প্রকৌশল শব্দবিজ্ঞান/শক-তরঙ্গের গুণগত বর্ণনা

একটি শক-তরঙ্গ সংজ্ঞায়িতকরণ

যান্ত্রিক তরঙ্গের প্রসারণের সাধারণ ক্ষেত্রে ধরা হয় যে, মাধ্যমের গুণগত বৈশিষ্ট্যসমূহ স্থান ও সময়ের একটি ধারাবাহিক ফাংশন হিসেবে বর্ণনা করা যায়। কিন্তু যখন চাপের প্রশস্ততা খুব বেশি হয়ে যায়, তখন তরঙ্গের প্রসারণ এমন রূপ নিতে পারে যেখানে তরঙ্গ সম্মুখভাগটি বিঘ্নিত হয়ে যায় এবং এটিকে তরঙ্গের সম্মুখে অবস্থিত অক্ষত উষ্ণতাত্ত্বিক অবস্থান থেকে তরঙ্গের পশ্চাতে চূড়ান্ত উষ্ণতাত্ত্বিক অবস্থানে একটি হঠাৎ পরিবর্তন হিসেবে বর্ণনা করতে হয়।

এই ধরনের একটি প্রসারিত বিঘ্ন যা চাপ, তাপমাত্রা, এনথালপি, অভ্যন্তরীণ শক্তি, ঘনত্ব এবং কণার বেগে একটি বিঘ্নিত পরিবর্তন ঘটায় তাকে শক-তরঙ্গ (শক ওয়েভ) বলা হয়। নিচের চিত্রে একটি শক-তরঙ্গের রৈখিক চিত্রায়ন দেখানো হয়েছে:

একটি শক-তরঙ্গকে শেষ পর্যন্ত একটি অনির্ধারিত পালস তরঙ্গদৈর্ঘ্যের ঋজু যান্ত্রিক তরঙ্গ হিসেবে ব্যাখ্যা করা যায়, যা মাধ্যমের অবস্থা আকস্মিকভাবে পরিবর্তন করে এবং যার গতি মাধ্যমের শব্দগত গতির চেয়ে অনেক বেশি।

শক গঠনের প্রক্রিয়া ও ক্ষয়

"শকিং আপ"

শক-তরঙ্গ কীভাবে গঠিত হয় তা বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায় হলো এটি একটি ইলাস্টিক কঠিন পদার্থে কীভাবে ঘটে তা দেখা, যেহেতু এই আচরণটি তরলে সম্প্রসারিত করা যায়। একটি রৈখিক-ইলাস্টিক বস্তুতে, চাপে লোড দিলে এর আচরণ মূলত দুটি অবস্থায় পড়ে: ইলাস্টিক অবস্থা এবং প্লাস্টিক অবস্থা। ইলাস্টিক অবস্থায় বিকৃতি চাপের সাথে সরাসরি অনুপাতিক। একটি নির্দিষ্ট সীমার (উৎপাদন চাপ) পর চাপের সাথে আর সরাসরি অনুপাত বজায় থাকে না এবং বস্তুটি নন-লিনিয়ার আচরণ শুরু করে, এটিই প্লাস্টিক অবস্থা।

যদি আমরা বস্তুতে শব্দগত বেগ এভাবে সংজ্ঞায়িত করি:

$C^{2}={\frac {\partial P}{\partial \rho }}$

তাহলে দেখা যায়, ইলাস্টিক অবস্থায় চাপ ও ঘনত্ব একটি রৈখিক সম্পর্ক বজায় রাখে এবং তাই তরঙ্গের গতি স্থির থাকে যদি চাপের প্রশস্ততা উৎপাদন চাপ-এর নিচে থাকে। কিন্তু যদি আমরা এমন একটি তরঙ্গ বিবেচনা করি যার প্রশস্ততা উৎপাদন চাপ অতিক্রম করেছে, তখন নিচের চিত্র অনুযায়ী গতি আর অপরিবর্তিত থাকে না:

এখানে দেখা যায় যে তরঙ্গটি যেহেতু স্ট্রেইন ও স্ট্রেস-এর রৈখিক অনুপাতের সীমা ছাড়িয়ে গেছে, তরঙ্গের গতি চাপের সাথে বেড়ে যায়। ফলে, তরঙ্গের সি বিন্দুর গতি সর্বনিম্ন, বি ও এ বিন্দুর গতি ক্রমান্বয়ে বেশি। ফলে উচ্চচাপ অংশ দ্রুততর গতিতে চলতে থাকে এবং ধীর অংশগুলোকে অতিক্রম করে। এই প্রক্রিয়ার সময়চিত্র নিচে দেখানো হয়েছে:

তরঙ্গ যতই প্রসারিত হয়, দ্রুতগামী অংশ ধীর অংশকে ধরে ফেলে এবং তরঙ্গ ধীরে ধীরে একটি খাড়া ও বিঘ্নিত প্রোফাইলে পরিণত হয়, যেটিই একটি শক-তরঙ্গের বৈশিষ্ট্য। তাই কোনো তরঙ্গে যদি চাপের প্রশস্ততা Yield Strength অতিক্রম করে, তবে সেটি "শকিং আপ" হয়ে বিঘ্নিত হয়ে যাবে, কারণ গতি চাপ বৃদ্ধির সাথে অরৈখিকভাবে বৃদ্ধি পায়।

হতে পারে আপনি ভাবছেন, যদি আমরা সময়ে আরও এগিয়ে যাই, তবে এই খাড়া রেখার উপরের অংশ নিচের অংশের তুলনায় দ্রুত এগিয়ে যাবে এবং শক ফ্রন্টটি ঢালু হয়ে যাবে। কিন্তু বাস্তবে এটি ঘটে না কারণ একইসাথে এমন একটি প্রতিদ্বন্দ্বী তরঙ্গ প্রক্রিয়া ঘটে যা শককে ক্ষয় করে।

শক রেয়ারিফ্যাকশন

একবার একটি শক-তরঙ্গ কোন মাধ্যমে স্থাপিত হলে তা চিরকাল স্থায়ী হতে পারে না যদি না এটি যান্ত্রিকভাবে কোনো পিস্টনের মাধ্যমে চালিত হয় বা ডিটোনেশন তরঙ্গে যৌগিক রাসায়নিক বিক্রিয়ার মাধ্যমে স্ব-সমর্থিত হয়। দেখা যায়, শক-তরঙ্গের ক্ষয় ও অবসানও উপরের সীমার পর চাপ, ঘনত্ব এবং তরঙ্গগতির মধ্যকার অরৈখিক সম্পর্কের একটি প্রাকৃতিক ফলাফল।

নিচের বর্গাকার পালস শক-তরঙ্গ বিবেচনা করুন:

A' বিন্দু অবশিষ্ট (un-shocked) অঞ্চলে প্রবেশ করছে শব্দগত বেগ $C_{0}$ এবং কণার বেগ $\nu _{0}$ সহ। A বিন্দু ইতোমধ্যে শকপ্রাপ্ত অঞ্চলে প্রবেশ করছে, যেখানে চাপ ও ঘনত্ব বেশি এবং তাই কণার বেগ $\nu _{A'}$ ও তরঙ্গগতিও $C_{A'}$ বেশি। ফলে A বিন্দুটি A' থেকে দ্রুততর এবং অচিরেই ফ্রন্টকে অতিক্রম করবে। অপরদিকে C বিন্দুটি চারপাশের পরিবেশে হ্রাসপ্রাপ্ত হয়েছে এবং এর তরঙ্গগতি কম, ফলে এটি পিছিয়ে পড়বে। এই প্রক্রিয়ায় A থেকে C রেখাটি প্রসারিত হয়ে নিচের দিকে ঢালু হয়ে যাবে।

এই প্রক্রিয়ায় শক পালসটি বিস্তৃত হয় এবং চাপের গড় মান ক্রমশ কমে যায় যতক্ষণ না তা ইলাস্টিক সীমার নিচে নেমে আসে এবং শক-তরঙ্গ একটি ধ্বনিতরঙ্গে পরিণত হয়। রেখাটি A-C একটি দ্রুতগামী তরঙ্গ যা শক ফ্রন্টের চেয়ে দ্রুত চলে এবং একে রেয়ারিফ্যাকশন তরঙ্গ বলা হয়। এটি শক-তরঙ্গ প্রক্রিয়ার একটি মৌলিক বৈশিষ্ট্য। এই ক্ষয় প্রক্রিয়াটি নিচে চিত্রায়িত হয়েছে:

চরিত্রিক পদ্ধতির মাধ্যমে শক বর্ণনা

যদিও উপরের আলোচনা শক আচরণ বুঝতে অত্যন্ত অন্তর্দৃষ্টিসম্পন্ন, তবুও এসব ফলাফল সরাসরি অরৈখিক তরঙ্গ সমীকরণের গাণিতিক সমাধানের মাধ্যমে চরিত্রিক পদ্ধতি এবং রিম্যান অব্যয় সমূহের মাধ্যমে পাওয়া যায়। চরিত্রিক পদ্ধতি আংশিক গাণিতিক সমীকরণ (PDE) সমাধানের একটি কৌশল যা বিদ্যমান স্থান-কাল কোঅর্ডিনেট সিস্টেমকে একটি নতুন সিস্টেমে রূপান্তর করে যেখানে PDE-এর ধর্মসমূহ নির্দিষ্ট রেখা বরাবর অপরিবর্তিত থাকে।

প্রাথমিক অরৈখিক-ইলাস্টিক তরঙ্গ সমীকরণগুলো বিবেচনা করুন:

$\ \epsilon ={\frac {\rho _{0}}{\rho }}$ চাপ-ঘনত্ব সম্পর্ক

$\ \sigma =\sigma (\epsilon )$ গঠনতাত্ত্বিক সমীকরণ

$\ {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nu {\frac {\partial \rho }{\partial x}}+\rho {\frac {\partial \nu }{\partial t}}=0$ ভরের সংরক্ষণ

$\ \rho \left({\frac {\partial \nu }{\partial t}}+\nu {\frac {\partial \nu }{\partial x}}\right)={\frac {\partial \sigma }{\partial x}}$ ভরবেগের সংরক্ষণ

চরিত্রিক স্থানাঙ্ক:

$\ \xi =\xi (x,t)$

$\ \zeta =\zeta (x,t)$

যেখানে $\ x=x(X,t)$, নিম্নোক্ত শর্তসাপেক্ষে:

$\ {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=C{\frac {\partial \zeta }{\partial X}}$

$\ {\frac {\partial \xi }{\partial t}}=-C{\frac {\partial \xi }{\partial X}}$

এখানে আমরা তরঙ্গগতিকে চাপ ও ঘনত্বের ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছি:

$\ C=\left({\frac {1}{\rho _{0}}}{\frac {d\sigma }{d\epsilon }}\right)^{\frac {1}{2}}$

ফলে শর্তসমূহ:

$\ {\frac {\partial \zeta }{\partial t}}=(C\epsilon -\nu ){\frac {\partial \zeta }{\partial x}}$

$\ {\frac {\partial \xi }{\partial t}}=-(C\epsilon +\nu ){\frac {\partial \xi }{\partial x}}$

এই সমীকরণগুলো ব্যবহার করে আমরা পাই:

$d\zeta ={\frac {\partial \zeta }{\partial x}}[dx-(\nu -C\epsilon )dt]$

$d\xi ={\frac {\partial \xi }{\partial x}}[dx-(\nu +C\epsilon )dt]$

এগুলো দ্বারা নতুন কোঅর্ডিনেট সিস্টেমের রেখার ঢাল পাওয়া যায়:

$\ {\frac {dx}{dt}}=\nu +C\epsilon$ যখন $\ d\xi =0$

$\ {\frac {dx}{dt}}=\nu -C\epsilon$ যখন $\ d\zeta =0$

এখন তরঙ্গ সমীকরণগুলোকে $\ (x,t)$ থেকে $\ (\zeta ,\xi )$ তে রূপান্তর করতে হবে। গঠনতাত্ত্বিক সমীকরণের কাল-ব্যুৎপন্ন নিয়ে এবং চরিত্রিক রেখার ঢাল বসিয়ে পাই:

$\ {\frac {\partial \sigma }{\partial x}}=-(C\epsilon )^{2}{\frac {\partial \rho }{\partial x}}$

$\ {\frac {\partial \sigma }{\partial t}}=-(C\epsilon )^{2}{\frac {\partial \rho }{\partial y}}$

সরলতার জন্য বসাই: $\ c=C\epsilon$

ভরের সংরক্ষণ ও ভরবেগের সংরক্ষণ সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$\ {\frac {\partial \sigma }{\partial t}}+\nu {\frac {\partial \sigma }{\partial x}}=\rho c^{2}{\frac {\partial \nu }{\partial x}}$

${\frac {\partial \nu }{\partial t}}+\nu {\frac {\partial \nu }{\partial x}}={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \sigma }{\partial x}}$

এগুলোকে একত্রে ও আংশিক ডিফারেন্সিয়াল সূত্রের মাধ্যমে পাই:

$\ {\frac {\partial \nu '}{\partial \zeta }}={\frac {1}{\rho c}}{\frac {\partial \sigma '}{\partial \zeta '}}$

$\ {\frac {\partial \nu '}{\partial \xi }}=-{\frac {1}{\rho c}}{\frac {\partial \sigma '}{\partial \xi '}}$

এই সমীকরণগুলোই $\zeta$ এবং $\xi$ স্থানে চরিত্রিক সমীকরণ।

চরিত্রিক রেখাগুলোর সমাধান পেতে হলে রেফারেন্স থেকে চূড়ান্ত অবস্থায় রিম্যান অব্যয় ব্যবহার করে একীকরণ করতে হবে:

$\ J_{+}(\xi )=\nu -\nu ^{0}-\int _{1}^{\epsilon }{C(\epsilon )\,d\epsilon }$

$\ J_{-}(\zeta )=\nu -\nu ^{0}+\int _{1}^{\epsilon }{C(\epsilon )\,d\epsilon }$

এই দুটি সমীকরণ তরঙ্গ পদ্ধতির রিম্যান অব্যয় প্রতিনিধিত্ব করে। এগুলো একত্রে করলে পাই:

$\ \nu -\nu ^{0}={\frac {1}{2}}(J_{+}(\xi )+J_{-}(\zeta ))$

$\ \int _{1}^{\epsilon }{C(\epsilon )\,d\epsilon }={\frac {1}{2}}(-J_{+}(\xi )+J_{-}(\zeta ))$

সরল তরঙ্গ সমাধান

সরল তরঙ্গ একটি এমন সমাধান যা তরঙ্গ সমীকরণকে চরিত্রগত স্থানাঙ্কে সমাধান করে যেখানে একটি ইনভ্যারিয়েন্ট ধ্রুবক থাকে। একটি অরৈখিক তরঙ্গ ধরা যাক যেখানে:

$\ J_{-}(\zeta )=0$

এই সমীকরণ অনুযায়ী চাপ, বিকৃতি, কণার বেগ এবং শব্দের বেগ কেবলমাত্র $\xi$ এর ফাংশন হিসেবে থাকে। পূর্বে প্রাপ্ত স্থানাঙ্ক রেখার ঢাল থেকে পাওয়া যায়:

$\ {\frac {dX}{dt}}=\nu (\xi ^{i})+c(\xi ^{i})$

এই রেখাগুলোর সমাকলন করলে পাই:

$\ \xi =t-{\frac {x}{\nu (\xi )+c(\xi )}}$

অতএব, অরৈখিক সমীকরণের চরিত্রগত স্থানে সরল তরঙ্গ সমাধানটি একটি নির্দিষ্ট আনুভূমিক গতিশীল তরঙ্গকে বিভিন্ন ঢালের সোজা রেখায় রূপান্তরের মাধ্যমে বর্ণনা করা যায়। প্রতিটি রেখা হল x-t স্থানে কোনো নির্দিষ্ট বিন্দুর ইতিহাস।

যদি আমরা রিম্যান ইনভ্যারিয়েন্টের সমাকলন করি:

$\ \nu -\nu ^{0}={\frac {1}{2}}J_{+}\left[t-{\frac {x}{\nu +c}}\right]$

$\ \int _{1}^{\epsilon }{C(\epsilon )\,d\epsilon }=-{\frac {1}{2}}J_{+}\left[t-{\frac {x}{\nu +c}}\right]$

তাহলে আমরা একটি গুরুত্বপূর্ণ ফলাফল পাই:

$\ {\frac {d(v+c)}{d\epsilon }}\leq 0$

এই অসমতা গাণিতিকভাবে প্রমাণ করে যে অরৈখিক (প্লাস্টিক) সীমায় চাপ বাড়ার সাথে তরঙ্গের গতি বৃদ্ধি পায়, এবং একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা প্রতিষ্ঠা করে: তরঙ্গ গতি হল কণার বেগ এবং শব্দের বেগের যোগফল।

চরিত্রগত স্থানে সরল তরঙ্গ সমাধানের সম্পর্ক তরঙ্গ থেকে ধাক্কার (shock) সৃষ্টির সাথে যুক্ত — কারণ ভিন্ন ঢালের চরিত্রগত রেখাগুলি এক সময় এসে ছেদ করতে বাধ্য।

তরঙ্গ থেকে ধাক্কা (শক) সৃষ্টি

গাণিতিকভাবে প্রমাণ করা যায় যে অরৈখিক তরঙ্গের চরিত্রগত রেখাগুলোর ছেদবিন্দু হল একটি গাণিতিক বিচ্ছিন্নতা, যা থেকে আমরা বুঝি যে শক-তরঙ্গ একটি রৈখিক অবস্থা বিচ্ছিন্নতা।

সহজতার জন্য ধরা যাক কণার বেগ অবস্থানের বিপরীতে একটি ঢালাকৃত তরঙ্গ আছে — এটি প্রথম অংশের গুণগত উদাহরণের সদৃশ, তবে এখানে চাপের পরিবর্তে কণার বেগ চিত্রিত হয়েছে (যেখানে উভয়ের সম্পর্ক বিদ্যমান)। এই ঢালাকৃত তরঙ্গের সমীকরণ:

$\ \nu =-mx$

সরল তরঙ্গের চরিত্রগত সমাধান প্রয়োগ করলে পাই:

$\ \nu =m[(\nu +c)t-x]$

এই সমাধান ব্যবহারযোগ্য করতে হলে আমাদের একটি অবস্থা সমীকরণ প্রয়োজন যা তরঙ্গের বেগ ও কণার বেগকে গাণিতিকভাবে যুক্ত করে। উপাদান নির্দিষ্ট না থাকায় ধরা যাক সম্পর্কটি রৈখিক:

$\ c=\lambda u+c_{0}$

এটি আমাদের সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে পাই:

$\nu ={\frac {m(c_{0}t-x)}{1-\lambda mt}}$

স্পষ্টতই, যখন $t={\frac {1}{\lambda m}}$, তখন কণার বেগ অসীম হয়ে যায় এবং সরল তরঙ্গ সমাধান ভেঙে পড়ে, ফলে শক-তরঙ্গ গঠিত হয়। তবে যখন $m$ ঋণাত্মক হয়, তখন $\nu$ কখনোই অসীমে পৌঁছায় না এবং এটি একটি সম্প্রসারণ তরঙ্গ হয়ে যায়।

আমরা যদি এক্স-টি রেখাচিত্রে ঢালের নিচের প্রান্ত (পূর্ব আলোচনার C বিন্দু) এবং ঢালের উপরের প্রান্ত (A বিন্দু) চিহ্নিত করি, তাহলে দেখতে পাবো এই চরিত্রগত রেখাগুলির আচরণ কেমন:

এখানে লক্ষ্যণীয় যে আমাদের গাণিতিক এবং ধারণাগত আলোচনা অবশেষে শক-তরঙ্গ গঠনের অনুরূপ ব্যাখ্যা প্রদান করেছে। গাণিতিক আলোচনায় প্রতিটি চরিত্রগত রেখা তরঙ্গরূপের একটি নির্দিষ্ট বিন্দুর গতিপথকে উপস্থাপন করে, যা $(P,x)$ অথবা $(P,t)$ স্থানে চিত্রিত করা যায়। এই রেখাগুলোর ইতিহাস দেখায় তরঙ্গের নির্দিষ্ট অংশ কিভাবে একে অপরকে ছাড়িয়ে যায় বা পিছিয়ে পড়ে। যদি রেখাগুলো একত্রিত হয়, তবে ছেদবিন্দুতে একটি গাণিতিক এককত্ব ঘটে এবং শক-তরঙ্গ সৃষ্টি হয়। অন্যদিকে, যদি রেখাগুলো বিচ্ছিন্ন হয়, তবে তরঙ্গরূপ ছড়িয়ে পড়ে — যা সম্প্রসারণ তরঙ্গের গুণগত বর্ণনার সঙ্গে সদৃশ।

দুর্বল ও শক্তিশালী শক

চরিত্রগত পদ্ধতির প্রেক্ষাপটে, যেকোনো শক-তরঙ্গ হল এমন একটি বিচ্ছিন্নতা যা চরিত্রগত রেখার একত্রিত হওয়ার ফলে সৃষ্টি হয়। দুটি প্রকারভেদের শক সমাধান বিদ্যমান, যা তাপ-গতিবিদ্যাগত অবস্থা রেখার উপর প্রভাব ফেলে।

একটি দুর্বল শক হল এমন একটি অবস্থা যেখানে চূড়ান্ত ও প্রাথমিক অবস্থার মধ্যে পরিবর্তন সরল চরিত্রগত তরঙ্গের সমতুল্য। এ অবস্থায় অবস্থা পরিবর্তনের প্রক্রিয়া হল সমবিপাকীয় এবং বস্তুটি যেভাবে প্রাথমিক অবস্থা থেকে চূড়ান্ত অবস্থায় পৌঁছায় তা একটি সমবিপাক রেখা দ্বারা বর্ণিত।

অন্যদিকে, একটি শক্তিশালী শক হল এমন একটি অপ্রত্যাবর্তনযোগ্য সমাধান যেখানে সম্ভাব্য অবস্থার রেখা সমবিপাক রেখার সাথে মেলে না বরং একটি ভিন্ন লোডিং পথ অনুসরণ করে।

এই অবস্থা রেখা সম্পর্কিত আলোচনা হুগোনিও রেখার মাধ্যমে আরও স্পষ্ট হবে।

তথ্যসূত্র

1. ইন্ট্রোডাকশন টু ওয়েভ প্রোপাগেশন ইন ননলিনিয়ার ফ্লুইড এন্ড সলিডস ; ডি.এস. ড্রামহেলার; ১৯৯৮
2. এক্সপ্লোসিভ ইঞ্জিনিয়ারিং; পল ডাব্লিউ. কুপার; ১৯৯৬
3. শক ওয়েভ এন্ড এক্সপ্লোশানস; পি.এল. সাচদেব; ২০০৪