রৈখিক বীজগণিত/অনুসন্ধান/সমাধান

সমাধান

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

নিচের প্রতিটির নির্ণায়ক মান বের করুন।

1. ${\begin{pmatrix}3&1\\-1&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&0&1\\3&1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&0&1\\0&0&1\\1&3&-1\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. $4$
2. $3$
3. $-12$

সমস্যা ২

নিচের প্রতিটির নির্ণায়ক মান বের করুন।

1. ${\begin{pmatrix}2&0\\-1&3\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}2&1&1\\0&5&-2\\1&-3&4\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&3&4\\5&6&7\\8&9&1\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. $6$
2. $21$
3. $27$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

যাচাই করুন যে একটি ঊর্ধ্ব-ত্রিভুজাকার $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক হলো এর প্রধান কর্ণ বরাবর ভুক্তিগুলোর গুণফল।

$\det({\begin{pmatrix}a&b&c\\0&e&f\\0&0&i\end{pmatrix}})=aei$

নিম্ন-ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সগুলোও কি একইভাবে কাজ করে?

উত্তর

প্রথমটির জন্য, এই অনুচ্ছেদের সূত্রটি প্রয়োগ করুন, খেয়াল করুন যে $d$, $g$, অথবা $h$ যুক্ত যেকোনো পদ শূন্য হবে, এরপর সরলীকরণ করুন। নিম্ন-ত্রিভুজাকার ম্যাট্রিক্সগুলোও একইভাবে কাজ করে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৪

নিচের প্রতিটি ম্যাট্রিক্স সিঙ্গুলার নাকি নন-সিঙ্গুলার তা নির্ণায়ক ব্যবহার করে সিদ্ধান্ত নিন।

1. ${\begin{pmatrix}2&1\\3&1\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}0&1\\1&-1\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}4&2\\2&1\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. নন-সিঙ্গুলার, নির্ণায়ক হলো $-1$।
2. নন-সিঙ্গুলার, নির্ণায়ক হলো $-1$।
3. সিঙ্গুলার, নির্ণায়ক হলো $0$।

সমস্যা ৫

সিঙ্গুলার নাকি নন-সিঙ্গুলার? সিদ্ধান্ত নিতে নির্ণায়ক ব্যবহার করুন।

1. ${\begin{pmatrix}2&1&1\\3&2&2\\0&1&4\end{pmatrix}}$
2. ${\begin{pmatrix}1&0&1\\2&1&1\\4&1&3\end{pmatrix}}$
3. ${\begin{pmatrix}2&1&0\\3&-2&0\\1&0&0\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. নন-সিঙ্গুলার, নির্ণায়ক হলো $3$।
2. সিঙ্গুলার, নির্ণায়ক হলো $0$।
3. সিঙ্গুলার, নির্ণায়ক হলো $0$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৬

প্রতি জোড়া ম্যাট্রিক্সের মধ্যে মাত্র একটি সারি অপারেশনের পার্থক্য রয়েছে। $\det(A)$ এবং $\det(B)$ এর মধ্যে তুলনা করতে এই অপারেশনটি ব্যবহার করুন।

1. $A={\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}}$
2. $A={\begin{pmatrix}3&1&0\\0&0&1\\0&1&2\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}3&1&0\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}}$
3. $A={\begin{pmatrix}1&-1&3\\2&2&-6\\1&0&4\end{pmatrix}}$ $B={\begin{pmatrix}1&-1&3\\1&1&-3\\1&0&4\end{pmatrix}}$

উত্তর

1. $\det(B)=\det(A)$ পাওয়া যায় $-2\rho _{1}+\rho _{2}$ এর মাধ্যমে
2. $\det(B)=-\det(A)$ পাওয়া যায় $\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}$ এর মাধ্যমে
3. $\det(B)=(1/2)\cdot \det(A)$ পাওয়া যায় $(1/2)\rho _{2}$ এর মাধ্যমে

সমস্যা ৭

এটি দেখান।

$\det({\begin{pmatrix}1&1&1\\a&b&c\\a^{2}&b^{2}&c^{2}\end{pmatrix}})=(b-a)(c-a)(c-b)$

উত্তর

একটি $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়কের সূত্র ব্যবহার করে আমরা বাম পক্ষকে বিস্তৃত করি

$1\cdot b\cdot c^{2}+1\cdot c\cdot a^{2}+1\cdot a\cdot b^{2}-b^{2}\cdot c\cdot 1-c^{2}\cdot a\cdot 1-a^{2}\cdot b\cdot 1$

এবং বণ্টন বিধি প্রয়োগ করে আমরা ডান পক্ষকে বিস্তৃত করি।

$(bc-ba-ac+a^{2})\cdot (c-b)=c^{2}b-b^{2}c-bac+b^{2}a-ac^{2}+acb+a^{2}c-a^{2}b$

এখন আমরা সহজেই দেখতে পাচ্ছি যে দুটি পক্ষ সমান। (বিঃদ্রঃ এটি হলো ভ্যানডারমন্ডের নির্ণায়কের $3\!\times \!3$ ক্ষেত্রের একটি রূপ যা বিভিন্ন প্রয়োগে দেখা যায়)।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৮

কোন বাস্তব সংখ্যা $x$ এর জন্য এই ম্যাট্রিক্সটি সিঙ্গুলার হবে?

${\begin{pmatrix}12-x&4\\8&8-x\end{pmatrix}}$

উত্তর

এই সমীকরণটির

$0=\det({\begin{pmatrix}12-x&4\\8&8-x\end{pmatrix}})=64-20x+x^{2}=(x-16)(x-4)$

মূল হলো $x=16$ এবং $x=4$।

সমস্যা ৯

এই অনুচ্ছেদের প্রস্তাবনায় উল্লেখিত $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্সের সূত্রটি যাচাই করতে গাউসিয়ান রিডাকশন সম্পন্ন করুন।

${\begin{pmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}$ নন-সিঙ্গুলার হবে যদি এবং কেবল যদি $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$

উত্তর

আমরা প্রথমে ম্যাট্রিক্সটিকে এচেলন আকারে রূপান্তরিত করি। শুরুতে ধরে নিই যে, $a\neq 0$ এবং $ae-bd\neq 0$।

${\begin{array}{rcl}{\xrightarrow[{}]{(1/a)\rho _{1}}}\;{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}}&{\xrightarrow[{-g\rho _{1}+\rho _{3}}]{-d\rho _{1}+\rho _{2}}}&{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&(ae-bd)/a&(af-cd)/a\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\end{pmatrix}}\\&{\xrightarrow[{}]{(a/(ae-bd))\rho _{2}}}&{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&1&(af-cd)/(ae-bd)\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\end{pmatrix}}\end{array}}$

এই ধাপটি হিসাব সম্পন্ন করে।

${\xrightarrow[{}]{((ah-bg)/a)\rho _{2}+\rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&1&(af-cd)/(ae-bd)\\0&0&(aei+bgf+cdh-hfa-idb-gec)/(ae-bd)\end{pmatrix}}$

এখন $a\neq 0$ এবং $ae-bd\neq 0$ ধরে নিলে, মূল ম্যাট্রিক্সটি নন-সিঙ্গুলার হবে যদি এবং কেবল যদি উপরের $3,3$ ভুক্তিটি অশূন্য (nonzero) হয়। অর্থাৎ, প্রদত্ত শর্তাধীনে, মূল ম্যাট্রিক্সটি নন-সিঙ্গুলার হবে যদি এবং কেবল যদি $aei+bgf+cdh-hfa-idb-gec\neq 0$ হয়, যেমনটি প্রয়োজন ছিল।

আগের অনুচ্ছেদে সুবিধার জন্য যে শর্তগুলো ধরে নেওয়া হয়েছিল, সেগুলো সত্য না হলে কী হবে তা বিবেচনা করে আমরা শেষ করছি। প্রথমত, যদি $a\neq 0$ কিন্তু $ae-bd=0$ হয় তবে আমরা সারি অদলবদল করতে পারি

${\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&0&(af-cd)/a\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\end{pmatrix}}{\xrightarrow[{}]{\rho _{2}\leftrightarrow \rho _{3}}}{\begin{pmatrix}1&b/a&c/a\\0&(ah-bg)/a&(ai-cg)/a\\0&0&(af-cd)/a\end{pmatrix}}$

এবং সিদ্ধান্তে পৌঁছাতে পারি যে ম্যাট্রিক্সটি নন-সিঙ্গুলার হবে যদি এবং কেবল যদি $ah-bg=0$ অথবা $af-cd=0$ হয়। "$ah-bg=0$ অথবা $af-cd=0$" শর্তটি "$(ah-bg)(af-cd)=0$" শর্তের সমতুল্য। গুণ করে এবং $ae-bd=0$ শর্তটি ব্যবহার করে $bd$ এর পরিবর্তে $ae$ বসালে আমরা এটি পাই।

$0=ahaf-ahcd-bgaf+bgcd=ahaf-ahcd-bgaf+aegc=a(haf-hcd-bgf+egc)$

যেহেতু $a\neq 0$, তাই ম্যাট্রিক্সটি নন-সিঙ্গুলার হবে যদি এবং কেবল যদি $haf-hcd-bgf+egc=0$ হয়। অতএব, এই $a\neq 0$ এবং $ae-bd=0$ ক্ষেত্রে, ম্যাট্রিক্সটি নন-সিঙ্গুলার হবে যখন $haf-hcd-bgf+egc-i(ae-bd)=0$ হয়।

বাকি ক্ষেত্রগুলোর প্রমাণ খুবই সাধারণ। $a=0$ কিন্তু $d\neq 0$ ক্ষেত্রটি এবং $a=0$ ও $d=0$ কিন্তু $g\neq 0$ ক্ষেত্রটি প্রথমে সারি অদলবদল করে এবং তারপর উপরের মতো এগিয়ে গিয়ে সম্পন্ন করুন। $a=0$, $d=0$, এবং $g=0$ ক্ষেত্রটি সহজ— এই ম্যাট্রিক্সটি সিঙ্গুলার কারণ এর কলামগুলো একটি রৈখিকভাবে নির্ভরশীল সেট তৈরি করে, এবং এর নির্ণায়ক শূন্য হয়।

সমস্যা ১০

দেখান যে $\mathbb {R} ^{2}$-এ $(x_{1},y_{1})$ এবং $(x_{2},y_{2})$ বিন্দুগামী একটি সরলরেখার সমীকরণকে এই নির্ণায়কের সাহায্যে প্রকাশ করা যায়।

$\det({\begin{pmatrix}x&y&1\\x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\end{pmatrix}})=0\qquad x_{1}\neq x_{2}$

উত্তর

নির্ণায়কের মান বের করে এবং কিছু বীজগণিতীয় হিসাব করলে এটি পাওয়া যায়।

${\begin{array}{rl}0&=y_{1}x+x_{2}y+x_{1}y_{2}-y_{2}x-x_{1}y-x_{2}y_{1}\\(x_{2}-x_{1})\cdot y&=(y_{2}-y_{1})\cdot x+x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}\\y&={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}\cdot x+{\frac {x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2}}{x_{2}-x_{1}}}\end{array}}$

লক্ষণীয় যে এটি একটি সরলরেখার সমীকরণ (বিশেষ করে, এতে ঢাল বা slope-এর পরিচিত রাশিটি অন্তর্ভুক্ত রয়েছে), এবং খেয়াল করুন যে $(x_{1},y_{1})$ ও $(x_{2},y_{2})$ বিন্দু দুটি একে সিদ্ধ করে।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১১

অনেকেই $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক মনে রাখার এই কৌশলটি জানেন: প্রথমে প্রথম দুটি কলামের পুনরাবৃত্তি করুন এবং তারপর সামনের দিককার কর্ণগুলোর গুণফল যোগ করুন এবং পেছনের দিককার কর্ণগুলোর গুণফল বিয়োগ করুন। অর্থাৎ, প্রথমে লিখুন

$\left({\begin{array}{ccc|cc}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,3}&h_{1,1}&h_{1,2}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,3}&h_{2,1}&h_{2,2}\\h_{3,1}&h_{3,2}&h_{3,3}&h_{3,1}&h_{3,2}\end{array}}\right)$

এবং তারপর এর মান হিসাব করুন।

${\begin{array}{l}h_{1,1}h_{2,2}h_{3,3}+h_{1,2}h_{2,3}h_{3,1}+h_{1,3}h_{2,1}h_{3,2}\\\quad -h_{3,1}h_{2,2}h_{1,3}-h_{3,2}h_{2,3}h_{1,1}-h_{3,3}h_{2,1}h_{1,2}\end{array}}$

1. যাচাই করুন যে এটি এই অনুচ্ছেদের প্রস্তাবনায় দেওয়া সূত্রের সাথে মিলে যায়।
2. এটি কি অন্যান্য আকারের নির্ণায়কের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য?

উত্তর

1. এই অনুচ্ছেদের প্রস্তাবনায় দেওয়া সূত্রের সাথে তুলনা করা বেশ সহজ।
2. যদিও এটি $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের জন্য সত্য

   ${\begin{array}{rl}\left({\begin{array}{cc|c}h_{1,1}&h_{1,2}&h_{1,1}\\h_{2,1}&h_{2,2}&h_{2,1}\end{array}}\right)&={\begin{array}{l}h_{1,1}h_{2,2}+h_{1,2}h_{2,1}\\\quad -h_{2,1}h_{1,2}-h_{2,2}h_{1,1}\end{array}}\\&=h_{1,1}h_{2,2}-h_{1,2}h_{2,1}\end{array}}$

   এটি $4\!\times \!4$ ম্যাট্রিক্সের জন্য প্রযোজ্য নয়। একটি উদাহরণ হলো এই ম্যাট্রিক্সটি সিঙ্গুলার কারণ এর দ্বিতীয় এবং তৃতীয় সারি সমান

   ${\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\-1&0&0&1\end{pmatrix}}$

   কিন্তু কৌশলটি অনুসরণ করলে ফলাফল শূন্য আসে না।

   $\left({\begin{array}{cccc|ccc}1&0&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&1&1\\0&1&1&0&0&1&1\\-1&0&0&1&-1&0&0\end{array}}\right)={\begin{array}{l}1+0+0+0\\\quad -(-1)-0-0-0\end{array}}$

সমস্যা ১২

ভেক্টরগুলোর ক্রস গুণফল

${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\qquad {\vec {y}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}$

হলো এই নির্ণায়কের সাহায্যে হিসাবকৃত ভেক্টর।

${\vec {x}}\times {\vec {y}}=\det({\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{1}&{\vec {e}}_{2}&{\vec {e}}_{3}\\x_{1}&x_{2}&x_{3}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}\end{pmatrix}})$

লক্ষণীয় যে, প্রথম সারিটি ভেক্টর দিয়ে গঠিত, যেগুলো হলো $\mathbb {R} ^{3}$-এর প্রমিত ভিত্তি থেকে নেওয়া ভেক্টর। দেখান যে দুটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল প্রতিটি ভেক্টরের ওপর লম্ব।

উত্তর

নির্ণায়কটি হলো $(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}){\vec {e}}_{1}+(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}){\vec {e}}_{2}+(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}){\vec {e}}_{3}$। লম্বিকতা যাচাই করার জন্য, আমরা দেখি যে প্রথম ভেক্টরের সাথে এর ডট গুণফল শূন্য কি না

${\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}=x_{1}x_{2}y_{3}-x_{1}x_{3}y_{2}+x_{2}x_{3}y_{1}-x_{1}x_{2}y_{3}+x_{1}x_{3}y_{2}-x_{2}x_{3}y_{1}=0$

এবং দ্বিতীয় ভেক্টরের সাথে ডট গুণফলটিও শূন্য কি না।

${\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}\\x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}\\x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}\end{pmatrix}}=x_{2}y_{1}y_{3}-x_{3}y_{1}y_{2}+x_{3}y_{1}y_{2}-x_{1}y_{2}y_{3}+x_{1}y_{2}y_{3}-x_{2}y_{1}y_{3}=0$

সমস্যা ১৩

প্রমাণ করুন যে নিচের প্রতিটি বিবৃতি $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের জন্য সত্য।

1. গুণফলের নির্ণায়ক হলো নির্ণায়কগুলোর গুণফলের সমান $\det(ST)=\det(S)\cdot \det(T)$।
2. যদি $T$ ইনভার্টিবল বা বিপরীতযোগ্য হয়, তবে এর বিপরীত ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক হলো মূল নির্ণায়কের বিপরীত $\det(T^{-1})=(\,\det(T)\,)^{-1}$।

$T$ এবং $T^{\prime }$ ম্যাট্রিক্স দুটিকে সদৃশ বলা হয় যদি এমন একটি নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স $P$ থাকে যেন $T^{\prime }=PTP^{-1}$ হয়। (এই সংজ্ঞাটি পঞ্চম অধ্যায়ে রয়েছে।) দেখান যে সদৃশ $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সগুলোর নির্ণায়কের মান একই।

উত্তর

1. মান বসিয়ে হিসাব করা: গুণফলের নির্ণায়ক হলো এটি

   ${\begin{array}{rl}\det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}})&=\det({\begin{pmatrix}aw+by&ax+bz\\cw+dy&cx+dz\end{pmatrix}})\\&={\begin{array}{l}acwx+adwz+bcxy+bdyz\\\quad -acwx-bcwz-adxy-bdyz\end{array}}\end{array}}$

   অন্যদিকে নির্ণায়কগুলোর গুণফল হলো এটি।

   $\det({\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}})\cdot \det({\begin{pmatrix}w&x\\y&z\end{pmatrix}})=(ad-bc)\cdot (wz-xy)$

   এরা যে সমান তা যাচাই করা বেশ সহজ।
2. আগের অংশটি ব্যবহার করুন।

সদৃশ ম্যাট্রিক্সগুলোর নির্ণায়কের মান যে একই, তা উপরের দুটি বিষয় থেকে সরাসরি পাওয়া যায়: $\det(PTP^{-1})=\det(P)\cdot \det(T)\cdot \det(P^{-1})$।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৪

প্রমাণ করুন যে সমতলে এই অঞ্চলের ক্ষেত্রফল

এই নির্ণায়কের মানের সমান।

$\det({\begin{pmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&y_{2}\end{pmatrix}})$

এর সাথে তুলনা করুন।

$\det({\begin{pmatrix}x_{2}&x_{1}\\y_{2}&y_{1}\end{pmatrix}})$

উত্তর

একটি উপায় হলো সম্পূর্ণ আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল থেকে $A$ (উপরের-বাম আয়তক্ষেত্র), $B$ (উপরের-মাঝের ত্রিভুজ), $D$ (উপরের-ডান ত্রিভুজ), $C$ (নিচের-বাম ত্রিভুজ), $E$ (নিচের-মাঝের ত্রিভুজ) এবং $F$ (নিচের-ডান আয়তক্ষেত্র) এর ক্ষেত্রফল বিয়োগ করে এই ক্ষেত্রফলগুলো গণনা করা: $(x_{1}+x_{2})(y_{1}+y_{2})-x_{2}y_{1}-(1/2)x_{1}y_{1}-(1/2)x_{2}y_{2}-(1/2)x_{2}y_{2}-(1/2)x_{1}y_{1}-x_{2}y_{1}$। সরলীকরণ করলে নির্ণায়কের সূত্রটি পাওয়া যায়।

এই নির্ণায়কটি উপরেরটির ঋণাত্মক রূপ; দ্বিতীয় কলামটি প্রথমটির সাপেক্ষে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আছে কিনা, সূত্রটি তা পার্থক্য করে।

সমস্যা ১৫

প্রমাণ করুন যে $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে, একটি ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক তার ট্রান্সপোজের নির্ণায়কের সমান। এটি কি $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্সের জন্যও প্রযোজ্য?

উত্তর

প্রস্তাবনায় উল্লিখিত সূত্রটি ব্যবহার করে $2\!\times \!2$ ম্যাট্রিক্সের জন্য গণনা করা সহজ। এটি $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্সের জন্যও সত্য; এর হিসাবও সাধারণ।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৬

নির্ণায়ক ফাংশনটি কি রৈখিক — অর্থাৎ $\det(x\cdot T+y\cdot S)=x\cdot \det(T)+y\cdot \det(S)$ কি?

উত্তর

না। মনে করে দেখুন যে, ধ্রুবকগুলো একবারে একটি সারি থেকে বের হয়ে আসে।

$\det({\begin{pmatrix}2&4\\2&6\\\end{pmatrix}})=2\cdot \det({\begin{pmatrix}1&2\\2&6\\\end{pmatrix}})=2\cdot 2\cdot \det({\begin{pmatrix}1&2\\1&3\\\end{pmatrix}})$

এটি রৈখিকতার পরিপন্থি (এখানে আমাদের $S$ এর প্রয়োজন হয়নি, অর্থাৎ, আমরা $S$ কে শূন্য ম্যাট্রিক্স হিসেবে ধরতে পারি)।

সমস্যা ১৭

দেখান যে যদি $A$ একটি $3\!\times \!3$ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে যেকোনো স্কেলার $c$ এর জন্য $\det(c\cdot A)=c^{3}\cdot \det(A)$ হবে।

উত্তর

একবারে একটি সারি থেকে $c$-গুলোকে বাইরে আনুন।

সমস্যা ১৮

কোন বাস্তব সংখ্যা $\theta$ এর জন্য

${\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}$

ম্যাট্রিক্সটি সিঙ্গুলার হবে? জ্যামিতিকভাবে ব্যাখ্যা করুন।

উত্তর

এমন কোনো বাস্তব সংখ্যা $\theta$ নেই যা ম্যাট্রিক্সটিকে সিঙ্গুলার করে, কারণ ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta$ কখনোই $0$ নয়, বরং সব $\theta$ এর জন্যই এটি $1$ এর সমান। জ্যামিতিকভাবে, প্রমিত ভিত্তির সাপেক্ষে, এই ম্যাট্রিক্সটি সমতলকে $\theta$ কোণে ঘোরে এমন একটি ঘূর্ণনকে নির্দেশ করে। এই ধরনের প্রতিটি রূপান্তরই এক-এক — প্রথমত, এটি ইনভার্টিবল।

? সমস্যা ১৯

যদি একটি তৃতীয় মাত্রার নির্ণায়কের উপাদানগুলো $1$, $2$, ..., $9$ হয়, তবে এর সর্বোচ্চ মান কত হতে পারে?

উত্তর

উদ্ধৃত উৎসে উত্তরটি এভাবেই দেওয়া হয়েছিল। ধরি, নির্ণায়কের তিনটি ধনাত্মক পদের যোগফল হলো $P$ এবং তিনটি ঋণাত্মক পদের যোগফল হলো $-N$। $P$ এর সর্বোচ্চ মান হলো

$9\cdot 8\cdot 7+6\cdot 5\cdot 4+3\cdot 2\cdot 1=630.$

$P$ এর সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ $N$ এর সর্বনিম্ন মান হলো

$9\cdot 6\cdot 1+8\cdot 5\cdot 2+7\cdot 4\cdot 3=218.$

$P$-এর যেকোনো পরিবর্তনে যোগফলটি $4$-এর চেয়েও বেশি কমে যাবে। অতএব নির্ণায়কের সর্বোচ্চ মান হলো $412$ এবং নির্ণায়কটির একটি রূপ হলো

${\begin{vmatrix}9&4&2\\3&8&6\\5&1&7\end{vmatrix}}.$

তথ্যসূত্র

• Haggett, Vern (proposer); Saunders, F. W. (solver) (১৯৫৫), "Elementary problem 1135", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 62 (5): 257  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)