প্রকৌশল শব্দবিজ্ঞান/নমনীয় প্রাচীরযুক্ত সিলিন্ডারাকার নালিতে শব্দ সঞ্চালন

ধ্বনি সম্প্রসারণ ও অনুয়ায়ী প্রাচীরবিশিষ্ট নালীগুলোর বিভিন্ন প্রয়োগ রয়েছে। এগুলোর মধ্যে জলবিদ্যুৎ সংক্রান্ত প্রয়োগ (যেমনঃ জলাঘাত) থেকে শুরু করে জীবযান্ত্রিক প্রয়োগ (যেমনঃ ধমনীতে চাপ তরঙ্গ) অন্তর্ভুক্ত। বৃত্তাকার নালীর মধ্যে ধ্বনি সম্প্রসারণ নিয়ে কাজ করার সময়, নালীর প্রাচীরকে প্রায়ই অনমনীয় ধরে নেওয়া হয়, যাতে তরলে কোনো চাপ বিঘ্ন ঘটলেও তা প্রাচীরকে প্রভাবিত করে না। তবে, যদি ধরা হয় যে প্রাচীরটি অননমনীয় নয়, অর্থাৎ চাপ বিঘ্ন ঘটলে প্রাচীরের আকৃতি পরিবর্তন সম্ভব, তবে ধ্বনি সম্প্রসারণের গতি পরিবর্তিত হবে। বাস্তবে, প্রাচীর অনমনীয় ধরে নেওয়াটা তখনই বৈধ, যদি তরলের চাপ বিঘ্ন, যা তরলের ঘনত্বের একটি ফাংশন, এতটাই ছোট হয় যে প্রাচীরের বিকৃতি উপেক্ষা করা যায়। তবে, যদি নালীর প্রাচীর অতি পাতলা হয়, অর্থাৎ ব্যাসার্ধের প্রায় ১/২০ বা তার কম, অথবা প্রাচীর যদি নিম্ন ইয়াং মডুলাস ও ঘনত্ববিশিষ্ট প্লাস্টিক জাতীয় পদার্থ দ্বারা তৈরি হয়, অথবা তরল যদি "ভারী" হয়, তবে অনমনীয় প্রাচীরের অনুমানটি আর প্রযোজ্য থাকে না। এক্ষেত্রে প্রাচীরটিকে নমনীয় ধরা হয়।

মর্স এবং ইনগার্ড [১] এর বই অনুসারে, প্রাচীরের কঠোরতা K_w দ্বারা সংজ্ঞায়িত, এবং এটি হলো চাপ বিঘ্ন p ও তার দ্বারা উৎপন্ন নালীর পারিধিগত ক্ষেত্রফলের ভগ্নাংশ পরিবর্তনের অনুপাত। অবশ্যই এই চাপ বিঘ্ন p ধ্রুব নয় এবং প্রাচীরের জড়তা বিবেচনায় নিতে হয়। যেহেতু প্রাচীরের বিকৃতি তরলের চাপ বিঘ্নের কারণে ঘটে, এটি একটি আদর্শ তরল-গঠন পারস্পরিক ক্রিয়া (fluid-structure interaction) সমস্যা, যেখানে তরলের চাপ বিঘ্ন গঠনগত বিকৃতি ঘটায়, যা পরবর্তীতে আবার চাপ বিঘ্নকে পরিবর্তিত করে।

অনমনীয় প্রাচীরবিশিষ্ট নালীতে ধ্বনি সম্প্রসারণের বিপরীতে, যেখানে ধ্বনিচাপ ধাবিত হয় নল বরাবর অক্ষীয়ভাবে; নমনীয় প্রাচীরের ক্ষেত্রে এই চাপের একটি অংশ রেডিয়ালি নলটিকে প্রসারিত করতেও ব্যবহৃত হয়। স্পষ্টতই, প্রাচীরের স্থানচ্যুতি অন্তর্ভুক্ত হওয়ায় এটি একটি তরল-গঠন পারস্পরিক ক্রিয়া সমস্যা হয়ে দাঁড়ায়।

বিশ্লেষণ

এই বিশ্লেষণে আশা করা যায়, ধ্বনি সম্প্রসারণের গতি নল প্রাচীরের পদার্থের গুণাবলির ওপর নির্ভর করবে, যেমন ইয়াং-এর মডুলাস ও ঘনত্ব। এছাড়া, বিশ্লেষণের অগ্রগতিতে স্পষ্ট হয়ে উঠবে যে এই গতি উত্তেজনার ফ্রিকোয়েন্সির ওপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়, যা অনমনীয় প্রাচীরবিশিষ্ট নালীর তরঙ্গ সম্প্রসারণের ক্ষেত্রে ঘটে না। মনে রাখা দরকার, এখানে প্রদত্ত বিশ্লেষণটি একটি সাধারণ বিশ্লেষণ। অবশ্যই তরল ও গঠনগত মডেল অনুসারে আরও সুনির্দিষ্ট ফলাফল পাওয়া সম্ভব। এখানে প্রদত্ত বিশ্লেষণের উদ্দেশ্য হলো নমনীয় প্রাচীরবিশিষ্ট নলীতে ধ্বনি সম্প্রসারণ সম্পর্কে একটি মৌলিক ভৌত ধারণা প্রদান করা।

অনুমানসমূহ:

1. এক-মাত্রিক বিশ্লেষণ
2. সকল সান্দ্রতা ও তাপীয় অপচয় উপেক্ষিত
3. প্রতি একক দৈর্ঘ্যে বিশ্লেষণ
4. গড় প্রবাহ বেগ উপেক্ষা করা হয়েছে

তরল

এখানে দুটি সরলীকৃত তরল সমীকরণ বিবেচনা করা হবে:

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\kappa {\frac {\partial p}{\partial t}}\dots \dots .Eq(1)$

এবং

$-{\frac {\partial p}{\partial x}}={\rho }_{f}{\frac {\partial u}{\partial t}}\dots \dots .Eq(2)$

যেখানে $\kappa ={\frac {1}{{\rho }_{f}c^{2}}}$, $u$ হলো তরল কণার বেগ এবং $p$ হলো তরলের চাপ।

প্রথমটি হলো ধারাবাহিকতা সমীকরণ, যেখানে ঘনত্ব পদকে চাপ পদ দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়েছে আদর্শ গ্যাস সূত্র $p=\rho RT$ ও সন্নিস্ক্রিয় গ্যাস সূত্র $c^{2}=\gamma RT$ প্রয়োগ করে।

নমনীয় প্রাচীরের কারণে, তরল অতিরিক্ত সংকোচনশীলতার অভিজ্ঞতা লাভ করে, এবং মর্স এবং ইনগার্ড [১ অনুসারে, এই অতিরিক্ত সংকোচনশীলতা প্রাচীরের কঠোরতা (K) ভিত্তিতে নির্ধারিত হয়। প্রাচীর কঠোরতা সংজ্ঞায়িত হয়েছে চাপ ও ক্ষেত্রফলের ভগ্নাংশ পরিবর্তনের অনুপাত হিসেবে। সমীকরণ ১-এ K অন্তর্ভুক্ত করে পাওয়া যায়:

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\left(\kappa +{\frac {1}{K}}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}\dots \dots Eq\left(3\right)$

যদি নলের ভর বিবেচনা করা হয়, তবে একটি অতিরিক্ত ভর পরামিতি, M_w, অন্তর্ভুক্ত করতে হবে।

তখন প্রাচীরের মোট অনমনীয় প্রতিবন্ধকতা হয়:

$Z_{w}=j\omega M_{w}+{\frac {K_{w}}{j\omega }}=j{\frac {M_{w}}{\omega }}\left({\omega }^{2}-{\omega }_{n}^{2}\right)$

এই প্রাচীর প্রতিবন্ধকতাকে একটি সংকোচনশীলতা পদ (যেমনঃ $K=j\omega Z_{w}$) হিসেবে গণ্য করে এবং Eq 3-তে প্রতিস্থাপন করলে পাওয়া যায়:

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\left(\kappa +{\frac {1}{M_{w}({{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2})}}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}$

এখানে, ${\omega }_{n}={\sqrt {\frac {K_{w}}{M_{w}}}}$।

আরও সরলীকরণ করে ${\kappa }$ বাইরের আকারে উপস্থাপন করলে পাওয়া যায়:

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\kappa \left({\frac {M_{w}\left({{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2}\right)+{\rho }_{f}c^{2}}{M_{w}({{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2})}}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}$

পরবর্তীতে কিছু রূপান্তরের পর, এটি হয়ে দাঁড়ায়:

$-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\kappa \left({\frac {{{\omega }_{1}^{2}-\omega }^{2}}{{{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2}}}\right){\frac {\partial p}{\partial t}}$

যেখানে ${\omega }_{1}^{2}={\omega }_{n}^{2}+{\frac {{\rho }_{f}c^{2}}{M_{w}}}$

অনমনীয় প্রাচীরের ক্ষেত্রে, যখন $K_{w}\to \infty$, ${\omega }_{n}^{2}\to \infty$, ${\omega }_{1}^{2}\to \infty$, তখন $-{\frac {\partial u}{\partial x}}=\kappa {\frac {\partial p}{\partial t}}$, যা আবার সমীকরণ ১-তে ফিরে যায়।

যদি প্রতিবন্ধকতার উপমা (impedance analogy) ব্যবহার করা হয়, অর্থাৎ চাপ হলো ভোল্টেজ এবং বেগ হলো কারেন্ট, তবে

$C=\ \kappa \left({\frac {{{\omega }_{1}^{2}-\omega }^{2}}{{{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2}}}\right)$ ,যেখানে C হলো প্রতি একক দৈর্ঘ্যে প্রাচীরের সংকোচনশীলতা।

ধ্বনির গতি তখন ${\sqrt {\frac {1}{LC}}}$ দ্বারা নির্ধারিত হয়, ফলে

$c_{p}=c{\sqrt {\left({\frac {{{\omega }_{n}^{2}-\omega }^{2}}{{{\omega }_{1}^{2}-\omega }^{2}}}\right)}}$

এখানে $c_{p}$ হলো ফেজ বেগ, এবং এটি উত্তেজনার ফ্রিকোয়েন্সি ${\omega }$ এর ওপর নির্ভরশীল, অর্থাৎ এই শব্দতরঙ্গটি বিকীর্ণ (dispersive)। যখন উত্তেজনার ফ্রিকোয়েন্সি প্রাকৃতিক ফ্রিকোয়েন্সির নিচে থাকে, ${\omega }_{n}$, তখন ফেজ বেগ মুক্ত তরলের তরঙ্গগতির চেয়ে কম হয়।

পরবর্তী ধাপে, K_w এবং M_w নির্ধারণ করতে হবে, যা গঠনগত প্রতিক্রিয়ার মাধ্যমে নির্ধারিত হবে।

কাঠামো

ধরা যাক অপরিবর্তিত নলটির ব্যাসার্ধ D এবং বিকৃতির পরে এটি হয় $D+\triangle D$। এই ক্ষেত্রে ক্ষেত্রফল পরিবর্তন হয় ${\frac {\pi }{4}}\left(2D\triangle D+{\left(\triangle D\right)}^{2}\right)$। এই দুইটির অনুপাত হয় ${\frac {\triangle A}{A}}={\frac {2\triangle D}{D}}+{\left({\frac {\triangle D}{D}}\right)}^{2}$। সুতরাং, প্রাচীরের দৃঢ়তা হবে

$K_{w}={\frac {\triangle pD}{2\triangle D}}$।

যার বিপরীতটিকে "compliance" বা distensibility (একটি জীব-চিকিৎসাবিষয়ক পরিভাষা) বলা হয়।

${\frac {\triangle D}{D}}$ নির্ধারণ করার জন্য নিউটনের গতি সূত্র ও হুকের সূত্র অনুযায়ী কাঠামোগত প্রতিক্রিয়া বিবেচনা করতে হবে।

ধরা যাক একটি অর্ধনলাকার অংশের ব্যাস D, পুরুত্ব h এবং টান T রয়েছে,

একটি সিলিন্ডার আকৃতির নলে হুপ চাপ (hoop stress) হয়,

$\sigma =p{\frac {D}{2h}}$ হুকের সূত্র প্রয়োগ করে, প্রসারণ, $\varepsilon$, নির্ধারণ করা যায়:

$\varepsilon ={\frac {\sigma }{E}}$।

কিছু রূপান্তরের মাধ্যমে,

$\varepsilon ={\frac {pD}{2hE}}$

ছোট প্রসারণের জন্য,

$\Delta \varepsilon ={\frac {\Delta pD}{2hE}}={\frac {\Delta D}{D}}$ সুতরাং,

$K_{w}=E{\frac {h}{D}}$

এটি প্রাচীরের দৃঢ়তা, যা কেবল নলের স্থিতিস্থাপক ধর্মের উপর নির্ভরশীল।

যদি প্রতি একক দৈর্ঘ্যে নলের ভর বিবেচনা করা হয়, তাহলে

$M_{w}={\rho }_{s}\pi h(D+h)$।

শেষে, ফেজ বেগ এবং প্রাচীর প্রতিবন্ধকতা বনাম উদ্দীপনা ফ্রিকোয়েন্সি অঙ্কিত করা যায়।

আলোচনা

সিমুলেশনে, ব্যাসার্ধের তুলনায় প্রাচীরের পুরুত্বের অনুপাত ${\frac {h}{D}}$ ধরা হয়েছে 0.1, এবং বস্তু হিসেবে ইস্পাত ব্যবহৃত হয়েছে যার ঘনত্ব $\rho =7800{\frac {kg}{m^{3}}}$ এবং $E=2x10^{11}Pa$। এর ভিতরে থাকা তরল হিসেবে ধরা হয়েছে বায়ু যার $\rho =1.21{\frac {kg}{m^{3}}}$ এবং মুক্ত তরঙ্গগতির গতি $c=343{\frac {m}{s}}$।

চিত্র:Tws1.jpg

এই চিত্রে, 'o' দ্বারা ফেজ বেগের বাস্তব অংশ এবং '+' দ্বারা কাল্পনিক অংশ দেখানো হয়েছে। সোজা রেখাটি বায়ুর শব্দগতির প্রতিনিধিত্ব করছে যার মান $c=343{\frac {m}{s}}$। এই প্লটে, তরঙ্গের প্রসারণ সম্ভব শুধুমাত্র তখনই যখন ফেজ বেগ বাস্তব হয়। এখানে দুটি গুরুত্বপূর্ণ ফ্রিকোয়েন্সি রয়েছে যা বিশেষ মনোযোগের দাবিদার। প্রথমটি হলো খালি কাঠামোর প্রাকৃতিক ফ্রিকোয়েন্সি, অর্থাৎ ${\omega }_{n}$ এবং দ্বিতীয়টি হলো তরল-লোডেড কাঠামোর প্রাকৃতিক ফ্রিকোয়েন্সি, ${\omega }_{1}$। এই প্লটে, ${\omega }_{n}=450Hz$ এবং ${\omega }_{1}=550Hz$।

একটি কঠিন নলে ১-মাত্রিক তরঙ্গ প্রসারণের তুলনায়, যেখানে তরঙ্গগতি একটি ধ্রুবক, এখানে ফেজ বেগ নির্ভর করে উদ্দীপনা ফ্রিকোয়েন্সির উপর। দেখা যায়, ${\omega }_{n}$ এর দিকে এগিয়ে গেলে তরঙ্গগতি হ্রাস পায়। ${\omega }_{n}$ এবং ${\omega }_{1}$ এর মাঝের ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে ফেজ বেগ কাল্পনিক, অর্থাৎ এই দুই ফ্রিকোয়েন্সির মাঝখানে কোনো তরঙ্গ প্রসারণ সম্ভব নয়। কিন্তু ${\omega }_{1}$ পেরিয়ে গেলে ফেজ বেগ আবার বৃদ্ধি পেয়ে 343 m/s এর উপরে চলে যায় এবং ক্রমাগত $c$ এর দিকে অগ্রসর হয়।

যখন উদ্দীপনা ফ্রিকোয়েন্সি বাড়ানো হয়, তরলের কিছু শক্তি নলকে উত্তেজিত করতে ব্যবহৃত হয় যতক্ষণ না তা ${\omega }_{n}$ এর সমান হয়। ${\omega }_{n}$ এর পরে, এই দুই ফ্রিকোয়েন্সির মাঝে প্রকৃত তরঙ্গ প্রসারণ আর সম্ভব নয়।

খুব শক্ত নলের ক্ষেত্রে, যেমন $E=2x10^{20}Pa$, ফেজ বেগ ঠিক বায়ুর মুক্ত তরঙ্গগতির সমান হয়, যা একটি ধ্রুবক। এটি পূর্বে কঠিন নলে ১-মাত্রিক তরঙ্গ প্রসারণ নিয়ে আলোচনার সঙ্গে সামঞ্জস্যপূর্ণ।

চিত্র:Tws2.jpg

যখন দৃঢ়তা ইস্পাতের ১/১০০ তে হ্রাস করা হয়, তখন অনেক পার্থক্য লক্ষ্য করা যায়। প্রথমত, নিম্ন ফ্রিকোয়েন্সিতে ফেজ বেগ ধীর হয়। কারণ কম দৃঢ়তার প্রাচীর বেশি প্রসারিত হতে পারে, এবং আরও শক্তি শোষণ করতে পারে। সেইসঙ্গে, এই সিস্টেমের ${\omega }_{n}$ এবং ${\omega }_{1}$ অনেক কম হয়।

চিত্র:Tws3.jpg

উপরে বিশ্লেষণের ভিত্তিতে নিম্নলিখিত উপসংহার টানা যায়:

১. নলের প্রাচীরের দৃঢ়তা, পুরুত্ব এবং ঘনত্ব ফেজ বেগকে উল্লেখযোগ্যভাবে প্রভাবিত করে।

২. দৃঢ়তা কমলে, নিম্ন ফ্রিকোয়েন্সিতে তরঙ্গের গতি হ্রাস পায়। তরঙ্গ দ্রুতই বিলুপ্ত হয়ে যায় (evanescent) কারণ প্রাকৃতিক ফ্রিকোয়েন্সি হ্রাস পায়। দৃঢ়তা বাড়ালে, তরঙ্গের গতি ধীরে ধীরে মুক্ত তরঙ্গগতির দিকে অগ্রসর হয়, যা কঠিন প্রাচীরের ক্ষেত্রে ঘটে।

৩. একটি নমনীয় প্রাচীরযুক্ত নলে তরঙ্গের গতি বিক্ষিপ্ত, অর্থাৎ এটি ফ্রিকোয়েন্সির উপর নির্ভর করে। ফেজ বেগ কঠিন প্রাচীরের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে ভিন্ন হয়।

৪. তরঙ্গ প্রসারণহীন অঞ্চলের নাম “স্টপ ব্যান্ড”। এখানে প্রাচীরের ধর্ম পরিবর্তন করে বৃহত্তর স্টপ ব্যান্ড তৈরি করা যায়। সুতরাং, নমনীয় প্রাচীরযুক্ত একটি নলকে একটি ব্যান্ড ফিল্টার হিসেবেও ধরা যেতে পারে।

তথ্যসূত্র

[১]. মর্স ও ইনগার্ড (১৯৬৮), "থিওরেটিক্যাল একোস্টিক্স", প্রিন্সটন ইউনিভার্সিটি প্রেস, প্রিন্সটন, নিউ জার্সি