে স্কেলার গুণন বিধি মেনে চলে, তা নিচে যাচাই করা হলো:

\begin{matrix} f_{1} (r \cdot (c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z)) & = f_{1} ((r c_{1}) x + (r c_{2}) y + (r c_{3}) z) \\ = (r c_{1}) + (r c_{2}) x + (r c_{3}) x^{2} \\ = r \cdot (c_{1} + c_{2} x + c_{3} x^{2}) \\ = r \cdot f_{1} (c_{1} x + c_{2} y + c_{3} z) \end{matrix}

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৪

নিচের প্রতিটি চিত্রায়ন একটি আইসোমরফিজম কি না তা নির্ধারণ করুন (যদি এটি একটি আইসোমরফিজম হয় তবে তা প্রমাণ করুন এবং যদি না হয় তবে এটি কোন শর্তটি পূরণ করতে ব্যর্থ হয়েছে তা উল্লেখ করুন)।

$f : ℳ_{2 \times 2} \to ℝ$ যেখানে চিত্রায়নটি হলো:
$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \mapsto a d - b c$
$f : ℳ_{2 \times 2} \to ℝ^{4}$ যেখানে চিত্রায়নটি হলো:
$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} a + b + c + d \\ a + b + c \\ a + b \\ a \end{matrix})$
$f : ℳ_{2 \times 2} \to 𝒫_{3}$ যেখানে চিত্রায়নটি হলো:
$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \mapsto c + (d + c) x + (b + a) x^{2} + a x^{3}$
$f : ℳ_{2 \times 2} \to 𝒫_{3}$ যেখানে চিত্রায়নটি হলো:
$(\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}) \mapsto c + (d + c) x + (b + a + 1) x^{2} + a x^{3}$

উত্তর

না; এই চিত্রায়নটি এক-এক নয়। বিশেষ করে, সব উপাদান শূন্য এমন একটি ম্যাট্রিক্স এবং সব উপাদান এক এমন একটি ম্যাট্রিক্স—উভয়ই একই ইমেজে ম্যাপ করা হয়।
হ্যাঁ, এটি একটি আইসোমরফিজম। এটি এক-এক:
$যদি f ((\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix})) হয়, তবে (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} + c_{1} + d_{1} \\ a_{1} + b_{1} + c_{1} \\ a_{1} + b_{1} \\ a_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{2} + b_{2} + c_{2} + d_{2} \\ a_{2} + b_{2} + c_{2} \\ a_{2} + b_{2} \\ a_{2} \end{matrix})$
উপরের সমীকরণটি থেকে পাওয়া যায় যে $a_{1} = a_{2}$ , $b_{1} = b_{2}$ , $c_{1} = c_{2}$ , এবং $d_{1} = d_{2}$ । এটি একটি সার্বিক চিত্রায়ন, কারণ এটি দেখায় যে:
$(\begin{matrix} x \\ y \\ z \\ w \end{matrix}) = f ((\begin{matrix} w & z - w \\ y - z & x - y \end{matrix}))$
অর্থাৎ, যেকোনো চার-সারি বিশিষ্ট ভেক্টর একটি $2 \times 2$ ম্যাট্রিক্সের ইমেজ হিসেবে প্রকাশ করা সম্ভব। পরিশেষে, এটি লিনিয়ার কম্বিনেশন বা রৈখিক সমাবেশগুলো বজায় রাখে।
$\begin{matrix} f (r_{1} \cdot (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix}) + r_{2} \cdot (\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix})) & = f ((\begin{matrix} r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2} & r_{1} b_{1} + r_{2} b_{2} \\ r_{1} c_{1} + r_{2} c_{2} & r_{1} d_{1} + r_{2} d_{2} \end{matrix})) \\ = (\begin{matrix} r_{1} a_{1} + \dots + r_{2} d_{2} \\ r_{1} a_{1} + \dots + r_{2} c_{2} \\ r_{1} a_{1} + \dots + r_{2} b_{2} \\ r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2} \end{matrix}) \\ = r_{1} \cdot (\begin{matrix} a_{1} + \dots + d_{1} \\ a_{1} + \dots + c_{1} \\ a_{1} + b_{1} \\ a_{1} \end{matrix}) + r_{2} \cdot (\begin{matrix} a_{2} + \dots + d_{2} \\ a_{2} + \dots + c_{2} \\ a_{2} + b_{2} \\ a_{2} \end{matrix}) \\ = r_{1} \cdot f ((\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix})) + r_{2} \cdot f ((\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix})) \end{matrix}$
এবং এভাবেই লেমা ১.৯-এর ২ নম্বর অনুচ্ছেদটি প্রমাণ করে যে এটি গাণিতিক কাঠামো বজায় রাখে।
হ্যাঁ, এটি একটি আইসোমরফিজম। এটি যে একটি এক-এক ফাংশন তা দেখানোর জন্য, আমরা ধরে নিই যে ডোমেনের দুটি সদস্যের $f$ -এর অধীনে একই ইমেজ বা প্রতিচ্ছবি রয়েছে।
$f ((\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix}))$
$f$ -এর সংজ্ঞা অনুযায়ী এটি থেকে পাওয়া যায় যে, $c_{1} + (d_{1} + c_{1}) x + (b_{1} + a_{1}) x^{2} + a_{1} x^{3} = c_{2} + (d_{2} + c_{2}) x + (b_{2} + a_{2}) x^{2} + a_{2} x^{3}$ । এখন, বহুপদী বা পলিনোমিয়ালগুলো তখনই সমান হয় যখন তাদের সহগগুলো সমান থাকে। এই তথ্যটি ব্যবহার করে আমরা নিচের রৈখিক সমীকরণগুলোর একটি সেট পাই:
$\begin{matrix} c_{1} & = c_{2} \\ d_{1} + c_{1} & = d_{2} + c_{2} \\ b_{1} + a_{1} & = b_{2} + a_{2} \\ a_{1} & = a_{2} \end{matrix}$
এই সমীকরণগুলোর একমাত্র সমাধান হলো $a_{1} = a_{2}$ , $b_{1} = b_{2}$ , $c_{1} = c_{2}$ , এবং $d_{1} = d_{2}$ । আবার, $f$ যে একটি 'সার্বিক' ফাংশন তা দেখানোর জন্য আমরা লক্ষ্য করি যে, $p + q x + r x^{2} + s x^{3}$ হলো নিচের ম্যাট্রিক্সটির $f$ -এর অধীনে একটি ইমেজ বা প্রতিচ্ছবি।
$(\begin{matrix} s & r - s \\ p & q - p \end{matrix})$
আমরা লেমা ১.৯-এর ২ নম্বর অনুচ্ছেদটি ব্যবহার করে যাচাই করতে পারি যে $f$ গাণিতিক কাঠামো মেনে চলে।
$\begin{matrix} f (r_{1} \cdot (\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix}) + r_{2} \cdot (\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix})) & = f ((\begin{matrix} r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2} & r_{1} b_{1} + r_{2} b_{2} \\ r_{1} c_{1} + r_{2} c_{2} & r_{1} d_{1} + r_{2} d_{2} \end{matrix})) \\ = \begin{matrix} (r_{1} c_{1} + r_{2} c_{2}) + (r_{1} d_{1} + r_{2} d_{2} + r_{1} c_{1} + r_{2} c_{2}) x \\ + (r_{1} b_{1} + r_{2} b_{2} + r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2}) x^{2} + (r_{1} a_{1} + r_{2} a_{2}) x^{3} \end{matrix} \\ = \begin{matrix} r_{1} \cdot (c_{1} + (d_{1} + c_{1}) x + (b_{1} + a_{1}) x^{2} + a_{1} x^{3}) \\ + r_{2} \cdot (c_{2} + (d_{2} + c_{2}) x + (b_{2} + a_{2}) x^{2} + a_{2} x^{3}) \end{matrix} \\ = r_{1} \cdot f ((\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ c_{1} & d_{1} \end{matrix})) + r_{2} \cdot f ((\begin{matrix} a_{2} & b_{2} \\ c_{2} & d_{2} \end{matrix})) \end{matrix}$
না, এই চিত্রায়নটি কাঠামো মেনে চলে না। উদাহরণস্বরূপ, এটি শূন্য ম্যাট্রিক্সকে শূন্য বহুপদীতে রূপান্তরিত করে না।

সমস্যা ৫

দেখান যে, $f (x) = x^{3}$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত চিত্রায়ন $f : ℝ^{1} \to ℝ^{1}$ একটি এক-এক এবং সার্বিক চিত্রায়ন। এটি কি একটি আইসোমরফিজম?

উত্তর

এটি একটি এক-এক এবং সার্বিক চিত্রায়ন, অর্থাৎ একটি অন্বয় বা করেসপন্ডেন্স, কারণ এর একটি বিপরীত ফাংশন বা ইনভার্স রয়েছে (যেমন, $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x}$ )। তবে, এটি কোনো আইসোমরফিজম নয়। উদাহরণস্বরূপ, $f (1) + f (1) \neq f (1 + 1)$ ।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৬

উদাহরণ ১.১ দেখুন। আরও দুটি আইসোমরফিজম তৈরি করুন (অবশ্যই যাচাই করতে হবে যে সেগুলো আইসোমরফিজমের সংজ্ঞার শর্তাবলি পূরণ করে কি না)।

উত্তর

অনেকগুলো চিত্রায়ন সম্ভব। এখানে দুটি দেওয়া হলো।

(\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} b \\ a \end{matrix}) এবং (\begin{matrix} a & b \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} 2 a \\ b \end{matrix})

এই সত্যতা যাচাইয়ের পদ্ধতিটি ওপরে বর্ণিত অন্যান্য উদাহরণের মতোই সহজ।

সমস্যা ৭

উদাহরণ ১.২ দেখুন। আরও দুটি আইসোমরফিজম তৈরি করুন (এবং যাচাই করুন যে সেগুলো শর্তাবলি পূরণ করে কি না)।

উত্তর

এখানে দুটি দেওয়া হলো।

a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} \mapsto (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{0} \\ a_{2} \end{matrix}) এবং a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} \mapsto (\begin{matrix} a_{0} + a_{1} \\ a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})

যাচাইকরণ পদ্ধতিটি বেশ সহজ (দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রে, এটি যে সার্বিক তা দেখানোর জন্য লক্ষ্য করুন যে

(\begin{matrix} s \\ t \\ u \end{matrix})

হলো $(s - t) + t x + u x^{2}$ -এর প্রতিচ্ছবি)।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ৮

দেখান যে, যদিও $ℝ^{2}$ নিজে $ℝ^{3}$ -এর কোনো নয়, তবুও এটি $ℝ^{3}$ -এর $x y$ -সমতলীয় সাবস্পেসের সাথে সমরূপী।

উত্তর

$ℝ^{2}$ জগতটি $ℝ^{3}$ -এর কোনো সাবস্পেস নয়, কারণ এটি $ℝ^{3}$ -এর কোনো উপসেট নয়। $ℝ^{2}$ -এর দুই-সারি বিশিষ্ট ভেক্টরগুলো $ℝ^{3}$ -এর সদস্য নয়।

স্বাভাবিক আইসোমরফিজম $ι : ℝ^{2} \to ℝ^{3}$ (যাকে ইনজেকশন চিত্রায়ন বলা হয়) হলো নিম্নরূপ:

(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \overset{ι}{⟼} (\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix})

এই চিত্রায়নটি এক-এক কারণ:

f ((\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix})) থেকে বোঝা যায় যে (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \\ 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \\ 0 \end{matrix})

যা থেকে এটি নিশ্চিত হয় যে $x_{1} = x_{2}$ এবং $y_{1} = y_{2}$ । এর ফলে এটি প্রমাণিত হয় যে শুরুর দুই-সারি বিশিষ্ট ভেক্টর দুটি পরস্পর সমান।

যেহেতু

(\begin{matrix} x \\ y \\ 0 \end{matrix}) = f ((\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}))

তাই এই চিত্রায়নটি $x y$ -সমতলের ওপর একটি উপরিচিত্রায়ন।

এই চিত্রায়নটি যে গাণিতিক গঠন মেনে চলে তা দেখানোর জন্য আমরা লেমা ১.৯-এর ২ নম্বর পয়েন্টটি ব্যবহার করব এবং দেখাব যে:

f (c_{1} \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix}) + c_{2} \cdot (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} \\ c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} \end{matrix})) = (\begin{matrix} c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2} \\ c_{1} y_{1} + c_{2} y_{2} \\ 0 \end{matrix})

= c_{1} \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \\ 0 \end{matrix}) + c_{2} \cdot (\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \\ 0 \end{matrix}) = c_{1} \cdot f ((\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix})) + c_{2} \cdot f ((\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix}))

অর্থাৎ, এটি দুটি ভেক্টরের রৈখিক সমাবেশ বজায় রাখে।

সমস্যা ৯

$ℝ^{16}$ এবং $ℳ_{4 \times 4}$ -এর মধ্যে দুটি আইসোমরফিজম খুঁজে বের করুন।

উত্তর

এখানে দুটি উদাহরণ দেওয়া হলো:

(\begin{matrix} r_{1} \\ r_{2} \\ ⋮ \\ r_{16} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} r_{1} & r_{2} & \dots \\ \dots & r_{16} \end{matrix}) এবং (\begin{matrix} r_{1} \\ r_{2} \\ ⋮ \\ r_{16} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} r_{1} \\ r_{2} \\ ⋮ & ⋮ \\ r_{16} \end{matrix})

প্রতিটি যে একটি আইসোমরফিজম, তা যাচাই করা বেশ সহজ।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১০

$k$ -এর কোন মানের জন্য $ℳ_{m \times n}$ এবং $ℝ^{k}$ পরস্পর আইসোমরফিক হবে?

উত্তর

যখন $k = m n$ , তখন একটি আইসোমরফিজম নিচে দেওয়া হলো।

(\begin{matrix} r_{1} & r_{2} & \dots \\ ⋮ \\ \dots & r_{m \cdot n} \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} r_{1} \\ r_{2} \\ ⋮ \\ r_{m \cdot n} \end{matrix})

এটি যে একটি আইসোমরফিজম, তা পরীক্ষা করা সহজ।

সমস্যা ১১

$k$ -এর কোন মানের জন্য $𝒫_{k}$ এবং $ℝ^{n}$ পরস্পর আইসোমরফিক হবে?

উত্তর

যদি $n \geq 1$ হয়, তবে $𝒫_{n - 1} ≅ ℝ^{n}$ হবে। (যদি আমরা $𝒫_{- 1}$ এবং $ℝ^{0}$ -কে ট্রিভিয়াল ভেক্টর স্পেস বা নগণ্য বা শূন্য ভেক্টর জগত হিসেবে বিবেচনা করি, তবে এই সম্পর্কটি আরও এক ধাপ নিচের মাত্রার ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য হয়।) এদের মধ্যে স্বাভাবিক আইসোমরফিজমটি হলো নিম্নরূপ:

a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n - 1} x^{n - 1} \mapsto (\begin{matrix} a_{0} \\ a_{1} \\ ⋮ \\ a_{n - 1} \end{matrix})

এটি যে একটি আইসোমরফিজম, তা যাচাই করা অত্যন্ত সহজসাধ্য।

সমস্যা ১২

প্রমাণ করুন যে, উদাহরণ ১.৭-এ বর্ণিত $𝒫_{5}$ থেকে $𝒫_{5}$ -এ $p (x) \mapsto p (x - 1)$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত চিত্রায়নটি একটি ভেক্টর স্পেস আইসোমরফিজম।

উত্তর

নিচে চিত্রায়নটির বিস্তারিত রূপ দেওয়া হলো।

\begin{matrix} f (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + a_{4} x^{4} + a_{5} x^{5}) & = \begin{matrix} a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x - 1)^{2} + a_{3} (x - 1)^{3} \\ + a_{4} (x - 1)^{4} + a_{5} (x - 1)^{5} \end{matrix} \\ = \begin{matrix} a_{0} + a_{1} (x - 1) + a_{2} (x^{2} - 2 x + 1) \\ + a_{3} (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) \\ + a_{4} (x^{4} - 4 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x + 1) \\ + a_{5} (x^{5} - 5 x^{4} + 10 x^{3} - 10 x^{2} + 5 x - 1) \end{matrix} \\ = \begin{matrix} (a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5}) \\ + (a_{1} - 2 a_{2} + 3 a_{3} - 4 a_{4} + 5 a_{5}) x \\ + (a_{2} - 3 a_{3} + 6 a_{4} - 10 a_{5}) x^{2} + (a_{3} - 4 a_{4} + 10 a_{5}) x^{3} \\ + (a_{4} - 5 a_{5}) x^{4} + a_{5} x^{5} \end{matrix} \end{matrix}

এটি একটি আইসোমরফিজম কি না তা যাচাই করার কাজ শেষ করতে, আমরা লেমা ১.৯-এর ২ নম্বর আইটেমটি প্রয়োগ করি। এখানে আমাদের দেখাতে হবে যে এটি দুটি বহুপদীর রৈখিক সমাবেশ মেনে চলে। সংক্ষেপে, যাচাইকরণ প্রক্রিয়াটি নিচে দেখানো হলো:

f (c \cdot (a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{5} x^{5}) + d \cdot (b_{0} + b_{1} x + \dots + b_{5} x^{5}))

= \dots = (c a_{0} - c a_{1} + c a_{2} - c a_{3} + c a_{4} - c a_{5} + d b_{0} - d b_{1} + d b_{2} - d b_{3} + d b_{4} - d b_{5}) + \dots + (c a_{5} + d b_{5}) x^{5}

= \dots = c \cdot f (a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{5} x^{5}) + d \cdot f (b_{0} + b_{1} x + \dots + b_{5} x^{5})

সমস্যা ১৩

লেমা ১.৮-এ কেন একটি $\vec{v} \in V$ থাকতে হবে? অর্থাৎ, কেন $V$ -কে অবশ্যই একটি অশূন্য (nonempty) সেট হতে হবে?

উত্তর

কোনো ভেক্টর স্পেসই তার ভিত্তি হিসেবে ফাঁকা সেট ধারণ করে না। আমরা $\vec{v}$ হিসেবে শূন্য ভেক্টরকে গ্রহণ করতে পারি।

সমস্যা ১৪

যেকোনো দুটি ট্রিভিয়াল স্পেস কি আইসোমরফিক?

উত্তর

হ্যাঁ; যেখানে দুটি স্পেস হলো ${\vec{a}}$ এবং ${\vec{b}}$ , সেখানে $\vec{a}$ -কে $\vec{b}$ -তে রূপান্তরকারী চিত্রায়নটি স্পষ্টতই এক-এক এবং সার্বিক। এটি সেখানে বিদ্যমান সামান্য গাণিতিক কাঠামোকেও সঠিকভাবে মেনে চলে।

সমস্যা ১৫

লেমা ১.৯-এর প্রমাণে, শূন্য-সমষ্টির ক্ষেত্রে কী ঘটবে (অর্থাৎ, যদি $n$ শূন্য হয়)?

উত্তর

$n = 0$ সংখ্যক ভেক্টরের একটি রৈখিক সমাবেশ শূন্য ভেক্টরের সমান হয় এবং তাই লেমা ১.৮ দেখায় যে, এই ক্ষেত্রে তিনটি বিবৃতিই একে অপরের সমতুল্য।

সমস্যা ১৬

দেখাও যে, যেকোনো আইসোমরফিজম $f : 𝒫_{0} \to ℝ^{1}$ -এর রূপ হবে $a \mapsto k a$ , যেখানে $k$ হলো একটি অ-শূন্য বাস্তব সংখ্যা।

উত্তর

$𝒫_{0}$ -এর জন্য ভিত্তি হিসেবে $⟨ 1 ⟩$ বিবেচনা করি এবং ধরি $f (1) \in ℝ$ হলো $k$ । এখন যেকোনো $a \in 𝒫_{0}$ -এর জন্য আমরা পাই যে $f (a) = f (a \cdot 1) = a f (1) = a k$ এবং এর ফলে $f$ -এর ক্রিয়াটি হলো $k$ দ্বারা গুণ করা। এখানে লক্ষ্যণীয় যে, $k \neq 0$ হতে হবে, অন্যথায় চিত্রায়নটি এক-এক হবে না। (প্রাসঙ্গিকভাবে উল্লেখ্য যে, এই ধরনের যেকোনো চিত্রায়ন $a \mapsto k a$ একটি আইসোমরফিজম, যা সহজেই যাচাই করা সম্ভব।)

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ১৭

এগুলো প্রমাণ করে যে আইসোমরফিজম হলো একটি সমতুল্যতা সম্পর্ক।

দেখাও যে অভেদ চিত্রায়ন $id : V \to V$ একটি আইসোমরফিজম। সুতরাং, যেকোনো ভেক্টর স্পেস নিজের সাথে আইসোমরফিক।
দেখাও যে, যদি $f : V \to W$ একটি আইসোমরফিজম হয়, তবে এর বিপরীত চিত্রায়ন $f^{- 1} : W \to V$ -ও একটি আইসোমরফিজম হবে। অতএব, যদি $V$ ভেক্টর স্পেসটি $W$ -এর সাথে আইসোমরফিক হয়, তবে $W$ -ও $V$ -এর সাথে আইসোমরফিক হবে।
দেখাও যে আইসোমরফিজমের সংযোজন একটি আইসোমরফিজম: যদি $f : V \to W$ একটি আইসোমরফিজম হয় এবং $g : W \to U$ একটি আইসোমরফিজম হয়, তবে $g \circ f : V \to U$ -ও একটি আইসোমরফিজম হবে। অর্থাৎ, যদি $V$ ও $W$ আইসোমরফিক হয় এবং $W$ ও $U$ আইসোমরফিক হয়, তবে $V$ ও $U$ -ও আইসোমরফিক হবে।

উত্তর

প্রতিটি ক্ষেত্রে, লেমা ১.৯-এর ২ নম্বর অনুচ্ছেদ অনুসরণ করে আমরা দেখাব যে, চিত্রায়নটি ডোমেইনের দুটি সদস্যের রৈখিক সমাবেশ ঠিক রাখার মাধ্যমে এর গঠন বা কাঠামো বজায় রাখে।

অভেদ চিত্রায়নটি স্পষ্টতই এক-এক এবং সার্বিক। রৈখিক সমাবেশের ক্ষেত্রে এটি যাচাই করা বেশ সহজ।
$id (c_{1} \cdot {\vec{v}}_{1} + c_{2} \cdot {\vec{v}}_{2}) = c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2} = c_{1} \cdot id ({\vec{v}}_{1}) + c_{2} \cdot id ({\vec{v}}_{2})$
একটি অন্বয়ের বিপরীতও একটি অন্বয় (যেমনটি পরিশিষ্টে উল্লেখ করা হয়েছে), তাই আমাদের কেবল এটি পরীক্ষা করতে হবে যে বিপরীত ম্যাপিংটি রৈখিক সমাবেশ বজায় রাখে কি না। ধরা যাক, ${\vec{w}}_{1} = f ({\vec{v}}_{1})$ (অর্থাৎ $f^{- 1} ({\vec{w}}_{1}) = {\vec{v}}_{1}$ ) এবং ধরা যাক ${\vec{w}}_{2} = f ({\vec{v}}_{2})$ ।
$\begin{matrix} f^{- 1} (c_{1} \cdot {\vec{w}}_{1} + c_{2} \cdot {\vec{w}}_{2}) & = f^{- 1} (c_{1} \cdot f ({\vec{v}}_{1}) + c_{2} \cdot f ({\vec{v}}_{2})) \\ = f^{- 1} (f (c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2})) \\ = c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2} \\ = c_{1} \cdot f^{- 1} ({\vec{w}}_{1}) + c_{2} \cdot f^{- 1} ({\vec{w}}_{2}) \end{matrix}$
দুটি অন্বয়ের সংযোজনও একটি অন্বয় (যেমনটি পরিশিষ্টে উল্লেখ করা হয়েছে), তাই আমাদের কেবল এটি পরীক্ষা করতে হবে যে সংযোজিত ম্যাপিংটি রৈখিক সমাবেশ বজায় রাখে কি না।
$\begin{matrix} g \circ f (c_{1} \cdot {\vec{v}}_{1} + c_{2} \cdot {\vec{v}}_{2}) & = g (f (c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2})) \\ = g (c_{1} \cdot f ({\vec{v}}_{1}) + c_{2} \cdot f ({\vec{v}}_{2})) \\ = c_{1} \cdot g (f ({\vec{v}}_{1})) + c_{2} \cdot g (f ({\vec{v}}_{2})) \\ = c_{1} \cdot g \circ f ({\vec{v}}_{1}) + c_{2} \cdot g \circ f ({\vec{v}}_{2}) \end{matrix}$

সমস্যা ১৮

মনে করুন $f : V \to W$ একটি রৈখিক রূপান্তর বা লিনিয়ার ম্যাপিং। দেখান যে, $f$ এক-এক হবে যদি এবং কেবল যদি $V$ -এর একমাত্র সদস্য হিসেবে ${\vec{0}}_{V}$ -ই $f$ দ্বারা ${\vec{0}}_{W}$ -তে চিত্রায়িত করা হয়।

উত্তর

একটি দিক প্রমাণ করা সহজ: সংজ্ঞা অনুযায়ী, যদি $f$ এক-এক হয়, তবে $W$ -এর যেকোনো সদস্য $\vec{w} \in W$ -এর জন্য $V$ -এর অনধিক একটি সদস্য $\vec{v} \in V$ থাকবে যার জন্য $f (\vec{v}) = \vec{w}$ হয়। সুতরাং বিশেষভাবে বলা যায় যে, $V$ -এর অনধিক একটি সদস্য ${\vec{0}}_{W}$ -তে ম্যাপ করা হবে। লেমা ১.৮-এর প্রমাণে ম্যাপিংটি যে একটি নিয়মিত ফাংশন হতে হবে, সেই শর্তটি ব্যবহার করার প্রয়োজনই হয়নি। এর থেকে বোঝা যায় যে, যেকোনো লিনিয়ার ম্যাপিং (যা এর গঠন ঠিক রাখে) $f$ , সবসময় ${\vec{0}}_{V}$ -কে ${\vec{0}}_{W}$ -তে পাঠায়।

বিপরীত দিকটি প্রমাণের জন্য ধরে নেওয়া যাক যে, $V$ -এর একমাত্র সদস্য হিসেবে ${\vec{0}}_{V}$ -ই ${\vec{0}}_{W}$ -তে ম্যাপ বা চিত্রায়িত হয়। এখন $f$ যে একটি এক-এক ফাংশন তা দেখানোর জন্য ধরে নেওয়া যাক, $f ({\vec{v}}_{1}) = f ({\vec{v}}_{2})$ । তাহলে আমরা পাই, $f ({\vec{v}}_{1}) - f ({\vec{v}}_{2}) = {\vec{0}}_{W}$ এবং এর ফলে $f ({\vec{v}}_{1} - {\vec{v}}_{2}) = {\vec{0}}_{W}$ হবে। ফলস্বরূপ ${\vec{v}}_{1} - {\vec{v}}_{2} = {\vec{0}}_{V}$ হবে, যার অর্থ হলো ${\vec{v}}_{1} = {\vec{v}}_{2}$ । সুতরাং, এটি প্রমাণিত হয় যে $f$ একটি এক-এক ফাংশন।

সমস্যা ১৯

মনে করি, $f : V \to W$ একটি আইসোমরফিজম। প্রমাণ করুন যে, ${{\vec{v}}_{1}, \dots, {\vec{v}}_{k}} \subseteq V$ সেটটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে যদি এবং কেবল যদি এদের প্রতিচ্ছবিগুলোর সেট ${f ({\vec{v}}_{1}), \dots, f ({\vec{v}}_{k})} \subseteq W$ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়।

উত্তর

আমরা এখানে আরও বড় একটা বিষয় প্রমাণ করব। আইসোমরফিজমের কারণে ভেক্টরগুলো যে কেবল কেবল রৈখিক নির্ভরশীলতার অস্তিত্বই বজায় থাকে না, বরং তাদের মধ্যকার সমীকরণগুলোও হুবহু একই থাকে। অর্থাৎ,

{\vec{v}}_{i} = c_{1} {\vec{v}}_{1} + \dots + c_{i - 1} {\vec{v}}_{i - 1} + c_{i + 1} {\vec{v}}_{i + 1} + \dots + c_{k} {\vec{v}}_{k}

⟺ f ({\vec{v}}_{i}) = c_{1} f ({\vec{v}}_{1}) + \dots + c_{i - 1} f ({\vec{v}}_{i - 1}) + c_{i + 1} f ({\vec{v}}_{i + 1}) + \dots + c_{k} f ({\vec{v}}_{k}) .

এই বিবৃতির $⟹$ দিকটি লেমা ১.৯-এর ৩ নম্বর অনুচ্ছেদ অনুযায়ী সত্য বলে গণ্য হয়। অন্যদিকে, $⟸$ দিকটি নিচের মতো করে পুনরায় সাজানোর মাধ্যমে প্রমাণ করা যায়:

\begin{matrix} f ({\vec{v}}_{i}) & = c_{1} f ({\vec{v}}_{1}) + \dots + c_{i - 1} f ({\vec{v}}_{i - 1}) + c_{i + 1} f ({\vec{v}}_{i + 1}) + \dots + c_{k} f ({\vec{v}}_{k}) \\ = f (c_{1} {\vec{v}}_{1} + \dots + c_{i - 1} {\vec{v}}_{i - 1} + c_{i + 1} {\vec{v}}_{i + 1} + \dots + c_{k} {\vec{v}}_{k}) \end{matrix}

এবং $f$ যে একটি এক-এক ফাংশন সেই তথ্যটি ব্যবহার করে আমরা পাই যে, ${\vec{v}}_{i}$ এবং $c_{1} {\vec{v}}_{1} + \dots + c_{i - 1} {\vec{v}}_{i - 1} + c_{i + 1} {\vec{v}}_{i + 1} + \dots + c_{k} {\vec{v}}_{k}$ এই ভেক্টর দুটিকে $f$ দ্বারা একই ইমেজে ম্যাপ করার জন্য তাদের অবশ্যই সমান হতে হবে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকেরই করা উচিত

সমস্যা ২০

দেখান যে, উদাহরণ ১.৬-এ বর্ণিত প্রতিটি ধরনের ম্যাপিং বা চিত্রায়ন এক একটি অটোমরফিজম।

একটি অশূন্য স্কেলার $s$ দ্বারা ডাইলেশন $d_{s}$ ।
একটি কোণ $θ$ -এর মাধ্যমে ঘূর্ণন বা রোটেশন $t_{θ}$ ।
মূলবিন্দুগামী একটি রেখার সাপেক্ষে প্রতিফলন বা রিফ্লেকশন $f_{ℓ}$ ।

ইঙ্গিত: দ্বিতীয় এবং তৃতীয় বিষয়গুলোর ক্ষেত্রে পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা সুবিধাজনক।

উত্তর

এই ম্যাপিংটি এক-এক, কারণ যদি $d_{s} ({\vec{v}}_{1}) = d_{s} ({\vec{v}}_{2})$ হয়, তবে ম্যাপিংয়ের সংজ্ঞা অনুযায়ী $s \cdot {\vec{v}}_{1} = s \cdot {\vec{v}}_{2}$ হবে। যেহেতু $s$ একটি অশূন্য সংখ্যা, তাই আমরা বলতে পারি যে ${\vec{v}}_{1} = {\vec{v}}_{2}$ । এই ম্যাপিংটি একটি সার্বিক বা সার্বিক চিত্রায়ন, কারণ যেকোনো $\vec{w} \in ℝ^{2}$ -এর জন্য আমরা এমন একটি $\vec{v} = (1 / s) \cdot \vec{w}$ পাই যার ইমেজ হলো $\vec{w}$ (এখানেও মনে রাখতে হবে যে $s$ একটি অশূন্য সংখ্যা)। (এই ম্যাপিংটি যে একটি বাইজেকশন বা করেসপন্ডেন্স, তা বোঝার আরেকটি উপায় হলো এর বিপরীত বা ইনভার্স ম্যাপিংয়ের অস্তিত্ব লক্ষ্য করা: $d_{s}$ -এর বিপরীত হলো $d_{1 / s}$ ।) সবশেষে লক্ষ্য করুন যে, এই ম্যাপিংটি লিনিয়ার কম্বিনেশন বা রৈখিক সমাবেশ বজায় রাখে:
$d_{s} (c_{1} \cdot {\vec{v}}_{1} + c_{2} \cdot {\vec{v}}_{2}) = s (c_{1} {\vec{v}}_{1} + c_{2} {\vec{v}}_{2}) = c_{1} s {\vec{v}}_{1} + c_{2} s {\vec{v}}_{2} = c_{1} \cdot d_{s} ({\vec{v}}_{1}) + c_{2} \cdot d_{s} ({\vec{v}}_{2})$
এবং এই কারণেই এটি একটি আইসোমরফিজম।
আগের বিষয়টির মতোই, আমরা দেখাতে পারি যে $t_{θ}$ ম্যাপিংটি একটি করেসপন্ডেন্স। এটি প্রমাণ করার জন্য আমরা লক্ষ্য করতে পারি যে এর একটি বিপরীত বা ইনভার্স ম্যাপিং রয়েছে, যা হলো $t_{- θ}$ । এই রূপান্তরটি যে গাণিতিক কাঠামো বজায় রাখে, তা জ্যামিতিকভাবে সহজেই অনুধাবন করা যায়। উদাহরণস্বরূপ, দুটি ভেক্টরকে প্রথমে যোগ করে তারপর আবর্তন করলে যে ফলাফল পাওয়া যায়, ভেক্টর দুটিকে আলাদাভাবে আবর্তন করার পর যোগ করলেও ঠিক একই ফলাফল পাওয়া যায়। একটি বীজগাণিতিক যুক্তির জন্য পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার কথা বিবেচনা করা যাক: এখানে $t_{θ}$ রূপান্তরটি $(r, ϕ)$ প্রান্তবিন্দু বিশিষ্ট একটি ভেক্টরকে $(r, ϕ + θ)$ প্রান্তবিন্দু বিশিষ্ট ভেক্টরে স্থানান্তরিত করে। এরপর পরিচিত ত্রিকোণমিতিক সূত্র $\cos (ϕ + θ) = \cos ϕ \cos θ - \sin ϕ \sin θ$ এবং $\sin (ϕ + θ) = \sin ϕ \cos θ + \cos ϕ \sin θ$ ব্যবহার করে সাধারণ আয়তাকার স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় এই রূপান্তরটির কার্যপদ্ধতি প্রকাশ করা যায়।
$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} r \cos ϕ \\ r \sin ϕ \end{matrix}) \overset{t_{θ}}{⟼} (\begin{matrix} r \cos (ϕ + θ) \\ r \sin (ϕ + θ) \end{matrix}) = (\begin{matrix} x \cos θ - y \sin θ \\ x \sin θ + y \cos θ \end{matrix})$
এখন ভেক্টর যোগের বৈশিষ্ট্য বজায় থাকার বিষয়টি সাধারণ গণনার মাধ্যমেই দেখানো সম্ভব।
$(\begin{matrix} x_{1} + x_{2} \\ y_{1} + y_{2} \end{matrix}) \overset{t_{θ}}{⟼} (\begin{matrix} (x_{1} + x_{2}) \cos θ - (y_{1} + y_{2}) \sin θ \\ (x_{1} + x_{2}) \sin θ + (y_{1} + y_{2}) \cos θ \end{matrix}) = (\begin{matrix} x_{1} \cos θ - y_{1} \sin θ \\ x_{1} \sin θ + y_{1} \cos θ \end{matrix}) + (\begin{matrix} x_{2} \cos θ - y_{2} \sin θ \\ x_{2} \sin θ + y_{2} \cos θ \end{matrix})$
একইভাবে স্কেলার গুণনের বৈশিষ্ট্য বজায় থাকার গণনাটিও অনুরূপ হবে।
এই রূপান্তরটি একটি করেসপন্ডেন্স কারণ এর একটি বিপরীত রূপান্তর বিদ্যমান (অর্থাৎ এটি নিজেই)। আগের বিষয়ের মতোই, প্রতিফলন মানচিত্র যে কাঠামো বা গঠন মেনে চলে তা জ্যামিতিকভাবে বোঝা বেশ সহজ। উদাহরণস্বরূপ, প্রথমে ভেক্টরগুলো যোগ করে তারপর প্রতিফলন ঘটালে যে ফলাফল পাওয়া যায়, আগে প্রতিফলন ঘটিয়ে পরে যোগ করলেও ঠিক একই ফলাফল পাওয়া যায়। একটি বীজগাণিতিক প্রমাণের জন্য ধরা যাক, $ℓ$ রেখাটির ঢাল হলো $k$ (অসংজ্ঞায়িত ঢাল বিশিষ্ট রেখার ক্ষেত্রে এটি একটি আলাদা কিন্তু সহজ পদ্ধতি হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে)। আমরা ইঙ্গিত অনুসরণ করে পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করতে পারি: যেখানে $ℓ$ রেখাটি $x$ -অক্ষের সাথে $ϕ$ কোণ তৈরি করে, সেখানে $f_{ℓ}$ -এর কাজ হলো $(r \cos θ, r \sin θ)$ প্রান্তবিন্দু বিশিষ্ট ভেক্টরটিকে $(r \cos (2 ϕ - θ), r \sin (2 ϕ - θ))$ প্রান্তবিন্দু বিশিষ্ট ভেক্টরে রূপান্তরিত করা।

আয়তাকার স্থানাঙ্কে রূপান্তর করার জন্য আমরা কিছু ত্রিকোণমিতিক সূত্র ব্যবহার করব, ঠিক যেমনটি আমরা আগের ক্ষেত্রে করেছিলাম। প্রথমেই লক্ষ্য করুন যে, রেখাটির ঢাল $k$ থেকে $\cos ϕ$ এবং $\sin ϕ$ -এর মান নির্ণয় করা সম্ভব। নিচের এই চিত্রটি

থেকে দেখা যায় যে, $\cos ϕ = 1 / \sqrt{1 + k^{2}}$ এবং $\sin ϕ = k / \sqrt{1 + k^{2}}$ । এখন,

$\begin{matrix} \cos (2 ϕ - θ) & = \cos (2 ϕ) \cos θ + \sin (2 ϕ) \sin θ \\ = (\cos^{2} ϕ - \sin^{2} ϕ) \cos θ + (2 \sin ϕ \cos ϕ) \sin θ \\ = ((\frac{1}{\sqrt{1 + k^{2}}})^{2} - (\frac{k}{\sqrt{1 + k^{2}}})^{2}) \cos θ + (2 \frac{k}{\sqrt{1 + k^{2}}} \frac{1}{\sqrt{1 + k^{2}}}) \sin θ \\ = (\frac{1 - k^{2}}{1 + k^{2}}) \cos θ + (\frac{2 k}{1 + k^{2}}) \sin θ \end{matrix}$

এবং এভাবেই প্রতিবিম্ব ভেক্টরের প্রথম উপাদানটি পাওয়া যায়।

$r \cdot \cos (2 ϕ - θ) = \frac{1 - k^{2}}{1 + k^{2}} \cdot x + \frac{2 k}{1 + k^{2}} \cdot y$

একইভাবে গণনা করলে দেখা যায় যে, প্রতিবিম্ব ভেক্টরের দ্বিতীয় উপাদানটি হবে নিম্নরূপ।

$r \cdot \sin (2 ϕ - θ) = \frac{2 k}{1 + k^{2}} \cdot x - \frac{1 - k^{2}}{1 + k^{2}} \cdot y$

$f_{ℓ}$ -এর কাজের এই বীজগাণিতিক বর্ণনার মাধ্যমে আমরা পাই:

$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \overset{f_{ℓ}}{⟼} (\begin{matrix} (1 - k^{2} / 1 + k^{2}) \cdot x + (2 k / 1 + k^{2}) \cdot y \\ (2 k / 1 + k^{2}) \cdot x - (1 - k^{2} / 1 + k^{2}) \cdot y \end{matrix})$

এটি যে গঠন বা কাঠামো মেনে চলে তা যাচাই করা একটি সাধারণ কাজ।

সমস্যা ২১

$𝒫_{2}$ -এর এমন একটি অটোমরফিজম তৈরি করুন যা অভেদ চিত্রায়ন নয় এবং শিফট ম্যাপ $p (x) \mapsto p (x - k)$ -ও নয়।

উত্তর

প্রথমত, $p (x) \mapsto p (x + k)$ চিত্রায়নটি এখানে গ্রহণযোগ্য হবে না, কারণ এটি মূলত $p (x) \mapsto p (x - k)$ -এরই একটি রূপ। এখানে একটি সঠিক উত্তর দেওয়া হলো (অন্যান্য অনেক উত্তরও সঠিক হতে পারে): $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} \mapsto a_{2} + a_{0} x + a_{1} x^{2}$ । এটি যে একটি আইসোমরফিজম, তা যাচাই করা খুবই সহজ।

সমস্যা ২২

দেখান যে, একটি ফাংশন $f : ℝ^{1} \to ℝ^{1}$ একটি অটোমরফিজম হবে যদি এবং কেবল যদি এটি কোনো $k \neq 0$ -এর জন্য $x \mapsto k x$ আকারের হয়।
ধরা যাক, $f$ হলো $ℝ^{1}$ -এর এমন একটি অটোমরফিজম যেখানে $f (3) = 7$ । $f (- 2)$ -এর মান নির্ণয় করুন।
দেখান যে, একটি ফাংশন $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ একটি অটোমরফিজম হবে যদি এবং কেবল যদি এটি নিচের আকারের হয়:
$(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix}) \mapsto (\begin{matrix} a x + b y \\ c x + d y \end{matrix})$
যেখানে $a, b, c, d \in ℝ$ এবং $a d - b c \neq 0$ । ইঙ্গিত: পূর্ববর্তী উপ-অনুচ্ছেদগুলোর অনুশীলনীতে দেখানো হয়েছে যে,
$(\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}), (\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}) -এর গুণিতক নয়$
যদি এবং কেবল যদি $a d - b c \neq 0$ হয়।
ধরা যাক, $f$ হলো $ℝ^{2}$ -এর একটি অটোমরফিজম যেখানে
$f (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix})$ এবং $f (\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$
নিচের মানটি নির্ণয় করুন:
$f (\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix})$ ।

উত্তর

"যদি এবং কেবল যদি" শর্তটির প্রথম অংশের জন্য ধরা যাক, $f : ℝ^{1} \to ℝ^{1}$ একটি আইসোমরফিজম। $ℝ^{1}$ -এর ভিত্তি হিসেবে $⟨ 1 ⟩ \subseteq ℝ^{1}$ বিবেচনা করুন। ধরা যাক, $f (1)$ -কে $k$ দ্বারা চিহ্নিত করা হলো। তাহলে যেকোনো $x$ -এর জন্য আমরা পাই $f (x) = f (x \cdot 1) = x \cdot f (1) = x k$ , এবং এর ফলে $f$ -এর কাজ হলো মূলত $k$ দিয়ে গুণ করা। এই অংশটি সম্পন্ন করতে শুধু এটি লক্ষ্য করুন যে, $k \neq 0$ হতে হবে, অন্যথায় $f$ ফাংশনটি এক-এক হবে না। "যদি" অংশের প্রমাণের জন্য আমাদের কেবল এটি যাচাই করতে হবে যে, যখন $k \neq 0$ হয়, তখন এই ধরনের একটি চিত্রায়ন একটি আইসোমরফিজম হিসেবে কাজ করে। এটি যে একটি এক-এক চিত্রায়ন তা যাচাই করার জন্য ধরে নিন, $f (x_{1}) = f (x_{2})$ । এর ফলে আমরা পাই $k x_{1} = k x_{2}$ । যেহেতু $k$ একটি শূন্য নয় এমন উৎপাদক, তাই উভয় পক্ষকে $k$ দিয়ে ভাগ করলে আমরা এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে $x_{1} = x_{2}$ । চিত্রায়নটি সার্বিক কি না তা পরীক্ষা করার জন্য লক্ষ্য করুন যে, যেকোনো $y \in ℝ^{1}$ হলো $x = y / k$ এর একটি প্রতিচ্ছবি (এখানেও $k \neq 0$ শর্তটি প্রযোজ্য)। সবশেষে, এই ধরনের চিত্রায়ন যে ডোমেইনের দুটি সদস্যের সমাহার বা বিন্যাস রক্ষা করে, তা আমরা নিচের গাণিতিক প্রক্রিয়ার মাধ্যমে দেখতে পাই।
$f (c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2}) = k (c_{1} x_{1} + c_{2} x_{2}) = c_{1} k x_{1} + c_{2} k x_{2} = c_{1} f (x_{1}) + c_{2} f (x_{2})$
পূর্ববর্তী দফা অনুযায়ী, $f$ -এর ক্রিয়াটি হলো $x \mapsto (7 / 3) x$ । সুতরাং, $f (- 2) = - 14 / 3$ ।
"কেবল যদি" (only if) অংশের জন্য ধরে নিন যে, $f : ℝ^{2} \to ℝ^{2}$ একটি অটোমরফিজম। এখন $ℝ^{2}$ -এর জন্য আদর্শ ভিত্তি $ℰ_{2}$ বিবেচনা করুন। ধরা যাক,
$f ({\vec{e}}_{1}) = (\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}) এবং f ({\vec{e}}_{2}) = (\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}) .$
সেক্ষেত্রে যেকোনো ভেক্টরের ওপর $f$ -এর ক্রিয়া বা প্রভাব নির্ধারিত হয় ভিত্তি ভেক্টর দুটির ওপর এর ক্রিয়ার মাধ্যমে।
$f ((\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})) = f (x \cdot {\vec{e}}_{1} + y \cdot {\vec{e}}_{2}) = x \cdot f ({\vec{e}}_{1}) + y \cdot f ({\vec{e}}_{2}) = x \cdot (\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}) + y \cdot (\begin{matrix} b \\ d \end{matrix}) = (\begin{matrix} a x + b y \\ c x + d y \end{matrix})$
এই অংশটি সম্পন্ন করতে লক্ষ্য করুন যে, যদি $a d - b c = 0$ হয়, অর্থাৎ যদি $f ({\vec{e}}_{2})$ ভেক্টরটি $f ({\vec{e}}_{1})$ -এর একটি গুণিতক হয়, তবে $f$ চিত্রায়নটি এক-এক হবে না। "যদি" অংশের জন্য আমাদের অবশ্যই যাচাই করতে হবে যে, $a d - b c \neq 0$ শর্তাধীনে এই চিত্রায়নটি একটি আইসোমরফিজম। চিত্রায়নটি যে গঠন বজায় রাখে তা প্রমাণ করা বেশ সহজ; আমরা এখানে মূলত দেখাব যে, $f$ একটি এক-এক মিল বা অন্বয়। চিত্রায়নটি এক-এক হওয়ার পক্ষে যুক্তি হিসেবে নিচের অংশটি বিবেচনা করুন।
$f ((\begin{matrix} x_{1} \\ y_{1} \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} x_{2} \\ y_{2} \end{matrix})) এবং তাই (\begin{matrix} a x_{1} + b y_{1} \\ c x_{1} + d y_{1} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a x_{2} + b y_{2} \\ c x_{2} + d y_{2} \end{matrix})$
এরপর, যেহেতু $a d - b c \neq 0$ , তাই প্রাপ্ত সমীকরণ জোটটির—
$\begin{matrix} a (x_{1} - x_{2}) & + & b (y_{1} - y_{2}) & = & 0 \\ c (x_{1} - x_{2}) & + & d (y_{1} - y_{2}) & = & 0 \end{matrix}$
একটি অনন্য সমাধান থাকবে, যা মূলত একটি নগণ্য বা শূন্য সমাধান: $x_{1} - x_{2} = 0$ এবং $y_{1} - y_{2} = 0$ (এটি প্রদত্ত সংকেত বা হিন্ট থেকে অনুসরণ করা হয়েছে)। এই চিত্রায়নটি যে একটি 'সার্বিক' বা সার্বিক চিত্রায়ন, সেই যুক্তিটি নিচের সমীকরণ জোটের সাথে ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত—
$\begin{matrix} a x_{1} & + & b y_{1} & = & x \\ c x_{1} & + & d y_{1} & = & y \end{matrix}$
যেকোনো $x$ এবং $y$ -এর জন্য এই সমীকরণ জোটটির একটি সমাধান থাকবে যদি এবং কেবল যদি এই সেটটি—
${(\begin{matrix} a \\ c \end{matrix}), (\begin{matrix} b \\ d \end{matrix})}$
$ℝ^{2}$ -কে স্প্যান নগণ্য বা শূন্য করে। অর্থাৎ, এটি তখনই সম্ভব যদি এবং কেবল যদি এই সেটটি একটি ভিত্তি বা বেসিস হয় (যেহেতু এটি $ℝ^{2}$ -এর একটি দুই-উপাদান বিশিষ্ট উপসেট)। গাণিতিকভাবে এর অর্থ হলো $a d - b c \neq 0$ হতে হবে।
$f ((\begin{matrix} 0 \\ - 1 \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})) = f ((\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})) - f ((\begin{matrix} 1 \\ 4 \end{matrix})) = (\begin{matrix} 2 \\ - 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \end{matrix})$

সমস্যা ২৩

লেমা ১.৮ এবং লেমা ১.৯ দেখুন। আইসোমরফিজম দ্বারা অপরিবর্তিত থাকে এমন আরও দুটি বৈশিষ্ট্য খুঁজে বের করুন।

উত্তর

এর অনেকগুলো উত্তর হতে পারে; তার মধ্যে দুটি হলো রৈখিক স্বাধীনতা নগণ্য বা শূন্য এবং সাবস্পেস।

এটি দেখানোর জন্য যে, যদি একটি সেট ${{\vec{v}}_{1}, \dots, {\vec{v}}_{n}}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে এর ইমেজ বা প্রতিচ্ছবি সেট ${f ({\vec{v}}_{1}), \dots, f ({\vec{v}}_{n})}$ -ও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে; ইমেজ সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্ক বিবেচনা করুন।

0 = c_{1} f ({\vec{v}}_{1}) + \dots + c_{n} f (\vec{v_{n}}) = f (c_{1} {\vec{v}}_{1}) + \dots + f (c_{n} \vec{v_{n}}) = f (c_{1} {\vec{v}}_{1} + \dots + c_{n} \vec{v_{n}})

যেহেতু এই চিত্রায়নটি একটি আইসোমরফিজম, তাই এটি একটি এক-এক চিত্রায়ন। সুতরাং $f$ ডোমেইন থেকে কেবল একটি ভেক্টরকেই রেঞ্জের শূন্য ভেক্টরের সাথে যুক্ত করে; অর্থাৎ, $c_{1} {\vec{v}}_{1} + \dots + c_{n} {\vec{v}}_{n}$ এর মান শূন্য ভেক্টরের সমান হয় (অবশ্যই ডোমেইনের মধ্যে)। কিন্তু, যদি ${{\vec{v}}_{1}, \dots, {\vec{v}}_{n}}$ সেটটি রৈখিকভাবে স্বাধীন হয়, তবে সকল $c$ -এর মান শূন্য হবে। এর ফলে ${f ({\vec{v}}_{1}), \dots, f ({\vec{v}}_{n})}$ সেটটিও রৈখিকভাবে স্বাধীন হবে। (দ্রষ্টব্য: এই যুক্তির ক্ষেত্রে একটি ছোট বিষয় উল্লেখ করা প্রয়োজন। কোনো সেটের ক্ষেত্রে পুনরাবৃত্তি ঘটলে উপাদানগুলো একত্রিত হয়ে যায়; অর্থাৎ, কঠোরভাবে বলতে গেলে ${\vec{v}, \vec{v}}$ হলো একটি একক উপাদানের সেট, কারণ এখানে তালিকাভুক্ত বিষয়গুলো আসলে একই। তবে ওপরের যুক্তিতে সাবস্ক্রিপ্ট $n$ -এর ব্যবহার লক্ষ্য করুন। ডোমেইন সেট ${{\vec{v}}_{1}, \dots, {\vec{v}}_{n}}$ থেকে ইমেজ সেট ${f ({\vec{v}}_{1}), \dots, f ({\vec{v}}_{n})}$ -এ যাওয়ার সময় কোনো উপাদান একত্রিত হয়ে যায় না। এর কারণ হলো ইমেজ সেটে কোনো পুনরাবৃত্তি নেই, যেহেতু আইসোমরফিজম $f$ একটি এক-এক চিত্রায়ন।)

এটি দেখানোর জন্য যে, যদি $f : V \to W$ একটি আইসোমরফিজম হয় এবং $U$ যদি ডোমেইন $V$ -এর একটি সাবস্পেস হয়, তবে ইমেজ ভেক্টরগুলোর সেট $f (U) = {\vec{w} \in W | \vec{w} = f (\vec{u}) for some \vec{u} \in U}$ ও $W$ -এর একটি সাবস্পেস হবে। এর জন্য আমাদের কেবল এটি প্রমাণ করলেই চলবে যে, এই সেটটি তার যেকোনো দুটি উপাদানের রৈখিক সমাবেশের অধীনে আবদ্ধ (এটি একটি অশূন্য সেট কারণ এতে শূন্য ভেক্টরের ইমেজ বিদ্যমান)। আমাদের কাছে আছে:

c_{1} \cdot f ({\vec{u}}_{1}) + c_{2} \cdot f ({\vec{u}}_{2}) = f (c_{1} {\vec{u}}_{1}) + f (c_{2} {\vec{u}}_{2}) = f (c_{1} {\vec{u}}_{1} + c_{2} {\vec{u}}_{2})

এবং সাবস্পেসের রৈখিক সমাবেশের অধীনে আবদ্ধ থাকার বৈশিষ্ট্যের কারণে $c_{1} {\vec{u}}_{1} + c_{2} {\vec{u}}_{2}$ হলো $U$ -এর একটি সদস্য। সুতরাং $f ({\vec{u}}_{1})$ এবং $f ({\vec{u}}_{2})$ -এর সমাবেশ $f (U)$ -এর একটি সদস্য।

সমস্যা ২৪

আমরা দেখাব যে আইসোমরফিজমগুলোকে প্রয়োজন অনুযায়ী সাজানো সম্ভব; অর্থাৎ কখনো কখনো ডোমেইন এবং রেঞ্জের নির্দিষ্ট ভেক্টর দেওয়া থাকলে আমরা এমন একটি আইসোমরফিজম তৈরি করতে পারি যা ওই ভেক্টরগুলোর মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করে।

ধরা যাক, $B = ⟨ {\vec{β}}_{1}, {\vec{β}}_{2}, {\vec{β}}_{3} ⟩$ হলো $𝒫_{2}$ -এর একটি ভিত্তি, যাতে যেকোনো $\vec{p} \in 𝒫_{2}$ -কে অনন্যভাবে $\vec{p} = c_{1} {\vec{β}}_{1} + c_{2} {\vec{β}}_{2} + c_{3} {\vec{β}}_{3}$ হিসেবে প্রকাশ করা যায়, যাকে আমরা নিচের পদ্ধতিতে চিহ্নিত করি:
${R e p}_{B} (\vec{p}) = (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix})$
দেখান যে ${R e p}_{B} (\cdot)$ অপারেশনটি $𝒫_{2}$ থেকে $ℝ^{3}$ -এ একটি ফাংশন (এর অর্থ হলো এটি দেখানো যে ডোমেইনের প্রতিটি ভেক্টর $\vec{v} \in 𝒫_{2}$ -এর জন্য $ℝ^{3}$ -এ একটি সংশ্লিষ্ট ইমেজ ভেক্টর বিদ্যমান, এবং আরও দেখাতে হবে যে ডোমেইনের প্রতিটি ভেক্টর $\vec{v} \in 𝒫_{2}$ -এর জন্য সর্বোচ্চ একটি সংশ্লিষ্ট ইমেজ ভেক্টর থাকে)।
দেখান যে এই ${R e p}_{B} (\cdot)$ ফাংশনটি এক-এক এবং সার্বিক।
দেখান যে এটি গঠন বা কাঠামো রক্ষা করে।
$𝒫_{2}$ থেকে $ℝ^{3}$ -এ একটি আইসোমরফিজম তৈরি করুন যা এই শর্তগুলো পূরণ করে।
$x + x^{2} \mapsto (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) এবং 1 - x \mapsto (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})$

উত্তর

এই সম্পর্কটি
$\vec{p} = c_{1} {\vec{β}}_{1} + c_{2} {\vec{β}}_{2} + c_{3} {\vec{β}}_{3} \overset{{R e p}_{B} (\cdot)}{⟼} (\begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \\ c_{3} \end{matrix})$
একটি ফাংশন হবে যদি ডোমেইনের প্রতিটি সদস্য $\vec{p}$ কোডোমেইনের অন্তত একটি সদস্যের সাথে যুক্ত থাকে, এবং যদি ডোমেইনের প্রতিটি সদস্য $\vec{p}$ কোডোমেইনের সর্বোচ্চ একটি সদস্যের সাথে যুক্ত থাকে। প্রথম শর্তটি সত্য কারণ বেসিস $B$ ডোমেইনটিকে স্প্যান নগণ্য বা শূন্য করে— অর্থাৎ প্রতিটি $\vec{p}$ -কে $\vec{β}$ -গুলোর অন্তত একটি রৈখিক সমাবেশ হিসেবে লেখা যায়। দ্বিতীয় শর্তটি সত্য কারণ বেসিস $B$ রৈখিকভাবে স্বাধীন— অর্থাৎ ডোমেইনের প্রতিটি সদস্য $\vec{p}$ -কে $\vec{β}$ -গুলোর সর্বোচ্চ একটি রৈখিক সমাবেশ হিসেবে লেখা সম্ভব।
এক-এক হওয়ার যুক্তির ক্ষেত্রে, যদি ${R e p}_{B} (\vec{p}) = {R e p}_{B} (\vec{q})$ হয়, অর্থাৎ যদি ${R e p}_{B} (p_{1} {\vec{β}}_{1} + p_{2} {\vec{β}}_{2} + p_{3} {\vec{β}}_{3}) = {R e p}_{B} (q_{1} {\vec{β}}_{1} + q_{2} {\vec{β}}_{2} + q_{3} {\vec{β}}_{3})$ হয়, তবে
$(\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{matrix})$
এবং এর ফলে $p_{1} = q_{1}$ , $p_{2} = q_{2}$ এবং $p_{3} = q_{3}$ পাওয়া যায়, যা থেকে এই সিদ্ধান্তে আসা যায় যে $\vec{p} = \vec{q}$ । সুতরাং এই ম্যাপিংটি এক-এক। সার্বিক হওয়ার ক্ষেত্রে আমরা কেবল এটি লক্ষ্য করতে পারি যে
$(\begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix})$
এটি ${R e p}_{B} (a {\vec{β}}_{1} + b {\vec{β}}_{2} + c {\vec{β}}_{3})$ -এর সমান, এবং এর ফলে কোডোমেইন $ℝ^{3}$ -এর যেকোনো সদস্য ডোমেইন $𝒫_{2}$ -এর কোনো না কোনো সদস্যের প্রতিচ্ছবি হিসেবে গণ্য হয়।
এই চিত্রায়নটি যোগ এবং স্কেলার গুণন মেনে চলে, কারণ এটি ডোমেইনের দুটি সদস্যের সমন্বয়কেও সমর্থন করে (অর্থাৎ, আমরা এখানে লেমা ১.৯-এর ২ নম্বর অনুচ্ছেদ ব্যবহার করছি): যেখানে $\vec{p} = p_{1} {\vec{β}}_{1} + p_{2} {\vec{β}}_{2} + p_{3} {\vec{β}}_{3}$ এবং $\vec{q} = q_{1} {\vec{β}}_{1} + q_{2} {\vec{β}}_{2} + q_{3} {\vec{β}}_{3}$ , সেখানে আমরা নিচের ফলাফলটি পাই।
$\begin{matrix} {R e p}_{B} (c \cdot \vec{p} + d \cdot \vec{q}) & = {R e p}_{B} ((c p_{1} + d q_{1}) {\vec{β}}_{1} + (c p_{2} + d q_{2}) {\vec{β}}_{2} + (c p_{3} + d q_{3}) {\vec{β}}_{3}) \\ = (\begin{matrix} c p_{1} + d q_{1} \\ c p_{2} + d q_{2} \\ c p_{3} + d q_{3} \end{matrix}) \\ = c \cdot (\begin{matrix} p_{1} \\ p_{2} \\ p_{3} \end{matrix}) + d \cdot (\begin{matrix} q_{1} \\ q_{2} \\ q_{3} \end{matrix}) \\ = {R e p}_{B} (\vec{p}) + {R e p}_{B} (\vec{q}) \end{matrix}$
$𝒫_{2}$ -এর জন্য এমন যেকোনো ভিত্তি $B$ ব্যবহার করুন যার প্রথম দুটি সদস্য হলো $x + x^{2}$ এবং $1 - x$ ; উদাহরণস্বরূপ, $B = ⟨ x + x^{2}, 1 - x, 1 ⟩$ ধরা যেতে পারে।

সমস্যা ২৫

প্রমাণ করুন যে, একটি জগত $n$ -মাত্রিক হবে যদি এবং কেবল যদি এটি $ℝ^{n}$ -এর সাথে আইসোমরফিক হয়। ইঙ্গিত: ওই জগতের জন্য একটি ভিত্তি $B$ নির্দিষ্ট করুন এবং এমন একটি চিত্রায়ন বিবেচনা করুন যা একটি ভেক্টরকে $B$ -এর সাপেক্ষে তার উপস্থাপনায় রূপান্তরিত করে।

উত্তর

পরবর্তী উপ-অনুচ্ছেদটি দেখুন।

সমস্যা ২৬

(এর জন্য 'সাবস্পেসের সমন্বয়' বা Combining Subspaces সংক্রান্ত উপ-অনুচ্ছেদটি প্রয়োজন, যা ঐচ্ছিক।) ধরা যাক, $U$ এবং $W$ হলো দুটি ভেক্টর স্পেস। এখন একটি নতুন ভেক্টর স্পেস সংজ্ঞায়িত করুন, যা $U \times W = {(\vec{u}, \vec{w}) | \vec{u} \in U এবং \vec{w} \in W}$ সেট এবং নিচের অপারেশনগুলোর সমন্বয়ে গঠিত।

({\vec{u}}_{1}, {\vec{w}}_{1}) + ({\vec{u}}_{2}, {\vec{w}}_{2}) = ({\vec{u}}_{1} + {\vec{u}}_{2}, {\vec{w}}_{1} + {\vec{w}}_{2}) এবং r \cdot (\vec{u}, \vec{w}) = (r \vec{u}, r \vec{w})

এটি একটি ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগৎ, যা $U$ এবং $W$ -এর বহিঃস্থ প্রত্যক্ষ সমষ্টি হিসেবে পরিচিত।

এটি যে একটি ভেক্টর স্পেস, তা যাচাই করুন।
$𝒫_{2} \times ℝ^{2}$ এই বহিঃস্থ প্রত্যক্ষ সমষ্টিটির একটি ভিত্তি এবং এর মাত্রা (dimension) নির্ণয় করুন।
$\dim (U)$ , $\dim (W)$ , এবং $\dim (U \times W)$ -এর মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কটি কী?
মনে করুন, $U$ এবং $W$ হলো একটি ভেক্টর স্পেস $V$ -এর এমন দুটি সাবস্পেস বা উপজগৎ যেন $V = U \oplus W$ হয় (এই ক্ষেত্রে আমরা বলি যে $V$ হলো $U$ এবং $W$ -এর একটি অভ্যন্তরীণ প্রত্যক্ষ সমষ্টি)। দেখান যে, $f : U \times W \to V$ চিত্রায়নটি, যা নিচের সমীকরণ দ্বারা সংজ্ঞায়িত:
$(\vec{u}, \vec{w}) \overset{f}{⟼} \vec{u} + \vec{w}$
একটি আইসোমরফিজম। সুতরাং, যদি অভ্যন্তরীণ প্রত্যক্ষ সমষ্টি সংজ্ঞায়িত থাকে, তবে অভ্যন্তরীণ এবং বহিঃস্থ প্রত্যক্ষ সমষ্টি দুটি পরস্পর আইসোমরফিক বা সমরূপী হয়।

উত্তর

ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞায় উল্লিখিত অধিকাংশ শর্তাবলিই বেশ সাধারণ। আমরা এখানে সেই সংজ্ঞার প্রথম অংশটি যাচাই করার একটি সংক্ষিপ্ত রূপরেখা তুলে ধরছি। $U \times W$ -এর আবদ্ধতা ধর্মের জন্য লক্ষ্য করুন যে, যেহেতু $U$ এবং $W$ উভয়ই আবদ্ধ, তাই আমাদের কাছে ${\vec{u}}_{1} + {\vec{u}}_{2} \in U$ এবং ${\vec{w}}_{1} + {\vec{w}}_{2} \in W$ রয়েছে। এর ফলে স্বাভাবিকভাবেই $({\vec{u}}_{1} + {\vec{u}}_{2}, {\vec{w}}_{1} + {\vec{w}}_{2}) \in U \times W$ হবে। $U \times W$ -এর ক্ষেত্রে যোগের বিনিময়যোগ্যতা ধর্মটি $U$ এবং $W$ -এর যোগের বিনিময়যোগ্যতা ধর্ম থেকেই সরাসরি পাওয়া যায়।
$({\vec{u}}_{1}, {\vec{w}}_{1}) + ({\vec{u}}_{2}, {\vec{w}}_{2}) = ({\vec{u}}_{1} + {\vec{u}}_{2}, {\vec{w}}_{1} + {\vec{w}}_{2}) = ({\vec{u}}_{2} + {\vec{u}}_{1}, {\vec{w}}_{2} + {\vec{w}}_{1}) = ({\vec{u}}_{2}, {\vec{w}}_{2}) + ({\vec{u}}_{1}, {\vec{w}}_{1})$
যোগের সংযোগযোগ্যতা যাচাই করার পদ্ধতিটিও একই রকম। এখানে শূন্য উপাদানটি হলো $({\vec{0}}_{U}, {\vec{0}}_{W}) \in U \times W$ এবং $(\vec{u}, \vec{w})$ -এর যোগজ বিপরীত হলো $(- \vec{u}, - \vec{w})$ । ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞার দ্বিতীয় অংশের যাচাইকরণগুলোও একইভাবে অত্যন্ত সহজ ও সরাসরি।
এটি একটি ভিত্তি
$⟨ (1, (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})), (x, (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})), (x^{2}, (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})), (1, (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})), (1, (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})) ⟩$
কারণ এই সেটের সাপেক্ষে $𝒫_{2} \times ℝ^{2}$ -এর যেকোনো সদস্যকে উপস্থাপন করার একটি এবং কেবলমাত্র একটি উপায় রয়েছে; নিচে একটি উদাহরণ দেওয়া হলো।
$(3 + 2 x + x^{2}, (\begin{matrix} 5 \\ 4 \end{matrix})) = 3 \cdot (1, (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})) + 2 \cdot (x, (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})) + (x^{2}, (\begin{matrix} 0 \\ 0 \end{matrix})) + 5 \cdot (1, (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})) + 4 \cdot (1, (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}))$
এই জগতের মাত্রা হলো পাঁচ।
যেহেতু এটি একটি ভিত্তি, তাই আমরা পাই $\dim (U \times W) = \dim (U) + \dim (W)$ ।
$⟨ ({\vec{μ}}_{1}, {\vec{0}}_{W}), \dots, ({\vec{μ}}_{\dim (U)}, {\vec{0}}_{W}), ({\vec{0}}_{U}, {\vec{ω}}_{1}), \dots, ({\vec{0}}_{U}, {\vec{ω}}_{\dim (W)}) ⟩$
আমরা জানি যে, যদি $V = U \oplus W$ হয়, তবে প্রতিটি ভেক্টর $\vec{v} \in V$ -কে কেবলমাত্র একটি এবং অনন্য উপায়ে $\vec{v} = \vec{u} + \vec{w}$ আকারে লেখা সম্ভব। প্রদত্ত ফাংশনটি যে একটি আইসোমরফিজম, তা প্রমাণ করার জন্য আমাদের ঠিক এই তথ্যটিই প্রয়োজন। প্রথমত, $f$ যে একটি এক-এক ফাংশন তা দেখানোর জন্য আমরা প্রমাণ করতে পারি যে, যদি $f (({\vec{u}}_{1}, {\vec{w}}_{1})) = (({\vec{u}}_{2}, {\vec{w}}_{2}))$ হয়, অর্থাৎ যদি ${\vec{u}}_{1} + {\vec{w}}_{1} = {\vec{u}}_{2} + {\vec{w}}_{2}$ হয়, তবে অবশ্যই ${\vec{u}}_{1} = {\vec{u}}_{2}$ এবং ${\vec{w}}_{1} = {\vec{w}}_{2}$ হবে। "প্রতিটি $\vec{v}$ -কে কেবলমাত্র একটি অনন্য উপায়ে এমন যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়"—এই উক্তিটিই আমাদের এই সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে সাহায্য করে। একইভাবে, $f$ যে একটি সার্বিক ফাংশন, তা "প্রতিটি $\vec{v}$ -কে অন্তত একটি উপায়ে এমন যোগফল হিসেবে প্রকাশ করা যায়" এই বক্তব্যের মাধ্যমে প্রমাণিত হয়। এই চিত্রায়নটি রৈখিক সমাবেশ বা লিনিয়ার কম্বিনেশনও বজায় রাখে:
$\begin{matrix} f (c_{1} \cdot ({\vec{u}}_{1}, {\vec{w}}_{1}) + c_{2} \cdot ({\vec{u}}_{2}, {\vec{w}}_{2})) & = f ((c_{1} {\vec{u}}_{1} + c_{2} {\vec{u}}_{2}, c_{1} {\vec{w}}_{1} + c_{2} {\vec{w}}_{2})) \\ = c_{1} {\vec{u}}_{1} + c_{2} {\vec{u}}_{2} + c_{1} {\vec{w}}_{1} + c_{2} {\vec{w}}_{2} \\ = c_{1} {\vec{u}}_{1} + c_{1} {\vec{w}}_{1} + c_{2} {\vec{u}}_{2} + c_{2} {\vec{w}}_{2} \\ = c_{1} \cdot f (({\vec{u}}_{1}, {\vec{w}}_{1})) + c_{2} \cdot f (({\vec{u}}_{2}, {\vec{w}}_{2})) \end{matrix}$
এবং এই কারণেই এটি একটি আইসোমরফিজম।