রৈখিক বীজগণিত/আইসোমরফিজম
ভেক্টর স্পেসের সংজ্ঞার পরবর্তী উদাহরণগুলোতে আমরা এই ধারণা লাভ করেছি যে, কিছু স্পেস বা জগৎ একে অপরের "অভিন্ন" বা "একই রকম"। উদাহরণস্বরূপ, দুই-সারি বিশিষ্ট কলাম ভেক্টর এবং দুই-কলাম বিশিষ্ট রো ভেক্টরের জগৎগুলো সমান নয়; কারণ তাদের উপাদানসমূহ—কলাম ভেক্টর এবং রো ভেক্টর—পরস্পর সমান নয়। কিন্তু আমাদের মনে এই ধারণা জন্মেছে যে, এই স্পেসগুলোর মধ্যে পার্থক্য কেবল তাদের উপাদানগুলোর বাহ্যিক উপস্থাপনায়। এখন আমরা এই ধারণাকে একটি সুনির্দিষ্ট রূপ দেব।
এই বিভাগটি গাণিতিক অনুসন্ধানের একটি সাধারণ দিককে তুলে ধরে। কিছু উদাহরণের সাহায্যে আমরা একটি ধারণা পেয়েছি। এরপর আমরা একটি আনুষ্ঠানিক সংজ্ঞা প্রদান করব এবং তারপর কিছু ফলাফল উপস্থাপন করব যা আমাদের এই দাবিকে সমর্থন করবে যে, সংজ্ঞাটি আমাদের মূল ধারণাকে সঠিকভাবে ধারণ করতে পেরেছে। আমরা আগেও এমনটি ঘটতে দেখেছি, যেমন—ভেক্টর স্পেস অধ্যায়ের প্রথম বিভাগে। সেখানে রৈখিক সিস্টেমের অধ্যয়ন আমাদের এমন কিছু সংগ্রহ বা কালেকশন বিবেচনা করতে উদ্বুদ্ধ করেছিল যা রৈখিক সমাবেশের অধীনে বদ্ধ। আমরা এই ধরনের সংগ্রহকে 'ভেক্টর স্পেস' হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছি এবং পরবর্তীতে কিছু সহায়ক ফলাফল অনুসরণ করেছি।
অবশ্যই, সেই সংজ্ঞাটি কোনো শেষ বিন্দু ছিল না; বরং এটি আমাদের 'বেসিস'-এর মতো নতুন অন্তর্দৃষ্টির দিকে নিয়ে গিয়েছিল। এখানেও একটি সংজ্ঞা প্রদান এবং তা সমর্থনের পর আমরা দুটি (চমৎকার) বিস্ময়কর বিষয় খুঁজে পাব। প্রথমত, আমরা দেখব যে এই সংজ্ঞাটি কিছু অপ্রত্যাশিত এবং আকর্ষণীয় ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য। দ্বিতীয়ত, এই সংজ্ঞার অধ্যয়ন আমাদের নতুন নতুন ধারণার দিকে নিয়ে যাবে। এভাবে আমাদের অনুসন্ধান একটি গতিশীলতা লাভ করবে।