প্রকৌশল শব্দবিজ্ঞান/হারমোনিক তৈরি

হারমোনিকের অরৈখিক সৃষ্টির প্রক্রিয়া

ঝাঁকুনির গুণগত বিবরণ অংশে যেমন ব্যাখ্যা করা হয়েছে, যেকোনো মাধ্যমের তরঙ্গ যখন সসীম প্রশস্ততা নিয়ে ছড়ায়, তখন সেটি ধাপে ধাপে আরও তীক্ষ্ণ হয়ে ওঠে। এই প্রক্রিয়ার চূড়ান্ত পরিণতি হলো একটি ঝাঁকুনির তরঙ্গ (shock wave)-এর সৃষ্টি। যদি তরঙ্গ বা প্রবাহ খুব শক্তিশালী হয়, এবং তরলের কণাগুলোর গতি শব্দের গতির সমান বা কাছাকাছি হয়, অর্থাৎ u/c_o ≥ O(1), তাহলে এই রূপান্তর খুব দ্রুত ঘটে এবং একে স্থানিক প্রভাব বলা হয়।

অন্যদিকে, যদি তরঙ্গ দুর্বল হয় এবং u/c_o << 1 থাকে, তবুও সেখানে অরৈখিক প্রভাব দেখা যায়। এই ক্ষেত্রে, তরঙ্গটি অনেক তরঙ্গদৈর্ঘ্যজুড়ে ধীরে ধীরে তীক্ষ্ণ হয়, এবং একে সঞ্চিত প্রভাব হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

মাঝারি মাত্রার তরঙ্গ শক্তির ক্ষেত্রে, তরঙ্গ বিকৃতির একটি গুরুত্বপূর্ণ পরিণতি হলো—চলন্ত তরঙ্গের ভিতরে হারমোনিক উপাদানগুলোর সৃষ্টি বা সঞ্চয়।

পর্যায়ক্রমিক তরঙ্গ বিকৃতি

হারমোনিক উপাদান কীভাবে বিকৃত তরঙ্গের মধ্যে গঠিত হয়, তা বোঝাতে একটি নির্দিষ্ট বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। ধরুন, একটি সমতল তরঙ্গ x⁺ দিক বরাবর অগ্রসর হচ্ছে এবং সেটি একটি পিস্টনের মাধ্যমে চালিত হচ্ছে যার গতি u_o = sin(ωt) — এখানে ω হলো ফ্রিকোয়েন্সি এবং t হলো সময়। এই পরিস্থিতিতে তরঙ্গ কেবল x⁺ এর উপর নির্ভর করে, তাই একে সরল তরঙ্গ অনুমান হিসেবে ধরা যায় এবং অনাশক্ত তরলে তরঙ্গটি নিচের সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যায়:^[১]^[২]

{\frac {\partial u}{\partial t}}+\left(c+u\right){\frac {\partial u}{\partial x}}=0

{\frac {\partial u}{\partial t}}+\left(c_{o}+\beta u\right){\frac {\partial u}{\partial x}}=0

\beta =1+{\frac {1}{2}}{\frac {B}{A}}

উপরের সমীকরণগুলোতে, β এবং B/A তরঙ্গের অরৈখিক প্রকৃতি বোঝাতে ব্যবহৃত হয়েছে। এখানে তরঙ্গের স্থানীয় গতি হয় (c_o + βu), যা সরল তরঙ্গের ক্ষেত্রে শুধু c_o হতো। যদি আমরা ধরি যে তরঙ্গের প্রাথমিক রূপ সাইনুসয়েডাল, তাহলে তরঙ্গের সর্বোচ্চ বিন্দু সবচেয়ে দ্রুত এগিয়ে যায়, আর যেসব বিন্দু সাম্যাবস্থায় আছে, তারা কেবল শব্দের গতিতে চলে।

চিত্র ১-এ এই অগ্রগতির গুণগত চিত্র দেখানো হয়েছে, যেখানে তরঙ্গের সর্বোচ্চ, সর্বনিম্ন এবং সাম্যাবস্থার বিন্দুর x-t অক্ষে গতিপথ চিত্রিত হয়েছে। যেহেতু তরঙ্গের বিভিন্ন অংশ সমান গতিতে চলে না, তাই তরঙ্গটি ধীরে ধীরে বিকৃত হয়। এই বিকৃতির হার নির্ভর করে তরঙ্গের বিভিন্ন অংশের গতি ও তরলের অরৈখিকতা (B/A)-র ওপর। সুতরাং, যদি দুটি তরলে একই রকম সীমানা গতি প্রয়োগ করা হয়, তাহলে যে তরলের B/A মান বেশি, সেটিতে তরঙ্গ বেশি দ্রুত বিকৃত হবে।

উল্লিখিত সমীকরণ ও চিত্র অনুযায়ী, তরঙ্গের সবচেয়ে দ্রুতগামী অংশ একসময় সামনের তরঙ্গফ্রন্টে ধাক্কা খায় এবং একটি ঝাঁকুনির তরঙ্গ (shock) তৈরি হয়। তবে বাস্তব তরলে সব তরঙ্গ এমনভাবে বিকৃত হয় না, কারণ বাস্তব তরলে শব্দ দুর্বল হয় বা attenuate করে। এই দুর্বলতার হার সাধারণত ω²-এর সাথে প্রোপোরশনাল, তাই উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সির হারমোনিক উপাদানগুলো বেশি দ্রুত ক্ষয়প্রাপ্ত হয়। এর ফলে তরঙ্গ খুব তীক্ষ্ণ হওয়ার আগেই ক্ষয়ের মাধ্যমে তা সীমিত হয়ে পড়ে এবং এক ধরণের স্থিতিশীল তরঙ্গরূপ গঠিত হয় যেখানে অরৈখিকতা ও ক্ষয় একে অপরকে ভারসাম্য রাখে।

যদি তরঙ্গের প্রশস্ততা খুব বেশি হয়, কিংবা তরলটি ক্ষয়হীন হয়, তাহলে এই বিকৃত তরঙ্গ একসময় ঝাঁকুনির তরঙ্গে রূপ নেয়। এই কারণেই পানির তুলনায় বাতাসে ঝাঁকুনি কম দেখা যায়, কারণ বাতাসে তরঙ্গ সহজেই ক্ষয়প্রাপ্ত হয়। যদিও এখানে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করা হয়নি, তবুও একবার ঝাঁকুনি গঠিত হওয়ার পরও নতুন হারমোনিক উপাদান সৃষ্টি হতে থাকে। এই প্রক্রিয়াটি ভিন্নভাবে বিশ্লেষণ করা হয়, তবে এটি দুর্বল ঝাঁকুনির (weak shock) অনুমানের মাধ্যমে করা যায়। এই বিষয়ে আরও জানতে ব্ল্যাকস্টকের গবেষণাপত্র^[৩] অথবা অরৈখিক শব্দবিজ্ঞানের অন্যান্য গ্রন্থাবলি দেখা যেতে পারে।^[১]^[২]^[৪]^[৫]

বৈশিষ্ট্যর পদ্ধতি ব্যবহার করে প্রাপ্ত সমাধানের ফ্রিকোয়েন্সি বিশ্লেষণ

বিকৃত তরঙ্গ u(x,t)-এর সর্বাধিক স্বজ্ঞাত বিশ্লেষণাত্মক সমাধান পাওয়া যায় বৈশিষ্ট্যর পদ্ধতি ভিত্তিক একটি পন্থা ব্যবহার করে। সমতল অগ্রসর তরঙ্গের ক্ষেত্রে এই পদ্ধতি ঝাঁকুনির গুণগত বর্ণনা অনুচ্ছেদে ব্যাখ্যা করা হয়েছে। মধ্যবর্তী তরঙ্গ প্রোফাইল এবং ঝাঁকুনি গঠনের বৈশিষ্ট্য সংক্রান্ত আলোচনাগুলি অরৈখিক শব্দবিজ্ঞানের বহু প্রামাণ্য গ্রন্থে দেওয়া হয়েছে — যেমন Hamilton ও Blackstock,^[২] Elfno,^[৫] Beyer,^[৪] এবং Pierce-এর গ্রন্থে।^[১]

চিত্র ১-এ চিত্রিত পদ্ধতির সারকথা হলো, dx/dt = (c + u) দ্বারা সংজ্ঞায়িত বৈশিষ্ট্যর গতিপথ বরাবর সাধারণ বিভাজ্য সমীকরণগুলির মান নির্ধারণ করে এগুলোকে প্রক্ষেপণ করা। একটি একক অগ্রসর তরঙ্গের ক্ষেত্রে, যা সাইনুসয়েডাল সীমান্ত u_o = sin(ωt) দ্বারা চালিত হয়, এই সমাধানটি বিশেষভাবে সরল কারণ ডোমেইনের প্রতিটি অবস্থান কেবল একটি বৈশিষ্ট্যর গতিপথের সঙ্গে সম্পর্কিত — যা u, c ইত্যাদির ধ্রুব মান বহন করে। ডোমেইনের যেকোনো অবস্থানে বৈশিষ্ট্যর গতিপথ নির্ধারণ করা যায় এবং সংশ্লিষ্ট u এর মান ব্যবহার করে সমাধান গঠন করা যায়। নিচের উদাহরণে, Elfno কর্তৃক বর্ণিত আপেক্ষিক সমীকরণ ব্যবহার করে তরঙ্গ প্রোফাইল গণনা করা হয়েছে:^[৫]

u=u_{o}\sin \left(\tau +{\frac {\beta u}{c_{o}^{2}}}x\right),

\tau =t-{\frac {x}{c_{o}}}

এই নির্দিষ্ট উদাহরণে তরঙ্গ প্রশস্ততা এমনভাবে নির্ধারণ করা হয়েছে যাতে পাঁচটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য অতিক্রমের পর ঝাঁকুনি তৈরি হয়। সাধারণীকরণের জন্য সমাধানের সব মান অমাত্রিক রূপে উপস্থাপিত হয়েছে। তরলের জন্য, অরৈখিকতার পরামিতি নির্ধারণ করা হয়েছে B/A = 5.0, যা ২০° সে তাপমাত্রায় বিশুদ্ধ পানির সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।^[১] চিত্র ২-এর উপরের অংশে তরঙ্গের স্থানিক প্রোফাইল দেখানো হয়েছে, যেখানে তরঙ্গের তীক্ষ্ণতা স্পষ্টভাবে দেখা যায়। চিত্র ২-এর নিচের তিনটি প্যানেলে সেই তরঙ্গের ফ্রিকোয়েন্সি স্পেকট্রা (frequency spectrum) দেখানো হয়েছে, যেগুলি নির্দিষ্ট লাল ব্যান্ড দ্বারা নির্দেশিত অঞ্চল অতিক্রমের সময় রেকর্ড করা হয়েছে। ফ্রিকোয়েন্সি স্পেকট্রা তৈরি করতে গণনা করা টাইম-ডোমেইন সিগনালের উপর Discrete Fourier Transform (DFT) প্রয়োগ করা হয়েছে।

ফ্রিকোয়েন্সি স্পেকট্রাতে, যেখানে f_o = 2πω, দেখা যায় যে x = 0 সীমান্তে তরঙ্গ কেবলমাত্র মৌলিক ফ্রিকোয়েন্সি ধারণ করে। গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, তরঙ্গ যত দূর অগ্রসর হয় এবং বিকৃত হয়, তরঙ্গ প্রোফাইল তত বেশি সংখ্যক হারমোনিক ধারণ করে — এবং এই সব হারমোনিকই মৌলিক ফ্রিকোয়েন্সির পূর্ণগুণ। এছাড়াও দেখা যায়, তরঙ্গ যত অগ্রসর হয়, ততই এই হারমোনিকগুলোর মাত্রা বৃদ্ধি পায়।

হারমোনিক প্রোফাইলের সরাসরি বিশ্লেষণাত্মক সমাধান

যেখানে বৈশিষ্ট্যর পদ্ধতিতে স্থানিক ও কালিক তরঙ্গ প্রোফাইল পাওয়া যায় এবং সেখান থেকে ফ্রিকোয়েন্সি বিষয়ক তথ্য বিশ্লেষণ করা যায়, সেখানে বিকৃত অগ্রসর তরঙ্গের হারমোনিক উপাদান সরাসরি নির্ণয়ের জন্য একটি আরও সরল পদ্ধতি বিদ্যমান। পুনরায় ধরা যাক, একটি সমতল তরঙ্গ একটি সাইনুসয়েডাল সীমান্ত শর্ত দ্বারা চালিত, যেখানে u_o = sin(ωt)। যখন সিস্টেম ইনপুট পর্যায়ক্রমিক, তখন একটি সাধারণ সমাধান পাওয়ার প্রচলিত পদ্ধতি হলো সিস্টেম প্রতিক্রিয়া একটি ফুরিয়ার শ্রেণী-এর মাধ্যমে প্রকাশ করা। পিয়ার্স-এ প্রদর্শিত হয়েছে,^[১] এই পদ্ধতি অগ্রসর তরঙ্গ সমস্যায় প্রয়োগ করলে নিম্নলিখিত শ্রেণী সমাধান পাওয়া যায়:

u\left(\omega \tau ,\sigma \right)=\sum _{n=1}^{\infty }B_{n}\left(\sigma \right)\sin \left(n\omega \tau \right)

\sigma ={\frac {x}{x_{\text{shock}}}}

\tau =t-{\frac {x}{c_{o}}}

B_{n}\left(\sigma \right)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\pi }u\left(\omega \tau ,\sigma \right)\sin \left(n\omega \tau \right)d\left(\omega \tau \right)

এই সমাধান থেকে ফুরিয়ার সহগগুলোর মান সরাসরি হারমোনিকগুলোর প্রশস্ততা নির্দেশ করে, এবং সম্পূর্ণ ফুরিয়ার শ্রেণী সমাধানটি সময় ও স্থান ডোমেইনে তরঙ্গের পূর্ণ রূপ প্রদান করে। এই পদ্ধতির চ্যালেঞ্জ হলো ফুরিয়ার সহগগুলোর সঠিক মান নির্ণয়। অরৈখিক শব্দবিজ্ঞানের প্রেক্ষাপটে এই সমাধানটি প্রথমে ফিউবিনি কর্তৃক ১৯৩৫ সালে উপস্থাপিত হয়,^[৩] যেখানে ইন্টিগ্রাল রূপান্তরের মাধ্যমে Bessel ফাংশনের রূপ প্রাপ্ত হয়, ফলে হারমোনিক উপাদানসমূহ নিচের সমীকরণ অনুযায়ী সরাসরি নির্ধারিত হয়:

B_{n}(\sigma )={\frac {2u_{o}}{n\sigma }}J_{n}(n\sigma )

এখানে J_n হলো প্রথম প্রকারের Bessel ফাংশন। ঐতিহাসিকভাবে, ১৯৬৬ সালে ব্ল্যাকস্টক-এর কাজ^[৩] এই সমাধানের পদার্থগত ব্যাখ্যাগুলো আরও সুস্পষ্ট করে এবং অরৈখিক শব্দবিজ্ঞানে এটি ব্যাপকভাবে পরিচিত করে তোলে। এই নির্ণয়ের আরও বিশদ বিবরণের জন্য পিয়ার্স,^[১] এলফনও,^[৫] বা হ্যামিল্টন-এর^[২] গ্রন্থসমূহ পর্যালোচনা করা যেতে পারে।

সম্পূর্ণতা রক্ষার্থে, চিত্র ৩-এ স্বাভাবিকীকৃত প্রচারণা দূরত্বের উপর ভিত্তি করে ধারাবাহিক হারমোনিক প্রোফাইল চিত্রিত হয়েছে। তরঙ্গের শর্তাবলী পূর্ববর্তী চিত্র ২-এ ব্যবহৃত হিসাবের অনুরূপ। এই নির্দিষ্ট উদাহরণে, ঝাঁকুনি গঠন ঘটে পাঁচটি তরঙ্গদৈর্ঘ্য পরে; তবে চিত্রিত হারমোনিক প্রোফাইলটি যেকোনো x_shock মানের জন্য সাধারণভাবে প্রযোজ্য।

তথ্যসূত্র

↑ ^১.০ ^১.১ ^১.২ ^১.৩ ^১.৪ ^১.৫ Pierce, A. D. (1989). Acoustics : an introduction to its physical principles and applications. Woodbury, N.Y., Acoustical Society of America.
↑ ^২.০ ^২.১ ^২.২ ^২.৩ Blackstock, D.T., Hamilton, M.F., Pierce, A.D. 2008. Progressive Waves in Lossless and Lossy Fluids. In Nonlinear Acoustics (eds. Hamilton, M. F., Blackstock, D. T.) Acoustical Society of America.
↑ ^৩.০ ^৩.১ ^৩.২ Blackstock, D. T. (1966). "Connection between the Fay and Fubini Solutions for Plane Sound Waves of Finite Amplitude." The Journal of the Acoustical Society of America 39(6).
↑ ^৪.০ ^৪.১ Beyer, R. T. (1997). Nonlinear acoustics. Woodbury, NY, Acoustical Society of America.
↑ ^৫.০ ^৫.১ ^৫.২ ^৫.৩ Enflo, B. O. and C. M. Hedberg. 2002. Nonlinear Waves with Zero and Vanishing Diffusion. In Theory of Nonlinear Acoustics in Fluids. Dordrecht ; Boston, Kluwer Academic Publishers.

[Pierce_1989-1] ১.০ ^১.১ ^১.২ ^১.৩ ^১.৪ ^১.৫ Pierce, A. D. (1989). Acoustics : an introduction to its physical principles and applications. Woodbury, N.Y., Acoustical Society of America.

[Blackstock_2008-2] ২.০ ^২.১ ^২.২ ^২.৩ Blackstock, D.T., Hamilton, M.F., Pierce, A.D. 2008. Progressive Waves in Lossless and Lossy Fluids. In Nonlinear Acoustics (eds. Hamilton, M. F., Blackstock, D. T.) Acoustical Society of America.

[Blackstock_1966-3] ৩.০ ^৩.১ ^৩.২ Blackstock, D. T. (1966). "Connection between the Fay and Fubini Solutions for Plane Sound Waves of Finite Amplitude." The Journal of the Acoustical Society of America 39(6).

[Beyer_1997-4] ৪.০ ^৪.১ Beyer, R. T. (1997). Nonlinear acoustics. Woodbury, NY, Acoustical Society of America.

[Elfno_2002-5] ৫.০ ^৫.১ ^৫.২ ^৫.৩ Enflo, B. O. and C. M. Hedberg. 2002. Nonlinear Waves with Zero and Vanishing Diffusion. In Theory of Nonlinear Acoustics in Fluids. Dordrecht ; Boston, Kluwer Academic Publishers.

[১]

[২]

[৩]

[৪]

[৫]