বিশেষ আপেক্ষিকতা/আপেক্ষিকতার নীতি

আপেক্ষিকতার নীতি

আপেক্ষিকতার নীতিগুলি বিভিন্ন স্থানে করা পর্যবেক্ষণের মধ্যে সম্পর্ক নিয়ে আলোচনা করে। প্রাচীনকাল থেকেই এই সমস্যা তাত্ত্বিকভাবে কঠিন একটি চ্যালেঞ্জ হিসেবে বিবেচিত হয়ে আসছে, এবং এটি এমন কিছু শারীরিক প্রশ্নের সাথে সম্পর্কিত যেমন—বস্তুর গতি কীভাবে একত্রিত হয় এবং চলমান বস্তুর মধ্যে প্রভাব কীভাবে সঞ্চারিত হয়।

এই সমস্যার সবচেয়ে ফলপ্রসূ একটি পন্থা ছিল—পর্যবেক্ষকের গতির দ্বারা কীভাবে পর্যবেক্ষণ প্রভাবিত হয়, তা নিয়ে অনুসন্ধান করা। এই সমস্যা প্রাচীন দার্শনিকদের দ্বারাও বিশ্লেষণ করা হয়েছিল, কিন্তু গ্যালিলিও-র কাজ ছিল এখানে এক প্রকৃত অগ্রগতি। গ্যালিলিও (১৬৩২), তাঁর Dialogues Concerning the Two Chief World Systems গ্রন্থে এমন এক পরিস্থিতি কল্পনা করেন যেখানে কোনো ব্যক্তি জাহাজের ভেতরে থেকে গতি সংক্রান্ত পর্যবেক্ষণ করছেন, কিন্তু বাইরে কিছুই দেখতে পাচ্ছেন না:

“তোমার ইচ্ছামতো গতিতে জাহাজ চালাও, যতক্ষণ না সেই গতি একঘেয়ে ও নিয়ত থাকে, অর্থাৎ এদিক-ওদিক দোলাচল করে না। তুমি দেখতে পাবে, সব প্রভাব আগের মতোই রয়ে গেছে, এবং সেগুলো দেখে তুমি কিছুতেই বলতে পারবে না জাহাজ চলেছে না কি দাঁড়িয়ে আছে।”

গ্যালিলিও-র মতে, যদি জাহাজটি মসৃণভাবে চলে, তাহলে জাহাজের ভিতরে থাকা কেউ বুঝতেই পারবে না তারা চলেছে কিনা। যদি সেই জাহাজে থাকা মানুষজন খাবার খাচ্ছে, তাহলে তারা দেখতে পাবে যে চামচ থেকে মটর দানাগুলি সোজা নেমে প্লেটে পড়ছে—যেমনটা তারা দেখত স্থির অবস্থায়, স্থলভাগে থাকাকালীন। মটরদানাগুলোও যাত্রীদের সঙ্গে মিলে একই গতিতে চলতে থাকে এবং খাওয়া-দাওয়ায় বসা মানুষদের চোখে এগুলো আড়াআড়ি বা কোণাকুণিভাবে পড়ছে বলে মনে হয় না। এর মানে, মটরদানা নিজের গতিকে ধরে রাখে যতক্ষণ না কেউ সেটিকে থামায় বা তার ওপর কোনো প্রভাব ফেলে। এর মানে আরও হলো, যে সরল পরীক্ষা-নিরীক্ষাগুলো সেই জাহাজে করা যায়, সেগুলো জাহাজে বা স্থলে—উভয় ক্ষেত্রেই একই ফলাফল দেবে। এই ধারণা থেকেই “গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতা” ধারণার জন্ম, যেখানে বলা হয় যে, কোনো বস্তু চলতে থাকবে যতক্ষণ না তার ওপর বাহ্যিক প্রভাব পড়ে এবং পদার্থবিজ্ঞানের নিয়মাবলি পরীক্ষাগারের গতির ওপর নির্ভর করে না।

এই সহজ ধারণাটি এরিস্টটলের পুরনো মতবাদকে চ্যালেঞ্জ করেছিল। এরিস্টটল তাঁর Physics গ্রন্থে যুক্তি দিয়েছিলেন যে, কোনো বস্তুকে হয় সরানো হয় বা তা বিশ্রামে থাকে। তাঁর মতে, একটি ‘শূন্যস্থান’ (void) এর অস্তিত্বের সম্ভাবনা নিয়ে জটিল ও মনোমুগ্ধকর যুক্তির ভিত্তিতে বলা যায়—কোনো বস্তু নিজে নিজে গতি বজায় রাখতে পারে না, যদি না কিছু তাকে ঠেলে দেয়। ফলে এরিস্টটল প্রস্তাব করেছিলেন যে, শূন্যস্থানে বস্তু একেবারে থেমে যাবে। যদি এরিস্টটল সঠিক হতেন, তাহলে চলন্ত জাহাজে খেতে বসে তুমি যে মটরদানা ফেলে দেবে তা তোমার প্লেটে নয়, তোমার কোলে পড়ত। এরিস্টটলের এই ধারণা বহুদিন ধরে বিশ্বাসযোগ্য বলে ধরা হত, তাই গ্যালিলিওর নতুন প্রস্তাব ছিল বিপ্লবাত্মক, এবং যেহেতু তা প্রায় সঠিক ছিল, এটি পদার্থবিজ্ঞানের ভিত্তি হয়ে দাঁড়ায়।

গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতার দুটি গুরুত্বপূর্ণ নীতি রয়েছে: প্রথমত, কারা আসলে স্থির আর কারা গতি করছে তা নির্ধারণ করা অসম্ভব। দ্বিতীয়ত, কোনো বস্তু স্থির থাকবে বা একই গতিতে চলতে থাকবে যতক্ষণ না কোনো বাহ্যিক প্রভাব তার ওপর কাজ করে। দ্বিতীয় নীতিটিকে “গ্যালিলিওর জড়তার সূত্র” বা “নিউটনের গতির প্রথম সূত্র” বলা হয়।

বিশেষ আপেক্ষিকতা

উনবিংশ শতাব্দী পর্যন্ত মনে করা হত গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতা সব পর্যবেক্ষককে সমানভাবে বিবেচনা করে, তারা যত দ্রুতই চলুক না কেন। যদি তুমি উত্তর মেরুতে দাঁড়িয়ে সোজা ওপরের দিকে একটি বল ছুঁড়ো, সেটি নিচে ফিরে আসবে ঠিক যেমনটি হবে বিষুবরেখায় দাঁড়িয়ে। অথচ বিষুবরেখা উত্তর মেরুর চেয়ে ঘণ্টায় প্রায় এক হাজার মাইল দ্রুতগতিতে ঘোরে। গ্যালিলীয় গতির গাণিতিক সূত্র অনুযায়ী, বলটি যখন ছোঁড়া হয় তখন এটি সেই এক হাজার মাইল গতিও নিয়ে চলতে থাকে যতক্ষণ না কোনো বাহ্যিক শক্তি তাকে প্রভাবিত করে।

এই সহজ গাণিতিক কাঠামো ১৮৬৫ সালে প্রশ্নবিদ্ধ হয় যখন জেমস ক্লার্ক ম্যাক্সওয়েল আবিষ্কার করেন ইলেক্ট্রোম্যাগনেটিক তরঙ্গ যেমন আলোর প্রসারণ সম্পর্কিত সমীকরণ। তাঁর সমীকরণ দেখায় যে আলোর গতি নির্ভর করে কিছু ধ্রুবকের ওপর, যা একটি বিশেষ মাধ্যম বা “ঈথার”-এর গুণ বলে মনে করা হত—যা সর্বত্র বিরাজমান। যদি সত্যিই তা-ই হতো, তাহলে গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতা অনুযায়ী, তোমার নিজের গতি যোগ করে আলোর গতিকে পরিবর্তিতভাবে মাপা যেত। যেমন, যদি তুমি আলোর অর্ধেক গতি নিয়ে এগিয়ে যাচ্ছ, তাহলে তোমার দিকে আসা আলোকে তুমি ১.৫ গুণ গতি নিয়ে আসতে দেখবে। আর পেছন দিক থেকে আসা আলো ০.৫ গতি নিয়ে তোমাকে আঘাত করবে। আলো ঈথারে সবসময় নির্দিষ্ট গতিতে চলবে, ফলে যদি তুমি উচ্চগতিতে চলতে চলতে একটা টর্চ জ্বালো, তাহলে তার আলো ঈথারে পড়ে গতি কমিয়ে স্বাভাবিক হয়ে যাবে। এতে গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতা ব্যর্থ হয়ে পড়ে কারণ, তুমি সহজেই আলোর গতি মেপে বুঝে ফেলতে পারবে তুমি চলমান অবস্থায় আছো না কি স্থির।

যদি ম্যাক্সওয়েল সমীকরণ সত্য হয় এবং গতি যোগের সহজ ক্লাসিক্যাল নিয়ম প্রযোজ্য হয়, তাহলে একটি বিশেষ রেফারেন্স ফ্রেম থাকা উচিত—ঈথারের স্থির ফ্রেম। এই নির্দিষ্ট রেফারেন্স ফ্রেম হবে একটি “প্রকৃত শূন্য” পয়েন্ট যার ভিত্তিতে সব গতি মাপা সম্ভব।

বিশেষ আপেক্ষিকতা পদার্থবিজ্ঞানে আপেক্ষিকতার নীতিকে পুনঃপ্রতিষ্ঠা করে এই মত দিয়ে যে ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ ঠিক, কিন্তু গতি যোগের ক্লাসিক্যাল নিয়ম ভুল: কোনো নির্দিষ্ট রেফারেন্স ফ্রেম নেই। বিশেষ আপেক্ষিকতা আবার সেই ব্যাখ্যা ফিরিয়ে আনে যে সব জড় রেফারেন্স ফ্রেমে একই পদার্থবিজ্ঞান কার্যকর হয় এবং এমন কোনো ঘটনা নেই যা পর্যবেক্ষককে গতির একটি শূন্য পয়েন্ট নির্ধারণ করতে সাহায্য করে। আইনস্টাইন আপেক্ষিকতার নীতিকে সংরক্ষণ করেন এই ধারণা দিয়ে যে পর্যবেক্ষকের গতি যতই হোক না কেন, পদার্থবিজ্ঞানের নিয়মাবলি সর্বত্র একই থাকে। গ্যালিলিওর জাহাজের খোল হোক বা আলোর কাছাকাছি গতিতে চলা মহাকাশযানের মালগুদাম—দুই ক্ষেত্রেই একই পদার্থবিজ্ঞান কার্যকর থাকবে।

আইনস্টাইনের ধারণা গ্যালিলিওর মতবাদের সাথেই মিলে যায়—উভয়েই বিশ্বাস করতেন যে ধ্রুব গতির গতি পদার্থবিজ্ঞানের নিয়মাবলিকে প্রভাবিত করে না। গ্যালিলিও ও আইনস্টাইনের মধ্যবর্তী সময়ে মনে করা হত গতি কেবল যোগ হয় বলেই পদার্থবিজ্ঞান টিকে থাকে, কিন্তু আইনস্টাইন সেই সহজ ধারণাকে নতুন করে রূপ দেন যাতে ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণও রক্ষা পায়।

প্রসঙ্গ কাঠামো, ঘটনা এবং রূপান্তরসমূহ

আপেক্ষিক গতির বিশ্লেষণে আরও এগোনোর আগে প্রসঙ্গ কাঠামো, ঘটনা এবং রূপান্তরের ধারণাগুলি আরও ঘনিষ্ঠভাবে সংজ্ঞায়িত করা প্রয়োজন।

ভৌত পর্যবেক্ষকগণকে একটি রেফারেন্স ফ্রেম দ্বারা পরিবেষ্টিত হিসাবে বিবেচনা করা হয়, যা একটি স্থানাঙ্ক অক্ষের সমষ্টি, যার মাধ্যমে অবস্থান বা গতি নির্দিষ্ট করা যায় অথবা যার ভিত্তিতে ভৌত নিয়মাবলী গাণিতিকভাবে উপস্থাপন করা যায়।

একটি ঘটনা এমন কিছু যা ঘটে এবং এটি যেকোনো প্রসঙ্গ কাঠামোর উপর নির্ভরশীল নয়, যদিও এটি বর্ণনার জন্য একটি নির্দিষ্ট ফ্রেম ব্যবহৃত হতে পারে। একটি বাতি জ্বালানো বা দুটি বস্তুর সংঘর্ষ একটি ঘটনার উদাহরণ হতে পারে।

ধরা যাক, একটি ছোট ঘটনা ঘটে, যেমন একটি বাতি জ্বালানো, যার স্থানাঙ্ক $\displaystyle x,y,z,t$ একটি প্রসঙ্গ কাঠামোতে।

প্রশ্ন হচ্ছে, আরেকজন পর্যবেক্ষক, যে প্রথম রেফারেন্স ফ্রেমের তুলনায় বেগ $\displaystyle v$ দ্বারা $\displaystyle x$ অক্ষে আপেক্ষিকভাবে চলমান, সে ঐ ঘটনাটিকে কী স্থানাঙ্ক প্রদান করবে?

এই সমস্যাটি নিচের চিত্রের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হয়েছে:

আমরা একটি ঘটনার জন্য দ্বিতীয় পর্যবেক্ষকের স্থানাঙ্ক $x^{'},y^{'},z^{'},t^{'}$ এবং প্রথম পর্যবেক্ষকের স্থানাঙ্ক $x,y,z,t$ এর মধ্যে সম্পর্ক খুঁজছি। এই স্থানাঙ্কগুলো সেই ঘটনার অবস্থান ও সময় নির্দেশ করে, যা প্রতিটি পর্যবেক্ষক মাপেন, এবং সরলতার জন্য ধরা হয়েছে যে দুইজন পর্যবেক্ষক একে অপরের সাথে $t=0$ সময়ে মিলিত বা সমাপতিত অবস্থায় রয়েছেন। গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতার নিয়ম অনুযায়ী:

$x^{'}$ $=x-vt$

$y^{'}$ = $y$

$z^{'}$ = $z$

$t^{'}$ = $t$

এই সমীকরণগুলোকে গ্যালিলীয় স্থানাঙ্ক রূপান্তর বা গ্যালিলীয় রূপান্তর নামে পরিচিত।

এই সমীকরণগুলো দেখায় যে এক রেফারেন্স ফ্রেমে কোনো ঘটনার অবস্থান কীভাবে আরেক রেফারেন্স ফ্রেমে সেই ঘটনার অবস্থানের সাথে সম্পর্কযুক্ত। কিন্তু যদি সেই ঘটনা কোনো চলন্ত কিছু হয়, তখন কী হবে? তখন কীভাবে বেগ বা গতির রূপান্তর ঘটে এক ফ্রেম থেকে আরেক ফ্রেমে?

গতি নির্ণয়ের জন্য ব্যবহৃত হয় নিউটনের সূত্রঃ

$v=dx/dt$

নিউটনীয় বলবিদ্যার মাধ্যমে বেগ ও অন্যান্য ভৌত রাশি হিসাব করার কারণে, যখন স্থানাঙ্কের সরল পরিবর্তনের বাইরেও সিদ্ধান্ত টানা হয়, তখন গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতাকে নিউটনীয় আপেক্ষিকতা বলা হয়। গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতার ভিত্তিতে তিনটি স্থানে দিক অনুযায়ী বেগ রূপান্তরের নিয়ম হলো:

$\mathbf {u_{x}^{'}=u_{x}-v}$

$\mathbf {u_{y}^{'}=u_{y}}$

$\mathbf {u_{z}^{'}=u_{z}}$

এখানে $\mathbf {u_{x}^{'},u_{y}^{'},u_{z}^{'}}$ হলো দ্বিতীয় পর্যবেক্ষকের রেকর্ড করা চলমান বস্তুটির তিনটি দিক অনুযায়ী গতি, এবং $\mathbf {u_{x},u_{y},u_{z}}$ হলো প্রথম পর্যবেক্ষকের রেকর্ডকৃত গতি। $\mathbf {v}$ হলো দুই পর্যবেক্ষকের আপেক্ষিক গতি। $\mathbf {v}$-এর আগে ঋণাত্মক চিহ্ন চলমান বস্তুটি উভয় পর্যবেক্ষকের থেকে সরে যাওয়া নির্দেশ করে।

এই ফলাফলকে ধ্রুপদী বেগ সংযোজন উপপাদ্য (classical velocity addition theorem) বলা হয় এবং এটি গ্যালিলীয় রেফারেন্স ফ্রেমে বেগ কীভাবে রূপান্তরিত হয় তা সংক্ষিপ্তভাবে প্রকাশ করে। এর মানে হলো, কোনো বস্তু নিক্ষেপ করা হলে তার গতি নির্ধারণ করতে হবে উৎস ও গন্তব্যের আপেক্ষিক গতির ভিত্তিতে। উদাহরণস্বরূপ, যদি গ্যালিলিওর জাহাজ থেকে কোনো নাবিক ১০ কিমি/ঘণ্টা বেগে একটি পাথর ছোঁড়েন এবং জাহাজটি তীরের দিকে ৫ কিমি/ঘণ্টা বেগে এগিয়ে যাচ্ছে, তবে সেই পাথরটি তীরে পৌঁছানোর সময় ১৫ কিমি/ঘণ্টা বেগে চলবে।

নিউটনীয় আপেক্ষিকতায় ধরা হয় যে স্থান জ্যামিতিকভাবে ইউক্লিডীয় (Euclidean) এবং সময়ের পরিমাপ সকল পর্যবেক্ষকের জন্য অভিন্ন।

ধ্রুপদী বেগ সংযোজন উপপাদ্যের সূত্রপাত বা উৎস হলো নিম্নরূপ:

যদি গ্যালিলীয় রূপান্তরগুলোকে সময় অনুযায়ী ডিফারেনশিয়েট বা পার্থক্য করা হয়:

$x^{'}=x-vt$

তাহলে,

$dx^{'}/dt=dx/dt-v$

কিন্তু গ্যালিলীয় আপেক্ষিকতায় $t^{'}=t$। অতএব, $dx^{'}/dt^{'}=dx^{'}/dt$। ফলে,

$dx^{'}/dt^{'}=dx/dt-v$

$dy^{'}/dt^{'}=dy/dt$

$dz^{'}/dt^{'}=dz/dt$

যদি আমরা লিখি $u_{x}^{'}=dx^{'}/dt^{'}$ ইত্যাদি, তাহলে পাই:

$u_{x}^{'}=u_{x}-v$

$u_{y}^{'}=u_{y}$

$u_{z}^{'}=u_{z}$

বিশেষ আপেক্ষিকতার সূত্রসমূহ

পূর্ববর্তী অংশে একটি প্রসঙ্গ কাঠামো থেকে আরেকটিতে রূপান্তর বর্ণনা করা হয়েছে, যেখানে গতির সাধারণ যোগফল ব্যবহার করা হয়েছে যা গ্যালিলিওর সময়ে প্রবর্তিত হয়েছিল। এই রূপান্তরগুলি গ্যালিলিওর মূল সূত্রের সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ, যার মূল কথা ছিল এই যে, সকল জড় গতি বিশিষ্ট পর্যবেক্ষকের জন্য পদার্থবিজ্ঞানের নিয়ম এক এবং অভিন্ন—এমনকি কেউ বলতে পারবে না কে স্থির অবস্থায় রয়েছে। এই সূত্রকে হুমকির মুখে ফেলেছিল ইথার তত্ত্বসমূহ, কারণ ইথার যদি স্থির থাকে তবে আলোয়ের গতি পরিমাপ করে পর্যবেক্ষকরা বুঝে নিতে পারত যে তারা স্থির অবস্থায় রয়েছে। আইনস্টাইন গ্যালিলিওর এই মৌলিক সূত্র রক্ষা করেন—যে, সকল জড় ফ্রেমে পদার্থবিজ্ঞানের নিয়ম এক। কিন্তু তা করার জন্য তাঁকে একটি নতুন সূত্র প্রবর্তন করতে হয়েছিল—আলোয়ের গতি সকল পর্যবেক্ষকের জন্য এক ও অভিন্ন। এই সূত্রগুলো নিচে তালিকাভুক্ত করা হলো:

১. প্রথম সূত্র: আপেক্ষিকতার নীতি

আনুষ্ঠানিকভাবে: পদার্থবিজ্ঞানের নিয়মাবলী সকল জড় প্রসঙ্গ কাঠামোতে অভিন্ন।

অনানুষ্ঠানিকভাবে: প্রত্যেকটি পদার্থবিজ্ঞানের তত্ত্ব প্রত্যেক জড় পর্যবেক্ষকের জন্য গাণিতিকভাবে একইরকম হওয়া উচিত। একটি মহাকাশযান বা সূর্য এবং গ্যালাক্সিকে প্রদক্ষিণকারী গ্রহে অবস্থিত পদার্থবিদ্যার ল্যাবরেটরিতে করা পরীক্ষাগুলো একই ফলাফল দেবে, ল্যাবরেটরিটি যত দ্রুতই না চলুক।

২. দ্বিতীয় সূত্র: আলোয়ের গতির অপরিবর্তনীয়তা

আনুষ্ঠানিকভাবে: মুক্ত স্থানে আলোয়ের গতি সকল জড় প্রসঙ্গ কাঠামোতে একটি ধ্রুবক।

অনানুষ্ঠানিকভাবে: শূন্যে আলোয়ের গতি, যা সাধারণত c দ্বারা প্রকাশ করা হয়, সকল জড় পর্যবেক্ষকের জন্য অভিন্ন; এটি সব দিকেই সমান; এবং এটি আলোক উৎসের গতির ওপর নির্ভর করে না।

এই সূত্রদ্বয় ব্যবহার করে আইনস্টাইন দেখাতে পেরেছিলেন যে ঘটনাসমূহের পর্যবেক্ষণ কিভাবে পর্যবেক্ষকদের আপেক্ষিক গতির উপর নির্ভর করে। এরপর তিনি পদার্থবিজ্ঞানের এমন একটি তত্ত্ব গড়ে তুলতে সক্ষম হন, যা ভর ও শক্তির সমতুল্যতা এবং প্রাথমিক কোয়ান্টাম তত্ত্বের মতো ভবিষ্যদ্বাণী প্রদান করে।

আপেক্ষিকতার এই সূত্রসমূহের আইনস্টাইনের উপস্থাপনাকে বলা হয় আপেক্ষিকতার তড়িচ্চুম্বকীয় দৃষ্টিভঙ্গি (electrodynamic approach)। অধিকাংশ আধুনিক পাঠ্যপুস্তকে এটি স্থান-কালের পন্থা দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে, যেখানে পদার্থবিজ্ঞানের নিয়মসমূহ স্থান-কালের সাম্যতার ফলস্বরূপ এবং আলোয়ের গতির ধ্রুবকতা স্থান-কালের অস্তিত্বের একটি স্বাভাবিক পরিণতি। তবে, আইনস্টাইনের পন্থাটি একইরকম বৈধ এবং এটি এক অসাধারণ যুক্তিনির্ভর বিশ্লেষণ যা আধুনিক আপেক্ষিকতাবাদের চর্চার জন্য প্রয়োজনীয় অন্তর্দৃষ্টি প্রদান করেছে।

আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতা - তড়িৎ-গতিশীল দৃষ্টিভঙ্গি

আইনস্টাইন প্রশ্ন তুলেছিলেন, যদি উভয় পর্যবেক্ষকই দেখেন যে আলোর গতি ধ্রুবক, তাহলে দৈর্ঘ্য ও সময়ের পরিমাপে কেমন পরিবর্তন ঘটতে পারে। তিনি আলোর গতি মাপার জন্য দুটি পর্যবেক্ষকের ব্যবহৃত সূত্রগুলো বিশ্লেষণ করেন, $(x=ct)$ এবং $(x^{'}=ct^{'})$, এবং জিজ্ঞাসা করেন—উভয় পর্যবেক্ষকের আপেক্ষিক গতি থাকা সত্ত্বেও যদি আলোর গতি অপরিবর্তিত থাকে, তবে কী ধরণের ধ্রুবক যুক্ত করতে হবে যাতে সেই মান অপরিবর্তিত থাকে। কারণ এই অবস্থায় $x^{'}$ অক্ষটি ক্রমাগত অগ্রসর হচ্ছে। তার এই বিশ্লেষণের কাজটি পরিশিষ্টে বিশদভাবে দেখানো হয়েছে। এই গণনার ফলাফল হলো লোরেঞ্জ রূপান্তর সূত্রসমূহ:

$x'=\gamma (x-vt)\,$

$y'=y\,$

$z'=z\,$

$t'=\gamma (t-{\frac {vx}{c^{2}}})\,$

এখানে ধ্রুবক $\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$।

এই সমীকরণগুলো যে-কোনো দুই আপেক্ষিক গতিসম্পন্ন পর্যবেক্ষকের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, তবে লক্ষণীয় যে, গতির দিক অনুযায়ী বন্ধনীর ভিতরের চিহ্ন পরিবর্তিত হয়। (অসম্পূর্ণ)

লোরেঞ্জ রূপান্তর হলো গ্যালিলিয় রূপান্তরের একটি উন্নত সংস্করণ, যেখানে এই অতিরিক্ত অনুমান করা হয়েছে যে, প্রত্যেকেই তার গতি যাই হোক না কেন, আলোর গতি একইভাবে মাপে। যেহেতু আলোর গতি একটি দূরত্ব ও সময়ের অনুপাত (অর্থাৎ: প্রতি সেকেন্ডে কত মিটার), তাই সকল পর্যবেক্ষক যদি এক মানই পরিমাপ করে, তবে পরিমাপক ছড়ি, আলোর উৎস ও গ্রাহকের মধ্যে ফাঁকা স্থান এবং ঘড়ির টিকগুলোর সংখ্যা আপেক্ষিক পর্যবেক্ষকদের জন্য গতিশীলভাবে ভিন্ন হতে হবে।

এটি তখনই সম্ভব, যদি দৈর্ঘ্য ও সময়ের ব্যবধান পর্যবেক্ষকদের আপেক্ষিক বেগ (𝑣) অনুসারে পরিবর্তিত হয়, যেমনটি লোরেঞ্জ রূপান্তর দ্বারা বর্ণিত হয়েছে। তখন উভয় পর্যবেক্ষক আলোর গতি হিসেব করতে পারেন—একটি আলোকরশ্মি কত দূরত্ব অতিক্রম করেছে তা সেই সময় দ্বারা ভাগ করে—এবং উভয়ের জন্য একই মান আসে।

আইনস্টাইনের এই দৃষ্টিভঙ্গিকে বলা হয় "তড়িৎ-গতিশীল" কারণ এটি ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণের ভিত্তিতে ধরে নেয় যে, আলো একটি ধ্রুব গতিতে চলে। যেমন উপরে বলা হয়েছে, একটি সার্বজনীন ধ্রুব গতি ধারণা একটু অদ্ভুত, কারণ গতি তো দূরত্ব ও সময়ের অনুপাত।

তাহলে কি লোরেঞ্জ রূপান্তর সূত্রগুলো স্থান ও সময় সম্পর্কে কোনো গভীরতর সত্য গোপন করে রেখেছে? আইনস্টাইন নিজেই এই সূত্রগুলো কীভাবে স্থান ও সময়ের প্রকৃত বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করছে তার একটি সুস্পষ্ট ব্যাখ্যা দেন। নিচে তার সাধারণ যুক্তি উপস্থাপিত হলো।

যদি সমীকরণগুলো একত্রে ব্যবহার করা হয়, তবে তারা নিম্নলিখিত সম্পর্ক মেনে চলে:

(১)

$x^{'2}-c^{2}t^{'2}=x^{2}-c^{2}t^{2}\,$

আইনস্টাইন (১৯২০) ব্যাখ্যা করেন, কিভাবে এই সম্পর্ককে যেকোনো দিকে চলাচল বর্ণনা করতে প্রসারিত করা যায়:

(২)

$x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}-c^{2}t^{'2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}\,$

সমীকরণ (২) হচ্ছে একটি জ্যামিতিক অনুমান, যা মহাবিশ্বে দৈর্ঘ্য ও সময়ের সম্পর্ক নির্দেশ করে। এটি পরামর্শ দেয় যে, এমন একটি ধ্রুবক s আছে যাতে:

$s^{2}=x^{'2}+y^{'2}+z^{'2}-c^{2}t^{'2}\,$

$s^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}-c^{2}t^{2}\,$

এই সমীকরণটি মিঙ্কভস্কি দ্বারা স্বীকৃত হয় পাইথাগোরাসের উপপাদ্যের একটি সম্প্রসারণ হিসেবে (অর্থাৎ: $s^{2}=x^{2}+y^{2}$), যার এমন রূপান্তর বিশ শতকের শুরুর গণিতে পরিচিত ছিল। লোরেঞ্জ রূপান্তর আমাদের বলছে যে, মহাবিশ্ব হলো একটি চতুর্মাত্রিক স্পেসটাইম, এবং তাই কোনো "ইথার" এর দরকার নেই। (আইনস্টাইন ১৯২০, পরিশিষ্ট দেখুন—যেখানে লোরেঞ্জ রূপান্তর কীভাবে চতুর্মাত্রিক মহাবিশ্বের ধারণা দেয় তা আলোচনা করা হয়েছে, তবে সতর্ক থাকুন—"কাল্পনিক সময়" এখন "মেট্রিক টেনসর" দ্বারা প্রতিস্থাপিত হয়েছে।)

আইনস্টাইনের বিশ্লেষণ দেখায় যে, আপেক্ষিক গতিসম্পন্ন দুই পর্যবেক্ষকের x-অক্ষ ও সময়-অক্ষ একে অপরের সঙ্গে সমরেখ থাকে না। এক পর্যবেক্ষকের সময়ের সঙ্গে অপর পর্যবেক্ষকের সময়ের সম্পর্ক নির্দেশকারী সমীকরণ দেখায় যে, এই সম্পর্কটি x-অক্ষ বরাবর দূরত্বের ওপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়। অর্থাৎ:

$t'=\gamma (t-{\frac {vx}{c^{2}}})\,$

এটি অর্থ দেয় যে "ফ্রেম অব রেফারেন্স" ধারণাটিকে পুনর্বিবেচনা করা দরকার, কারণ এক্ষেত্রে অক্ষগুলো আর একে অপরের ওপর সমরেখ থাকে না।

জড় প্রসঙ্গ কাঠামো

সময় পরিমাপের জন্য লরেন্‌জ রূপান্তর (Lorentz Transformation)-এ একটি উপাদান থাকে $(vx/c^{2})$, যার ফলে আপেক্ষিক গতিতে চলমান পর্যবেক্ষকদের জন্য x-অক্ষ বরাবর সময় পরিমাপের মান আলাদা হয়ে যায়। এর মানে, যে পুরনো ধারণাটি ছিল যে একটি প্রসঙ্গ কাঠামো কেবল তিনটি স্থানিক মাত্রা নিয়ে গঠিত এবং সব পর্যবেক্ষকের জন্য একটি অভিন্ন সময় রয়েছে, সেই ধারণাটি আর প্রযোজ্য নয়। পর্যবেক্ষকদের মধ্যে পরিমাপ তুলনা করতে হলে "প্রসঙ্গ কাঠামো"-এর ধারণাটিকে সম্প্রসারিত করে তাতে পর্যবেক্ষকের ঘড়িকেও অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।

একটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামো হল একটি ধারণাগত, ত্রিমাত্রিক পরিমাপ কাঠামো—যেখানে পরিমাপের দণ্ডগুলি একে অপরের সঙ্গে সমকোণে স্থাপন করা থাকে এবং প্রতিটি বিন্দুতে একটি করে ঘড়ি থাকে যা পরস্পরের সঙ্গে সযোজিত বা সাম্যকরণে থাকে (সম্পূর্ণ সংজ্ঞার জন্য নিচে দেখুন)। একটি বস্তু যা এই জড় প্রসঙ্গ কাঠামোর অংশ বা তাতে সংযুক্ত, সেটি এমন একটি বস্তু হিসেবে সংজ্ঞায়িত হয় যা ঘড়ির সাম্যকরণে বিঘ্ন ঘটায় না এবং সেই কাঠামোর ভেতরে স্থির থাকে বা একই স্থানিক অবস্থানে থাকে। একটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামো যাতে একটি চলন্ত, ঘূর্ণনহীন বস্তু সংযুক্ত থাকে, সেটিকে ঐ বস্তুর জড় প্রসঙ্গ কাঠামো বলা হয়। একটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামো যা একটি নির্দিষ্ট বস্তুর বিশ্রাম কাঠামো, তা সেই বস্তুর সঙ্গে চলতে থাকে যখন তা আপেক্ষিক গতিতে থাকা পর্যবেক্ষকদের দ্বারা পর্যবেক্ষিত হয়।

এই ধরনের সন্ধান কাঠামোকে "নিষ্ক্রিয়" বলা হয় কারণ, যেমনটি এই বইয়ে পরবর্তীতে দেখা যাবে, প্রত্যেকটি বস্তু-ব্যবস্থার জন্য যারা নিউটনের জড়তার সূত্র অনুযায়ী একইভাবে গতিশীল (যেখানে ঘূর্ণন নেই, মাধ্যাকর্ষণ ক্ষেত্র নেই, বা বল প্রয়োগ হচ্ছে না), তাদের একটি অভিন্ন বিশ্রাম কাঠামো থাকে—যেখানে ঘড়িগুলোর সাম্যকরণ এবং পরিমাপ দণ্ডগুলোর দৈর্ঘ্য অন্য আপেক্ষিকভাবে গতিশীল বিশ্রাম কাঠামোগুলোর তুলনায় ভিন্ন হয়ে থাকে।

"জড় প্রসঙ্গ কাঠামো" এর আরও অনেক সংজ্ঞা রয়েছে, তবে এদের অধিকাংশ যেমন: "একটি জড় বিশ্রাম কাঠামো হল একটি কাঠামো যেখানে নিউটনের প্রথম সূত্র প্রযোজ্য"—এই সংজ্ঞাগুলোতে স্থানাঙ্কের বিন্যাস কীভাবে করা হয়েছে সে সম্পর্কে প্রাসঙ্গিক বিবরণ থাকে না এবং/অথবা এই সংজ্ঞাগুলো আরও মৌলিক সংজ্ঞা থেকে নির্গত ব্যাখ্যামাত্র।

নিচে Blandford এবং Thorne (2004) কর্তৃক প্রদত্ত সংজ্ঞাটির অনুবাদ দেওয়া হলো, যা কাজরত পদার্থবিদেরা “জড় প্রসঙ্গ কাঠামো” বলতে কী বোঝান, তার একটি মোটামুটি পূর্ণাঙ্গ সারসংক্ষেপ:

“একটি জড় প্রসঙ্গ কাঠামো হল একটি (ধারণাগত) ত্রিমাত্রিক জালবিশিষ্ট কাঠামো, যা মাপজোকের দণ্ড এবং ঘড়ির দ্বারা গঠিত, এবং যার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্যসমূহ রয়েছে:

(i) এই জাল কাঠামো স্পেসটাইমের মধ্য দিয়ে অবাধে গতিশীল (অর্থাৎ, এর উপর কোনো বল কাজ করছে না), এবং এটি জাইরোস্কোপের সাথে যুক্ত থাকে, ফলে এটি দূরবর্তী জ্যোতির্বৈজ্ঞানিক বস্তুর তুলনায় ঘূর্ণায়মান হয় না।

(ii) মাপজোকের দণ্ডগুলি একটি লম্ব (orthogonal) জাল গঠন করে এবং এর উপর চিহ্নিত দৈর্ঘ্যের পার্থক্যসমূহ সমান, যেমন কিছু নির্দিষ্ট প্রকারের পরমাণু বা অণুর দ্বারা নির্গত আলোর তরঙ্গদৈর্ঘ্যের তুলনায় একরকম; সুতরাং এই দণ্ডগুলি একটি অর্থোনরমাল, কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্ক পদ্ধতি গঠন করে, যেখানে স্থানাঙ্ক x একটি অক্ষে, y অপরটিতে এবং z তৃতীয়টিতে পরিমাপ করা হয়।

(iii) ঘড়িগুলি জালের মধ্যভাগ জুড়ে ঘনভাবে বসানো থাকে, যাতে আদর্শভাবে, প্রতিটি জালের বিন্দুতে একটি করে ঘড়ি থাকে।

(iv) ঘড়িগুলি সমান তালে টিক টিক করে, যেমন, কিছু নির্দিষ্ট প্রকারের পরমাণু বা অণুর দ্বারা নির্গত আলোর সময়কাল বা কম্পাঙ্কের তুলনায়; অর্থাৎ, এগুলি আদর্শ ঘড়ি।

(v) ঘড়িগুলি আইনস্টাইনের সিঙ্ক্রোনাইজেশন প্রক্রিয়া অনুসারে সিঙ্ক্রোনাইজ করা হয়: যদি কোনো একটি ঘড়ি থেকে নির্গত আলোর একটি তরঙ্গ অপর ঘড়ির সাথে যুক্ত একটি আয়নায় প্রতিফলিত হয়ে আবার ফিরে আসে, তাহলে প্রতিফলনের সময় $t_{b}$, যা প্রতিফলনকারী ঘড়ির দ্বারা মাপা হয়, সেটি নির্গতকরণ ও গ্রহণের সময়ের গড় মান: $t_{b}=1/2(t_{e}+t_{r})$।

আদর্শ ঘড়ি ও আদর্শ পরিমাপের দণ্ডের প্রকৃতি সম্পর্কে আরও বিশদ আলোচনা দেখতে পারো, যেমন Misner, Thorne, and Wheeler (1973)-এর পৃষ্ঠা ২৩-২৯ এবং ৩৯৫-৩৯৯।"

বিশেষ আপেক্ষিকতা দেখায় যে, আপেক্ষিকভাবে চলমান বস্তুর নিষ্ক্রিয় বিশ্রাম কাঠামোগুলি একে অপরের উপর ঠিকঠাক বসে না। প্রতিটি পর্যবেক্ষক অন্য চলমান পর্যবেক্ষকের নিষ্ক্রিয় কাঠামোকে বিকৃতরূপে দেখতে পান। এই আবিষ্কারই বিশেষ আপেক্ষিকতার মূল কথা, এবং এর অর্থ হলো চলমান পর্যবেক্ষকদের মধ্যে স্থানাঙ্ক এবং অন্যান্য পরিমাপের রূপান্তর জটিল হয়ে ওঠে। এ বিষয়ে নিচে বিস্তারিত আলোচনা করা হবে।

চলবে