পদার্থবিজ্ঞান অধ্যয়ন নির্দেশিকা/বৃত্তাকার গতি

সমবৃত্তীয় গতি

দ্রুতি এবং কম্পাঙ্ক

সমবৃত্তীয় গতি বলতে বোঝায় যে একটি বস্তু (১) বৃত্তাকার গতিতে এবং (২) ধ্রুব দ্রুতি $v$ সহ চলছে; তাহলে

$T={\frac {2\pi r}{v}}$

যেখানে $r$ হলো বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ, এবং $T$ হলো একটি ঘূর্ণনের সময়কাল।

যে কোনো বস্তু একটি বৃত্তাকার পথে ভ্রমণ করলে এক পূর্ণ ঘূর্ণন বা এক পর্যায়কাল $T$ পর তার আদি অবস্থানে ফিরে আসবে। এই সময়ে বস্তুটি $2\pi r$ দূরত্ব অতিক্রম করে। যদি $2\pi r$ দূরত্ব অতিক্রম করতে T সময় লাগে, তাহলে বস্তুর দ্রুতি হবে:

$v={\frac {2\pi r}{T}}=2\pi rf$

যেখানে $f={\frac {1}{T}}$

কৌণিক কম্পাঙ্ক

সমবৃত্তীয় গতিকে কৌণিক কম্পাঙ্ক $\omega$ ব্যবহার করে পোলার স্থানাঙ্কে স্পষ্টভাবে বর্ণনা করা যেতে পারে:

$\omega ={\frac {d\theta }{dt}}$

যেখানে $\theta$ হলো বস্তুর কৌণিক স্থানাঙ্ক (রেফারেন্সের জন্য ডানদিকের চিত্রটি দেখুন)।

যেহেতু সমবৃত্তীয় গতিতে দ্রুতি ধ্রুব থাকে, সেহেতু এর থেকে বোঝা যায় যে

$\omega ={\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}$

এই বিষয়টি থেকে বেশ কিছু কার্যকর সম্পর্ক পাওয়া যায়:

$\omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f={\frac {v}{r}}$

$\theta$ (কৌণিক অবস্থান) সময়ের সাথে কীভাবে পরিবর্তিত হয় তা সম্পর্কিত সমীকরণগুলো ধ্রুব দ্রুতিতে রৈখিক গতির সমীকরণগুলির অনুরূপ। বিশেষ করে,

$\theta =\theta _{0}+\omega t$

$t=0$ সময়ে যে কোণ $\theta _{0}$ থাকে, তাকে সাধারণত দশা বলা হয়।

বেগ, কেন্দ্রমুখী ত্বরণ এবং বল

কোনো তলে একটি বস্তুর অবস্থান পোলার স্থানাঙ্ক থেকে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কে নিম্নলিখিত সমীকরণগুলোর মাধ্যমে রূপান্তরিত করা যেতে পারে:

${\begin{aligned}x&=r\cos(\theta )\\y&=r\sin(\theta )\end{aligned}}$

$\theta$ কে সময়ের ফাংশন হিসেবে প্রকাশ করলে সমবৃত্তীয় গতিতে কার্তেসীয় স্থানাঙ্কগুলির জন্য সময়ের ফাংশন হিসেবে সমীকরণগুলো পাওয়া যায়:

${\begin{aligned}x&=r\cos(\theta _{0}+\omega t)\\y&=r\sin(\theta _{0}+\omega t)\end{aligned}}$

সময় সাপেক্ষে অবকলন (differentiation) করলে বেগ ভেক্টরের উপাদানগুলো পাওয়া যায়:

${\begin{aligned}v_{x}&=\omega r(-\sin(\omega t))=-v\sin(\omega t)\\v_{y}&=\omega r\cos(\omega t)=v\cos(\omega t)\end{aligned}}$

বৃত্তাকার গতিতে বেগ হলো বস্তুর গতিপথের স্পর্শক বরাবর একটি ভেক্টর। উপরন্তু, যদিও দ্রুতি ধ্রুব থাকে, তবুও বেগের ভেক্টর সময়ের সাথে দিক পরিবর্তন করে। আরও অবকলন করলে ত্বরণের উপাদানগুলো পাওয়া যায় (যা বেগের উপাদানগুলোর পরিবর্তনের হার মাত্র):

${\begin{aligned}a_{x}&=-\omega ^{2}r\cos(\omega t)\\a_{y}&=-\omega ^{2}r\sin(\omega t)\end{aligned}}$

ত্বরণ ভেক্টরটি বেগের সাথে লম্ব এবং বৃত্তাকার গতিপথের কেন্দ্রের দিকে অভিমুখী। এই কারণে, বৃত্তাকার গতির ত্বরণকে কেন্দ্রমুখী ত্বরণ বলা হয়।

কেন্দ্রমুখী ত্বরণের পরম মান সহজেই নিম্নলিখিত উপায়ে পাওয়া যেতে পারে:

${\begin{aligned}a_{c}&={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}={\sqrt {(\omega ^{2}r)^{2}{\big (}\cos ^{2}(\omega t)+\sin ^{2}(\omega t){\big )}}}\\&=\omega ^{2}r={\frac {v^{2}}{r}}\end{aligned}}$

কেন্দ্রমুখী ত্বরণ, এবং ফলস্বরূপ বৃত্তাকার গতি বজায় রাখার জন্য, বস্তুর উপর একটি কেন্দ্রমুখী বল ক্রিয়াশীল হতে হবে। নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র থেকে সরাসরি এটি বোঝা যায় যে বলটি নিম্নোক্তভাবে দেওয়া হবে:

${\vec {F_{c}}}=m{\vec {a_{c}}}$

উপাদানগুলো হবে:

${\begin{aligned}F_{x}&=-m\omega ^{2}r\cos(\omega t)\\F_{y}&=-m\omega ^{2}r\sin(\omega t)\end{aligned}}$

এবং পরম মান:

$F_{c}=m\omega ^{2}r=m{\frac {v^{2}}{r}}$