পদার্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন নির্দেশিকা/ভেক্টর ও স্কেলার
ভেক্টর এমন রাশি যেগুলোর একটি সংখ্যা মান (যাকে "মান" বা "magnitude" বলা হয় এবং |v| দ্বারা প্রকাশ করা হয়) এবং একটি দিক থাকে। গতিবেগ (velocity) একটি ভেক্টর; এটি স্থানের পরিবর্তনের হার জানায় এবং সেই সাথে চলার দিকও জানায়।
ভেক্টর এমন রাশি যা প্যারালেলোগ্রাম নিয়ম অনুসারে যোগ হয় (কিছু রাশি আছে যেগুলোর মান ও দিক থাকলেও সেগুলো ভেক্টর নয়)।
স্কেলার হলো এমন রাশি যেগুলোর কোনো দিক নেই। ভর (mass) একটি স্কেলার রাশি; এটি কেবল বস্তুতে কতটুকু পদার্থ আছে তা বলে (কেজি এককে), কিন্তু কোনো দিক নির্দেশ করে না।
ভেক্টর ও স্কেলারের গুণফল
[সম্পাদনা]- একটি স্কেলার গুণফল আরেকটি স্কেলারের সঙ্গে হলে ফলাফলও স্কেলার হয়।
- একটি ভেক্টর আরেকটি ভেক্টরের সঙ্গে গুণফল হলে ফলাফল একটি স্কেলার হয় (যাকে ডট-প্রোডাক্ট বলে)।
- একটি ভেক্টর আরেকটি ভেক্টরের সঙ্গে ক্রস-মাল্টিপ্লাই করলে ফলাফল একটি ভেক্টর হয় (যাকে ক্রস-প্রোডাক্ট বলে)।
- একটি ভেক্টর একটি স্কেলারের সঙ্গে গুণ করলে ফলাফল একটি ভেক্টর হয়।
ভেক্টর নিয়ে প্রায়শই জিজ্ঞাসিত প্রশ্ন
[সম্পাদনা]কখন স্কেলার ও ভেক্টর রাশির যোগফল একরকম হয়?
[সম্পাদনা]উত্তর: যখন একাধিক ভেক্টর একই দিকে থাকে, তখন কেবল তাদের মান যোগ করলেই হয়। কারণ দিক একই, তাই আমরা কেবল মান যোগ করলেই স্কেলার ও ভেক্টর যোগফল এক হয়ে যায়।
"ডট-প্রোডাক্ট" কী? (যখন বল সরণর সমান্তরাল নয়)
[সম্পাদনা]
উত্তর: ধরুন মাধ্যাকর্ষণ একটি বল। আপনি যদি প্লেন থেকে লাফ দেন, আপনি পড়তে থাকবেন এবং গতি পাবেন (সহজ করার জন্য, আমরা বাতাসের ঘর্ষণ উপেক্ষা করি)। একটি নির্দিষ্ট স্থানে গতিশক্তি নির্ণয় করতে হলে মাধ্যাকর্ষণের বলের মান ও সরণের সেই অংশ নিতে হবে যা বলের দিকের সঙ্গে মিল রয়েছে। যেমন, যদি একটি ১৮০ N ওজনের ছেলে ১০ মিটার পড়ে, তাহলে সে ১৮০০ J অতিরিক্ত গতিশক্তি পাবে। আমরা বলি, তার উপর ১৮০০ J কাজ হয়েছে মাধ্যাকর্ষণ বলের দ্বারা।
দেখুন, শক্তি একটি স্কেলার; মান আছে, কিন্তু দিক নেই। কিন্তু মাধ্যাকর্ষণ ও সরণ উভয়ই ভেক্টর। তাদের মান ও দিক আছে (এই ক্ষেত্রে, উভয়ের দিক নিচের দিকে)। আমরা ভেক্টর থেকে স্কেলার শক্তি পাই কারণ তাদের দিক এক।
যখন দুটি ভেক্টর একই দিকে থাকে, কেবল মান গুণ করলেই স্কেলার গুণফল পাওয়া যায়।
কিন্তু যদি দিক ভিন্ন হয়?
ধরুন একজন মানুষ পাহাড় বেয়ে উঠছে। এতে শক্তি লাগে কারণ সে মাধ্যাকর্ষণের বিপরীতে যাচ্ছে। পাহাড় যত খাড়া হবে, তত বেশি শক্তি লাগে। আমরা সবাই এটা জানি।
এমন পরিস্থিতিতে কাজ নির্ণয় করতে হলে সরণের সেই অংশ নিতে হয় যেটি বলের দিক বরাবর। অর্থাৎ, সরণের y উপাদান। এখানেই কোস θ আসে। θ হলো বল ও সরণের মধ্যকার কোণ।
যখন দুটি বল ভিন্ন দিকে থাকে, তখনও আমরা স্কেলার গুণফল পেতে পারি যদি একটি বলের সেই অংশ নিই যা অন্য বলের দিকে।
ডট-প্রোডাক্ট আরেকভাবে নির্ধারণ করা যায় উপাদানের সাহায্যে।
"ক্রস-প্রোডাক্ট" কী? (চুম্বকক্ষেত্রে চার্জিত কণার উপর বল)
[সম্পাদনা]উত্তর: ধরুন একটি চার্জিত কণা একটি ধ্রুব চুম্বকক্ষেত্রে চলছে। তড়িচ্চুম্বকত্ব অনুযায়ী, এই কণার উপর বল পড়ে যাকে লরেঞ্জ বল বলে। যদি এই কণা বামে থেকে ডানে ৩০ m/s গতিতে চলে এবং চুম্বকক্ষেত্র নিচের দিকে ৩০ টেসলা হয়, তাহলে কণাটি একটি বৃত্তের আকৃতিতে গমন করবে এবং তার ত্বরণ হবে তার চার্জ গুণ ৯০০ নিউটন/কুলম্ব! কারণ লরেঞ্জ বলের গাণিতিক হিসাব ক্রস-প্রোডাক্টের মাধ্যমে হয়।
ক্রস-প্রোডাক্ট সহজে করা যায় দুই ভেক্টরের কোণ ও ডানহাত নিয়ম ব্যবহার করে। যদি দুই বল সমান্তরাল বা বিপরীতমুখী হয়, ক্রস-প্রোডাক্ট শূন্য হয়। যদি তারা একে অপরের লম্ব হয়, তাহলে গুণফলের মান হয় তাদের মানের গুণফল। মাঝামাঝি কোণের জন্য এই সূত্র ব্যবহার করা হয়:
যেহেতু ফলাফল একটি ভেক্টর, তাহলে তার দিক কীভাবে নির্ধারণ করব? এর জন্য "ডানহাত নিয়ম" ব্যবহার করি।
ডানহাত নিয়মে প্রথম ভেক্টরের বরাবর হাত রেখে, তালু দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে রেখে হাত ঘুরান দ্বিতীয় ভেক্টরের দিকে। আপনার বৃদ্ধাঙ্গুলি যেদিকে যাবে, সেদিকেই গুণফলের ভেক্টরের দিক।
যদিও এটি চিত্রে সহজ, কিন্তু গাণিতিকভাবে কিছুটা জটিল।
কীভাবে বোর্ড বা পৃষ্ঠার সমতলের বাইরে বা ভেতরের ভেক্টর আঁকব
[সম্পাদনা]
উত্তর: সমতলের ভেক্টরকে তীর চিহ্ন দিয়ে আঁকা হয়। যদি ভেক্টরটি সমতলের *ভেতর* প্রবেশ করে, সেটি X চিহ্নসহ বৃত্ত দিয়ে দেখানো হয়। আর যদি ভেক্টরটি সমতলের *বাইরে* আসে, তাহলে সেটি বিন্দু সহ বৃত্ত দিয়ে দেখানো হয়। X মানে হলো তীরের পেছনের দিক এবং বিন্দু মানে হলো তীরের অগ্রভাগ।