রৈখিক বীজগণিত/অনুসন্ধান

এই উপবিভাগটি ঐচ্ছিক। এটি সংক্ষেপে বর্ণনা করে যে কীভাবে একজন অনুসন্ধানকারী একটি ভালো সাধারণ সংজ্ঞায় উপনীত হতে পারেন, যা পরবর্তী উপবিভাগে দেওয়া হয়েছে।

উপরের তিনটি ক্ষেত্রে সাধারণ $n\times n$ সূত্রের জন্য ব্যবহার করার মতো কোনো সুস্পষ্ট ধরন বা প্যাটার্ন দেখা যায় না। আমরা লক্ষ্য করতে পারি যে $1\times 1$ পদ $a$-তে একটি অক্ষর আছে, $2\times 2$ পদ $ad$ এবং $bc$-তে দুটি অক্ষর আছে এবং $3\times 3$ পদ $aei$, ইত্যাদিতে তিনটি অক্ষর আছে। আমরা আরও পর্যবেক্ষণ করতে পারি যে এই পদগুলোর প্রতিটিতে ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি সারি এবং কলাম থেকে একটি করে অক্ষর রয়েছে, উদাহরণস্বরূপ, $cdh$ পদের অক্ষরগুলো

$\left(\begin{array}{ccc}& & c\\ d\\ & h\end{array}\right)$

প্রতিটি সারি থেকে একটি এবং প্রতিটি কলাম থেকে একটি করে এসেছে। কিন্তু এই পর্যবেক্ষণগুলো জ্ঞানগর্ভের চেয়ে বরং বেশি বিভ্রান্তিকর বলে মনে হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, আমরা ভাবতে পারি কেন কিছু পদ যোগ করা হয়েছে আর অন্যগুলো বিয়োগ করা হয়েছে।

সমস্যা সমাধানের একটি ভালো কৌশল হলো সমাধানের কী কী বৈশিষ্ট্য থাকা উচিত তা দেখা এবং তারপর সেই বৈশিষ্ট্যগুলো আছে এমন কিছুর সন্ধান করা। তাই সূত্রগুলোর কাছে আমাদের কী কী বৈশিষ্ট্য প্রয়োজন তা জিজ্ঞাসা করার মাধ্যমে আমরা শুরু করব।

এই পর্যায়ে, কোনো ম্যাট্রিক্স একক কিনা তা নির্ধারণ করার আমাদের প্রাথমিক উপায় হলো গাউসিয়ান রিডাকশন করা এবং তারপর ফলাফল হিসেবে প্রাপ্ত ইচেলন ফর্ম ম্যাট্রিক্সের কর্ণে কোনো শূন্য আছে কিনা তা পরীক্ষা করা (অর্থাৎ, কর্ণের গুণফল শূন্য কিনা তা পরীক্ষা করা)। সুতরাং, আমরা আশা করতে পারি যে, কোনো সূত্র সিঙ্গুলারিটি নির্ধারণ করে এর প্রমাণে ম্যাট্রিক্সটিতে গাউসের পদ্ধতি প্রয়োগ করা অন্তর্ভুক্ত থাকবে, এটি দেখানোর জন্য যে শেষ পর্যন্ত কর্ণের গুণফলটি শূন্য হবে যদি এবং কেবল যদি নির্ণায়কের সূত্র শূন্য দেয়। এটি আমাদের প্রাথমিক পরিকল্পনার ইঙ্গিত দেয়: আমরা ফাংশনগুলোর এমন একটি পরিবারের সন্ধান করব যার বৈশিষ্ট্য হলো সারি অপারেশন দ্বারা প্রভাবিত না হওয়া এবং একটি বৈশিষ্ট্য থাকবে যে ইচেলন ফর্ম ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক হলো এর কর্ণের ভুক্তিগুলোর গুণফল। এই পরিকল্পনার অধীনে, ফাংশনগুলো সিঙ্গুলারিটি নির্ধারণ করে তার প্রমাণটি এমন হবে, "যেখানে $T\to \cdots \to \hat{T}$ হলো গাউসিয়ান রিডাকশন, $T$ এর নির্ণায়ক $\hat{T}$ এর নির্ণায়কের সমান (কারণ সারি অপারেশন দ্বারা নির্ণায়ক অপরিবর্তিত থাকে), যা কর্ণের ভুক্তিগুলোর গুণফলের সমান, এবং তা শূন্য হবে যদি এবং কেবল যদি ম্যাট্রিক্সটি একক হয়"। এই উপবিভাগের বাকি অংশে আমরা আমাদের জানা $2\times 2$ এবং $3\times 3$ নির্ণায়কের উপর এই পরিকল্পনাটি পরীক্ষা করব। পরিশেষে আমরা "সারি অপারেশন দ্বারা প্রভাবিত হয় না" অংশটি কিছুটা পরিবর্তন করব, তবে খুব বেশি নয়।

পরিকল্পনাটি যাচাই করার প্রথম ধাপ হলো $2\times 2$ এবং $3\times 3$ সূত্রগুলো পিভটিং এর সারি অপারেশন দ্বারা প্রভাবিত হয় কিনা তা পরীক্ষা করা: যদি

$T\underset{}{\overset{k{\rho }_i+{\rho }_j}{\to }}\hat{T}$

তবে কি $det(\hat{T})=det(T)$ হবে? $k{\rho }_1+{\rho }_2$ অপারেশনের পরে $2\times 2$ নির্ণায়কের এই পরীক্ষাটি

$det(\left(\begin{array}{cc}a& b\\ ka+c& kb+d\end{array}\right))=a(kb+d)-(ka+c)b=ad-bc$

দেখায় যে এটি সত্যিই অপরিবর্তিত রয়েছে, এবং অন্য $2\times 2$ পিভট $k{\rho }_2+{\rho }_1$ একই ফলাফল দেয়। $3\times 3$ পিভট $k{\rho }_3+{\rho }_2$ নির্ণায়কটিকে অপরিবর্তিত রাখে

$\begin{array}{cc}det(\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ kg+d& kh+e& ki+f\\ g& h& i\end{array}\right))& =\begin{array}{c}a(kh+e)i+b(ki+f)g+c(kg+d)h\\ -h(ki+f)a-i(kg+d)b-g(kh+e)c\end{array}\\ & =aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\end{array}$

ঠিক যেমনটা অন্যান্য $3\times 3$ পিভট অপারেশনগুলো করে থাকে।

সুতরাং পরিকল্পনাটিতে সম্ভাবনা আছে বলে মনে হচ্ছে। অবশ্য, হয়তোবা $4\times 4$ নির্ণায়কের সূত্র পিভটিং দ্বারা প্রভাবিত হতে পারে। আমরা এখানে একটি সম্ভাবনা অন্বেষণ করছি এবং আমাদের কাছে এখনও সব তথ্য নেই। তা সত্ত্বেও, এ পর্যন্ত সব ঠিকই আছে।

পরবর্তী ধাপ হলো দুটি সারি অদলবদল করার অপারেশন

$T\underset{}{\overset{{\rho }_i\leftrightarrow {\rho }_j}{\to }}\hat{T}$

এর জন্য $det(\hat{T})$ এর সাথে $det(T)$ তুলনা করা। $2\times 2$ সারি অদলবদল ${\rho }_1\leftrightarrow {\rho }_2$

$det(\left(\begin{array}{cc}c& d\\ a& b\end{array}\right))=cb-ad$

$ad-bc$ দেয় না। একটি $3\times 3$ ম্যাট্রিক্সের ভেতরে এই ${\rho }_1\leftrightarrow {\rho }_3$ অদলবদল

$det(\left(\begin{array}{ccc}g& h& i\\ d& e& f\\ a& b& c\end{array}\right))=gec+hfa+idb-bfg-cdh-aei$

অদলবদলের আগের মতো একই নির্ণায়ক দেয় না — আবারও চিহ্নের পরিবর্তন হয়। একটি ভিন্ন $3\times 3$ অদলবদল ${\rho }_1\leftrightarrow {\rho }_2$ চেষ্টা করলেও

$det(\left(\begin{array}{ccc}d& e& f\\ a& b& c\\ g& h& i\end{array}\right))=dbi+ecg+fah-hcd-iae-gbf$

চিহ্নের পরিবর্তন ঘটে।

সুতরাং, দেখা যাচ্ছে সারি অদলবদল একটি নির্ণায়কের চিহ্ন পরিবর্তন করে। এটি আমাদের পরিকল্পনাটি কিছুটা পরিবর্তন করে, তবে এটি নষ্ট করে না। আমরা নির্ণায়কটি কেবল শূন্য কিনা তা বিবেচনা করে এককনয় নির্ধারণ করতে চাই, এর চিহ্ন বিবেচনা করে নয়। তাই, নির্ণায়কগুলো সারি অপারেশন দ্বারা সম্পূর্ণভাবে অপরিবর্তিত থাকার আশা করার পরিবর্তে, আমরা দেখব যে অদলবদলের কারণে তাদের চিহ্নের পরিবর্তন ঘটে কিনা।

শেষ করার জন্য, কোনো সারিকে একটি স্কেলার $k\ne 0$ দ্বারা গুণ করার অপারেশন

$T\underset{}{\overset{k{\rho }_i}{\to }}\hat{T}$

এর জন্য আমরা $det(\hat{T})$ এর সাথে $det(T)$ তুলনা করব। $2\times 2$ ক্ষেত্রগুলোর একটি হলো

$det(\left(\begin{array}{cc}a& b\\ kc& kd\end{array}\right))=a(kd)-(kc)b=k\cdot (ad-bc)$

এবং অন্য ক্ষেত্রেও একই ফলাফল হয়। এখানে একটি $3\times 3$ ক্ষেত্র দেওয়া হলো

$\begin{array}{cc}det(\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ kg& kh& ki\end{array}\right))& =\begin{array}{c}ae(ki)+bf(kg)+cd(kh)\\ -(kh)fa-(ki)db-(kg)ec\end{array}\\ & =k\cdot (aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec)\end{array}$

এবং অন্য দুটিও একই রকম। এগুলো আমাদের ধারণা দেয় যে কোনো সারিকে $k$ দিয়ে গুণ করলে নির্ণায়কটিও $k$ দ্বারা গুণ হয়। এটি আমাদের পরিবর্তিত পরিকল্পনার সাথে মিলে যায় কারণ আমরা শুধু চাচ্ছি নির্ণায়কের শূন্য-অবস্থা অপরিবর্তিত থাকুক এবং আমরা নির্ণায়কের চিহ্ন বা মানের দিকে মনোযোগ দিচ্ছি না।

সংক্ষেপে, নির্ণায়ক গণনার সূত্রগুলোর পদ্ধতি তৈরি করার জন্য, আমরা এমন নির্ণায়ক ফাংশনগুলো খুঁজছি যা পিভটিং অপারেশনের অধীনে অপরিবর্তিত থাকে, সারি অদলবদল করলে চিহ্ন পরিবর্তন করে, এবং কোনো সারিকে পুনরায় স্কেল করলে পুনরায় স্কেল হয়। পরবর্তী দুটি উপবিভাগে আমরা দেখতে পাব যে প্রতিটি $n$ এর জন্য এমন একটি ফাংশনের অস্তিত্ব রয়েছে এবং তা অনন্য।

পরবর্তী উপবিভাগের জন্য, মনে রাখবেন যে, উপরের মতো, অন্যান্য সারিগুলোকে প্রভাবিত না করেই প্রতিটি সারি থেকে স্কেলারগুলো বেরিয়ে আসে। উদাহরণস্বরূপ, এই সমতায়

$det(\left(\begin{array}{ccc}3& 3& 9\\ 2& 1& 1\\ 5& 10& -5\end{array}\right))=3\cdot det(\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 2& 1& 1\\ 5& 10& -5\end{array}\right))$

$3$ কে তিনটি সারি থেকে কমন নেওয়া হয়নি, কেবল উপরের সারি থেকে কমন নেওয়া হয়েছে। নির্ণায়ক প্রতিটি সারির উপর অন্য সারিগুলো থেকে স্বাধীনভাবে কাজ করে। যখন আমরা নির্ণায়কের এই বৈশিষ্ট্যটি ব্যবহার করতে চাই, তখন আমরা নির্ণায়কটিকে সারিগুলোর একটি ফাংশন হিসাবে লিখব: "$det({\overrightarrow{\rho }}_1,{\overrightarrow{\rho }}_2,\dots {\overrightarrow{\rho }}_n)$", "$det(T)$" বা "$det(t_{1,1},\dots ,t_{n,n})$" হিসেবে নয়। পরবর্তী উপবিভাগে শুরু হওয়া নির্ণায়কের সংজ্ঞাটি এভাবেই লেখা হয়েছে।

অনুশীলনী

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১

নিচের প্রতিটির নির্ণায়কের মান নির্ণয় করুন।

1. $\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{ccc}2& 0& 1\\ 3& 1& 1\\ -1& 0& 1\end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{ccc}4& 0& 1\\ 0& 0& 1\\ 1& 3& -1\end{array}\right)$

সমস্যা ২

নিচের প্রতিটির নির্ণায়কের মান নির্ণয় করুন।

1. $\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ -1& 3\end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 0& 5& -2\\ 1& -3& 4\end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{ccc}2& 3& 4\\ 5& 6& 7\\ 8& 9& 1\end{array}\right)$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৩

যাচাই করুন যে একটি আপার-ট্রায়াঙ্গুলার $3\times 3$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক হলো এর কর্ণের উপাদানগুলোর গুণফল।

$det(\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ 0& e& f\\ 0& 0& i\end{array}\right))=aei$

লোয়ার-ট্রায়াঙ্গুলার ম্যাট্রিক্সগুলোও কি একইভাবে কাজ করে?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৪

প্রতিটি ম্যাট্রিক্স একক নাকি এককনয় তা সিদ্ধান্ত নিতে নির্ণায়ক ব্যবহার করুন।

1. $\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 3& 1\end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 1\end{array}\right)$

সমস্যা ৫

একক নাকি এককয়নয়? সিদ্ধান্ত নিতে নির্ণায়ক ব্যবহার করুন।

1. $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 1\\ 3& 2& 2\\ 0& 1& 4\end{array}\right)$
2. $\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 2& 1& 1\\ 4& 1& 3\end{array}\right)$
3. $\left(\begin{array}{ccc}2& 1& 0\\ 3& -2& 0\\ 1& 0& 0\end{array}\right)$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৬

প্রতি জোড়া ম্যাট্রিক্স একটি সারি অপারেশন দ্বারা পৃথক। $det(A)$ এর সাথে $det(B)$ তুলনা করতে এই অপারেশনটি ব্যবহার করুন।

1. $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 2& 3\end{array}\right)$ $B=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 0& -1\end{array}\right)$
2. $A=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 2\end{array}\right)$ $B=\left(\begin{array}{ccc}3& 1& 0\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$
3. $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 2& 2& -6\\ 1& 0& 4\end{array}\right)$ $B=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 3\\ 1& 1& -3\\ 1& 0& 4\end{array}\right)$

সমস্যা ৭

এটি দেখান।

$det(\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ a& b& c\\ a^2& b^2& c^2\end{array}\right))=(b-a)(c-a)(c-b)$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ৮

কোন বাস্তব সংখ্যা $x$ এর জন্য এই ম্যাট্রিক্সটি একক হবে?

$\left(\begin{array}{cc}12-x& 4\\ 8& 8-x\end{array}\right)$

সমস্যা ৯

এই পরিচ্ছেদের শুরুতে উল্লিখিত $3\times 3$ ম্যাট্রিক্সের সূত্রটি যাচাই করতে গাউসিয়ান রিডাকশন করুন।

$\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$ একক হবে না যদি এবং কেবল যদি (iff) $aei+bfg+cdh-hfa-idb-gec\ne 0$

সমস্যা ১০

দেখান যে ${ℝ}^2$ এ $(x_1,y_1)$ এবং $(x_2,y_2)$ বিন্দুগামী একটি রেখার সমীকরণ এই নির্ণায়ক দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

$det(\left(\begin{array}{ccc}x& y& 1\\ x_1& y_1& 1\\ x_2& y_2& 1\end{array}\right))=0x_1\ne x_2$

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১১

অনেকেই $3\times 3$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক মনে রাখার এই কৌশলটি জানেন: প্রথমে প্রথম দুটি কলাম পুনরাবৃত্তি করুন এবং তারপর সামনের দিককার কর্ণগুলোর গুণফল যোগ করুন এবং পেছনের দিককার কর্ণগুলোর গুণফল বিয়োগ করুন। অর্থাৎ, প্রথমে লিখুন

$\left(\begin{array}{ccccc}{h}_{1,1}& h_{1,2}& h_{1,3}& h_{1,1}& h_{1,2}\\ h_{2,1}& h_{2,2}& h_{2,3}& h_{2,1}& h_{2,2}\\ h_{3,1}& h_{3,2}& h_{3,3}& h_{3,1}& h_{3,2}\end{array}\right)$

এবং তারপর এটি গণনা করুন।

$\begin{array}{c}{h}_{1,1}{h}_{2,2}{h}_{3,3}+h_{1,2}{h}_{2,3}{h}_{3,1}+h_{1,3}{h}_{2,1}{h}_{3,2}\\ -h_{3,1}{h}_{2,2}{h}_{1,3}-h_{3,2}{h}_{2,3}{h}_{1,1}-h_{3,3}{h}_{2,1}{h}_{1,2}\end{array}$

1. যাচাই করুন যে এটি এই পরিচ্ছেদের শুরুতে দেওয়া সূত্রের সাথে মিলে যায়।
2. এটি কি অন্যান্য আকারের নির্ণায়কের ক্ষেত্রেও কাজ করে?

সমস্যা ১২

ভেক্টরগুলোর ক্রস গুণফল

$\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)\overrightarrow{y}=\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)$

হলো এমন একটি ভেক্টর যা এই নির্ণায়কের মাধ্যমে হিসাব করা যায়।

$\overrightarrow{x}\times \overrightarrow{y}=det(\left(\begin{array}{ccc}{\overrightarrow{e}}_1& {\overrightarrow{e}}_2& {\overrightarrow{e}}_3\\ x_1& x_2& x_3\\ y_1& y_2& y_3\end{array}\right))$

লক্ষ্য করুন যে প্রথম সারিটি ভেক্টর দ্বারা গঠিত, যা ${ℝ}^3$ এর স্ট্যান্ডার্ড বেসিস এর ভেক্টর। দেখান যে দুটি ভেকটরের ক্রস গুণফল প্রতিটি ভেকটরের উপর লম্ব।

সমস্যা ১৩

প্রমাণ করুন যে প্রতিটি বিবৃতি $2\times 2$ ম্যাট্রিক্সের জন্য সত্য।

1. দুটি ম্যাট্রিক্সের গুণফলের নির্ণায়ক হলো তাদের নির্ণায়কের গুণফল $det(ST)=det(S)\cdot det(T)$।
2. যদি $T$ ইনভার্টিবল হয় তবে ইনভার্স ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক হলো ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কের ইনভার্স $det(T^{-1})=(det(T){)}^{-1}$।

ম্যাট্রিক্স $T$ এবং $T^{\prime }$ হলো সদৃশ যদি এমন একটি ননসিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স $P$ থাকে যেন $T^{\prime }=PT{P}^{-1}$ হয়। (এই সংজ্ঞাটি পঞ্চম অধ্যায়ে রয়েছে।) দেখান যে সদৃশ $2\times 2$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক একই।

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৪

প্রমাণ করুন যে সমতলে এই অঞ্চলের ক্ষেত্রফল

এই নির্ণায়কের মানের সমান।

$det(\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ y_1& y_2\end{array}\right))$

এর সাথে তুলনা করুন।

$det(\left(\begin{array}{cc}{x}_2& x_1\\ y_2& y_1\end{array}\right))$

সমস্যা ১৫

প্রমাণ করুন যে $2\times 2$ ম্যাট্রিক্সের জন্য, কোনো ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক তার ট্রান্সপোজ এর নির্ণায়কের সমান। এটি কি $3\times 3$ ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য?

এই অনুশীলনীটি সকল পাঠকের জন্য প্রযোজ্য

সমস্যা ১৬

নির্ণায়ক ফাংশনটি কি রৈখিক — অর্থাৎ $det(x\cdot T+y\cdot S)=x\cdot det(T)+y\cdot det(S)$?

সমস্যা ১৭

দেখান যে যদি $A$ একটি $3\times 3$ ম্যাট্রিক্স হয় তবে যেকোনো স্কেলার $c$ এর জন্য $det(c\cdot A)=c^3\cdot det(A)$।

সমস্যা ১৮

কোন বাস্তব সংখ্যা $\theta$ এর জন্য

$\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

ম্যাট্রিক্সটি একক হবে? জ্যামিতিকভাবে ব্যাখ্যা করুন।

? সমস্যা ১৯

যদি একটি তৃতীয় মাত্রার নির্ণায়কের উপাদানগুলো $1$, $2$, ..., $9$ হয়, তবে এর সর্বোচ্চ মান কত হতে পারে?

সমাধান

তথ্যসূত্র

• Haggett, Vern (proposer); Saunders, F. W. (solver) (১৯৫৫), "Elementary problem 1135", American Mathematical Monthly, American Mathematical Society, 62 (5): 257  উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

।