বিশেষ আপেক্ষিকতা/স্পেসটাইম

আপেক্ষিকতার আধুনিক দৃষ্টিভঙ্গি

যদিও আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্ব প্রথমে আইনস্টাইন ১৯০৫ সালে প্রস্তাব করেছিলেন, তবুও এই তত্ত্বের আধুনিক দৃষ্টিভঙ্গি নির্ভর করে একটি চতুর্মাত্রিক মহাবিশ্বের ধারণার ওপর, যা প্রথমে হারমান মিনকোউস্কি ১৯০৮ সালে প্রস্তাব করেছিলেন।

মিনকোউস্কির অবদানটি জটিল মনে হলেও, এটি আসলে পিথাগোরাসের উপপাদ্যের একটি সম্প্রসারণমাত্র:

২ মাত্রায়: $h^{2}=x^{2}+y^{2}$

৩ মাত্রায়: $h^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

৪ মাত্রায়: $s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+kt^{2}$

(যেখানে, k = $-c^{2}$)

আধুনিক দৃষ্টিভঙ্গি জড়তা (invariance)-এর ধারণা ব্যবহার করে সেই ধরনের স্থানাঙ্ক পদ্ধতি নির্ধারণ করে, যা বস্তুগুলোর অবস্থান ও প্রসার সম্পর্কে একটি পূর্ণাঙ্গ ভৌত বর্ণনা দিতে পারে। আপেক্ষিকতার আধুনিক তত্ত্বের সূচনা হয় “দৈর্ঘ্য”-র ধারণা দিয়ে। দৈনন্দিন অভিজ্ঞতায় আমরা দেখতে পাই, যেভাবেই কোনো বস্তু ঘোরানো হোক বা এক জায়গা থেকে অন্য জায়গায় সরানো হোক, তার দৈর্ঘ্য একই রকম থাকে। আমরা মনে করি, কোনো বস্তুর সরল দৈর্ঘ্য “জড়” — অপরিবর্তনীয়। তবে নিচের চিত্রগুলোতে যেমন দেখানো হয়েছে, আসলে আমরা যা বলছি তা হলো — দৈর্ঘ্য যেন একটি ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে অপরিবর্তনীয় বলে মনে হয়।

দ্বিমাত্রিক স্থানাঙ্ক পদ্ধতিতে একটি বস্তুর দৈর্ঘ্য পিথাগোরাসের উপপাদ্য দ্বারা নির্ধারিত হয়:

$x^{2}+y^{2}=h^{2}$

এই দ্বিমাত্রিক দৈর্ঘ্যটি জড় নয় যদি বস্তুটি ওই দুই-মাত্রার সমতলের বাইরে কাত করা হয়। দৈনন্দিন জীবনে একটি ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক পদ্ধতি যেন দৈর্ঘ্যকে সম্পূর্ণরূপে বর্ণনা করতে পারে। ত্রিমাত্রিক পিথাগোরাস উপপাদ্য অনুযায়ী দৈর্ঘ্য হয়:

$h^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$

এই সূত্রের উৎপত্তি নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

মনে হয়, যদি কোনো স্থানাঙ্ক পদ্ধতির মধ্যে এমন সব দিক অন্তর্ভুক্ত থাকে, যেসব দিকে কোনো বস্তুকে কাত বা সজ্জিত করা যায়, তবে সেই স্থানাঙ্ক পদ্ধতি ঐ বস্তুর দৈর্ঘ্যকে সম্পূর্ণরূপে উপস্থাপন করতে পারে। তবে এটা পরিষ্কার যে, বস্তুর অবস্থা সময়ের সাথে সাথে পরিবর্তিতও হতে পারে। সময় হলো এমন আরেকটি দিক, যেদিকে বস্তুসমূহ সজ্জিত হতে পারে। এটি নিচের চিত্রে প্রদর্শিত হয়েছে:

দুইটি ঘটনা যখন স্থান ও সময়ে ঘটে, তখন তাদের মধ্যে সরল রেখার দৈর্ঘ্যকে বলা হয় “স্পেস-টাইম ইন্টারভ্যাল” বা "স্থান-সময় ব্যবধান"।

১৯০৮ সালে হারম্যান মিনকোস্কি নির্দেশ করেন যে, যদি ঘটনাগুলো সময়ে পুনর্বিন্যস্ত করা যায়, তবে মহাবিশ্বটি চার-মাত্রিক হতে পারে। তিনি সাহসিকতার সঙ্গে প্রস্তাব করেন যে আইনস্টাইনের সদ্য আবিষ্কৃত আপেক্ষিকতার বিশেষ তত্ত্ব আসলে এই চার-মাত্রিক মহাবিশ্বেরই ফলাফল। তিনি প্রস্তাব করেন যে স্থান-সময় ব্যবধানটি সম্ভবত পিথাগোরাসের উপপাদ্যের মাধ্যমে স্থান ও সময়ের সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত চার-মাত্রিক রূপে:

$s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}+(ict)^{2}$

যেখানে i হচ্ছে কাল্পনিক একক (যেটিকে কখনও ভুলভাবে ${\sqrt {-1}}$ বলা হয়), c হচ্ছে একটি ধ্রুবক, এবং t হচ্ছে সেই সময়কাল যা স্থান-সময় ব্যবধান s দ্বারা বিস্তৃত। প্রতীকগুলো x, y এবং z বোঝায় যথাক্রমে স্থানীয় স্থানচ্যুতি প্রতিটি অক্ষ বরাবর। এই সমীকরণে ‘সেকেন্ড’ হয়ে যায় দৈর্ঘ্যের আরেকটি একক। যেমন সেন্টিমিটার ও ইঞ্চি উভয়ই দৈর্ঘ্যের একক, এবং সেগুলোর মধ্যে একটি রূপান্তর ধ্রুবক দ্বারা সম্পর্ক থাকে—একইভাবে মিটার ও সেকেন্ডের মধ্যেও একটি রূপান্তর ধ্রুবক থাকে: মিটার = রূপান্তর ধ্রুবক × সেকেন্ড। এই রূপান্তর ধ্রুবক c-এর মান প্রায় ৩০০,০০,০০,০০০ মিটার প্রতি সেকেন্ড। এখন $i^{2}$ = −১ হওয়ায়, স্থান-সময় ব্যবধান দেওয়া হয়:

$s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}$

মিনকোস্কির কাল্পনিক এককের ব্যবহার বর্তমানে প্রতিস্থাপিত হয়েছে উন্নত জ্যামিতির একটি পদ্ধতি দ্বারা, যাকে বলে "মেট্রিক টেনসর"। এই মেট্রিক টেনসর "বাস্তব" সময়ের ধারণা অনুমোদন করে এবং (ct)²-কে বিয়োগচিহ্ন দিয়ে প্রকাশ করার মূল কারণ নিহিত রয়েছে স্থান-সময়ের বক্রতার বিশ্লেষণের মধ্যে সময়ের সঙ্গে দূরত্বের পরিবর্তনের উপায়ে (দেখুন উন্নত পাঠ্য)। এখন আমরা বাস্তব সময় ব্যবহার করি, কিন্তু স্থান-সময় ব্যবধানের বর্গের মিনকোস্কির মূল সমীকরণটি টিকে রয়েছে, তাই স্থান-সময় ব্যবধান এখনও দেওয়া হয়:

$s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}$

স্থান-সময় ব্যবধান কল্পনা করা কঠিন; এটি এক স্থান ও সময় থেকে অন্য স্থান ও সময় পর্যন্ত বিস্তৃত, ফলে যে বস্তু এই ব্যবধান বরাবর চলে, তার বেগ একটি নির্দিষ্ট পর্যবেক্ষকের জন্য পূর্বনির্ধারিত।

যদি মহাবিশ্ব চার-মাত্রিক হয়, তবে স্থান-সময় ব্যবধানটি অপরিবর্তনীয় হবে (স্থানীয় দৈর্ঘ্য নয়)। যে-ই এটি মাপুক না কেন, সে যে গতিতেই থাকুক, একই মান পাবে। পদার্থবিদ্যাগত ভাষায় এই অপরিবর্তনীয়তা হলো লরেন্‌ৎস অপরিবর্তনীয়তার একটি রূপ। এর কিছু নাটকীয় ফলাফল রয়েছে।

প্রথম ফলাফল হলো, যদি কোনো কিছু c মিটার প্রতি সেকেন্ড গতিতে চলতে থাকে, তাহলে সব পর্যবেক্ষক, তারা যত দ্রুতই চলুক না কেন, তার জন্য একই বেগ মাপবে। এই বেগটি হবে একটি সার্বজনীন ধ্রুবক। এটি নিচে ব্যাখ্যা করা হয়েছে।

যখন কোনো বস্তু c গতিতে চলে, তখন স্থান-সময় ব্যবধান হয় শূন্য, যেটি নিচে দেখানো হয়েছে:

যদি কোনো বস্তু x অক্ষ বরাবর v গতিতে t সেকেন্ড চলতে থাকে, তবে দূরত্ব হবে:

$x=vt$

যদি y ও z অক্ষ বরাবর কোনো গতি না থাকে, তবে স্থান-সময় ব্যবধান: $s^{2}=x^{2}+0+0-(ct)^{2}$

অর্থাৎ: $s^{2}=(ct)^{2}-(ct)^{2}$

কিন্তু যখন v = c, তখন:

$s^{2}=(ct)^{2}-(ct)^{2}$

আর তাই স্থান-কালের ব্যবধান $s^{2}=(ct)^{2}-(ct)^{2}=0$

অতএব, স্থান-সময় ব্যবধান শূন্য হয় শুধুমাত্র তখনই যখন বেগ হয় c (যদি x > 0)। সকল পর্যবেক্ষক একই স্থান-সময় ব্যবধান লক্ষ করে, তাই যদি কেউ কোনো বস্তুর স্থান-সময় ব্যবধান শূন্য দেখেন, তবে সবাই সেটিকে c বেগে চলতে দেখবেন, তারা নিজেরাই যতো দ্রুতই চলুন না কেন।

এই সার্বজনীন ধ্রুবক c কে ঐতিহাসিক কারণে "শূন্যস্থানে আলোর গতি" বলা হয়। মিনকোস্কির পদ্ধতি প্রবর্তনের প্রথম দশক বা দু’দশকে অনেক পদার্থবিদ, বিশেষ আপেক্ষিকতাবাদ সমর্থন করলেও, বিশ্বাস করতেন আলো হয়তো ঠিক c বেগে চলে না, বরং প্রায় c বেগে চলে। বর্তমানে খুব অল্পসংখ্যক পদার্থবিদ বিশ্বাস করেন যে শূন্যস্থানে আলো c বেগে চলে না।

স্থান-সময় ব্যবধানের অপরিবর্তনীয়তার দ্বিতীয় ফলাফল হলো, যে বস্তুর সঙ্গে আপনার আপেক্ষিক গতি রয়েছে, তার ওপর ঘড়িগুলো ধীর মনে হবে।

ধরা যাক, বিল ও জন নামের দুই ব্যক্তি পৃথক দুটি গ্রহে আছেন এবং তারা একে অপর থেকে দূরে সরে যাচ্ছেন। জন একটি গ্রাফ আঁকেন বিলের স্থান ও সময়ের মধ্যে গমনপথ নিয়ে। এটি নিচে দেখানো হয়েছে:

যেহেতু তারা গ্রহে অবস্থান করছেন, বিল ও জন উভয়ই মনে করেন তারা স্থির এবং কেবলমাত্র সময়ে অগ্রসর হচ্ছেন। জন দেখতে পান বিল 'স্থান'-এও চলছে, যখন বিল মনে করেন সে কেবল সময়ে অগ্রসর হচ্ছে। বিলও জনের গতি সম্পর্কেও একই সিদ্ধান্তে পৌঁছাবে। জনের চোখে বিলের 'টাইম অ্যাক্সিস' যেন গতির দিকে হেলে পড়েছে এবং বিলের চোখে জনের টাইম অ্যাক্সিস হেলে গেছে।

যেহেতু তারা গ্রহে অবস্থান করছেন, বিল ও জন উভয়ই মনে করেন তারা স্থির এবং কেবলমাত্র সময়ে অগ্রসর হচ্ছেন। জন দেখতে পান বিল 'স্থান'-এও চলছে, যখন বিল মনে করেন সে কেবল সময়ে অগ্রসর হচ্ছে। বিলও জনের গতি সম্পর্কেও একই সিদ্ধান্তে পৌঁছাবে। জনের চোখে বিলের 'টাইম অ্যাক্সিস' যেন গতির দিকে হেলে পড়েছে এবং বিলের চোখে জনের টাইম অ্যাক্সিস হেলে গেছে।

জন বিলের স্থান-সময় ব্যবধানের দৈর্ঘ্য হিসাব করেন:

$s^{2}=(vt)^{2}-(ct)^{2}$

অথচ বিল মনে করেন তিনি স্থানে চলে যাননি, তাই লেখেন:

$s^{2}=(0)^{2}-(cT)^{2}$

যেহেতু স্থান-সময় ব্যবধান $s^{2}$ অপরিবর্তনীয়, এটি সকল পর্যবেক্ষকের জন্য সমান: $(0)^{2}-(cT)^{2}=(vt)^{2}-(ct)^{2}$

অতএব, $-(cT)^{2}=(vt)^{2}-(ct)^{2}$

ফলে $t=T/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

অর্থাৎ, যদি জন দেখেন বিলের ঘড়িতে দুটি টিকের মধ্যে সময় $T=1$ সেকেন্ড, তবে জন নিজে একই দুটি টিকের মধ্যে তার ঘড়িতে একটি বড় সময় $t$ পরিমাপ করবেন, যাকে বলে কোঅর্ডিনেট টাইম। বলা হয়, চলমান ঘড়িগুলো স্থির অবস্থায় থাকা পর্যবেক্ষকদের তুলনায় ধীরে চলে। একে বলে "আপেক্ষিক কালপ্রসারণ" বা Relativistic Time Dilation। যে সময়টি ঘড়ির নিজস্ব প্রসঙ্গ কাঠামো (যেমন, বিলের কাঠামো) থেকে পরিমাপ করা হয়, তাকে বলে proper time বা যথার্থ সময়।

জন একইসঙ্গে দেখতে পাবেন যে, বিলের গ্রহে স্থির অবস্থায় থাকা মাপছড়াগুলো গতির দিকে ছোট দেখায়। এটিকে বলা হয় “আপেক্ষিক দৈর্ঘ্য সঙ্কোচন” বা Relativistic Length Contraction। যদি বিলের গ্রহে বিশ্রামরত একটি ছড়ার দৈর্ঘ্য হয় $X$, তবে এটিকে বলা হয় ছড়ার যথার্থ দৈর্ঘ্য (proper length)। এবং জনের গ্রহ থেকে সেটি মাপা হলে দৈর্ঘ্য হবে:

$x=X{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

এই সমীকরণটি সময়ের প্রসারণের ফলাফল থেকেই সরাসরি ও যথার্থভাবে নির্গত করা যায়, এই অনুমান থেকে যে আলোর গতি ধ্রুবক।

শেষ ফলাফল হলো, চলমান বস্তুর দৈর্ঘ্য বরাবর ঘড়িগুলো একে অপরের থেকে ছিন্ন বা সময়চ্যুত মনে হবে। অর্থাৎ, একজন পর্যবেক্ষক যদি একটি রেখা বরাবর ঘড়িগুলো এমনভাবে স্থাপন করেন যাতে সব ঘড়ি একই সময় দেখায়, তাহলে আরেকজন পর্যবেক্ষক, যিনি উচ্চ গতিতে সেই রেখা বরাবর চলছেন, দেখবেন ঘড়িগুলো বিভিন্ন সময় দেখাচ্ছে। অর্থাৎ, আপেক্ষিক গতি সম্পন্ন পর্যবেক্ষকেরা ভিন্ন ঘটনা সমকালীন হিসেবে দেখেন। একে বলে “আপেক্ষিক ধাপচ্যুতি” বা Relativistic Phase বা Relativity of Simultaneity। বিশেষ আপেক্ষিকতার শিক্ষার্থীরা এই বিষয়টি প্রায়শই উপেক্ষা করেন, কিন্তু একে ভালোভাবে বোঝা গেলে যেমন “টুইন প্যারাডক্স”-এর মতো ঘটনাগুলো অনেক সহজে ব্যাখ্যা করা যায়।

ঘড়িগুলো কীভাবে গতির রেখা বরাবর ধাপে-ধাপে সময়চ্যুত হয় তা স্থান-সময় ব্যবধানের অপরিবর্তনীয়তা এবং দৈর্ঘ্য সঙ্কোচনের ধারণা থেকে হিসাব করা যায়।

উপরের চিত্রে জন প্রথাগতভাবে স্থির। বিলের দৃষ্টিতে দুটি বিন্দুর মধ্যে দূরত্বগুলো কেবল স্থানিক দৈর্ঘ্য (x), সবই t=0 তে, যেখানে জন বিলের পরিমাপকে একটি দূরত্ব (X) এবং একটি সময় ব্যবধান (T)-এর সমন্বয় হিসেবে দেখে:

$x^{2}=X^{2}-(cT)^{2}$

খেয়াল করো, বড় হাতের অক্ষর দ্বারা নির্দেশিত পরিমাণগুলো প্রকৃত দৈর্ঘ্য ও সময় এবং এই উদাহরণে তা জনের পরিমাপকে নির্দেশ করে।

বিলের দূরত্ব x হচ্ছে সেই দৈর্ঘ্য যা সে পাবে এমন কিছু বস্তু সম্পর্কে যেগুলো জন মনে করে X মিটার দীর্ঘ। বিলের মতে জনের দণ্ডগুলো গতি-অভিমুখে সংকুচিত হয়, তাই বিলের নির্ধারণকৃত "x" জনের "X" দূরত্বের সাথে সম্পর্কিত নিচের সূত্রে:

$x=X{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

এই সূত্রটি প্রকৃত এবং স্থানাঙ্ক দৈর্ঘ্যের মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ করে এবং আগেই দেখা গেছে এটি বিলের প্রকৃত দৈর্ঘ্যকে জনের পরিমাপের সাথে যুক্ত করে। এটি সেই পরিস্থিতিতেও প্রযোজ্য যখন বিল জনের প্রকৃত দৈর্ঘ্য পর্যবেক্ষণ করে।

$x=X{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$

অতএব, $x^{2}=X^{2}-(v^{2}/c^{2})X^{2}$

সুতরাং, $(cT)^{2}=(v^{2}/c^{2})X^{2}$

এবং, $cT=(v/c)X$

সুতরাং, $T=(v/c^{2})X$

একজন পর্যবেক্ষকের জন্য যেসব ঘড়ি সিঙ্ক্রোনাইজড থাকে, অন্য একজন পর্যবেক্ষক যিনি প্রতি সেকেন্ডে v মিটার বেগে চলছেন, তার দৃষ্টিতে চলার রেখা বরাবর সেই ঘড়িগুলো ফেজের বাইরে চলে যায় প্রতি মিটারে: $(v/c^{2})$ সেকেন্ড করে। এটা স্পেশাল রিলেটিভিটির অন্যতম গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল এবং শিক্ষার্থীদের তা ভালোভাবে বোঝা উচিত।

চার-মাত্রিক মহাবিশ্বের সামগ্রিক প্রভাব হলো—যেসব পর্যবেক্ষক তোমার তুলনায় গতিশীল, তাদের সময়-স্থান স্থানাঙ্কগুলো চলার দিকে হেলে পড়ে এবং তারা যেসব ঘটনা সমকালীন মনে করে, তা তোমার দৃষ্টিতে সমকালীন নাও হতে পারে। গতি-অভিমুখে স্থানিক দৈর্ঘ্য হ্রাস পায়, কারণ তা সময়-অক্ষের তুলনায় উপর-নিচে হেলে পড়ে, যেন এটি তিন-মাত্রিক স্থান থেকে এক রোটেশনের মাধ্যমে সরে গেছে।

উদাহরণ

একজন পর্যবেক্ষক একটি ঘটনা A নিজে কাছে ঘটতে দেখেন, তারপর এক মিলিসেকেন্ড পরে এবং ৬০০ কিলোমিটার দূরে একটি ঘটনা B। অন্য একজন পর্যবেক্ষককে কত গতিতে ঘটনা B-র দিকে যেতে হবে যাতে সে A এবং B-কে সমকালীন মনে করে?

চলন্ত ঘড়ির ফেজ পার্থক্য নির্ধারণের সূত্র: $T=(v/c^{2})X$

১০⁻³ সেকেন্ড ফেজ পার্থক্য সৃষ্টি করতে যে বেগ প্রয়োজন তা: $v={\frac {10^{-3}\times 3\times 10^{8}\times c}{6\times 10^{5}}}$

এর মানে হচ্ছে, আরেকজন পর্যবেক্ষক যদি প্রথম পর্যবেক্ষকের তুলনায় ঘটনা A ও B-কে সংযুক্তকারী রেখার দিকে ০.৫c বেগে চলে, তাহলে তার দৃষ্টিতে এই দুটি ঘটনা সমকালীন হবে।

স্পেস-টাইম চিত্র বিশ্লেষণ

স্পেস-টাইম চিত্র বিশ্লেষণের সময় অত্যন্ত সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত। এই চিত্রগুলো দুই-মাত্রায় তথ্য উপস্থাপন করে, এবং উদাহরণস্বরূপ, কোন শূন্য দৈর্ঘ্যের স্পেস-টাইম ব্যবধান কেমন দেখা যায়, তা বিশ্বস্তভাবে দেখাতে পারে না।

যখন স্থান ও সময় উভয়কে দেখানোর জন্য চিত্র ব্যবহার করা হয়, তখন এটা বোঝা জরুরি যে স্থান ও সময় মিনকোভস্কির সমীকরণ দ্বারা যুক্ত, সরল ইউক্লিডীয় জ্যামিতি দ্বারা নয়। এই চিত্রগুলো কেবল একটি আনুমানিক সম্পর্ক বুঝতে সহায়ক, এবং ধরে নেওয়া উচিত নয় যে, উদাহরণস্বরূপ, সরল ত্রিকোণমিতিক সম্পর্ক ব্যবহার করে স্থানিক স্থানচ্যুতি ও সময়িক স্থানচ্যুতির রেখাগুলোর মধ্যে সম্পর্ক নির্ধারণ করা যায়।

কখনো কখনো ভুলভাবে মনে করা হয় যে টাইম ডাইলেেশন এবং দৈর্ঘ্য সংকোচনের ফলাফলগুলো শুধুমাত্র x=0 এবং t=0 এ অবস্থানকারী পর্যবেক্ষকদের জন্য প্রযোজ্য। এটি সঠিক নয়। একটি জড়তাবিহীন প্রসঙ্গ কাঠামো এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যাতে দৈর্ঘ্য ও সময়ের তুলনা যে কোন স্থানে করা যায় সেই নির্দিষ্ট প্রসঙ্গ কাঠামো এর মধ্যে।

একটি জড়তাবিহীন প্রসঙ্গ কাঠামোতে সময়ের পার্থক্য, অন্য একটি জড়তাবিহীন প্রসঙ্গ কাঠামো এর যেকোনো স্থানের সময় পার্থক্যের সাথে তুলনা করা যায়, যতক্ষণ মনে রাখা হয় যে এই পার্থক্যসমূহ সমসাময়িক ঘটনাসমূহের মিলিত রেখা বা তলের জোড়ার জন্য প্রযোজ্য।

স্পেসটাইম

স্পেসটাইমের চিত্র যেখানে একটি ঘটনা, একটি বিশ্বরেখা এবং একযোগে ঘটে যাওয়া একটি রেখা দেখানো হয়েছে।

গ্যালিলিয়ান এবং স্পেশাল রিলেটিভিটি সম্পর্কে বোঝার জন্য প্রথমেই স্থান এবং সময়কে একটি চার-মাত্রিক ভেক্টর স্থানের পৃথক মাত্রা হিসেবে ভাবা জরুরি, যাকে স্পেসটাইম বলা হয়। যেহেতু আমরা চারটি মাত্রা কল্পনা করতে পারি না খুব সহজে, তাই শুধু একটি স্থান-মাত্রা এবং একটি সময়-মাত্রা দিয়ে শুরু করাই সহজ। চিত্রে একটি গ্রাফ দেখানো হয়েছে যেখানে সময় উল্লম্ব অক্ষে চিত্রিত এবং একটি স্থান-মাত্রা আনুভূমিক অক্ষে চিত্রিত হয়েছে।

একটি ঘটনা হলো এমন কিছু যা নির্দিষ্ট সময়ে এবং নির্দিষ্ট স্থানে ঘটে। (“জুলিয়াস এক্স. ২১ জুন সন্ধ্যা ৬:১৭ মিনিটে নিউ মেক্সিকোর লেমিটারে তার গাড়ি ভেঙে ফেলে।”)

একটি ‘ওয়ার্ল্ড লাইন’ হচ্ছে কোনো বস্তু অবস্থানের একটি রেখাচিত্র যা সময়ের সঙ্গে পরিবর্তিত হয় (আরও সঠিকভাবে বললে, অবস্থানের সঙ্গে সময়ের সম্পর্ক চিত্রায়ন), যা স্পেসটাইম ডায়াগ্রামে দেখানো হয়। অতএব, একটি ওয়ার্ল্ড লাইন আসলে স্পেসটাইমে একটি রেখা, আর একটি ঘটনা হচ্ছে স্পেসটাইমে একটি বিন্দু।

অবস্থানের অক্ষ (x-অক্ষ) এর সমান্তরাল একটি অনুভূমিক রেখা হলো সমকালীনতার রেখা (line of simultaneity); গ্যালিলিয়ান রিলেটিভিটিতে, এই রেখার সব ঘটনা সব পর্যবেক্ষকের জন্য একসাথে ঘটে। পরে দেখা যাবে যে গ্যালিলিয়ান এবং স্পেশাল রিলেটিভিটির মধ্যে সমকালীনতার রেখা ভিন্ন হয়; স্পেশাল রিলেটিভিটিতে, সমকালীনতার রেখা নির্ভর করে পর্যবেক্ষকের গতি বা চলন অবস্থার উপর।

একটি স্পেসটাইম ডায়াগ্রামে, একটি ওয়ার্ল্ড লাইনের ঢালের (slope) বিশেষ অর্থ রয়েছে। লক্ষ্য করুন, একটি খাঁড়া ওয়ার্ল্ড লাইন বোঝায় যে বস্তুটি চলাচল করছে না—এর বেগ শূন্য। যদি বস্তুটি ডানের দিকে চলে, তাহলে ওয়ার্ল্ড লাইনও ডানের দিকে হেলে যায়, এবং যত দ্রুত বস্তুটি চলে, তত বেশি রেখাটি হেলে পড়ে। পরিমিতভাবে, আমরা বলি যে:

$velocity={\frac {1}{slope~of~world~line}}.$(৫.১)

এই সূত্র ঋণাত্মক ঢাল এবং ঋণাত্মক বেগের ক্ষেত্রেও কার্যকর। যদি কোনো বস্তু সময়ের সঙ্গে সঙ্গে তার গতি পরিবর্তন করে, তাহলে ওয়ার্ল্ড লাইন বাঁকানো হয়, এবং তখন নির্দিষ্ট যে কোনো সময়ে তাত্ক্ষণিক বেগ হয় ঐ সময়ে ওয়ার্ল্ড লাইনের স্পর্শকের ঢালের বিপরীত মান।

স্পেসটাইম ডায়াগ্রাম সম্পর্কে সবচেয়ে কঠিন যে বিষয়টি বুঝতে হয়, তা হলো—এই ডায়াগ্রাম একইসঙ্গে অতীত, বর্তমান এবং ভবিষ্যৎকে উপস্থাপন করে। তাই, স্পেসটাইম ডায়াগ্রাম সময়ের সঙ্গে পরিবর্তিত হয় না—শারীরিক সিস্টেমগুলোর পরিবর্তন বোঝাতে আমরা ক্রমাগত অনুভূমিক অংশ বা “স্লাইস” দেখি বিভিন্ন সময়ে। অর্থাৎ, স্পেসটাইম ডায়াগ্রাম ঘটনাগুলোর বিবর্তন দেখায়, কিন্তু নিজেরা বিবর্তিত হয় না।

আলোক শঙ্কু

আমাদের চতুর্মাত্রিক মহাবিশ্বে যে সব কিছু আলোর গতিতে চলে, তাদের কিছু বিস্ময়কর বৈশিষ্ট্য রয়েছে। যদি কোনো বস্তু x-অক্ষ বরাবর আলোর গতিতে চলে এবং t সেকেন্ডে উৎসবিন্দু থেকে x মিটার অতিক্রম করে, তাহলে তার পথের স্থান-কাল ব্যবধান (space-time interval) হয় শূন্য।

$s^{2}=x^{2}-(ct)^{2}$

কিন্তু $x=ct$, সুতরাং:

$s^{2}=(ct)^{2}-(ct)^{2}=0$

এই ফলাফলটি সাধারণ ক্ষেত্রে সম্প্রসারণ করলে দেখা যায়, যদি কোনো কিছু উৎসবিন্দু থেকে যেকোনো দিকে আলোর গতিতে চলে বা আসে, তাহলে তার স্থান-কাল ব্যবধান হবে ০:

$0=x^{2}+y^{2}+z^{2}-(ct)^{2}$

এই সমীকরণটি মিঙ্কোস্কির আলো শঙ্কু সমীকরণ (Minkowski Light Cone Equation) নামে পরিচিত। যদি আলো উৎসবিন্দুর দিকে যেত, তাহলে এই আলো শঙ্কু সমীকরণ বর্ণনা করত সেই সব ফোটনের স্থান ও সময়, যারা কোনো একটি নির্দিষ্ট মুহূর্তে উৎসবিন্দুতে উপস্থিত থাকতে পারে। যদি আলো উৎসবিন্দু থেকে দূরে যেত, তাহলে এই সমীকরণ বর্ণনা করত নির্দিষ্ট মুহূর্তে নির্গত ফোটনগুলোর ভবিষ্যৎ সময় t-তে অবস্থান।

পৃষ্ঠতলে আলো শঙ্কুকে বোঝা তুলনামূলকভাবে সহজ। এর পশ্চাৎ পৃষ্ঠ (backward surface) নির্দেশ করে আলোক রশ্মির সেই পথ যা কোনো মুহূর্তে একজন পর্যবেক্ষককে আঘাত করে, এবং এর সম্মুখ পৃষ্ঠ (forward surface) নির্দেশ করে সেই সম্ভাব্য পথসমূহ যা থেকে আলো ঐ পর্যবেক্ষক থেকে নির্গত হতে পারে। যেসব বস্তু আলো শঙ্কুর পৃষ্ঠ বরাবর চলে, তাদেরকে বলা হয় আলোক সদৃশ (light-like) এবং তাদের পথকে বলা হয় শূন্য জিওডেসিক (null geodesic)।

যেসব ঘটনা শঙ্কুর বাইরের অংশে অবস্থান করে, তাদের বলা হয় স্থান সদৃশ (space-like) বা আরও স্পষ্ট করে বললে স্থান বিচ্ছিন্ন (space separated), কারণ তাদের স্থান-কাল ব্যবধানের চিহ্ন থাকে স্থানের মতো (এই প্রেক্ষিতে ধরা হয়েছে ধনাত্মক)। যেসব ঘটনা শঙ্কুর ভেতরে অবস্থান করে, তাদের বলা হয় কাল সদৃশ (time-like) বা কাল বিচ্ছিন্ন (time separated), কারণ তাদের স্থান-কাল ব্যবধানের চিহ্ন থাকে সময়ের মতো।

তবে আলোক শঙ্কু কেবল আলোর বিস্তারই বোঝায় না। যদি আমরা এই অতিরিক্ত অনুমান করি যে আলোর গতি সর্বোচ্চ সম্ভব গতি, তাহলে স্থান বিচ্ছিন্ন ঘটনাগুলো পর্যবেক্ষককে সরাসরি প্রভাবিত করতে পারে না। শঙ্কুর পশ্চাৎ অংশে থাকা ঘটনাগুলো পর্যবেক্ষককে প্রভাবিত করতে পারে, এজন্য একে বলা হয় "প্রভাবিত অতীত" (affective past) এবং পর্যবেক্ষক সম্মুখ শঙ্কুর ঘটনাগুলোকে প্রভাবিত করতে পারে, এজন্য একে বলা হয় "প্রভাবিত ভবিষ্যৎ" (affective future)।

এই অনুমান যে আলোর গতি সকল যোগাযোগের জন্য সর্বোচ্চ, এটি চতুর্মাত্রিক জ্যামিতির ভেতর অন্তর্নিহিত নয় এবং এটি বাধ্যতামূলকও নয়। তবে যদি পদার্থবিজ্ঞানের তত্ত্বগুলো কারণ ও ফলাফলের ধারাকে (যেমন: কারণ আগে, ফল পরে) অক্ষুন্ন রাখতে চায়, তাহলে আলোর গতি অবশ্যই বস্তুগুলোর সর্বোচ্চ গতি হওয়া উচিত।

লরেঞ্জ রূপান্তর সমীকরণসমূহ

এ পর্যন্ত আলোচনায় আমরা দুজন পর্যবেক্ষকের মধ্যে সময় এবং স্থান ব্যবধানের তুলনার কথা বলেছি। কিন্তু তারা আরও সাধারণ ধরণের তুলনা করতে চাইতে পারে, যেমন: কোনো একটি একক ঘটনার সময় ও অবস্থান, যা উভয়েই রেকর্ড করেছে। এই পরিস্থিতিতে এক পর্যবেক্ষক কীভাবে অপরজনের রেকর্ড ব্যাখ্যা করবে, তা যেসব সমীকরণ দিয়ে প্রকাশ করা হয়, সেগুলোকে বলা হয় লোরেনৎস রূপান্তর সমীকরণ (Lorentz Transformation Equations)। (নিচের প্রতীকসমূহ নির্দেশ করে স্থানাঙ্ক বা coordinates।)

নিচের সারণিতে লোরেনৎস রূপান্তর সমীকরণ প্রদর্শিত হয়েছে।

$x^{'}={\frac {x-vt}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$	$x={\frac {x^{'}+vt^{'}}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$
$y^{'}=y$	$y=y^{'}$
$z^{'}=z$	$z=z^{'}$
$t^{'}={\frac {t-(v/c^{2})x}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$	$t={\frac {t^{'}+(v/c^{2})x^{'}}{\sqrt {(1-v^{2}/c^{2})}}}$

Lorentz রূপান্তরের গাণিতিক উদ্ভব পদ্ধতি দেখুন

লক্ষ্য করুন যে (v/c²)x এই পর্বাংশ (phase) কতটা গুরুত্বপূর্ণ এবং কীভাবে এই সূত্রগুলো একক ঘটনার নির্দিষ্ট সময় ও অবস্থানের জন্য ব্যবহৃত সূত্রগুলোর থেকে ভিন্ন, যেগুলো ব্যবধানের জন্য ব্যবহৃত হয়।

স্পেসটাইমে লোরেন্‌জ রূপান্তরের একটি উপস্থাপনা

সময়ের জন্য লোরেন্‌জ রূপান্তরের স্থান-কাল উপস্থাপনা

বিল ও জন আপেক্ষিক বেগ v-এ চলাফেরা করছে এবং তারা একে অপরকে অতিক্রম করার সময় ঘড়ির সময় একত্রে মিলিয়ে নেয়। বিলের গতি-দিক বরাবর একটি ঘটনা দুজনেই পর্যবেক্ষণ করে। বিল ও জন ঐ ঘটনাটিকে কোন সময়ে ঘটেছে বলে নির্ধারণ করবে?

উপরে দেখানো হয়েছে যে, আপেক্ষিক পর্যায় বা ফেজ দেওয়া হয়েছিল এই সূত্রে: $vx/c^{2}$। এর অর্থ হচ্ছে, ঘটনাটির অবস্থানের কারণে বিল জনের সময়-অক্ষে অতিরিক্ত কিছু সময় অতিক্রান্ত হতে দেখবে। এই ফেজ বিবেচনায় নিয়ে এবং সময় সম্প্রসারণ (টাইম ডাইলে‌শন) সূত্র প্রয়োগ করে, বিল দেখবে যে তার নিজের ঘড়ির পরিমাপ করা সময়কে জনের ঘড়ির সময়ের সঙ্গে তুলনা করা যায় নিচের সূত্রে:

$T={\frac {t-vx/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}$

একই ঘটনাকে দুটি ভিন্ন রেফারেন্স ফ্রেমে পরিমাপের সময়ের মধ্যে এই সম্পর্কটিই "লোরেন্‌জ রূপান্তরের সময়-সমীকরণ" নামে পরিচিত।

চলবে