মাধ্যমিক পদার্থবিজ্ঞান/প্রক্ষেপণ গতি

একই গুরুত্বাকর্ষণের ক্ষেত্রে, বায়ুপ্রতিরোধ এবং বায়ুর গতি উপেক্ষা করে, পাওয়া যায় একটি প্রক্ষেপণ গতি পথরেখা যা একটি পরাবোলা। এটি মডেল করার জন্য, $V=mgz$ নেওয়া হয়, যেখানে $g$ (জি) হলো গুরুত্বাকর্ষণের ত্বরণ।

একটি সমতল ভূমির সাপেক্ষে, প্রাথমিক অনুভূমিক গতি হোক $v_{h}$, এবং প্রাথমিক উল্লম্ব গতি হোক $v_{v}$। প্রদর্শিত হবে যে, পরিসীমা হল $2v_{h}v_{v}/g$, এবং সর্বোচ্চ উচ্চতা হল ${v_{v}^{2}}/2g$। প্রদত্ত মোট প্রাথমিক গতি $v$ এর জন্য সর্বোচ্চ পরিসীমা পাওয়া যায় যখন $v_{h}=v_{v}$, অর্থাৎ প্রাথমিক কোণ ৪৫ ডিগ্রি হয়। এই পরিসীমা হয় $v^{2}/g$, এবং সর্বোচ্চ পরিসীমায় সর্বোচ্চ উচ্চতা হয় এর এক-চতুর্থাংশ।

উৎপত্তি

গতি সমীকরণগুলো ব্যবহার করে পথরেখার বৈশিষ্ট্য নির্ণয় করা যেতে পারে।

ধরা যাক:

$t\;$ হল প্রকল্পের উড়ানের সময়

$d_{h}(t)\;$ হল সময় $t$ এ অনুভূমিক স্থানচ্যুতি

$d_{v}(t)=z\;$ হল সময় $t$ এ উল্লম্ব স্থানচ্যুতি

$v_{h}\;$ হল অনুভূমিক বেগ (যা ধ্রুবক)

$v_{v}\;$ হল প্রাথমিক উল্লম্ব বেগ উপরের দিকে

$v\;$ হল প্রাথমিক গতি

$v_{v}(t)\;$ হল সময় $t$ এ উল্লম্ব বেগ

অনুভূমিক দিক বরাবর, $v_{h}$ একটি ধ্রুবক এবং তাই গতি সমীকরণের দ্বারা,

$d_{h}(t)=v_{h}t\;$ (সমীকরণ ১)

উল্লম্ব দূরত্ব, বা উচ্চতা, ধ্রুবক ঋণাত্মক ত্বরণ $g$ এর জন্য গতি সমীকরণ অনুসরণ করে:

$d_{v}=v_{v}t-{{gt^{2}} \over 2}$ (সমীকরণ ২)

$v_{v}={\frac {d}{dt}}d_{v}(t)=v_{v}-gt$ (সমীকরণ ৩: গতি সমীকরণের ডেরিভেটিভ)

প্রজেক্টাইলের পরিসীমা ঘটে যখন $d_{v}(t)$ আবার শূন্য হয় এবং মাটির সাথে সংঘাত ঘটে। এটি ঘটে যখন সমীকরণ ২ এর $d_{v}$ শূন্য হয়:

$0=v_{v}t-{{gt^{2}} \over 2}$

এখন সময় $t$ এর জন্য সমাধান করলে প্রজেক্টাইলের উড়ানের সময় পাওয়া যায়:

$t={2v_{v} \over g}$ (সমীকরণ ৪: প্রজেক্টাইলের "হ্যাং টাইম")

সর্বোচ্চ পরিসীমা ঘটে যখন সমীকরণ ৪ সমীকরণ ১ এ প্রতিস্থাপন করা হয়:

$d_{h}(t)={v_{h}t}={v_{h}({2v_{v} \over g})}={{2v_{h}v_{v}} \over g}$ (সমীকরণ ৫: প্রজেক্টাইলের পরিসীমা)

নির্দিষ্ট একটি পথরেখার সর্বোচ্চ উচ্চতা ঘটে যখন উল্লম্ব বেগ শূন্য হয়। তাই সমীকরণ ৩ কে শূন্য করে:

$0=v_{v}-gt\;$

সমাধান করলে

$t={{v_{v}} \over g}$

এটি সমীকরণ ২ তে প্রতিস্থাপন করলে সর্বোচ্চ উচ্চতা পাওয়া যায়:

$d_{v}(max)=v_{v}({v_{v} \over g})-{\frac {1}{2}}g({v_{v} \over g})^{2}={{v_{v}}^{2} \over 2g}$ (সমীকরণ ৬: প্রজেক্টাইলের সর্বোচ্চ উচ্চতা)

অতএব, অপ্রত্যাশিত নয় যে, নির্দিষ্ট প্রাথমিক গতির জন্য সর্বোচ্চ উচ্চতা সর্বোচ্চ হয় যখন প্রাথমিক বেগ সরাসরি উপরের দিকে। এই উচ্চতা সর্বোচ্চ পরিসীমা হলে প্রাপ্ত উচ্চতার দ্বিগুণ।

ধ্রুবক স্থানাঙ্ক উৎপত্তি

উৎ্থানের কোণ $\theta$ এবং প্রাথমিক গতি $v$ এর হিসেবে:

$v={\sqrt {{v_{h}}^{2}+{v_{v}}^{2}}}$

$v_{h}=v\cos \theta \;$

$v_{v}=v\sin \theta \;$

সমীকরণ ১ এ প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়:

$d_{h}=v_{h}t=vt\cos \theta \;$ (সমীকরণ ১এ)

সমীকরণ ২ এ প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়:

$d_{v}=v_{v}t-{{gt^{2}} \over 2}=(v\sin \theta )t-{{gt^{2}} \over 2}$ (সমীকরণ ২এ)

ডেরিভেটিভ নিয়ে উল্লম্ব বেগ পাওয়া যায়:

$v_{v}={\frac {d}{dt}}d_{v}={\frac {d}{dt}}(v\sin \theta )t-{{gt^{2}} \over 2}=v\sin \theta -gt$ (সমীকরণ ৩এ: উল্লম্ব বেগ)

উপরের সমীকরণ ৪ এ হিসাব করা "হ্যাং টাইম" কে ওঠানের কোণের হিসেবে প্রকাশ করা যায়:

$t={2v_{v} \over g}={{2v\sin \theta } \over g}$ (সমীকরণ ৪এ)

সমীকরণ ১এ তে সমীকরণ ৪এ প্রতিস্থাপন করলে অনুভূমিক দূরত্ব বা পরিসীমা পাওয়া যায়:

$d_{h}=v_{h}t={vt\cos \theta }=v({{2v\sin \theta } \over g})\cos \theta ={{2v^{2}\sin \theta \cos \theta } \over g}$

এখন $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ ত্রিকোণমিতিক পরিচয় ব্যবহার করলে:

$d_{h}={{v^{2}\sin 2\theta } \over g}$ (সমীকরণ ৫এ: প্রজেক্টাইলের পরিসীমা)

এখন $\theta$ এর জন্য সমাধান করলে লক্ষ্য স্থানে আঘাতের জন্য "কোণ" সমীকরণ পাওয়া যায়:

${\theta }={\frac {1}{2}}\sin ^{-1}({{gd_{h}} \over {v^{2}}})$ (সমীকরণ ৭: প্রজেক্টাইল উৎক্ষেপণের কোণ)

দ্রষ্টব্য: $\sin$ ফাংশনের জন্য একটি নির্দিষ্ট পরিসীমা $d_{h}$ এর দুটি ভিন্ন $\theta$ সমাধান থাকতে পারে। শারীরিকভাবে, এটি সরাসরি শট বনাম বাধা অতিক্রম করে লক্ষ্যবস্তুতে মর্টার শট বোঝায়।

নির্দিষ্ট পরিসীমার সর্বোচ্চ উচ্চতা নির্ণয় করতে সমীকরণ ৩এ তে উল্লম্ব বেগ শূন্য ধরে $t$ এর মান নির্ণয়:

$0=v\sin \theta -gt\;$

$t={\frac {v\sin \theta }{g}}$ (পুনর্বিন্যাস এবং $t$ নির্ণয়)

এখন সমীকরণ ২এ তে প্রতিস্থাপন করলে সর্বোচ্চ উচ্চতা পাওয়া যায়:

$d_{v}=(v\sin \theta )t-{\frac {gt^{2}}{2}}=(v\sin \theta )({\frac {v\sin \theta }{g}})-{\frac {g({\frac {v\sin \theta }{g}})^{2}}{2}}={\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{g}}-{\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{2g}}={\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{2g}}$ (সমীকরণ ৬এ: নির্দিষ্ট উৎক্ষেপণ কোণের জন্য সর্বোচ্চ উচ্চতা)

সর্বাধিক পরিসীমা

উপরে প্রদত্ত পরিসীমা ও উচ্চতার সমীকরণ থেকে সর্বাধিক পরিসীমা ও উচ্চতা নির্ধারণ করা যায়। পরিসীমার উভয় সমীকরণ—সমীকরণ ৫ ও ৫এ—এর ডেরিভেটিভ শূন্য করে সর্বাধিক পরিসীমা নির্ণয় করা যায়।

সমীকরণ ৫ অনুযায়ী, প্রক্ষেপকের পরিসীমা হল $v_{h}$ এবং $v_{v}$ এর একটি ফাংশন, যেখানে $v_{v}^{2}+v_{h}^{2}=v^{2}$ — অর্থাৎ $v$ হল মোট প্রাথমিক বেগ এবং এটি ধ্রুবক। অতএব, $v_{v}$ এর একটি ফাংশন হিসেবে পরিসীমা প্রকাশ করা যায় $v_{h}$ নির্ণয় করে:

$v_{h}={\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}$ (সমীকরণ ৮)

এবং এই $v_{h}$ সমীকরণ ৫-এ বসালে পাই:

$d_{h}={{2v_{h}v_{v}} \over g}={{2v_{v}{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}} \over g}$

এই $d_{h}$ এর সর্বাধিক মান নির্ধারণ করতে ডেরিভেটিভ গণনা করে সেটিকে শূন্যের সমান করতে হবে। ডেরিভেটিভ হিসাব করা হচ্ছে:

${\frac {d}{dv_{v}}}d_{h}={1 \over g}{\frac {d}{dv_{v}}}{2v_{v}{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}}$

$={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}+2v_{v}{\frac {d}{dv_{v}}}{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}})$ (প্রোডাক্ট রুল প্রয়োগ)

$={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}+2v_{v}{\frac {d{\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}}{d{v_{v}}^{2}}}{\frac {d{v_{v}}^{2}}{dv_{v}}})$ (চেইন রুল প্রয়োগ)

$={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}+2v_{v}({\frac {-1}{2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}}})2v_{v})$ (স্কয়ার রুটের ডেরিভেটিভ)

$={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}-{\frac {2{v_{v}}^{2}}{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}})$ (দ্বিতীয় পদ সরলীকরণ)

এখন শূন্যের সমান করে $v$ এর মান বের করা যাক:

$0={1 \over g}(2{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}-{\frac {2{v_{v}}^{2}}{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}})$

${\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}={\frac {{v_{v}}^{2}}{\sqrt {v^{2}-{v_{v}}^{2}}}}$

$v^{2}-{v_{v}}^{2}=v_{v}^{2}$

$v^{2}=2v_{v}^{2}$ (সমীকরণ ৯)

অতএব, সর্বাধিক পরিসীমা তখনই ঘটে যখন $v^{2}$ হয় $2v_{v}^{2}$ এবং এই মানটি সমীকরণ ৮-এ বসালে:

$v_{h}={\sqrt {v^{2}-v_{v}^{2}}}={\sqrt {2v_{v}^{2}-v_{v}^{2}}}=v_{v}$

অতএব, সর্বাধিক পরিসীমা তখনই ঘটে যখন $v_{h}=v_{v}$।

এখন প্রকৃত সর্বাধিক পরিসীমা হিসাব করা যায় $v_{h}=v_{v}$ এবং সমীকরণ ৯ ব্যবহার করে সমীকরণ ৫-এ বসিয়ে:

$d_{h}={{2v_{h}v_{v}} \over g}={{2v_{v}v_{v}} \over g}={{2v_{v}^{2}} \over g}={v^{2} \over g}$

ধ্রুব গতিবেগে সর্বাধিক পরিসীমা (ধ্রুবকোষীয় স্থানাংকে)

একই উপসংহার টানা যায় সমীকরণ ৫এ থেকে শুরু করেও।

${\frac {d}{d\theta }}d_{h}={\frac {d}{d\theta }}{{v^{2}\sin 2\theta } \over g}$

$={\frac {v^{2}}{g}}{\frac {d}{d2\theta }}\sin 2\theta \cdot {\frac {d2\theta }{d\theta }}$ (চেইন রুল প্রয়োগ)

$={\frac {v^{2}}{g}}(\cos 2\theta )\cdot 2$

এখন শূন্যের সমান করে $\theta$ নির্ণয় করা যাক:

$0={\frac {v^{2}}{g}}(\cos 2\theta )\cdot 2$

$0=\cos 2\theta$

যেহেতু $\cos 2\theta =0$ হয় যখন $2\theta ={\frac {\pi }{2}}$:

$2\theta ={\frac {\pi }{2}}$ (এটি সরাসরিও বোঝা যায় সমীকরণ ৫এ থেকে, যেহেতু সর্বোচ্চ মানের জন্য সাইন হতে হবে ১)

${\theta }_{\max }={\frac {\pi }{4}}$ রেডিয়ান

অতএব, সর্বাধিক পরিসীমা ঘটে যখন কোণের মান হয় ৪৫ ডিগ্রি।

এখন ৪৫ ডিগ্রির মান বসিয়ে প্রকৃত সর্বাধিক পরিসীমা নির্ণয় করা যায় সমীকরণ ৫এ ব্যবহার করে:

$d_{h}={{v^{2}\sin 2\theta } \over g}={{v^{2}\sin 2({\frac {\pi }{4}})} \over g}={\frac {v^{2}}{g}}$

সর্বাধিক পরিসীমায় সর্বোচ্চ উচ্চতা

সমীকরণ ৬ এবং ৬এ ব্যবহার করে সর্বাধিক পরিসীমায় প্রকৃত সর্বোচ্চ উচ্চতা নির্ণয় করা যায়। সমীকরণ ৯ বসিয়ে সমীকরণ ৬এ উপস্থাপন করলে পাই:

$d_{v}={\frac {v_{v}^{2}}{2g}}={\frac {\left({\frac {v^{2}}{2}}\right)}{2g}}={\frac {v^{2}}{4g}}$

একইভাবে, ৪৫ ডিগ্রি কোণ সমীকরণ ৬এ বসালেও পাই:

$d_{v}={\frac {v^{2}{\sin }^{2}\theta }{2g}}={\frac {v^{2}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\right)^{2}}{2g}}={\frac {v^{2}}{4g}}$

অতএব, সর্বাধিক পরিসীমার সময় প্রকল্পের সর্বোচ্চ উচ্চতা হবে:

${\frac {v^{2}}{4g}}$

একটি প্যারাবোলা রূপে

সমীকরণ ১ এবং ২ একটি প্যারাবোলার পরামিতিক সমীকরণ যা প্রকল্পের গতি বর্ণনা করে। এগুলোকে পরিচিত দ্বিঘাত রূপে রূপান্তর করা যায় সমীকরণ ১ থেকে $t$ নির্ধারণ করে তা সমীকরণ ২-এ বসিয়ে:

$t={\frac {d_{h}}{v_{h}}}$ (সমীকরণ ১ পুনর্বিন্যাস করে $t$ নির্ণয়)

এখন এটি সমীকরণ ২-তে বসালে পাই:

$d_{v}=v_{v}t-{\frac {gt^{2}}{2}}=v_{v}\left({\frac {d_{h}}{v_{h}}}\right)-{\frac {g\left({\frac {d_{h}}{v_{h}}}\right)^{2}}{2}}=-{\frac {g}{2{v_{h}}^{2}}}(d_{h})^{2}+{\frac {v_{v}}{v_{h}}}(d_{h})$

এটি এখন $y=ax^{2}+bx+c$ রূপে রয়েছে, যেখানে

$y=d_{v},\;x=d_{h},\;a=-{\frac {g}{2v_{h}^{2}}},\;b={\frac {v_{v}}{v_{h}}},\;c=0$

এটি একটি প্যারাবোলার সমীকরণ, অর্থাৎ গতিপথটি একটি প্যারাবোলা।

একইভাবে, সমীকরণ ১এ ও ২এ-ও দ্বিঘাত রূপে রূপান্তর করা যায়। সমীকরণ ১এ হতে:

$t={\frac {d_{h}}{v\cos \theta }}$

এটি সমীকরণ ২এ-তে বসালে:

$d_{v}=vt\sin \theta -{\frac {gt^{2}}{2}}=v\sin \theta {\frac {d_{h}}{v\cos \theta }}-{\frac {g\left({\frac {d_{h}}{v\cos \theta }}\right)^{2}}{2}}$

এখন, $\tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}$ বসালে পাই:

$d_{v}=-{\frac {g}{2v^{2}{\cos }^{2}\theta }}d_{h}^{2}+d_{h}\tan \theta$ (সমীকরণ ১০)

এটিও $y=ax^{2}+bx+c$ রূপে, যেখানে $y=d_{v},x=d_{h},a=-{\frac {g}{2v^{2}\cos ^{2}\theta }},b=\tan \theta ,c=0$ এবং এটি প্রমাণ করে যে গতিপথটি একটি প্যারাবোলা।

দ্বিঘাত সূত্র ব্যবহার করে এই প্যারাবোলার x-অক্ষের সঙ্গে ছেদবিন্দু নির্ণয় করা যায়, অর্থাৎ প্রকল্প শুরু এবং শেষের বিন্দু, যা সরাসরি পরিসীমা হিসাব করতে সহায়ক। রৈখিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায়:

$d_{h}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-(v_{v}/v_{h})\pm {\sqrt {(v_{v}/v_{h})^{2}}}}{2(-g/2v_{h}^{2})}}={\frac {-v_{v}/v_{h}\pm v_{v}/v_{h}}{-g/v_{h}^{2}}}=0,\;{\frac {2{v_{v}}{v_{h}}}{g}}$

এটি উপরের সমীকরণ ৫-এর মতোই ফলাফল।

মেরু স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় এবং $2\sin \theta \cos \theta =\sin 2\theta$ পরিচিতি ব্যবহার করে ছেদবিন্দুগুলি হবে:

$d_{h}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}={\frac {-\tan \theta \pm {\sqrt {\tan ^{2}\theta }}}{2(-g/2v^{2}\cos ^{2}\theta )}}=0,\;{\frac {2v^{2}\sin \theta \cos \theta }{g}}=0,\;{\frac {v^{2}\sin 2\theta }{g}}$

এটিও সমীকরণ ৫এ-এর ফলাফল পুনঃস্থাপন করে।

একইভাবে, এই প্যারাবোলার শীর্ষবিন্দুই হলো নির্দিষ্ট পরিসীমার জন্য সর্বোচ্চ উচ্চতা।

কম্পিউটার সিমুলেশন

NCLab প্রকল্প গতিবিদ্যার জন্য একটি ইন্টার‌্যাকটিভ গ্রাফিক্যাল মডিউল সরবরাহ করে, যা বায়ু প্রতিরোধ সহ বা ছাড়াও কাজ করতে পারে। এই সিমুলেশনের পাইথন উৎস কোড উন্মুক্তভাবে দেখা ও কপি করা যায়। বায়ু প্রতিরোধ সহ ক্ষেত্রের জন্য, অন্তর্নিহিত সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণসমূহ সমাধানে Runge-Kutta পদ্ধতির ১ম, ২য় এবং ৪র্থ ধাপের রূপ ব্যবহৃত হয়।