প্রকৌশল শব্দবিজ্ঞান/স্থিতিস্থাপক কঠিন পদার্থে তরঙ্গগতি

তরঙ্গের ধরণ

একটি অসীম মাধ্যমে, দুটি ভিন্ন মৌলিক তরঙ্গের ধরণ, প্রসারণমূলক এবং বিকৃতিমূলক, বিভিন্ন প্রচার বেগে প্রচার করতে পারে। প্রসারণমূলক তরঙ্গ যে মাধ্যমে প্রচারিত হয় তার আয়তনে পরিবর্তন ঘটায় কিন্তু ঘূর্ণন ঘটায় না; অন্যদিকে বিকৃতিমূলক তরঙ্গ ঘূর্ণন ঘটায় কিন্তু আয়তনের কোনও পরিবর্তন হয় না। স্থানচ্যুতি ক্ষেত্র, স্ট্রেন এবং স্ট্রেস ক্ষেত্র থাকাকে পরিণতি হিসাবে নির্ধারণ করা যেতে পারে।

চিত্র ১: প্রসারণশীল তরঙ্গ

চিত্র ১: বিকৃত তরঙ্গ

স্থিতিস্থাপকতা সমীকরণ

কার্টেসিয়ান টেনসর স্বরলিপিতে তরঙ্গ সমীকরণ বের করতে ব্যবহৃত সমজাতীয় সমকোণীয় স্থিতিস্থাপক কঠিন পদার্থের স্থিতিস্থাপকতা সমীকরণগুলি হল

''ভরবেগ সংরক্ষণ

$\tau _{ij,j}+\rho f_{i}=\rho {\ddot {u_{i}}},\ (1)$

''ভরবেগের মুহূর্তের সংরক্ষণ

$\tau _{ij}=\tau _{ji},\ (2)$

''গঠনমূলক সমীকরণ (যা বিকৃতির অবস্থাকে আকর্ষণের অবস্থার সাথে সম্পর্কিত করে)

$\tau _{ij,j}=\lambda \epsilon _{kk}\delta _{ij}+2\mu \epsilon _{ij},\ (3)$

স্ট্রেন-স্থানচ্যুতি সম্পর্ক

$\epsilon _{ij}={1 \over 2}(u_{i,j}+u_{j,i}),\ (4a)$

$\omega _{ij}={1 \over 2}(u_{i,j}-u_{j,i}),\ (4b)$

যার মধ্যে $\scriptstyle \tau$ হল স্ট্রেস টেনসর, $\scriptstyle \rho$ হল কঠিন পদার্থের ঘনত্ব, এবং $\scriptstyle \mathbf {u}$ হল ভেক্টর স্থানচ্যুতি। $\scriptstyle f$ হল দেহ বল, $\scriptstyle \lambda$ এবং $\scriptstyle \mu$ হল খোঁড়া ধ্রুবক। $\scriptstyle \epsilon$ এবং $\scriptstyle \omega$ হল স্ট্রেন এবং ঘূর্ণন টেনসর।

অসীম মাধ্যমে তরঙ্গ সমীকরণ

সমীকরণ (3) তে সমীকরণ (4) প্রতিস্থাপন করা, এবং ফলাফলকে সমীকরণে রূপান্তর করা। (1) মিডিয়ার জন্য নেভিয়ের সমীকরণ (স্থানচ্যুতির পরিপ্রেক্ষিতে পরিচালনাকারী সমীকরণ) দেয়

$(\lambda +2\mu )u_{j,ji}+\mu u_{i,jj}+\rho f_{i}=\rho {\ddot {u_{i}}}.\ (5)$

শরীরের শক্তির অনুপস্থিতিতে একটি সমজাতীয় আইসোট্রপিক কঠিনের গতির স্থানচ্যুতি সমীকরণকে এভাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

$(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} =\rho {\ddot {\mathbf {u} }}.\ (6)$

স্থানচ্যুতি সুবিধাজনকভাবে একটি স্কেলার পটেনশিয়ালের গ্রেডিয়েন্ট এবং একটি ভেক্টর পটেনশিয়ালের কার্ল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

$\mathbf {u} =\nabla \phi \ +\nabla \times \psi ,\ (7)$

শর্ত $\nabla \cdot \psi =0$ সহ। উপরের সমীকরণটিকে হেলমহোল্টজ (পচন) উপপাদ্য বলা হয় যেখানে $\scriptstyle \phi$ এবং $\scriptstyle \psi$ কে স্কেলার এবং ভেক্টর স্থানচ্যুতি বিভব বলা হয়। সমীকরণে (7) প্রতিস্থাপন করা। (6) ফলন

$[(\lambda +2\mu )\nabla ^{2}\phi \ -\rho {\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}]+\nabla \times \ [\mu \nabla ^{2}\psi -\rho {\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}]=0.\ (8)$

সমীকরণ (8) সন্তুষ্ট হয় যদি

$c_{p}^{2}\nabla ^{2}\phi ={\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial t^{2}}}$ যেখানে $c_{p}^{2}={\frac {(\lambda +2\mu )}{\rho }},\ (9a)$

$c_{s}^{2}\nabla ^{2}\psi ={\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}$ যেখানে $c_{s}^{2}={\frac {\mu }{\rho }}.\ (9b)$

সমীকরণ (9a) হল একটি প্রসারণশীল তরঙ্গ সমীকরণ যার প্রচার বেগ $\scriptstyle c_{p}$। এর অর্থ হল প্রসারণশীল ব্যাঘাত, অথবা আয়তনের পরিবর্তন $\scriptstyle c_{p}$ বেগে প্রচার করে। এবং সমীকরণ (9b) হল একটি বিকৃতিমূলক তরঙ্গ সমীকরণ; তাই বিকৃতিমূলক তরঙ্গগুলি মাধ্যমের মধ্যে একটি বেগ $\scriptstyle c_{s}$ দিয়ে প্রচার করে। বিকৃতিমূলক তরঙ্গগুলিকে ঘূর্ণনশীল, শিয়ার বা ট্রান্সভার্স তরঙ্গও বলা হয়।

দেখা যায় যে এই তরঙ্গ সমীকরণগুলি গতির সাধারণ সমীকরণের চেয়ে সহজ। অতএব, সমীকরণ (9) এবং সীমানা এবং প্রাথমিক অবস্থা থেকে বিভব খুঁজে পাওয়া যেতে পারে এবং তারপরে স্থানচ্যুতির সমাধান সমীকরণ (7) থেকে পাওয়া যাবে।

তথ্যসূত্র

[1] স্থিতিস্থাপক কঠিন পদার্থে তরঙ্গের গতি; কার্ল এফ. গ্রাফ, ওহিও স্টেট ইউনিভার্সিটি প্রেস, ১৯৭৫।

[২] ইলাস্টিক তরঙ্গ এবং গতিশীল চাপ ঘনত্বের বিবর্তন; চাও-চৌ মও, ইহ-হসিং পাও, ১৯৭১।