এই অংশে একটি স্প্রিংয়ের সাথে যুক্ত ভরের অবস্থান বর্ণনা করার সমীকরণ তৈরি করা হবে।
ধরা যাক, একটি ভর
m
{\displaystyle m}
s
{\displaystyle s}
f
=
−
s
x
{\displaystyle f=-sx}
এখানে
x
{\displaystyle x}
এই বলের মান নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র অনুযায়ী লেখা যায়:
f
=
m
a
=
m
d
2
x
d
t
2
{\displaystyle f=ma=m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}}
উপরের দুইটি সমীকরণ একত্রে বসালে পাই:
m
d
2
x
d
t
2
=
−
s
x
{\displaystyle m{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-sx}
অথবা,
d
2
x
d
t
2
+
s
m
x
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {s}{m}}x=0}
এই সমীকরণটি একট সরল দোলনের (simple harmonic motion) গতি নির্দেশ করে। এখানে কৌণিক কম্পন-আবৃত্তি
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
ω
0
2
=
s
m
{\displaystyle \omega _{0}^{2}={\frac {s}{m}}}
সমীকরণটির সমাধান খোঁজার জন্য আমরা ধরি:
x
(
t
)
=
A
e
λ
t
{\displaystyle x(t)=Ae^{\lambda t}}
এই রূপটি মূল সমীকরণে বসালে পাই:
d
2
d
t
2
(
A
e
λ
t
)
+
ω
0
2
A
e
λ
t
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}(Ae^{\lambda t})+\omega _{0}^{2}Ae^{\lambda t}=0}
(
λ
2
+
ω
0
2
)
A
e
λ
t
=
0
{\displaystyle (\lambda ^{2}+\omega _{0}^{2})Ae^{\lambda t}=0}
যেহেতু
A
e
λ
t
≠
0
{\displaystyle Ae^{\lambda t}\neq 0}
λ
2
+
ω
0
2
=
0
{\displaystyle \lambda ^{2}+\omega _{0}^{2}=0}
এখান থেকে পাই,
λ
=
±
j
ω
0
{\displaystyle \lambda =\pm j\omega _{0}}
এখানে,
j
=
−
1
{\displaystyle j={\sqrt {-1}}}
এই সমাধান বসালে ভরের অবস্থান হবে:
x
(
t
)
=
C
1
e
j
ω
0
t
+
C
2
e
−
j
ω
0
t
{\displaystyle x(t)=C_{1}e^{j\omega _{0}t}+C_{2}e^{-j\omega _{0}t}}
যেখানে,
C
1
{\displaystyle C_{1}}
C
2
{\displaystyle C_{2}}
e
j
ω
0
t
{\displaystyle e^{j\omega _{0}t}}
e
−
j
ω
0
t
{\displaystyle e^{-j\omega _{0}t}}
x
(
t
)
=
x
0
cos
(
ω
0
t
)
+
u
0
ω
0
sin
(
ω
0
t
)
{\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega _{0}t)+{\frac {u_{0}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)}
এখানে,
x
0
=
x
(
0
)
{\displaystyle x_{0}=x(0)}
u
0
=
d
x
d
t
|
t
=
0
{\displaystyle u_{0}={\frac {dx}{dt}}{\bigg |}_{t=0}}
এই সমীকরণটি সীমা শর্ত (initial conditions) প্রয়োগ করে পাই। সেগুলি হল:
C
1
+
C
2
=
x
0
{\displaystyle C_{1}+C_{2}=x_{0}}
j
ω
0
(
C
1
−
C
2
)
=
u
0
{\displaystyle j\omega _{0}(C_{1}-C_{2})=u_{0}}
এই দুটি সমীকরণ থেকে,
C
1
=
1
2
(
x
0
−
j
u
0
ω
0
)
{\displaystyle C_{1}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}-j{\frac {u_{0}}{\omega _{0}}}\right)}
C
2
=
1
2
(
x
0
+
j
u
0
ω
0
)
{\displaystyle C_{2}={\frac {1}{2}}\left(x_{0}+j{\frac {u_{0}}{\omega _{0}}}\right)}
এগুলো
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
(
t
)
=
x
0
cos
(
ω
0
t
)
+
u
0
ω
0
sin
(
ω
0
t
)
{\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega _{0}t)+{\frac {u_{0}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)}
অথবা, যদি ধরি
x
(
t
)
=
A
1
cos
(
ω
0
t
)
+
A
2
sin
(
ω
0
t
)
{\displaystyle x(t)=A_{1}\cos(\omega _{0}t)+A_{2}\sin(\omega _{0}t)}
A
1
=
x
0
{\displaystyle A_{1}=x_{0}}
A
2
=
u
0
ω
0
{\displaystyle A_{2}={\frac {u_{0}}{\omega _{0}}}}
ফলে একই সমীকরণ ফিরে আসে:
x
(
t
)
=
x
0
cos
(
ω
0
t
)
+
u
0
ω
0
sin
(
ω
0
t
)
{\displaystyle x(t)=x_{0}\cos(\omega _{0}t)+{\frac {u_{0}}{\omega _{0}}}\sin(\omega _{0}t)}
মূল পৃষ্ঠায় ফিরে যান
যদি
A
1
{\displaystyle A_{1}}
A
2
{\displaystyle A_{2}}
A
1
=
A
cos
(
ϕ
)
{\displaystyle A_{1}=A\cos(\phi )}
A
2
=
A
sin
(
ϕ
)
{\displaystyle A_{2}=A\sin(\phi )}
তাহলে অবজেক্টের অবস্থান সমীকরণকে নিম্নরূপে ব্যক্ত করা যায়,
x
(
t
)
=
A
cos
(
ω
0
t
−
ϕ
)
{\displaystyle x(t)=A\cos(\omega _{0}t-\phi )}
যেখানে
A
{\displaystyle A}
ω
0
{\displaystyle \omega _{0}}
ϕ
{\displaystyle \phi }
প্রাথমিক শর্তাবলী
x
(
0
)
=
x
0
{\displaystyle x(0)=x_{0}}
x
˙
(
0
)
=
u
0
{\displaystyle {\dot {x}}(0)=u_{0}}
x
0
=
A
cos
(
ϕ
)
{\displaystyle x_{0}=A\cos(\phi )}
u
0
ω
0
=
A
sin
(
ϕ
)
{\displaystyle {\frac {u_{0}}{\omega _{0}}}=A\sin(\phi )}
এই দুই সমীকরণকে বর্গ করে যোগ করলে অ্যাম্প্লিটিউডের মান হয়,
A
=
x
0
2
+
(
u
0
ω
0
)
2
{\displaystyle A={\sqrt {x_{0}^{2}+\left({\frac {u_{0}}{\omega _{0}}}\right)^{2}}}}
অপরদিকে, দুই সমীকরণের অনুপাত থেকে প্রাথমিক ফেজ কোণ নির্ণয় করা হয়,
ϕ
=
tan
−
1
(
u
0
x
0
ω
0
)
{\displaystyle \phi =\tan ^{-1}\left({\frac {u_{0}}{x_{0}\omega _{0}}}\right)}
অবস্থান সমীকরণকে কাল্পনিক সংখ্যার মাধ্যমে লিখলে, বাস্তব অংশ হিসেবে প্রকাশ করা যায়,
R
e
[
x
(
t
)
]
=
x
(
t
)
=
A
cos
(
ω
0
t
−
ϕ
)
{\displaystyle \mathbf {Re} [x(t)]=x(t)=A\cos(\omega _{0}t-\phi )}
ইউলারের সূত্র (
e
j
ϕ
=
cos
ϕ
+
j
sin
ϕ
{\displaystyle e^{j\phi }=\cos \phi +j\sin \phi }
x
(
t
)
{\displaystyle x(t)}
x
(
t
)
=
A
e
j
(
ω
0
t
−
ϕ
)
{\displaystyle x(t)=Ae^{j(\omega _{0}t-\phi )}}
উদাহরণ ১.১
প্রদত্ত: দুটি স্প্রিং যার স্টিফনেস
s
{\displaystyle s}
M
{\displaystyle M}
লক্ষ্য: নিচের সিস্টেমগুলোর প্রাকৃতিক কম্পনের কোণিক ফ্রিকোয়েন্সি নির্ণয় করা
সরল কম্পন - ক
স্প্রিং দুটি সমান্তরালে যুক্ত থাকায় মোট স্টিফনেস হবে,
s
T
O
T
A
L
=
s
+
s
=
2
s
{\displaystyle s_{TOTAL}=s+s=2s}
সুতরাং কোণিক ফ্রিকোয়েন্সি,
ω
0
=
s
T
O
T
A
L
m
T
O
T
A
L
=
2
s
M
{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {s_{TOTAL}}{m_{TOTAL}}}}={\sqrt {\frac {2s}{M}}}}
প্রাকৃতিক ফ্রিকোয়েন্সি,
f
0
=
ω
0
2
π
=
1
2
π
2
s
M
{\displaystyle \mathbf {f_{0}} ={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2s}{M}}}}
সরল কম্পন - খ
স্প্রিং দুটি ধারাবাহিক সংযুক্তিতে থাকায় মোট স্টিফনেস হবে,
s
T
O
T
A
L
=
s
2
{\displaystyle s_{TOTAL}={\frac {s}{2}}}
এবং মোট ভর
m
T
O
T
A
L
=
2
M
{\displaystyle m_{TOTAL}=2M}
ω
0
=
s
T
O
T
A
L
m
T
O
T
A
L
=
s
/
2
2
M
=
s
4
M
{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {s_{TOTAL}}{m_{TOTAL}}}}={\sqrt {\frac {s/2}{2M}}}={\sqrt {\frac {s}{4M}}}}
অর্থাৎ,
f
0
=
ω
0
2
π
=
1
2
π
s
4
M
=
1
2
π
s
2
M
{\displaystyle \mathbf {f_{0}} ={\frac {\omega _{0}}{2\pi }}={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {s}{4M}}}={\frac {1}{2\pi }}{\frac {\sqrt {s}}{2{\sqrt {M}}}}}
সরল কম্পন - গ
দ্বিধা নিরসনের জন্য, নীচের সমীকরণগুলো প্রযোজ্য:
s
(
x
1
−
x
2
)
=
s
x
2
{\displaystyle s(x_{1}-x_{2})=sx_{2}}
−
s
(
x
1
−
x
2
)
=
m
d
2
x
1
d
t
2
{\displaystyle -s(x_{1}-x_{2})=m{\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}}
দ্বিতীয় সমীকরণ থেকে আমরা পাই,
d
2
x
1
d
t
2
+
s
2
m
x
1
=
0
{\displaystyle {\frac {d^{2}x_{1}}{dt^{2}}}+{\frac {s}{2m}}x_{1}=0}
এখানে প্রাকৃতিক কোণিক ফ্রিকোয়েন্সি,
ω
0
=
s
2
m
{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {s}{2m}}}}
অর্থাৎ প্রাকৃতিক ফ্রিকোয়েন্সি,
f
0
=
1
2
π
s
2
m
{\displaystyle \mathbf {f_{0}} ={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {s}{2m}}}}
সরল কম্পন - ঘ
এই ক্ষেত্রে কোণিক ফ্রিকোয়েন্সি,
ω
0
=
2
s
m
{\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {2s}{m}}}}
অর্থাৎ,
f
0
=
1
2
π
2
s
m
{\displaystyle \mathbf {f_{0}} ={\frac {1}{2\pi }}{\sqrt {\frac {2s}{m}}}}
মূল পৃষ্ঠায় ফিরে যান
![{\displaystyle \mathbf {Re} [x(t)]=x(t)=A\cos(\omega _{0}t-\phi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/428fef8468c0613721bdb796a9978e71e3c80b1c)
