প্রকৌশল শব্দবিজ্ঞান/সীমান্ত শর্তাবলী ও বলকৃত কম্পন

সীমান্ত শর্তাবলী

পূর্বে আলোচিত তরঙ্গ সমীকরণের সমাধান উপস্থাপনকারী ফাংশনসমূহ হল;

$y(x,t)=f(\xi )+g(\eta )\,$ যেখানে, $\xi =ct-x\,$ এবং $\eta =ct+x\,$

এই সমস্ত তরঙ্গ সমীকরণ নির্ভর করে তরঙ্গের প্রাথমিক অবস্থা (ইনিশিয়াল কন্ডিশন) এবং সীমান্ত শর্তাবলী (বাউন্ডারি কন্ডিশন) -এর উপর। যদি ধরা হয় যে তরঙ্গটি একটি তার বা দড়ির মাধ্যমে ছড়িয়ে পড়ছে, তাহলে সেই তরঙ্গের প্রাথমিক শর্তগুলি 't = 0' সময়ে তারটিতে সৃষ্ট নির্দিষ্ট ধরণের কম্পন বা বিঘ্নের মাধ্যমে নির্ধারিত হয়। এই কম্পন বা অস্থিরতা আবার নির্ভর করে তার (বা দড়ি) -এর ঠিক কোথায় বা কোন অংশ থেকে তার (বা দড়ি) -এর অন্যান্য অংশে সেটি ছড়িয়ে পড়ছে, অর্থাৎ তার (বা দড়ি) -এর ঠিক কোন অংশ থেকে এই কম্পনের উৎস হয়েছে; হয়তো বা কোন তারের সেই নির্দিষ্ট অংশে কোন মৃদু দোলন উৎপন্ন হয়েছে বা তারের সেই বিশেষ অংশে কোন বাহ্যিক আঘাত লেগেছে যার কারনে এই অস্থিরতা বা কম্পনের উৎপত্তি হয়েছে।

বাউন্ডারি কন্ডিশন বা সীমান্ত শর্তাবলী তরঙ্গের আচরণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে, যদিও সেগুলোর প্রভাব অনেক সময় সরাসরি বোঝা যায় না।

তরঙ্গের সবচেয়ে সাধারণ সীমানা শর্ত দুটির প্রথমটি হল; স্থির সমর্থন বা ফিক্সড সাপোর্ট, যেখানে তারের প্রান্ত আটকানো থাকে এবং দ্বিতীয়টি হল; মুক্ত প্রান্ত বা ফ্রী এন্ড, যেখানে কোনো রকম বলপ্রয়োগ করা তারটিকে আটকে রাখা হয়না, (অর্থাৎ কল্পনা করুন তারটি ভাসমান অবস্থায় আছে)। তবে বাস্তবে মুক্ত প্রান্ত শর্তের উদাহরন খুব কম দেখা যায়, কারণ সাধারণত কোনো না কোনো বাহ্যিক বল বা কাঠামোর মাধ্যমে তারের প্রান্তকে আটকে রাখা হয়।

স্থির সমর্থন

তার বা দড়ির প্রান্ত যেখানে বাঁধা তাকে সাপোর্ট বা সমর্থন বলা হয়। দড়ি বা তারে যখন তরঙ্গ বা কম্পন বিস্তার লাভ করে হয় তখন সমর্থন বা সাপোর্টের কোন বিচ্যুতি বা ডিসপ্লেসমেন্ট হতে পারে না। এবার একটি রেখচিত্রের সাহায্যে আমরা তার বা দড়িতে বিস্তারিত তরঙ্গের ব্যাখ্যা করতে চাই, তখন আমরা রেখচিত্রের অনুভূমিক অক্ষ $x$ -এর সাপেক্ষে সমর্থণ বা সাপোর্ট -এর অবস্থান $x=0$ ধরে নিই। তাহলে এই শর্তটি মানাতে হবে যে, $x=0$ অবস্থানে দড়ি বা তারের তরঙ্গের অনুভূমিক বিচ্যুতি শূন্য হবে। সেই অনুসারে তরঙ্গ সমীকরনের সমাধানকারী ফাংশনটি হবে নিম্নরূপ;

$y(0,t)=f(ct-0)+g(ct+0)=0\,$

অতএব, x=0 স্থানে মোট অনুভূমিক বিচ্যুতি শূন্য।

স্থির সমর্থনের ক্ষেত্রে ইনসিডেন্ট বা আপতিত তরঙ্গ, রিফ্লেক্টেড বা প্রতিফলিত তরঙ্গ এবং কম্বাইন্ড বা সংযুক্ত তরঙ্গের প্রতিফলনের ধারাবাহিকতা নিচে চিত্রের মাধ্যমে দেখানো হয়েছে। অনুগ্রহ করে লক্ষ্য করুন, শুরুতে তরঙ্গটি বামে (নেতিবাচক x অক্ষ ধরে) এগোচ্ছে। প্রতিফলিত তরঙ্গটি অবশ্যই ডানে (ধনাত্মক x অক্ষ ধরে) চলমান।

t=0

t=t1

t=t2

t=t3

মুক্ত প্রান্ত -এর জন্য

ফিক্সড সাপোর্ট বা স্থির সমর্থন -এর মতো এখানে তার বা দড়ির কোন সাপোর্ট বা সমর্থন থাকেনা তাই সাপোর্ট -এর অবস্থানে তরঙ্গের মোট অনুভূমিক বিচ্যুতি শূণ্য হওয়ার কোন প্রয়োজন নেই। তবে একটি গুরুত্বপূর্ণ শর্ত এক্ষেত্রে মানতে হয় যে, প্রান্তে কার্যরত সব অনুচ্ছেদীয় বলের সমষ্টি অবশ্যই শূন্য হতে হবে, অর্থাৎ কোনো অতিরিক্ত শক্তি বা বল যেন প্রান্তে কার্যকর না হয়।

এবার ধরা যাক, তরঙ্গের বিচ্যুতির কোণ খুব ছোট—তাহলে আমরা লিখতে পারি:

$\sin(\theta )\approx \theta =\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)\,$

এই হিসেবে প্রান্তে কার্যরত অনুচ্ছেদীয় বল:

$\sum F_{y}=T\sin(\theta )\approx T\left({\frac {\partial y}{\partial x}}\right)=0\,$

এখানে $T$ -এর মাধ্যমে তারের তারের টান বা তারে সৃষ্ট তরঙ্গজনিত কম্পন বা উত্তেজনাকে নির্দেশ করা হচ্ছে, যার মান সাধারণত শূন্য হয় না। তাই উপরের সমীকরণ সত্য হতে হলে $x=0$ অবস্থানে তরঙ্গের বিচ্যুতির আপেক্ষিক পরিবর্তনের মান শূন্য হতে হবে।

মুক্ত প্রান্ত-এর ক্ষেত্রে আপতিত, প্রতিফলিত ও সংযুক্ত তরঙ্গের প্রতিফলনের ধারাবাহিকতা নিচে চিত্রিত করা হয়েছে:

t=0

t=t1

t=t2

t=t3

অন্যান্য সীমান্ত শর্তাবলী

উপরের দুটি ছাড়াও আরও অনেক বাউন্ডারি কন্ডিশন বা সীমান্ত শর্তাবলী আছে যেগুলির ধারনা অপেক্ষাকৃত জটিল এবং এই আলোচনার আওতায় পরেনা, কিন্তু সেই সমস্ত জটিল বিষয় কোন না কোন ভাবে এই সরলীকৃত সীমান্ত শর্তাবলীর সাথে সম্পর্কিত। এই সকল জটিল সীমান্ত শর্তাবলীর ধারনা কার্যকরী হয় যখন আমরা ভর-লোডযুক্ত (মাস-লোডেড), রোধ-লোডযুক্ত (রেসিস্ট্যান্স-লোডেড), ক্ষয়-লোডযুক্ত (ড্যাম্পিং-লোডেড), এবং প্রতিবন্ধকতা-লোডযুক্ত (ইম্পিডেনশ-লোডেড) তারের মধ্যে বিস্তারকারী তরঙ্গের কথা আলোচনা করি। আরও বিস্তারিত তথ্যের জন্য দেখুন: কিংসলের, ফান্ডামেন্টালস অফ অ্যাকুওস্টিক, পৃষ্ঠা ৫৪–৫৮ দেখুন।

এখানে একটি ওয়েবসাইট রয়েছে যেখানে বিভিন্ন সীমান্ত শর্তাবলী সাপেক্ষে তরঙ্গ প্রতিফলনের সুন্দর চলচিত্র দেওয়া আছে: তরঙ্গ প্রতিফলন

তরঙ্গের বৈশিষ্ট্যসমূহ

আলোচনার শুরুতে তরঙ্গের সাথে জড়িত কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ চলরাশির সংজ্ঞা আলোচনা করা জরুরী, যার মধ্যে রয়েছে: তরঙ্গ সংখ্যা বা ওয়েভ নাম্বার, দশা বেগ বা ফেজ্‌ স্পীড, এবং তারের মধ্য দিয়ে চলমান তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্য বা ওয়েভলেন্থ -এর বৈশিষ্ট্য।

একটি তারের মধ্য দিয়ে তরঙ্গ যে বেগে ছড়ায়, তাকে ফেজ্‌ স্পীড বা দশা বেগ বলা হয়, একে সাধারণত মিটার প্রতি সেকেন্ড (মিটার/সে) -এর এককে পরিমাপ করা হয়। ফেজ স্পীড নিম্নলিখিত সমীকরণের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত হয়:

$c={\sqrt {T/\rho _{L}}}\,$ যেখানে, $\rho _{L}\,$ হচ্ছে তারের একক দৈর্ঘ্যের ঘনত্ব।

তরঙ্গ সংখ্যা বা ওয়েভ নাম্বার ব্যবহার করা হয় তরঙ্গের আনুভূমিক বিচ্যুতি (ট্রান্সভার্স ডিস্প্লেসমেন্ট) -এর সমীকরণকে সরলীকৃত রূপে প্রকাশ করার জন্য। এছাড়াও সিম্পল হার্মোনিক মোশন বা সরল দোলন সম্পর্কিত গাণিতিক বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে এই তরঙ্গ সংখ্যাকে তরঙ্গের পার্শ্বিক অবস্থান বা ল্যাটারাল পজিসন -এর সাথে গুণ করা হয়। তরঙ্গ সংখ্যা নির্ধারিত হয় এইভাবে:

$k=\left({\frac {\omega }{c}}\right)\,$ যেখানে, $\omega =2\pi f\,$

সবশেষে, তরঙ্গদৈর্ঘ্য বা ওয়েভলেন্থ সংজ্ঞায়িত করা হয় এভাবে:

$\lambda =\left({\frac {2\pi }{k}}\right)=\left({\frac {c}{f}}\right)\,$

এটি একটি পর্যায়বৃত্ত তরঙ্গরেখার দুটি নির্দিষ্ট বিন্দুর (সাধারণত তরঙ্গের দুটি পীক বা শিখরের) মধ্যকার দূরত্ব বোঝায়।

তরঙ্গের বৈশিষ্ট্যসমূহ বিভিন্ন ক্ষেত্রে তরঙ্গ সমীকরণের সমাধান করতে ব্যবহারযোগ্য এবং গুরুত্বপূর্ণ। তরঙ্গ সংখ্যা তরঙ্গ সম্পর্কিত চিত্রলেখ ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়।

আরও বিস্তারিত নিচের লিংকগুলি দেখুন:

বলকৃত কম্পন

অসীম দৈর্ঘ্যের তারের বলকৃত কম্পন:
ধরা যাক, একটি অনেক লম্বা (অসীম দৈর্ঘ্যের) তার রয়েছে, এবং x = 0 অবস্থানে তারের ওপর একটি বল প্রয়োগ করা হচ্ছে, যা গাণিতিকভাবে নিম্নলিখিত সমীকরনের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়;

F(t)=Fcos(wt)=Real{Fexp(jwt)}

x = 0 অবস্থানে প্রযোজ্য সীমান্ত শর্তাবলী প্রয়োগ করলে এবং প্রতিফলিত তরঙ্গের প্রভাব উপেক্ষা করলে, সহজেই তরঙ্গের রূপ বা ওয়েভফর্ম পাওয়া যায়। এখানে, ω (ওমেগা) হচ্ছে কৌণিক বেগ (অ্যাঙ্গুলার ভেলোসিটি) এবং k হচ্ছে তরঙ্গ সংখ্যা বা ওয়েভ নাম্বার।

ইম্পিডেন্স হল,তারের বৈশিষ্ট্যগত প্রতিবন্ধকতা। স্পষ্টতই, এটি যান্ত্রিক প্রতিরোধ (রেসিস্ট্যান্স) -এর সমতুল্য।

বিচ্যুত শক্তি (ডিসিপেটেড পাওয়ার)

বিঃদ্রঃ: কম্পনরত তার বরাবর সকল তরঙ্গ সম্পর্কিত চলরাশি সমানভাবে বিস্তার লাভ করে।

জরুরী লিংক -উপরিউক্ত লিংকে তরঙ্গের সময়-স্থান বৈশিষ্ট্য (টাইম-স্পেশ-প্রপার্টি) দেখতে সাহায্য করবে।

বিভিন্ন সীমান্ত শর্ত সাপেক্ষে তরঙ্গের কিছু চমৎকার অ্যানিমেশন:

কঠিন সীমান্ত বা হার্ড বাউন্ডারি (যেমন একটি স্থির প্রান্ত)
নরম সীমান্ত বা সফ্ট বাউন্ডারি (যেমন একটি মুক্ত প্রান্ত)
নিম্ন ঘনত্ব থেকে উচ্চ ঘনত্বের তার
উচ্চ ঘনত্ব থেকে নিম্ন ঘনত্বের তার

মূল পাতায় ফিরে যান