রৈখিক বীজগণিত/আইসোমরফিজমের সংজ্ঞা ও উদাহরণ

আমরা এমন দুটি উদাহরণ দিয়ে শুরু করব যা আমাদের আইসোমরফিজমের সঠিক সংজ্ঞার দিকে নিয়ে যাবে।

উদাহরণ ১.১: 

ধরা যাক, দুই উপাদান বিশিষ্ট একটি 'রো ভেক্টর' স্পেস এবং দুই উপাদান বিশিষ্ট একটি 'কলাম ভেক্টর' স্পেসের কথা। এরা দেখতে আলাদা হলেও আসলে "একই"। কারণ, যদি আমরা এদের উপাদানগুলোকে একে অপরের সাথে মিলিয়ে দিই:
${\textstyle (1\quad 2)\longleftrightarrow {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}}$
তাহলে দেখা যায়, এদের গাণিতিক প্রক্রিয়াগুলোও (যোগ ও স্কেলার গুণন) একই থাকে। যেমন:
${\textstyle (1\quad 2)+(3\quad 4)=(4\quad 6)\longleftrightarrow {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\6\end{pmatrix}}}$
এবং স্কেলার গুণনের ক্ষেত্রে:
${\textstyle 5\cdot (1\quad 2)=(5\quad 10)\longleftrightarrow 5\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\10\end{pmatrix}}}$
আরও সাধারণভাবে বললে, এই মিল বা সম্পর্কের অধীনেː
${\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}}$
উভয় প্রক্রিয়াই সংরক্ষিত থাকে:
${\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{0}&b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{0}+b_{0}&a_{1}+b_{1}\end{pmatrix}}\longleftrightarrow {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{0}+b_{0}\\a_{1}+b_{1}\end{pmatrix}}$
এবং
$r\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{0}&ra_{1}\end{pmatrix}}\quad \longleftrightarrow \quad r\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{0}\\ra_{1}\end{pmatrix}}$
(যেখানে সব চলকই বাস্তব সংখ্যা)।

উদাহরণ ১.২

অন্য দুটি স্পেস যেগুলোকে আমরা "একই" মনে করতে পারি তা হলো ${\mathcal {P}}_{2}$ (দ্বিঘাত বহুপদীর স্পেস) এবং $\mathbb {R} ^{3}$। এদের মধ্যে স্বাভাবিক মিলটি হলো:
$a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\qquad \qquad ({\text{e.g., }}1+2x+3x^{2}\,\longleftrightarrow \,{\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}})$
এখানে গঠন সংরক্ষিত থাকে: সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলো একইভাবে যোগ হয়:
${\begin{array}{r}a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}\\+\,\,b_{0}+b_{1}x+b_{2}x^{2}\\\hline (a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+(a_{2}+b_{2})x^{2}\end{array}}\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{0}\\b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{0}+b_{0}\\a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}$
এবং স্কেলার গুণফলও একইভাবে মিলে যায়।
$r\cdot (a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2})=(ra_{0})+(ra_{1})x+(ra_{2})x^{2}\quad \longleftrightarrow \quad r\cdot {\begin{pmatrix}a_{0}\\a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}ra_{0}\\ra_{1}\\ra_{2}\end{pmatrix}}$

উদাহরণ ১.৩

দুটি ভেক্টর স্পেস $V$ এবং ${\textstyle W}$-এর মধ্যে একটি আইসোমরফিজম হলো এমন একটি ম্যাপ (চিত্রণ) $f:V\to W$ যা:
 ১। একটি মিল বা করসপনডেন্স:$f$হলো এক-এক এবং সার্বিক।
 ২। গঠন সংরক্ষণ করে: যদি ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2}\in V$ হয় তবে $f({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=f({\vec {v}}_{1})+f({\vec {v}}_{2})$
এবং যদি ${\vec {v}}\in V$ ও $r\in \mathbb {R}$ হয় তবে $f(r{\vec {v}})=r\,f({\vec {v}})$।(যখন এমন একটি ম্যাপ থাকে, তখন আমরা লিখি $V\cong W$ এবং পড়ি "$V$ হলো $W$-এর আইসোমরফিক")।

উদাহরণ ১.৪

$\theta$-এর ফাংশন দ্বারা গঠিত ভেক্টর স্পেস $G=\{c_{1}\cos \theta +c_{2}\sin \theta \,{\big |}\,c_{1},c_{2}\in \mathbb {R} \}$ , নিচের ম্যাপিং বা চিত্রের অধীনে ভেক্টর স্পেস $\mathbb {R} ^{2}$-এর সাথে আইসোমরফিজম গঠন করে।
$f(c_{1}\cos \theta +c_{2}\sin \theta )\longmapsto {\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\end{pmatrix}}$

আমরা সংজ্ঞায় প্রদত্ত শর্তগুলো যাচাই করার মাধ্যমে এটি পরীক্ষা করব।

=== শর্ত ১ যাচাই করা ===
প্রথমেই আমরা যাচাই করব যে, এই ম্যাপটি স্পেস দুটির সেটের উপাদানগুলোর মধ্যে একটি এক-এক মিল তৈরি করে কি না।

এক-এক প্রমাণ:
${\textstyle f}$ কে এক-এক প্রমাণ করতে হলে আমাদের দেখাতে হবে যে, $f({\vec {a}})=f({\vec {b}})$  কেবল তখনই হবে যখন ${\vec {a}}={\vec {b}}$ হয়। যদি,
$f(a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )=f(b_{1}\cos \theta +b_{2}\sin \theta )$
হয়, তবে ${\textstyle f}$-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী:
${\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$
এখান থেকে আমরা সিদ্ধান্তে আসতে পারি যে $a_{1}=b_{1}$ এবং ${\textstyle a_{2}=b_{2}}$, কারণ কলাম ভেক্টরগুলো তখনই সমান হয় যখন তাদের উপাদানগুলো সমান থাকে। যেহেতু আমরা প্রমাণ করেছি যে $f({\vec {a}})=f({\vec {b}})$ হলে ${\vec {a}}={\vec {b}}$ হয়, তাই ${\textstyle f}$ একটি এক-এক ফাংশন।

সার্বিক প্রমাণ:
${\textstyle f}$ অনটু কি না তা পরীক্ষা করতে আমাদের দেখতে হবে যে কো-ডোমেইন ${\textstyle \mathbb {R} ^{2}}$-এর যেকোনো সদস্য ডোমেইন ${\textstyle G}$-এর কোনো না কোনো সদস্যের প্রতিচ্ছবি কি না। এটি অত্যন্ত স্পষ্ট—যেকোনো
${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}$
হলো ${\textstyle G}$ স্পেসের ${\textstyle x\cos \theta +y\sin \theta }$ উপাদানটির প্রতিচ্ছবি।

=== শর্ত ২ যাচাই করা ===
এরপর আমরা যাচাই করব যে ${\textstyle f}$ এর গঠন বা কাঠামো বজায় রাখে কি না।

নিচের গণনাটি দেখায় যে ${\textstyle f}$ যোগের নিয়ম বজায় রাখে:
:$f((a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )+(b_{1}\cos \theta +b_{2}\sin \theta ))$
:$=f((a_{1}+b_{1})\cos \theta +(a_{2}+b_{2})\sin \theta )={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{pmatrix}}$
:$=f(a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )+f(b_{1}\cos \theta +b_{2}\sin \theta )$

একইভাবে নিচের গণনাটি দেখায় যে ${\textstyle f}$ স্কেলার গুণনের নিয়ম বজায় রাখে:
:$f(r\cdot (a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta ))=f(ra_{1}\cos \theta +ra_{2}\sin \theta )={\begin{pmatrix}ra_{1}\\ra_{2}\end{pmatrix}}=r\cdot {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}$
:$=r\cdot f(a_{1}\cos \theta +a_{2}\sin \theta )$

যেহেতু শর্ত (১) এবং (২) উভয়ই যাচাই করা হয়েছে, তাই আমরা বলতে পারি যে ${\textstyle f}$ একটি আইসোমরফিজম এবং স্পেস দুটি আইসোমরফিক বা সমরূপী, অর্থাৎ ${\textstyle G\cong \mathbb {R} ^{2}}$।

উদাহরণ ১.৫:

ধরি $V$ হলো তিনটি চলক $x$, $y$, এবং $z$-এর রৈখিক সমাবেশের  একটি জগত $\{c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z\,{\big |}\,c_{1},c_{2},c_{3}\in \mathbb {R} \}$, যা স্বাভাবিক যোগ এবং স্কেলার গুণন প্রক্রিয়ার অধীনে গঠিত। তাহলে $V$ জগতটি দ্বিঘাত বহুপদীর জগত ${\mathcal {P}}_{2}$-এর সাথে আইসোমরফিক।

এটি দেখানোর জন্য আমরা একটি আইসোমরফিজম চিত্রণ তৈরি করব। এর একাধিক সম্ভাবনা থাকতে পারে; উদাহরণস্বরূপ, এখানে চারটি দেওয়া হলো:


${\begin{array}{c}c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z\end{array}}\quad {\begin{array}{rl}{\stackrel {f_{1}}{\longmapsto }}&c_{1}+c_{2}x+c_{3}x^{2}\\{\stackrel {f_{2}}{\longmapsto }}&c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2}\\{\stackrel {f_{3}}{\longmapsto }}&-c_{1}-c_{2}x-c_{3}x^{2}\\{\stackrel {f_{4}}{\longmapsto }}&c_{1}+(c_{1}+c_{2})x+(c_{1}+c_{3})x^{2}\end{array}}$


প্রথম চিত্রণটি অপেক্ষাকৃত বেশি স্বাভাবিক কারণ এটি কেবল সহগগুলোকে স্থানান্তর করে। তবে, নিচে আমরা যাচাই করব যে দ্বিতীয় চিত্রণটি একটি আইসোমরফিজম। এর মাধ্যমে এটি স্পষ্ট হবে যে সাধারণ বা স্বাভাবিক চিত্রণ ছাড়াও অন্যান্য আইসোমরফিজম থাকা সম্ভব ($f_{1}$ যে একটি আইসোমরফিজম তা দেখানো ৩ নম্বর সমস্যার অন্তর্ভুক্ত)।

$f_{2}$ যে এক-এক , তা প্রমাণ করতে আমরা দেখাব যে যদি $f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$ হয়, তবে $c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z$ হবে। $f_{2}$-এর সংজ্ঞা অনুযায়ী $f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$ থেকে পাওয়া যায়:
$c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2}=d_{2}+d_{3}x+d_{1}x^{2}$

সমান বহুপদীসমূহের সহগগুলোও সমান হয়, তাই $c_{2}=d_{2}$, $c_{3}=d_{3}$, এবং $c_{1}=d_{1}$। সুতরাং $f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)=f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)$ নির্দেশ করে যে $c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z=d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z$, এবং সে কারণে $f_{2}$ চিত্রণটি এক-এক।

$f_{2}$ চিত্রণটি সার্বিক, কারণ কো-ডোমেনের যেকোনো সদস্য $a+bx+cx^{2}$ হলো ডোমেনের কোনো না কোনো সদস্যের প্রতিচ্ছবি; নির্দিষ্টভাবে এটি $cx+ay+bz$-এর প্রতিচ্ছবি। উদাহরণস্বরূপ, $2+3x-4x^{2}$ হলো $f_{2}(-4x+2y+3z)$।

গাণিতিক কাঠামো সংরক্ষণের  হিসাবগুলো আগের উদাহরণের মতোই। এই চিত্রণটি যোগ প্রক্রিয়া সংরক্ষণ করে:

:$f_{2}{\bigl (}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)+(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z){\bigr )}$
${\begin{array}{rl}&=f_{2}{\bigl (}(c_{1}+d_{1})x+(c_{2}+d_{2})y+(c_{3}+d_{3})z{\bigr )}\\&=(c_{2}+d_{2})+(c_{3}+d_{3})x+(c_{1}+d_{1})x^{2}\\&=(c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2})+(d_{2}+d_{3}x+d_{1}x^{2})\\&=f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)+f_{2}(d_{1}x+d_{2}y+d_{3}z)\end{array}}$

এবং এটি স্কেলার গুণনও সংরক্ষণ করে:

${\begin{array}{rl}f_{2}{\bigl (}r\cdot (c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z){\bigr )}&=f_{2}(rc_{1}x+rc_{2}y+rc_{3}z)\\&=rc_{2}+rc_{3}x+rc_{1}x^{2}\\&=r\cdot (c_{2}+c_{3}x+c_{1}x^{2})\\&=r\cdot \,f_{2}(c_{1}x+c_{2}y+c_{3}z)\end{array}}$

অতএব $f_{2}$ একটি আইসোমরফিজম এবং আমরা লিখতে  পারি $V\cong {\mathcal {P}}_{2}$।

উদাহরণ ১.৬ 
একটি প্রসারণ চিত্রণ $d_{s}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$, যা সকল ভেক্টরকে একটি অ-শূন্য স্কেলার $s$ দ্বারা গুণ করে, সেটি $\mathbb {R} ^{2}$-এর একটি অটোমরফিজম। 



একটি আবর্তন বা ঘূর্ণন চিত্রণ $t_{\theta }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$, যা সকল ভেক্টরকে $\theta$ কোণে আবর্তিত করে, সেটি একটি অটোমরফিজম। 



$\mathbb {R} ^{2}$-এর তৃতীয় এক প্রকার অটোমরফিজম হলো এমন একটি চিত্রণ $f_{\ell }:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$, যা মূলবিন্দুগামী একটি সরলরেখা $\ell$-এর সাপেক্ষে সকল ভেক্টরকে প্রতিফলিত করে।



দেখুন: ২০ নম্বর সমস্যা।

 উদাহরণ ১.৭ 
 
অনূর্ধ্ব ৫ ঘাতবিশিষ্ট বহুপদীর জগত ${\mathcal {P}}_{5}$ এবং এমন একটি চিত্রণ $f$ বিবেচনা করি যা একটি বহুপদী $p(x)$-কে $p(x-1)$-এ রূপান্তরিত করে। উদাহরণস্বরূপ, এই চিত্রণের অধীনে $x^{2}\mapsto (x-1)^{2}=x^{2}-2x+1$ এবং $x^{3}+2x\mapsto (x-1)^{3}+2(x-1)=x^{3}-3x^{2}+5x-3$ হয়। এই চিত্রণটি উক্ত জগতের একটি অটোমরফিজম; এটি যাচাই করার কাজটি ১২ নম্বর সমস্যার অন্তর্ভুক্ত।

${\mathcal {P}}_{5}$-এর নিজের সাথেই এই আইসোমরফিজমটি আমাদের কেবল এটাই জানায় না যে জগতটি নিজের "অনুরূপ", বরং এটি আমাদের জগতের অভ্যন্তরীণ গঠন সম্পর্কেও ধারণা দেয়। উদাহরণস্বরূপ, নিচে একগুচ্ছ পরাবৃত্ত দেখানো হয়েছে, যা ${\mathcal {P}}_{5}$-এর সদস্যদের লেখচিত্র। প্রতিটির শীর্ষবিন্দু $y=-1$-এ অবস্থিত এবং বামদিকের প্রথমটির শূন্যবিন্দু হলো $-2.25$ ও $-1.75$, এর পরেরটির শূন্যবিন্দু হলো $-1.25$ ও $-0.75$, ইত্যাদি।

জ্যামিতিকভাবে, যেকোনো ফাংশনের আর্গুমেন্টে $x$-এর পরিবর্তে $x-1$ প্রতিস্থাপন করলে তার লেখচিত্রটি ডানদিকে এক একক সরে যায়। সুতরাং, $f(p_{0})=p_{1}$ এবং $f$-এর কাজ হলো সকল পরাবৃত্তকে ডানদিকে এক একক সরিয়ে দেওয়া। লক্ষ্য করুন যে, $f$ প্রয়োগ করার আগের চিত্র এবং পরের চিত্রটি হুবহু এক, কারণ প্রতিটি পরাবৃত্ত ডানদিকে সরে গেলেও বামদিক থেকে আরেকটি পরাবৃত্ত এসে তার জায়গা দখল করে নেয়। এটি ত্রিঘাত বা অন্যান্য ঘাতের ক্ষেত্রেও সত্য। তাই অটোমরফিজম $f$ আমাদের এই অন্তর্দৃষ্টি দেয় যে ${\mathcal {P}}_{5}$-এর একটি নির্দিষ্ট আনুভূমিক সমজাতীয়তা রয়েছে; এই জগতটি $x=1$-এর নিকটে দেখতে ঠিক তেমনই যেমনটি $x=0$-এর নিকটে।

এই বিভাগের প্রস্তাবনায় যেমনটি বলা হয়েছে, আমরা এখন এমন কিছু ফলাফল উপস্থাপন করব যা এই দাবিকে সমর্থন করে যে—উপরে প্রদত্ত আইসোমরফিজম বা সমরূপতার সংজ্ঞাটি ভেক্টর স্পেসসমূহ "অভিন্ন" হওয়ার বিষয়ে আমাদের সহজাত ধারণাকেই প্রতিফলিত করে।অবশ্যই, সংজ্ঞাটি নিজেই বেশ জোরালো: একটি ভেক্টর স্পেস দুটি উপাদানের সমন্বয়ে গঠিত—একটি সেট এবং তার গঠন । সংজ্ঞাটি কেবল এটাই দাবি করে যে, সেট দুটির মধ্যে এবং গঠন দুটির মধ্যে যেন নিখুঁত মিল বা সামঞ্জস্য থাকে। উপরের উদাহরণগুলোও বেশ বিশ্বাসযোগ্য। বিশেষ করে, উদাহরণ ১.১, যা দুই-সারি বিশিষ্ট রো-ভেক্টর এবং দুই-সারি বিশিষ্ট কলাম-ভেক্টরের মধ্যে একটি সমরূপতা দেখায়, তা আমাদের এই সহজাত বোধকে আরও স্পষ্ট করে যে—আইসোমরফিক স্পেসগুলো সমস্ত প্রাসঙ্গিক দিক থেকে আসলে একই। মাঝে মাঝে বলা হয়, যদি ${\textstyle V\cong W}$ হয়, তবে "${\textstyle W}$" হলো আসলে সবুজ রঙ করা ${\textstyle V}$ মাত্র"—অর্থাৎ এদের মধ্যকার যেকোনো পার্থক্য কেবল বাহ্যিক।যদি আরও প্রমাণের প্রয়োজন হয়, তবে নিচের ফলাফলগুলো সেই সংজ্ঞাকে আরও দৃঢ়ভাবে সমর্থন করবে। এই ফলাফলগুলো একত্রে এটিই নির্দেশ করে যে, একটি ভেক্টর স্পেসের গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলো আইসোমরফিজমের অধীনে একে অপরের সাথে মিলে যায়। যেহেতু আমরা লিনিয়ার কম্বিনেশন আলোচনার জন্যই ভেক্টর স্পেস নিয়ে পড়াশোনা করেছি, তাই এখানে "গুরুত্বপূর্ণ বিষয়" বলতে লিনিয়ার কম্বিনেশন সংক্রান্ত বিষয়গুলোকেই বোঝানো হয়েছে। ভেক্টরগুলো টাইপোগ্রাফিকভাবে কীভাবে উপস্থাপন করা হয়েছে (কিংবা তাদের রঙ কী!) তা মোটেও গুরুত্বপূর্ণ নয়।উদাহরণস্বরূপ, যদিও আইসোমরফিজমের সংজ্ঞায় স্পষ্টভাবে বলা নেই যে তাদের জিরো ভেক্টর অবশ্যই এক হতে হবে, তবুও এটি ওই সংজ্ঞারই একটি অনিবার্য ফলাফল।

শিরোনামা ১.৮ 
একটি আইসোমরফিজম শূন্য ভেক্টরকে শূন্য ভেক্টরেই নিয়ে যায়

প্রমাণ
 যেখানে $f:V\to W$ একটি আইসোমরফিজম, সেখানে যেকোনো ${\vec {v}}\in V$-কে নির্দিষ্ট করি। তাহলে, $f({\vec {0}}_{V})=f(0\cdot {\vec {v}})=0\cdot f({\vec {v}})={\vec {0}}_{W}$।

আইসোমরফিজমের সংজ্ঞায় প্রয়োজন হয় যে, দুটি ভেক্টরের যোগফল যেন একে অপরের সাথে মিলে যায় এবং স্কেলার গুণিতকগুলোও যেন একইভাবে মিলে যায়। আমরা একে বিস্তৃত করে বলতে পারি যে, সমস্ত লিনিয়ার কম্বিনেশনও (linear combinations) একইভাবে একে অপরের সাথে মিলে যাবে।

 শিরোনামা ১.৯ 
 ভেক্টর জগতের মধ্যে যেকোনো চিত্রণ $f:V\to W$-এর  জন্য নিচের উক্তিগুলো সমতুল্য:

১। $f$ গাণিতিক কাঠামো সংরক্ষণ করে:

:$f({\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2})=f({\vec {v}}_{1})+f({\vec {v}}_{2})\quad {\text{এবং}}\quad f(c{\vec {v}})=c\,f({\vec {v}})$

২।$f$ দুটি ভেক্টরের রৈখিক সমাবেশ সংরক্ষণ করে:

:$f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+c_{2}{\vec {v}}_{2})=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+c_{2}f({\vec {v}}_{2})$

৩। $f$ যেকোনো সসীম সংখ্যক ভেক্টরের রৈখিক সমাবেশ সংরক্ষণ করে:

:$f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{n}{\vec {v}}_{n})=c_{1}f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{n}f({\vec {v}}_{n})$

প্রমাণ:

যেহেতু $3\!\implies \!2$ এবং $2\!\implies \!1$ অনুমিতিগুলো স্পষ্ট, তাই আমাদের কেবল $1\!\implies \!3$ দেখানো প্রয়োজন। ধরি, উক্তি ১ সত্য। আমরা পদসংখ্যা $n$-এর ওপর আরোহী পদ্ধতির মাধ্যমে উক্তি ৩ প্রমাণ করব।

একটি পদের ক্ষেত্রে ভিত্তি ধাপ, অর্থাৎ $f(c{\vec {v}}_{1})=c\,f({\vec {v}}_{1})$, উক্তি ১-এর অনুমিতি দ্বারা প্রমাণিত।

আরোহী ধাপের জন্য ধরি, $k$ বা তার কম সংখ্যক পদের জন্য উক্তি ৩ সত্য; অর্থাৎ যখন $n=1$, বা $n=2$, ..., অথবা $n=k$। এখন $k+1$-সংখ্যক পদের ক্ষেত্রে বিবেচনা করি। উক্তি ১-এর প্রথম অংশ অনুযায়ী পাই:

:$f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k}+c_{k+1}{\vec {v}}_{k+1})=f(c_{1}{\vec {v}}_{1}+\dots +c_{k}{\vec {v}}_{k})+f(c_{k+1}{\vec {v}}_{k+1})$

এখানে যোগফলটিকে সর্বশেষ "$+$" চিহ্ন বরাবর বিভক্ত করা হয়েছে। এরপর আরোহী উপকল্প ব্যবহার করে আমরা $k$-সংখ্যক পদের যোগফলটিকে ভেঙে লিখতে পারি:

:$=f(c_{1}{\vec {v}}_{1})+\dots +f(c_{k}{\vec {v}}_{k})+f(c_{k+1}{\vec {v}}_{k+1})$

পরিশেষে, উক্তি ১-এর দ্বিতীয় অংশটি $k+1$ বার প্রয়োগ করে আমরা পাই:

:$=c_{1}\,f({\vec {v}}_{1})+\dots +c_{k}\,f({\vec {v}}_{k})+c_{k+1}\,f({\vec {v}}_{k+1})$

আইসোমরফিজমের সংজ্ঞা যে ভেক্টর স্পেসের গুরুত্বপূর্ণ বিষয়গুলোকে সত্যিই সংরক্ষিত রাখে—সেই ধারণাকে মজবুত করার পাশাপাশি, ওই শিরোনামা বা উপপাদ্যের দ্বিতীয় বিষয়টি কোনো ম্যাপ তার গঠন ঠিক রাখছে কি না, তা যাচাই করার জন্য একটি অত্যন্ত সুবিধাজনক উপায়।আমরা একটি সারসংক্ষেপের মাধ্যমে শেষ করছি। এই বিভাগের বিষয়বস্তুগুলো 'ভেক্টর স্পেস' অধ্যায়টিকে আরও সমৃদ্ধ করেছে। সেখানে ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞা দেওয়ার পর, আমরা অনানুষ্ঠানিকভাবে দেখেছিলাম যে এর ক্ষেত্রে কী কী ভিন্ন ভিন্ন ঘটনা ঘটতে পারে। এখানে, আমরা ভেক্টর স্পেসগুলোর মধ্যকার "$\cong$" সম্পর্কটি সংজ্ঞায়িত করেছি এবং যুক্তি দিয়ে দেখিয়েছি যে—ভেক্টর স্পেসের সংগ্রহগুলোকে বিভিন্ন শ্রেণিতে ভাগ করার জন্য এটিই সঠিক উপায়। কারণ, এটি একটি ভেক্টর স্পেসের সমস্ত আকর্ষণীয় বৈশিষ্ট্যকে, বিশেষ করে লিনিয়ার কম্বিনেশনকে অপরিবর্তিত রাখে। অর্থাৎ, আমরা এখন গাণিতিকভাবে সুনির্দিষ্টভাবে বলতে পারছি যে "একই" এবং "ভিন্ন" বলতে আমরা আসলে কী বুঝি, এবং এভাবেই আমরা ভেক্টর স্পেসগুলোকে যথাযথভাবে বিন্যস্ত বা শ্রেণিবদ্ধ করেছি।

অনুশীলনী

সমস্যা ১

উদাহরণ ১.৪-কে ব্যবহার করে যাচাই করুন, সংজ্ঞার আগে দেওয়া দুইটির মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কগুলো আইসোমরফিজম।

1. উদাহরণ ১.১
2. উদাহরণ ১.২

সমস্যা ২

ম্যাপ বা চিত্রণ $f:{\mathcal {P}}_{1}\to \mathbb {R} ^{2}$-এর জন্য যেখানে

$a+bx{\stackrel {f}{\longmapsto }}{\begin{pmatrix}a-b\\b\end{pmatrix}}$

ডোমেইনের নিচের প্রতিটি উপাদানের ইমেজ (Image) নির্ণয় করুন।

1. $3-2x$
2. $2+2x$
3. $x$

দেখান যে এই ম্যাপটি একটি আইসোমরফিজম।

সমস্যা ৩

দেখান যে উদাহরণ ১.৫ থেকে প্রাপ্ত ন্যাচারাল ম্যাপ $f_{1}$ একটি আইসোমরফিজম।

সমস্যা ৪

নিচের প্রতিটি ম্যাপ আইসোমরফিজম কি না তা নির্ধারণ করুন (যদি এটি আইসোমরফিজম হয় তবে তা প্রমাণ করুন এবং যদি না হয় তবে এটি যে শর্তটি পূরণ করতে ব্যর্থ হয়েছে তা উল্লেখ করুন)।

1. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R}$ যা এভাবে দেওয়া আছে:

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto ad-bc$

2. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to \mathbb {R} ^{4}$ যা এভাবে দেওয়া আছে:

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}a+b+c+d\\a+b+c\\a+b\\a\end{pmatrix}}$

3. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ যা এভাবে দেওয়া আছে:

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto c+(d+c)x+(b+a)x^{2}+ax^{3}$

4. $f:{\mathcal {M}}_{2\!\times \!2}\to {\mathcal {P}}_{3}$ যা এভাবে দেওয়া আছে:

   ${\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}\mapsto c+(d+c)x+(b+a+1)x^{2}+ax^{3}$

সমস্যা ৫

দেখান যে $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ ম্যাপটি যা $f(x)=x^{3}$ দ্বারা দেওয়া আছে, তা ওয়ান-টু-ওয়ান এবং সার্বিক। এটি কি একটি আইসোমরফিজম?

সমস্যা ৬

উদাহরণ ১.১ দেখুন। আরও দুটি আইসোমরফিজম তৈরি করুন (অবশ্যই যাচাই করতে হবে যে তারা আইসোমরফিজমের সংজ্ঞার শর্তগুলো পূরণ করে)।

সমস্যা ৭

উদাহরণ ১.২ দেখুন। আরও দুটি আইসোমরফিজম তৈরি করুন (এবং যাচাই করুন যে তারা শর্তগুলো পূরণ করে)।

সমস্যা ৮

দেখান যে, যদিও $\mathbb {R} ^{2}$ নিজেই $\mathbb {R} ^{3}$-এর একটি সাবস্পেস নয়, তবে এটি $\mathbb {R} ^{3}$-এর $xy$-তল সাবস্পেসের সাথে আইসোমরফিক।

সমস্যা ৯

$\mathbb {R} ^{16}$ এবং ${\mathcal {M}}_{4\!\times \!4}$-এর মধ্যে দুটি আইসোমরফিজম খুঁজে বের করুন।

সমস্যা ১০

$k$-এর কোন মানের জন্য ${\mathcal {M}}_{m\!\times \!n}$, $\mathbb {R} ^{k}$-এর সাথে আইসোমরফিক হবে?

সমস্যা ১১

$k$-এর কোন মানের জন্য ${\mathcal {P}}_{k}$, $\mathbb {R} ^{n}$-এর সাথে আইসোমরফিক হবে?

সমস্যা ১২

প্রমাণ করুন যে উদাহরণ ১.৭-এর ম্যাপটি, যা ${\mathcal {P}}_{5}$ থেকে ${\mathcal {P}}_{5}$-এ $p(x)\mapsto p(x-1)$ দ্বারা দেওয়া আছে, তা একটি ভেক্টর স্পেস আইসোমরফিজম।

সমস্যা ১৩

শিরোনামা ১.৮-এ কেন অবশ্যই একটি ${\vec {v}}\in V$ থাকতে হবে? অর্থাৎ, $V$ কেন অশূন্য (nonempty) হতে হবে?

সমস্যা ১৪

যেকোনো দুটি ট্রিভিয়াল স্পেস (Trivial Space) কি আইসোমরফিক?

সমস্যা ১৫

শিরোনামা ১.৯-এর প্রমাণে জিরো-সাম্যান্ড কেসের ক্ষেত্রে (অর্থাৎ যদি $n$ শূন্য হয়) কী হবে?

সমস্যা ১৬

দেখান যে যেকোনো আইসোমরফিজম $f:{\mathcal {P}}_{0}\to \mathbb {R} ^{1}$-এর রূপ হবে $a\mapsto ka$, যেখানে $k$ হলো একটি অশূন্য বাস্তব সংখ্যা।

সমস্যা ১৭

এগুলো প্রমাণ করে যে আইসোমরফিজম একটি সমতুল্য সম্পর্ক।

1. দেখান যে আইডেন্টিটি ম্যাপ ${\mbox{id}}:V\to V$ একটি আইসোমরফিজম। সুতরাং, যেকোনো ভেক্টর স্পেস নিজের সাথে আইসোমরফিক।
2. দেখান যে যদি $f:V\to W$ একটি আইসোমরফিজম হয় তবে এর বিপরীত ম্যাপ $f^{-1}:W\to V$-ও একটি আইসোমরফিজম। সুতরাং, যদি $V$, $W$-এর সাথে আইসোমরফিক হয় তবে $W$-ও $V$-এর সাথে আইসোমরফিক।
3. দেখান যে আইসোমরফিজমগুলোর সংযোজন একটি আইসোমরফিজম: যদি $f:V\to W$ একটি আইসোমরফিজম হয় এবং $g:W\to U$ একটি আইসোমরফিজম হয় তবে $g\circ f:V\to U$-ও একটি আইসোমরফিজম। সুতরাং, যদি $V$, $W$-এর সাথে এবং $W$, $U$-এর সাথে আইসোমরফিক হয়, তবে $V$, $U$-এর সাথেও আইসোমরফিক।

সমস্যা ১৮

ধরা যাক $f:V\to W$ গঠন সংরক্ষণ করে। দেখান যে $f$ ওয়ান-টু-ওয়ান হবে যদি এবং কেবল যদি $V$-এর একমাত্র সদস্য যাকে $f$ দ্বারা ${\vec {0}}_{W}$-এ ম্যাপ করা হয় তা ${\vec {0}}_{V}$ হয়।

সমস্যা ১৯

ধরা যাক $f:V\to W$ একটি আইসোমরফিজম। প্রমাণ করুন যে সেট $\{{\vec {v}}_{1},\dots ,{\vec {v}}_{k}\}\subseteq V$ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হবে যদি এবং কেবল যদি তাদের ইমেজ সেট $\{f({\vec {v}}_{1}),\dots ,f({\vec {v}}_{k})\}\subseteq W$ রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হয়।

সমস্যা ২০

দেখান যে উদাহরণ ১.৬-এর প্রতিটি ম্যাপ একটি অটোমরফিজম।

1. একটি অশূন্য স্কেলার $s$ দ্বারা ডাইলেশন $d_{s}$।
2. একটি কোণ $\theta$-এর মাধ্যমে রোটেশন $t_{\theta }$।
3. মূলবিন্দুগামী একটি রেখার ওপর রিফ্লেকশন $f_{\ell }$।

ইঙ্গিত: দ্বিতীয় এবং তৃতীয় আইটেমের জন্য পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করা সুবিধাজনক।

সমস্যা ২১

আইডেন্টিটি ম্যাপ এবং শিফট ম্যাপ $p(x)\mapsto p(x-k)$ ব্যতীত ${\mathcal {P}}_{2}$-এর অন্য একটি অটোমরফিজম তৈরি করুন।

সমস্যা ২২

1. দেখান যে একটি ফাংশন $f:\mathbb {R} ^{1}\to \mathbb {R} ^{1}$ একটি অটোমরফিজম হবে যদি এবং কেবল যদি এটি কোনো $k\neq 0$-এর জন্য $x\mapsto kx$ আকারের হয়।
2. ধরা যাক $f$, $\mathbb {R} ^{1}$-এর একটি অটোমরফিজম যাতে $f(3)=7$। $f(-2)$ নির্ণয় করুন।
3. দেখান যে একটি ফাংশন $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ একটি অটোমরফিজম হবে যদি এবং কেবল যদি এটি নিচের আকারের হয়:

   ${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\mapsto {\begin{pmatrix}ax+by\\cx+dy\end{pmatrix}}$

   যেখানে $a,b,c,d\in \mathbb {R}$ এবং $ad-bc\neq 0$। ইঙ্গিত: পূর্ববর্তী উপবিভাগগুলোর অনুশীলনীতে দেখানো হয়েছে যে,

   ${\begin{pmatrix}b\\d\end{pmatrix}}{\text{ ভেক্টরটি }}{\begin{pmatrix}a\\c\end{pmatrix}}{\text{-এর গুণিতক নয়}}$

   যদি এবং কেবল যদি $ad-bc\neq 0$ হয়।
4. ধরা যাক $f$, $\mathbb {R} ^{2}$-এর একটি অটোমরফিজম যেখানে

   $f({\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}}\quad {\text{এবং}}\quad f({\begin{pmatrix}1\\4\end{pmatrix}})={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}$

   নিচের মানটি নির্ণয় করুন:

   $f({\begin{pmatrix}0\\-1\end{pmatrix}})$

সমস্যা ২৩

শিরোনামা ১.৮ এবং শিরোনামা ১.৯ দেখুন। আইসোমরফিজম দ্বারা সংরক্ষিত হয় এমন আরও দুটি বিষয় খুঁজে বের করুন।

সমস্যা ২৪

আমরা দেখাচ্ছি যে আইসোমরফিজমগুলোকে এমনভাবে তৈরি করা যায় যেন কখনও কখনও ডোমেইন এবং রেঞ্জের নির্দিষ্ট ভেক্টর দেওয়া থাকলে আমরা একটি আইসোমরফিজম তৈরি করতে পারি যা ওই ভেক্টরগুলোকে যুক্ত করে।

1. ধরা যাক $B=\langle {\vec {\beta }}_{1},{\vec {\beta }}_{2},{\vec {\beta }}_{3}\rangle$ হলো ${\mathcal {P}}_{2}$-এর একটি বেসিস যাতে যেকোনো ${\vec {p}}\in {\mathcal {P}}_{2}$-এর একটি অনন্য উপস্থাপনা ${\vec {p}}=c_{1}{\vec {\beta }}_{1}+c_{2}{\vec {\beta }}_{2}+c_{3}{\vec {\beta }}_{3}$ থাকে, যাকে আমরা এভাবে প্রকাশ করি:

   ${\rm {Rep}}_{B}({\vec {p}})={\begin{pmatrix}c_{1}\\c_{2}\\c_{3}\end{pmatrix}}$

   দেখান যে ${\rm {Rep}}_{B}(\cdot )$ অপারেশনটি ${\mathcal {P}}_{2}$ থেকে $\mathbb {R} ^{3}$-এ একটি ফাংশন (এর মানে হলো ডোমেইনের প্রতিটি ভেক্টর ${\vec {v}}\in {\mathcal {P}}_{2}$-এর জন্য $\mathbb {R} ^{3}$-এ একটি সংশ্লিষ্ট ইমেজ ভেক্টর আছে এবং প্রতিটি ${\vec {v}}\in {\mathcal {P}}_{2}$-এর জন্য সর্বোচ্চ একটি সংশ্লিষ্ট ইমেজ ভেক্টর আছে)।
2. দেখান যে এই ${\rm {Rep}}_{B}(\cdot )$ ফাংশনটি ওয়ান-টু-ওয়ান এবং অনটু।
3. দেখান যে এটি গঠন সংরক্ষণ করে।
4. নিচের বৈশিষ্ট্যগুলো পূরণ করে এমন একটি আইসোমরফিজম ${\mathcal {P}}_{2}$ থেকে $\mathbb {R} ^{3}$-এ তৈরি করুন:

   $x+x^{2}\mapsto {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}\quad {\text{এবং}}\quad 1-x\mapsto {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$

সমস্যা ২৫

প্রমাণ করুন যে একটি স্পেস $n$-মাত্রিক হবে যদি এবং কেবল যদি এটি $\mathbb {R} ^{n}$-এর সাথে আইসোমরফিক হয়। ইঙ্গিত: ওই স্পেসের একটি বেসিস $B$ স্থির করুন এবং এমন একটি ম্যাপ বিবেচনা করুন যা কোনো ভেক্টরকে $B$-এর সাপেক্ষে তার উপস্থাপনায় পাঠিয়ে দেয়।

সমস্যা ২৬

(এর জন্য উপ-সমষ্টির সংমিশ্রণ" উপবিভাগটি প্রয়োজন, যা ঐচ্ছিক।) ধরা যাক $U$ এবং $W$ দুটি ভেক্টর স্পেস। একটি নতুন ভেক্টর স্পেস সংজ্ঞায়িত করুন যাতে সেটটি হবে $U\times W=\{({\vec {u}},{\vec {w}})\,{\big |}\,{\vec {u}}\in U{\text{ এবং }}{\vec {w}}\in W\}$ এবং অপারেশনগুলো হবে নিম্নরূপ:

$({\vec {u}}_{1},{\vec {w}}_{1})+({\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{2})=({\vec {u}}_{1}+{\vec {u}}_{2},{\vec {w}}_{1}+{\vec {w}}_{2})\quad {\text{এবং}}\quad r\cdot ({\vec {u}},{\vec {w}})=(r{\vec {u}},r{\vec {w}})$

এটি একটি ভেক্টর স্পেস, যাকে $U$ এবং $W$-এর এক্সটার্নাল ডিরেক্ট সাম বা বহিঃস্থ সরাসরি যোগফল বলা হয়।

1. এটি যে একটি ভেক্টর স্পেস তা যাচাই করুন।
2. এক্সটার্নাল ডিরেক্ট সাম ${\mathcal {P}}_{2}\times \mathbb {R} ^{2}$-এর একটি বেসিস এবং এর মাত্রা নির্ণয় করুন।
3. $\dim(U)$, $\dim(W)$, এবং $\dim(U\times W)$-এর মধ্যে সম্পর্ক কী?
4. ধরা যাক $U$ এবং $W$ একটি ভেক্টর স্পেস $V$-এর সাবস্পেস যাতে $V=U\oplus W$ (এই ক্ষেত্রে আমরা বলি যে $V$ হলো $U$ এবং $W$-এর ইন্টার্নাল ডিরেক্ট সাম)। দেখান যে $f:U\times W\to V$ ম্যাপটি যা

   $({\vec {u}},{\vec {w}}){\stackrel {f}{\longmapsto }}{\vec {u}}+{\vec {w}}$

   দ্বারা সংজ্ঞায়িত, সেটি একটি আইসোমরফিজম। অর্থাৎ, যদি ইন্টার্নাল ডিরেক্ট সাম সংজ্ঞায়িত থাকে, তবে ইন্টার্নাল এবং এক্সটার্নাল ডিরেক্ট সাম পরস্পর আইসোমরফিক।

সমাধান