রৈখিক বীজগণিত/অন্তঃস্থ গুণজ জগত

ভেক্টর সম্পর্কিত প্রাথমিক আলোচনায় আমরা 'ডট গুণন' (dot product) নামক একটি বিশেষ গাণিতিক প্রক্রিয়ার সাথে পরিচিত হয়েছিলাম। যদি আমাদের কাছে $\mathbb {R} ^{n}$ জগতের দুটি ভেক্টর থাকে, তবে তাদের ডট গুণন করার পদ্ধতিটি অত্যন্ত সহজ; আমরা কেবল ভেক্টর দুটির অনুরূপ উপাদানগুলোকে একে অপরের সাথে গুণ করি এবং প্রাপ্ত গুণফলগুলোর সমষ্টি নির্ণয় করি। এই ডট গুণনের মাধ্যমেই ভেক্টরের দৈর্ঘ্য এবং দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণের মতো অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ গাণিতিক ধারণাগুলো সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব হয়। উদাহরণস্বরূপ, কোনো একটি নির্দিষ্ট ভেক্টর $\mathbf {a}$-এর দৈর্ঘ্য বা মানকে আমরা $\|\mathbf {a} \|={\sqrt {\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}$ হিসেবে প্রকাশ করতে পারি। একইভাবে, $\mathbf {a}$ এবং $\mathbf {b}$ নামক দুটি ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে, ডট গুণনের সাথে এর সম্পর্কটি নিচের সমীকরণের মাধ্যমে দেখানো যায়:

$\cos {\theta }={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \|\cdot \|\mathbf {b} \|}}$

গাণিতিক বিশ্লেষণে দেখা গেছে যে, ডট গুণনের মাত্র কয়েকটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করেই $\mathbb {R} ^{n}$ জগতের বাইরে অন্যান্য ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগতেও (যেমন $m\times n$ আকারের ম্যাট্রিক্সের জগত কিংবা বহুপদী বা পলিনোমিয়ালের জগত) অনুরূপ ধারণাগুলো সংজ্ঞায়িত করা সম্ভব। এই ভিন্নধর্মী ভেক্টর জগতগুলোতে ডট গুণনের পরিবর্তে যে অধিকতর সাধারণ ও ব্যাপক গাণিতিক প্রক্রিয়াটি ব্যবহৃত হয়, তাকেই মূলত "ইনার প্রোডাক্ট" (inner product) বা "অন্তঃস্থ গুণন" বলা হয়।

ইনার প্রোডাক্ট বা অন্তঃস্থ গুণন

ধরা যাক, আমাদের কাছে ত্রিমাত্রিক জগতের দুটি ভেক্টর রয়েছে:

$\mathbf {a} ={\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}},\mathbf {b} ={\begin{pmatrix}6\\3\\0\end{pmatrix}}$

এখন যদি আমরা এই ভেক্টর দুটির ডট গুণন নির্ণয় করতে চাই, তবে গাণিতিক প্রক্রিয়াটি হবে নিম্নরূপ:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}=(2)(6)+(1)(3)+(4)(0)=15$

যেহেতু এই ক্ষেত্রে সাধারণ গুণন প্রক্রিয়াটি বিনিময়যোগ্য বা 'কমিউটেটিভ' (commutative), তাই আমরা বলতে পারি যে $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a}$।

এর পাশাপাশি আমরা লক্ষ্য করি যে, $\mathbf {v} \cdot (\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} )=\alpha \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} +\beta \mathbf {v} \cdot \mathbf {b}$ সমীকরণটি সত্য; যা অনেকটা সাধারণ বীজগণিতের $v(aA+bB)=avA+bvB$ সমতার মতোই কাজ করে। সাধারণ ডট গুণনের ক্ষেত্রে এই বৈশিষ্ট্যটি অত্যন্ত কার্যকর। উদাহরণস্বরূপ, $\mathbb {R} ^{3}$ জগতের ক্ষেত্রে সমীকরণের উভয় পক্ষকে বিস্তারিতভাবে বিশ্লেষণ করলে আমরা নিচের ফলাফলটি পাই:

${\begin{matrix}(\alpha v_{1}a_{1}+\beta v_{1}b_{1})+(\alpha v_{2}a_{2}+\beta v_{2}b_{2})+(\alpha v_{3}a_{3}+\beta v_{3}b_{3})=\\(\alpha v_{1}a_{1}+\alpha v_{2}a_{2}+\alpha v_{3}a_{3})+(\beta v_{1}b_{1}+\beta v_{2}b_{2}+\beta v_{3}b_{3})\end{matrix}}$

পরিশেষে, আমরা এটিও লক্ষ্য করতে পারি যে, কোনো ভেক্টরের সাথে তার নিজের ডট গুণন অর্থাৎ $\mathbf {v} \cdot \mathbf {v}$ সর্বদা ধনাত্মক বা শূন্যের চেয়ে বড় হয়। $\mathbb {R} ^{3}$ জগতের জন্য এটি পরীক্ষা করলে দেখা যায় যে:

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+v_{3}^{2}$

যেহেতু যেকোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গ সর্বদা অঋণাত্মক বা ধনাত্মক হয়, তাই এই বর্গের সমষ্টির মান কখনোই শূন্যের কম হওয়া সম্ভব নয়। এখানে বিশেষভাবে উল্লেখ্য যে, $\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =0$ কেবল তখনই হবে যদি এবং কেবল যদি ভেক্টরটি নিজেই একটি শূন্য ভেক্টর বা $\mathbf {v} =0$ হয়।

ডট গুণফলের এই বিশেষ গাণিতিক বৈশিষ্ট্যগুলোকে যখন আমরা আরও ব্যাপক বা সাধারণ প্রেক্ষাপটে প্রয়োগ করতে চাই, তখন আমাদের মূল লক্ষ্য থাকে এই তিনটি মৌলিক আচরণ বা ধর্মকে অক্ষুণ্ণ রাখা। ডট গুণফলের এই সাধারণীকৃত রূপটিকেই গণিতের ভাষায় অন্তঃস্থ গুণফল বা ইনার প্রোডাক্ট (inner product) বলা হয়। কোনো একটি ভেক্টর স্পেস বা ভেক্টর জগৎ $V$-এর অন্তর্ভুক্ত দুটি ভেক্টর $\mathbf {x}$ এবং $\mathbf {y}$-এর অন্তঃস্থ গুণফলকে সাধারণত $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle$ প্রতীকের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়। গাণিতিকভাবে এটি একটি ফাংশন যা $V\times V\to \mathbb {R}$ ম্যাপিং অনুসরণ করে এবং নিচের সুনির্দিষ্ট বৈশিষ্ট্যসমূহ মেনে চলে:

• $\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle$ (প্রতিসাম্য ধর্ম)
• $\langle \mathbf {v} ,\alpha \mathbf {a} +\beta \mathbf {b} \rangle =\alpha \langle \mathbf {v} ,\mathbf {a} \rangle +\beta \langle \mathbf {v} ,\mathbf {b} \rangle$ (রৈখিকতা ধর্ম)
• $\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \rangle \geq 0$; যেখানে এই মানটি কেবল তখনই শূন্য হবে যদি এবং কেবল যদি $\mathbf {a} =0$ হয় (ধনাত্মক-নিশ্চয়তা ধর্ম)।

যখন কোনো ভেক্টর জগৎ $V$ এবং তার ওপর সংজ্ঞায়িত একটি নির্দিষ্ট অন্তঃস্থ গুণফলকে একত্রে বিবেচনা করা হয়, তখন সেই গাণিতিক কাঠামোটিকে একটি অন্তঃস্থ গুণফল জগৎ বা ইনার প্রোডাক্ট স্পেস (inner product space) হিসেবে অভিহিত করা হয়।

$\mathbb {C} ^{n}$ জগতে ডট গুণফল

ধরা যাক, জটিল সংখ্যার সেট $\mathbb {C} ^{n}$-এর অন্তর্ভুক্ত দুটি ভেক্টর হলো $\mathbf {a} =a_{1}{\vec {e}}_{1}+a_{2}{\vec {e}}_{2}+\dots +a_{n}{\vec {e}}_{n}\in \mathbb {C} ^{n}$ এবং $\mathbf {b} =b_{1}{\vec {e}}_{1}+b_{2}{\vec {e}}_{2}+\dots +b_{n}{\vec {e}}_{n}\in \mathbb {C} ^{n}$। জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে ডট গুণফলের যে সাধারণীকৃত রূপটি ব্যবহার করা হয়, তা নিম্নরূপভাবে সংজ্ঞায়িত:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}=a_{1}^{*}b_{1}+a_{2}^{*}b_{2}+\dots +a_{n}^{*}b_{n}$

এখানে যেকোনো একটি ইচ্ছামাফিক জটিল সংখ্যা $z=c+di$-এর জন্য $z^{*}$ দ্বারা তার অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা বা 'কমপ্লেক্স কনজুগেট' (complex conjugate)-কে বোঝানো হয়েছে, যেখানে $z^{*}=c-di$।

জটিল সংখ্যার ক্ষেত্রে ডট গুণফল "অনুবন্ধী বিনিময়যোগ্য" (conjugate commutative) ধর্ম প্রদর্শন করে, অর্থাৎ: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =(\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} )^{*}$। ডট গুণফলের এই সংজ্ঞা থেকে সরাসরি একটি সিদ্ধান্তে আসা যায় যে, কোনো ভেক্টরের সাথে তার নিজের ডট গুণফল সর্বদা একটি অ-ঋণাত্মক বাস্তব সংখ্যা হবে: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} \geq 0$।

এক্ষেত্রে $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0$ কেবল তখনই সম্ভব হবে, যদি এবং কেবল যদি ভেক্টরটি নিজে একটি শূন্য ভেক্টর বা $\mathbf {a} ={\vec {0}}$ হয়।

$\mathbb {C} ^{n}$ জগতের জন্য কশি-সোয়ার্জ অসমতা

কশি-সোয়ার্জ অসমতা

জটিল সংখ্যার ভেক্টর জগৎ $\mathbb {C} ^{n}$-এর অন্তর্ভুক্ত যেকোনো দুটি ভেক্টর $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {C} ^{n}$-এর ক্ষেত্রে এটি প্রমাণিত যে, $|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |\leq |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |$

বাস্তব সংখ্যার ভেক্টর জগৎ $\mathbb {R} ^{n}$-এর ক্ষেত্রে কশি-সোয়ার্জ অসমতাটি ত্রিভুজ অসমতা (triangle inequality) ব্যবহার করে প্রমাণ করা সম্ভব। তবে বর্তমান আলোচনায় আমরা এই কশি-সোয়ার্জ অসমতাটিকে বীজগাণিতিক পদ্ধতিতে প্রমাণ করব।

প্রমাণটিকে আরও সহজবোধ্য এবং স্বজ্ঞাত করার লক্ষ্যে, প্রথমে বাস্তব সংখ্যার ভেক্টর $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$-এর জন্য বীজগাণিতিক প্রমাণটি নিচে উপস্থাপন করা হলো।

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$-এর জন্য প্রমাণ

$|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |\leq |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |$ এই সম্পর্কটি মূলত $|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}\leq |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}$ থেকে উদ্ভূত হয়েছে, যা নিচের সমীকরণের সমতুল্য:

$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\right)\left(\sum _{j=1}^{n}b_{j}^{2}\right)$

এখন উপরের অসমতাটির উভয় পক্ষকে বিস্তৃত বা প্রসারিত করলে আমরা পাই:

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}b_{i}a_{j}b_{j}\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{i}^{2}b_{j}^{2}$

$\iff \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{j})(a_{j}b_{i})\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}b_{j})^{2}$

এই দ্বৈত সমষ্টি বা ডাবল সামেশনকে (double sums) কর্ণের সমান্তরালে বিন্যস্ত করে এবং উভয় পক্ষ থেকে সমমানের কর্ণীয় পদগুলোকে (diagonal terms) বর্জন করার মাধ্যমে আমরা নিম্নোক্ত গাণিতিক রূপটি লাভ করি:

$\iff \sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}2(a_{i}b_{j})(a_{j}b_{i})\leq \sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}((a_{i}b_{j})^{2}+(a_{j}b_{i})^{2})$

$\iff 0\leq \sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}$

উপরের অসমতাটি যে গাণিতিকভাবে সত্য তা অত্যন্ত স্পষ্ট, কারণ যে কোনো বাস্তব সংখ্যার বর্গের সমষ্টি সর্বদা অঋণাত্মক বা শূন্যের সমান হয়। ফলশ্রুতিতে, এটি প্রমাণিত হয় যে $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$-এর জন্য কশি-সোয়ার্জ অসমতাটি (Cauchy-Schwarz inequality) যথাযথভাবে প্রযোজ্য। }}

$\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {C} ^{n}$-এর জন্য প্রমাণ

এখানে বিশেষভাবে লক্ষ্য করা প্রয়োজন যে, $|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |\leq |\mathbf {a} ||\mathbf {b} |$ অসমতাটি মূলত $|\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |^{2}\leq |\mathbf {a} |^{2}|\mathbf {b} |^{2}$ থেকে উদ্ভূত হয়েছে। গাণিতিক বিশ্লেষণ অনুযায়ী এটি $(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{*}(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\leq (\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} )(\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} )$-এর সমতুল্য। এখন উভয় পক্ষকে বিস্তারিতভাবে বিস্তৃত করলে আমরা পাই:

$\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}\right)^{*}\left(\sum _{i=1}^{n}a_{i}^{*}b_{i}\right)\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|a_{i}|^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}|b_{i}|^{2}\right)$

$\iff \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{i}^{*}b_{i})^{*}(a_{j}^{*}b_{j})\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|a_{i}|^{2}|b_{j}|^{2}$

$\iff \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(a_{j}b_{i})^{*}(a_{i}b_{j})\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}|a_{i}b_{j}|^{2}$

পূর্বের ন্যায় এই দ্বৈত সমষ্টিকে কর্ণের সাপেক্ষে বিন্যস্ত করে এবং উভয় পক্ষের অভিন্ন পদগুলোকে বাদ দিলে পাওয়া যায়:

$\iff \sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}((a_{j}b_{i})^{*}(a_{i}b_{j})+(a_{i}b_{j})^{*}(a_{j}b_{i}))\leq \sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}(|a_{i}b_{j}|^{2}+|a_{j}b_{i}|^{2})$

$\iff \sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}2\Re ((a_{i}b_{j})^{*}(a_{j}b_{i}))\leq \sum _{i=2}^{n}\sum _{j=1}^{i-1}(|a_{i}b_{j}|^{2}+|a_{j}b_{i}|^{2})$

যে কোনো জটিল সংখ্যা $z$ এবং $w$-এর ক্ষেত্রে এটি প্রমাণ করা সম্ভব যে, $2\Re (z^{*}w)\leq |z|^{2}+|w|^{2}$। এই ধারণাটি বাস্তব সংখ্যার ক্ষেত্রে প্রচলিত $2xy\leq x^{2}+y^{2}$ অসমতাটির একটি জটিল সংস্করণ মাত্র। যেহেতু উপরের অসমতাটি গাণিতিকভাবে সঠিক বলে প্রমাণিত হয়েছে, তাই এটি নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে জটিল সংখ্যার (complex numbers) ক্ষেত্রেও কশি-সোয়ার্জ অসমতাটি পূর্ণরূপে কার্যকর।