প্রকৌশল শব্দবিজ্ঞান/শব্দতরঙ্গ সমীকরণ

তরঙ্গ সমীকরণ বের করার জন্য, তিনটি সম্পর্ক একত্রিত করা হয়: অবস্থার সমীকরণ, আদর্শ গ্যাস সূত্র; ধারাবাহিকতা সমীকরণ, ভর সংরক্ষণ; এবং নিউটনের সূত্র, ভরবেগ সংরক্ষণ। শব্দের গতি থেকে, শাব্দিক চাপ এবং বাল্ক মডুলাসের মধ্যে একটি সম্পর্ক বের করা যেতে পারে,

$c_{o}^{2}={\frac {\partial P}{\partial \rho }}={\frac {p'}{\varrho '}}={\frac {p'}{\rho -\rho _{o}}}.$

ঘনীভবনের সংজ্ঞা ব্যবহার করে, তরল পদার্থের ঘনত্বের আপেক্ষিক পরিবর্তন, যা $s$ দ্বারা চিহ্নিত করা হয়,

${\frac {p'}{\rho _{o}}}=c_{o}^{2}{\Big (}{\frac {\rho -\rho _{o}}{\rho _{o}}}{\Big )}=c_{o}^{2}s,$

এবং বাল্ক মডুলাস প্রবর্তন করা যা আদর্শ গ্যাস সূত্রের অন্তর্নিহিত ব্যবহার করে,

$p'=\rho _{o}c_{o}^{2}s=\gamma P_{o}s=B_{o}s.$

ধারাবাহিকতা সমীকরণের সাধারণ রূপ কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে তরল গতিবিদ্যা থেকে একটি নিয়ন্ত্রণ আয়তনকে তার এক-মাত্রিক আকারে সরলীকৃত করা হয়।

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\vec {\nabla }}(\rho {\vec {U}})=0$

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho _{o}{\frac {\partial U}{\partial x}}=0$

${\frac {\partial U}{\partial x}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {-1}{\rho _{o}c_{o}^{2}}}{\frac {\partial P}{\partial t}}$

নলের ভিতরে তরল উপাদানের উপর চাপ

তরল উপাদানের উপর নিউটনের সূত্র ব্যবহার করে, তরল সীমানার উপর ক্রিয়াশীল নেট বল ত্বরণ ঘটায় তরল পদার্থ তার ভরের সমানুপাতিক,

$A(P(x)-P(x+dx))=(Adx\rho _{o}){\frac {dU}{dt}}.$

লক্ষ্য করা হচ্ছে যে

${\frac {P(x)-P(x+dx)}{dx}}={\frac {\partial P}{\partial x}}$

যখন dx</math> শূন্যের কাছাকাছি পৌঁছায়, ডেরিভেটিভ মূল্যায়ন করে এবং ছোট পদগুলিকে উপেক্ষা করে,

${\frac {\partial P}{\partial x}}dx=(\rho _{o}dx){\frac {dU}{dt}}=(\rho _{o}dx){\Big (}{\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial U}{\partial x}}{\frac {dx}{dt}}{\Big )}$

${\frac {\partial U}{\partial t}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial P}{\partial x}}.$

তরঙ্গ সমীকরণটি পেতে, ধারাবাহিকতা সমীকরণের জন্য সময়ের সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজ এবং ভরবেগ সমীকরণ সংরক্ষণের জন্য স্থান সাপেক্ষে আংশিক অন্তরজ নেওয়া হয়। দুটি ফলাফলকে সমীকরণ করে এবং উভয় পক্ষের ঘনত্ব পদ বাদ দিয়ে,

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial t\partial x}}={\frac {-1}{\rho _{o}c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}={\frac {-1}{\rho _{o}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}$

অ্যাকোস্টিক ওয়েভ সমীকরণটি পুনরুদ্ধার করা হয়েছে

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}$

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}-{\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}=0.$

উপরের সমীকরণটি হল এক-মাত্রিক আকারে শাব্দ তরঙ্গ সমীকরণ। এটিকে 3-D কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}P}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}P}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}=0.$

ল্যাপলেস অপারেটর ব্যবহার করে, এটি অন্যান্য স্থানাঙ্ক সিস্টেমে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে

$\nabla ^{2}P-{\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}=0$

কার্টেসিয়ান স্থানাঙ্কে এক-মাত্রিক তরঙ্গ সমাধান

এক-মাত্রিক শাব্দ তরঙ্গ সমীকরণটি দ্বিতীয় ক্রম আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা হয়,

${\frac {\partial ^{2}P}{\partial x^{2}}}={\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}P}{\partial t^{2}}}.$

চলক পৃথকীকরণ ব্যবহার করে এটি সমাধান করা যেতে পারে। ধরুন চাপ হল একটি ফাংশনের গুণফল যা কেবল স্থানের উপর নির্ভর করে এবং অন্য একটি ফাংশন যা কেবল সময়ের উপর নির্ভর করে,

$P(x,t)=X(x)T(t).$

তরঙ্গ সমীকরণে ফিরে প্রতিস্থাপন করে,

$X''T={\frac {1}{c_{o}^{2}}}XT''$

${\frac {X''}{X}}={\frac {1}{c_{o}^{2}}}{\frac {T''}{T}}=-\lambda ^{2}.$

এই প্রতিস্থাপন দুটি সমজাতীয় দ্বিতীয় ক্রম সাধারণ ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তৈরি করে, একটি সময়ে এবং একটি স্থানে।

$T''+c_{o}^{2}\lambda ^{2}T=0$

$X''+\lambda ^{2}X=0$

সময় ফাংশনটি তরঙ্গের কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সির উপর নির্ভরশীল বলে আশা করা হচ্ছে

$T=Ce^{j\omega t}.$

তরঙ্গ সংখ্যা হিসাবে সংজ্ঞায়িত ধ্রুবকের প্রতিস্থাপন এবং সমাধান, $K$,

$-\omega ^{2}+c_{o}^{2}\lambda ^{2}=0$

$K^{2}=\lambda ^{2}={\frac {\omega ^{2}}{c_{o}^{2}}}.$

তরঙ্গ সংখ্যা তরঙ্গের কৌণিক বেগকে মাধ্যমের বিস্তার গতির সাথে সম্পর্কিত করে। এটি বিভিন্ন রূপে প্রকাশ করা যেতে পারে,

$K={\frac {\omega }{c_{o}}}={\frac {2\pi f}{c_{o}}}={\frac {2\pi }{\lambda }},$

যেখানে $f$ হল হার্টজে ফ্রিকোয়েন্সি এবং $\lambda$ হল তরঙ্গদৈর্ঘ্য। তরঙ্গ সংখ্যা ব্যবহার করে দ্বিতীয় ডিফারেনশিয়াল সমীকরণটি সমাধান করা যেতে পারে। স্পেসিয়াল ফাংশনটিকে একটি সাধারণ রূপ দেওয়া হয়,

$X=Ce^{jrx}.$

r</math> এর পরিবর্তে সমাধান করা,

$-r^{2}+K^{2}=0$

$r=\pm K.$

1-D অ্যাকোস্টিক তরঙ্গ সমীকরণের সমাধান পাওয়া গেছে,

$P(x,t)=(C_{1}e^{jKx}+C_{2}e^{-jKx})e^{j\omega t}.$

দ্রবণের বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশগুলিও 1-D তরঙ্গ সমীকরণের সমাধান।

$P(x,t)=C_{1}cos(\omega t+Kx)+C_{2}cos(\omega t-Kx)$

$P(x,t)=C_{1}sin(\omega t+Kx)+C_{2}sin(\omega t-Kx)$

phasor স্বরলিপি ব্যবহার করে, সমাধানটি আরও সংক্ষিপ্ত আকারে লেখা হয়,

$\mathbf {P(x,t)} =\mathbf {P} e^{j(\omega t\pm Kx)}.$

উপরের জটিল রূপের আসল অংশ গ্রহণ করে প্রকৃত সমাধানটি পুনরুদ্ধার করা হয়। উপরের ধ্রুবকগুলির মান প্রাথমিক এবং সীমানা শর্ত প্রয়োগ করে নির্ধারিত হয়। সাধারণভাবে, নিম্নলিখিত ফর্মের যেকোনো ফাংশন হল পর্যায়ক্রমিক তরঙ্গের সমাধান,

$P(x,t)=f_{1}(\omega t+Kx)+f_{2}(\omega t-Kx),$

এবং একইভাবে, প্রগতিশীল তরঙ্গের জন্য,

$P(x,t)=f(ct+x)+g(ct-x)$

$P(x,t)=f(\xi )+g(\eta ),$

যেখানে $f$ এবং $g$ হল ইচ্ছাকৃত ফাংশন, যা বিপরীত দিকে ভ্রমণকারী দুটি তরঙ্গকে প্রতিনিধিত্ব করে। এগুলি d'Alembert সমাধান নামে পরিচিত। প্রাথমিক এবং সীমানা শর্ত প্রয়োগ করে এই দুটি ফাংশনের ফর্ম পাওয়া যেতে পারে।

মূল নথি