রৈখিক বীজগণিত/আইগেনমান ও আইগেনভেক্টর

আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর ম্যাট্রিক্সের মৌলিক বৈশিষ্ট্যের সাথে সম্পর্কিত।

আইগেনভ্যালু শব্দটি জার্মান শব্দ Eigenwert থেকে এসেছে যার অর্থ "নিজস্ব বা বৈশিষ্ট্যসূচক মান।"

উদ্দেশ্য

বড় ম্যাট্রিক্স ব্যবহারের ক্ষেত্রে গণনার সময় অনেক বেশি লাগতে পারে এবং একটি গণনার জন্য শত শত বা হাজার হাজার বার পুনরাবৃত্তি করতে হতে পারে। তা ছাড়া, গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক সরঞ্জাম ছাড়া ম্যাট্রিক্সের আচরণ বিশ্লেষণ করা কঠিন হবে। একটি গাণিতিক সরঞ্জাম, যার প্রয়োগ কেবল রৈখিক বীজগণিতই নয়, বরং অন্তরক সমীকরণ, ক্যালকুলাস এবং আরও অনেক ক্ষেত্রে রয়েছে, তা হলো আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর-এর ধারণা। আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর রৈখিক ব্যবস্থার একটি সাধারণ আচরণের ওপর ভিত্তি করে গঠিত। চলুন একটি উদাহরণ দেখা যাক।

ধরা যাক,

$A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -2\end{array}\right)$

এবং

$𝐱=\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right),𝐲=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right).$

x এবং y কে A দ্বারা রূপান্তর করলে কী ঘটবে? দেখা যাক,

$A𝐱=\left(\begin{array}{c}4\\ -6\end{array}\right)$

$A𝐲=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$

কিন্তু লক্ষণীয় বিষয় হলো যে,

$A𝐱=(-2)\left(\begin{array}{c}-2\\ 3\end{array}\right)=-2𝐱$

$A𝐲=(1)\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=𝐲=(1)𝐲$

সুতরাং আমরা যখন ম্যাট্রিক্স A দ্বারা ভেক্টর x-এর ওপর প্রক্রিয়া চালাই, তখন একটি ভিন্ন ভেক্টর পাওয়ার পরিবর্তে (যা সাধারণত ঘটে থাকে), আমরা কিছু ধ্রুবক দ্বারা গুণিতক হিসেবে একই ভেক্টর x ফিরে পাই। ভেক্টর y-এর ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য।

আমরা 1 এবং -2 মানগুলোকে ম্যাট্রিক্স A-এর আইগেনভ্যালু বলি এবং x ও y ভেক্টরগুলোকে ম্যাট্রিক্স A-এর আইগেনভেক্টর বলি।

সংজ্ঞা

একটি ম্যাট্রিক্স/ভেক্টর গুণফল কখন ওপরের মতো একটি স্কেলার দ্বারা গুণফলের সমান হয়, এখন আমরা সেই ধারণাকে সাধারণীকরণ করব: মূলত যদি আমাদের একটি n×n ম্যাট্রিক্স A থাকে, তবে আমরা সমীকরণটির জন্য আইগেনভেক্টর খুঁজে পেতে v-এর সমাধান এবং আইগেনভ্যালু খুঁজে পেতে λ-এর সমাধান অনুসন্ধান করি:

Av=λv

আমরা এটি কীভাবে করব? চলুন সমীকরণটি পুনর্সজ্জিত করি:

Av-λv=0

(A-λI)v=0 (মনে রাখবেন আমাদের অবশ্যই স্কেলারটিকে অভেদক ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুণ করতে হবে, অন্যথায় A-λ এর কোনো অর্থ হয় না)

কিন্তু (A-λI) একটি ম্যাট্রিক্স, তাই আমরা Bv=0 সমাধান করার চেষ্টা করছি যেখানে B=(A-λI), এবং এই সমাধানটি কেবল B-এর কার্নেল, ker B। সুতরাং আইগেনভেক্টরগুলো ker (A-λI)-তে থাকে, যেখানে λ হলো একটি আইগেনভ্যালু। কিন্তু আমরা আইগেনভ্যালু কীভাবে পাব?

Bv=0-এর একটি অ-শূন্য সমাধান থাকবে যদি |B| = det(B) শূন্য হয়। সুতরাং আইগেনভ্যালুগুলো খুঁজে পেতে, আমরা |A-λI|=0 ধরি এবং তারপর λ-এর জন্য সমাধান করি। এর ফলে আমরা জটিল সংখ্যার ওপর একটি বহুপদী সমীকরণ পাব (আইগেনভ্যালু জটিল সংখ্যা হতে পারে), যা বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণ নামে পরিচিত। এই বৈশিষ্ট্যসূচক সমীকরণের মূলগুলোই হলো আইগেনভ্যালু।

উল্লেখ্য যে আমরা শূন্য ভেক্টর 0-কে আইগেনভেক্টর হিসেবে বাদ দিই, কারণ এটি স্বাভাবিকভাবেই Av=λv সমীকরণের একটি সমাধান এবং এটি বিবেচনা করা তেমন অর্থপূর্ণ নয়। তা ছাড়া, যদি শূন্য ভেক্টর অন্তর্ভুক্ত করা হতো, তবে এটি অসীম সংখ্যক আইগেনভ্যালুর সুযোগ তৈরি করত, কারণ λ-এর যেকোনো মান A0=λ0 সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

যদি আমাদের কাছে একটি ম্যাট্রিক্স A-এর একটি আইগেনভ্যালু λ এবং এর সাথে সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টর x থাকে, তবে x-এর যেকোনো গুণিতকও সেই একই আইগেনভ্যালুর জন্য একটি আইগেনভেক্টর হবে। kx যে একটি আইগেনভেক্টর, তা দেখার জন্য নিচের যুক্তিটি লক্ষ্য করুন: যদি Ax=λx হয়, তবে A(kx)=kAx=kλx=λ(kx)। (এখানে k যেকোনো স্কেলার হতে পারে।) সুতরাং, একটি আইগেনভেক্টরের প্রতিটি গুণিতকও একটি আইগেনভেক্টর।

এখানে অসমতাটি লক্ষ্য করুন: আইগেনভ্যালুগুলো অনন্য, যেখানে একটি আইগেনভ্যালুর অনেকগুলো আইগেনভেক্টর থাকে।

আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর নির্ণয় করা

আমাদের সংজ্ঞাগুলো ব্যবহার করে আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর খুঁজে পাওয়ার কিছু উদাহরণ নিচে দেওয়া হলো।

ধরা যাক,

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -1& 2\end{array}\right)$

প্রথমত, আইগেনভ্যালুগুলো খুঁজে পেতে আমরা |A-λI|=0 সমীকরণটি বিস্তারিত করি:

$|\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -1& 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{cc}\lambda & 0\\ 0& \lambda \end{array}\right)|=0$

$\left|\begin{array}{cc}3-\lambda & 0\\ -1& 2-\lambda \end{array}\right|=0$

$(3-\lambda )(2-\lambda )-(0)(-1)=0$

$(3-\lambda )(2-\lambda )=0$

এখন, প্রাথমিক বীজগণিত আমাদের বলে যে এই সমীকরণের মূলগুলো হলো 3 এবং 2, এবং এগুলিই আমাদের আইগেনভ্যালু।

(অনুশীলনী: প্রমাণ করুন যে একটি 2×2 ট্রায়াঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালুগুলো প্রধান কর্ণের ওপর থাকে। আরও কঠিন: এই ফলাফলটিকে সাধারণীকরণ করুন)

এখন আমরা আমাদের আইগেনভেক্টরগুলো খুঁজে পেতে পারি। প্রথম আইগেনভ্যালু λ=3 বিবেচনা করুন। আমাদের প্রথম আইগেনভেক্টরটি খুঁজে পেতে:

$\text{ker}(A-3I)=\text{ker}\left(\begin{array}{cc}3-3& 0\\ -1& 2-3\end{array}\right)=\text{ker}\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -1& -1\end{array}\right)$

এই পর্যায়ে আমরা রো-রিডাকশন এবং ব্যাক-সাবস্টিটিউশন করতে পারি, তবে সাধারণত কার্নেলটি অনুমান করাই যথেষ্ট কারণ আমাদের ম্যাট্রিক্সটি ছোট এবং কলামগুলো রৈখিকভাবে নির্ভরশীল। এখন লক্ষ্য করুন:

$\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ -1& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}a\\ -a\end{array}\right)=\mathrm{𝟎}$

সুতরাং, যেকোনো স্কেলার a-এর জন্য, ভেক্টর

$\left(\begin{array}{c}a\\ -a\end{array}\right)$ একটি আইগেনভেক্টর। অন্যভাবে বলা যায়, ম্যাট্রিক্স A-এর সমস্ত আইগেনভেক্টরের সেটের মধ্যে $\text{span}\{\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\}$ সেটটি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে। সমতলে, এটি মূল বিন্দুগামী -1 ঢালবিশিষ্ট একটি সরলরেখাকে নির্দেশ করে।

ওপরে যেমন উল্লেখ করা হয়েছে, একটি ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালুগুলো অনন্যভাবে নির্ধারিত হয়, তবে প্রতিটি আইগেনভ্যালুর জন্য অনেকগুলো আইগেনভেক্টর থাকে। আমরা সাধারণত কিছু সুবিধার জন্য একটি আইগেনভেক্টর বেছে নিই যেমন "সবচেয়ে বেশি পূর্ণসংখ্যার ভুক্তি", "প্রথম ভুক্তিটি 1", অথবা "আইগেনভেক্টরের দৈর্ঘ্য 1"। অধিকাংশ কম্পিউটার অ্যালজেব্রা সিস্টেম আইগেনভেক্টরের জন্য একক ভেক্টর বেছে নেয়।

সুতরাং এখানে আমরা উদাহরণস্বরূপ $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ কে আইগেনভেক্টর হিসেবে নিতে পারি।

একইভাবে আমাদের দ্বিতীয় আইগেনভ্যালু λ=2-এর জন্য, দ্বিতীয় আইগেনভেক্টরটি খুঁজে পেতে:

$\text{ker}(A-2I)=\text{ker}\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -1& 0\end{array}\right)=\text{span}\{\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\}=\mathrm{𝟎}$

এবং এইভাবে, আমাদের দ্বিতীয় আইগেনভেক্টরটি নির্বাচিত হয়:

$\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$

তাহলে আমাদের আইগেনভ্যালুগুলো হলো λ=2,3 এবং আইগেনভেক্টরগুলো হলো $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$, যা প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স দ্বারা প্রত্যেকটিকে গুণ করে যাচাই করা যেতে পারে।

(আমরা আইগেনভ্যালু λ=3-এর জন্য আইগেনভেক্টর হিসেবে $\left(\begin{array}{c}1/\sqrt{(}2)\\ -1/\sqrt{(}2)\end{array}\right)$ কেও বেছে নিতে পারতাম। এটি যাচাই করুন।)

সমস্যা গুচ্ছ

ওপরের আলোচনার ভিত্তিতে, নিচের ম্যাট্রিক্সগুলোর আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর নির্ণয় করুন (জোড় সংখ্যার প্রশ্নগুলোর উত্তর নিচে দেওয়া হলো):

1. $\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ -4& 5\end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 3& -1\end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 3\\ 2& 4& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$

(আরও কঠিন। ইঙ্গিত: একটি আইগেনভ্যালু হলো 4।)

উত্তরমালা

1. আইগেনভ্যালু: 3, 5; আইগেনভেক্টর: $\left(\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$
2. আইগেনভ্যালু: -2, 2; আইগেনভেক্টর: $\left(\begin{array}{c}-1\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$
3. আইগেনভ্যালু: -3, 1, 4; আইগেনভেক্টর: $\left(\begin{array}{c}21\\ -6\\ -7\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}3\\ -2\\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

ব্যবহারিক প্রয়োগ

আইগেনভ্যালু এবং আইগেনভেক্টর কেবল এই ভেক্টরগুলোর সুন্দর কোনো তথ্যই নয়; এগুলোর প্রাসঙ্গিক এবং গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ রয়েছে।

ম্যাট্রিক্সের ঘাত

চলুন প্রথমে এক বিশেষ শ্রেণীর ম্যাট্রিক্স পরীক্ষা করা যাক যা ডায়াগোনাল বা কর্ণ ম্যাট্রিক্স নামে পরিচিত: এগুলো নিচের আকারের ম্যাট্রিক্স:

$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_0& 0& 0& \dots & 0\\ 0& a_1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& a_2& \dots & 0\\ 0& 0& 0& \dots & a_k\end{array}\right)$

এখন লক্ষ্য করুন যে,

${\left(\begin{array}{ccccc}{a}_0& 0& 0& \dots & 0\\ 0& a_1& 0& \dots & 0\\ 0& 0& a_2& \dots & 0\\ 0& 0& 0& \dots & a_k\end{array}\right)}^k=\left(\begin{array}{ccccc}{a}_0^k& 0& 0& \dots & 0\\ 0& a_1^k& 0& \dots & 0\\ 0& 0& a_2^k& \dots & 0\\ 0& 0& 0& \dots & a_k^k\end{array}\right)$

এটি একটি দরকারী বৈশিষ্ট্য! তবে, আমরা যে ম্যাট্রিক্সগুলোর ওপর এই তথ্যটি প্রয়োগ করতে পারি তার সংখ্যা স্পষ্টতই সীমিত, তাই আমরা নিজেদের জিজ্ঞাসা করি যে আমরা একটি প্রদত্ত ম্যাট্রিক্সকে কর্ণ ম্যাট্রিক্সে রূপান্তর করতে পারি কি না।

এই প্রশ্নের উত্তর হলো "কখনো কখনো", তবে এই মুহূর্তের জন্য, আমরা কেবল সেই ম্যাট্রিক্সগুলোই দেখব যেগুলোর ক্ষেত্রে এই উত্তরটি "হ্যাঁ"।

আমরা এমন একটি ম্যাট্রিক্স P খুঁজছি যাতে,

PAP^-1=D

যেখানে D একটি কর্ণ ম্যাট্রিক্স।

যদি এমন একটি ম্যাট্রিক্স P-এর অস্তিত্ব থাকে, তবে আমরা বলি যে A হলো ডায়াগোনালাইজেবল (বা কর্নীকরণযোগ্য)। (উল্লেখ্য যে xyx^-1 কে প্রায়শই একটি সিমিলারিটি ট্রান্সফরমেশন বলা হয়।)

তাহলে,

PAP^-1=D

AP^-1=P^-1D

উভয় পক্ষকে বাম দিক থেকে P^-1 দ্বারা গুণ করে, তারপর

A=P^-1DP

ডান দিক থেকে P দ্বারা গুণ করে।

এখন, আমাদের কাছে আছে:

A^k=(P^-1DP)^k

=(P^-1DP)(P^-1DP)(P^-1DP)... (k বার)

=P^-1D(PP^-1)D(PP^-1)DP... (k বার)

PP^-1 পদগুলো একে অপরকে বর্জন করে এবং পাওয়া যায়:

=P^-1DDD...P (k বার)

=P^-1D^kP

আমরা সহজে D^k গণনা করতে পারি, তাই আমাদের P খুঁজে বের করতে হবে।

দেখা যায় যে (সম্পূর্ণ প্রমাণটি বেশ কঠিন) P তৈরি করার জন্য আমরা কেবল রৈখিকভাবে স্বাধীন আইগেনভেক্টরগুলোকে পাশাপাশি সাজিয়ে একটি ম্যাট্রিক্স গঠন করি।

তাহলে, D হলো সেই কর্ণ ম্যাট্রিক্স যার মূল কর্ণের ওপর সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টরগুলোর সাপেক্ষে আইগেনভ্যালুগুলো থাকে (প্রথম স্থানের আইগেনভ্যালুটি প্রথম কলামের আইগেনভেক্টরের সাথে মিলে যায় যেখান থেকে এটি তৈরি হয়েছে)।

উদাহরণ

এই ধারণাগুলো দেখানোর জন্য চলুন একটি উদাহরণ নিয়ে কাজ করা যাক।

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 4& 0\end{array}\right)$

তাহলে আমরা যদি A¹⁴ খুঁজে পেতে চাই তবে কী করব? আসুন আমরা এইমাত্র বর্ণিত পদ্ধতিটি ব্যবহার করি।

আইগেনভ্যালুগুলো নির্ণয় করুন:

|A-λI|=0

(3-λ)(-λ)-4=0

λ²-3λ-4=0

λ=-1, 4

আইগেনভেক্টরগুলো নির্ণয় করুন:

λ=-1 এর জন্য $\text{ker}\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ 4& 1\end{array}\right)=\text{span}\{\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right)\}$

λ=4 এর জন্য $\text{ker}\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 4& -4\end{array}\right)=\text{span}\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)\}$

তাহলে আইগেনভেক্টরগুলো হলো

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$

সুতরাং আইগেনভেক্টরগুলোকে একসাথে বসিয়ে P ম্যাট্রিক্সটি গঠন করুন:

$P=\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 4& 1\end{array}\right)$

এখন -1 প্রথম কলামের আইগেনভেক্টরটি তৈরি করেছে এবং 4 দ্বিতীয় কলামের আইগেনভেক্টরটি তৈরি করেছে, তাই D-কে এভাবে গঠন করুন:

$D=\left(\begin{array}{cc}-1& 0\\ 0& 4\end{array}\right)$

আমরা সহজে গণনা করতে পারি (-1)¹⁴=1, তাই আমরা পাই:

$D^{14}=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4^{14}\end{array}\right)$

এবং আমাদের কাছে 2×2 ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স তৈরির দ্রুত পদ্ধতি রয়েছে:

$P^{-1}=-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -4& -1\end{array}\right)$

সুতরাং এখন আমরা সরাসরি গুণ করতে পারি:

$-\frac{1}{5}\left(\begin{array}{cc}1& -1\\ -4& -1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 4^{14}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}-1& 1\\ 4& 1\end{array}\right)$

সরলীকরণ করে আমরা পাই:

$\left(\begin{array}{cc}214748365& 53687091\\ 214748364& 53687092\end{array}\right)$

সমস্যা গুচ্ছ

ওপরের আলোচনার ভিত্তিতে, নিচের ম্যাট্রিক্সের ঘাতগুলো নির্ণয় করুন (জোড় সংখ্যার প্রশ্নগুলোর উত্তর নিচে দেওয়া হলো):

1. ${\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ -2& 5\end{array}\right)}^6$
2. ${\left(\begin{array}{cc}1& 3\\ 3& -7\end{array}\right)}^5$
3. ${\left(\begin{array}{cc}-1& 9\\ -10& 16\end{array}\right)}^4$
4. ${\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 3\\ 0& 4& 0\\ 0& 0& 2\end{array}\right)}^3$

(আরও ক্লান্তিকর: কেবল কিছুটা সহজ কারণ এই ম্যাট্রিক্সটি রো একলন ফরমে রয়েছে)

উত্তরমালা

2.$\left(\begin{array}{cc}-3248& 9840\\ 9840& -29488\end{array}\right)$

4.$\left(\begin{array}{c}1/4\end{array}\right)\ast \left(\begin{array}{ccc}-32& 0& 48\\ 0& 256& 0\\ 0& 0& 32\end{array}\right)$

যুগল সাধারণ অন্তরক সমীকরণ

আমরা যুগল সাধারণ অন্তরক সমীকরণ সমাধান করতে কর্নীকরণ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, ধরা যাক x(t) and y(t) হলো অন্তরীকরণযোগ্য ফাংশন এবং x' ও y' তাদের অন্তরক বা ডেরিভেটিভ। এই অন্তরক সমীকরণগুলো সমাধান করা তুলনামূলকভাবে কঠিন:

x' = 4x - y

y' = 2x + y

কিন্তু

একটি ধ্রুবক k-এর জন্য u' = ku সমাধান করা সহজ

এর সমাধান হলো

u = Ae^kx যেখানে A একটি ধ্রুবক

এই তথ্যটি মনে রেখে, আমরা ওডিই গুলোকে ম্যাট্রিক্স আকারে রূপান্তর করি:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}4& -1\\ 2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

বর্গ ম্যাট্রিক্সটিকে কর্নীকরণ করে আমরা পাই:

$\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right){\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

আমরা ধরি:

$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

তাহলে এটি অনুসরণ করে যে:

$\left(\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$

অতএব:

$\left(\begin{array}{c}{u}^{\prime }\\ v^{\prime }\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)$

ওপরে যেমন আলোচনা করা হয়েছে, সমাধানগুলো সহজ। আমাদের কাছে আছে:

$u=C{e}^{3t}$

$v=table2t$

কিছু ধ্রুবক C এবং D-এর জন্য। যেহেতু:

$\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)={\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)}^{-1}\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

আমরা পাই:

$\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}u\\ v\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)$

এবং এভাবে:

$x=C{e}^{3t}+D{e}^{2t}$

$y=C{e}^{3t}+2D{e}^{2t}$

এই পদ্ধতিটি উচ্চতর মাত্রার ক্ষেত্রেও ভালোভাবে সাধারণীকরণ করা যায়।

যুগল অন্তরক সমীকরণ

আশ্চর্যজনকভাবে হলেও, যুগল অন্তরক সমীকরণের সমাধান গণনার ক্ষেত্রে ক্যালকুলাস-এর সাথে ম্যাট্রিক্সের একটি বড় ব্যবহার রয়েছে, যেখানে একটি অন্তরক সমীকরণের কিছু ফাংশন অন্য একটি অন্তরক সমীকরণের ওপর নির্ভর করে। উদাহরণস্বরূপ:

D y = 3y + x

D x = y + 3x

আর সামনে না বাড়িয়ে বলা যায়, এই অন্তরক সমীকরণগুলোর সমাধান দেখতে খুব কঠিন মনে হচ্ছে! তবে আমরা যদি এটিকে ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে প্রকাশ করি, তবে এটি বিশ্লেষণ করা কিছুটা সহজ হয়ে যায়।

উদাহরণ

চলুন ওপরের উদাহরণটি নেওয়া যাক, সুতরাং:

D y(t) = 3y + x

D x(t) = y + 3x

এখন একটি ভেক্টর গঠন করি:

$𝐯(t)=\left(\begin{array}{c}y\\ x\end{array}\right)$

তাহলে:

$D𝐯(t)=\left(\begin{array}{c}Dy\\ Dx\end{array}\right)$

এখন সমস্যাটি দাঁড়ায়:

$D(𝐯)=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)𝐯$

এটি আমাদের ক্যালকুলাসে ইতিমধ্যে দেখা অন্তরক সমীকরণের কথা মনে করিয়ে দেয়, যা হলো:

D y = ky

যার সমাধান হলো y = ce^kt। আমরা তখন একটি মোটামুটি অনুমান করতে পারি যে ওপরের ম্যাট্রিক্স সমীকরণের সমাধানটিও একই রকম আকারে থাকবে।

তো চলুন একটি সম্ভাব্য সমাধান v = we^λt চেষ্টা করা যাক। তাহলে D v = λwe^λt।

আসুন আমরা এই আনুমানিক সমাধানটি আমাদের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করার চেষ্টা করি:

$\lambda 𝐰e^{\lambda t}=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)𝐰e^{\lambda t}$

যদি আমরা ধরি:

$A=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ 1& 3\end{array}\right)$

আমরা দেখতে পাই যে ওপরের সমীকরণটি e^λt দ্বারা ভাগ করার পর এমন দাঁড়ায় (যেহেতু এটি কখনো শূন্য হয় না):

$A𝐰=\lambda 𝐰$

কিন্তু একটু দাঁড়ান - এটি তো আইগেনভ্যালু বের করার আগের সমীকরণ - এবং আমরা পেয়েছি যে v = we^λt সমাধানটি একটি সমাধান হবে যদি এবং কেবল যদি λ হলো A-এর একটি আইগেনভ্যালু হয় এবং w তার সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টর হয়।

আইগেনভ্যালুগুলো যথাক্রমে 4, 2 এবং সংশ্লিষ্ট আইগেনভেক্টরগুলো হলো:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$

যথাক্রমে।

সুতরাং আমাদের দুটি সমাধান রয়েছে:

$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)e^{4t}$

এবং

$\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)e^{2t}$

লক্ষ্য করুন যে যদি আমাদের কাছে D v = Av অন্তরক সমীকরণের দুটি সমাধান থাকে, তবে দুটি সমাধানের রৈখিক সমাবেশও একই সমাধান দেবে। তাহলে আমাদের সাধারণ সমাধানটি দাঁড়ায়:

$𝐯=j\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)e^{4t}+k\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)e^{2t}=$

$\left(\begin{array}{c}y(t)\\ x(t)\end{array}\right)=j\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)e^{4t}+k\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)e^{2t}=$

প্রথম এবং দ্বিতীয় উপাংশে পৃথক করে আমরা আমাদের দুটি সমাধান পাই:

$y(t)=j{e}^{4t}-k{e}^{2t},x(t)=j{e}^{4t}+k{e}^{2t}$।

সমস্যা গুচ্ছ

ওপরের আলোচনার ভিত্তিতে নিচের সমস্যাগুলো সমাধান করুন (জোড় সংখ্যার প্রশ্নগুলোর উত্তর নিচে দেওয়া হলো):

1. D y(t)=3x(t)+6y(t) এবং D x(t)=x(t)+4y(t) হলে y(t) এবং x(t) নির্ণয় করুন।
2. D y(t)=2x(t)+2y(t) এবং D x(t)=x(t)-2y(t) হলে y(t) এবং x(t) নির্ণয় করুন।

উত্তরমালা

ম্যাট্রিক্সটি গঠন করুন:

$A=\left(\begin{array}{cc}2& 2\\ 1& -2\end{array}\right).$

এই ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালুগুলো হলো:

$\pm \sqrt{6}$

এবং আইগেনভেক্টরগুলো হলো:

$\left(\begin{array}{c}2-\sqrt{6}\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}2+\sqrt{6}\\ 1\end{array}\right)$

তাই এখন:

$\left(\begin{array}{c}y(t)\\ x(t)\end{array}\right)=\alpha \left(\begin{array}{c}2-\sqrt{6}\\ 1\end{array}\right)e^{-\sqrt{6}t}+\beta \left(\begin{array}{c}2+\sqrt{6}\\ 1\end{array}\right)e^{\sqrt{6}t}$

এবং পর্যবেক্ষণ করেই y(t) ও x(t)-এর মান পড়া সম্ভব।

বহিঃসংযোগ

• অনলাইন ম্যাট্রিক্স ক্যালকুলেটর অনলাইনে ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু, আইগেনভেক্টর এবং অন্যান্য বিশ্লেষণ গণনা করে।