MIMO systems এর জন্য নিয়ন্ত্রণ আইনের নকশা SISO সিস্টেমের তুলনায় আরও বিস্তৃত কারণ অতিরিক্ত ইনপুট ( $q>1$ ) আইজেনভেক্টর সংজ্ঞায়িত করা বা ইনপুটগুলির কার্যকলাপ পরিচালনা করার মতো আরও বিকল্প প্রদান করে। এর অর্থ হল ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের কাঙ্ক্ষিত আইজেন মানগুলির একটি সেটের জন্য প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স "K" "অনন্য নয়"।

উপস্থাপিত সমস্ত পদ্ধতির সুবিধা, অসুবিধা এবং নির্দিষ্ট সীমাবদ্ধতা রয়েছে। এর অর্থ হল প্রতিটি সম্ভাব্য সিস্টেমে সমস্ত পদ্ধতি প্রয়োগ করা যাবে না এবং বিবেচিত সমস্যাটিতে কোন পদ্ধতি প্রয়োগ করা যেতে পারে তা পরীক্ষা করা গুরুত্বপূর্ণ।

প্যারামেট্রিক স্টেট ফিডব্যাক

প্যারামেট্রিক স্টেট ফিডব্যাক (জার্মান ভাষায়: vollständige modale Synthese) এর মাধ্যমে প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স "K" খুঁজে বের করার একটি সহজ পদ্ধতি পাওয়া যেতে পারে। একটি MIMO সিস্টেম

{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)

ইনপুট ভেক্টর সহ

u(t)=(u_{1}(t),u_{2}(t),\cdots ,u_{q}(t))=-K~x(t)

ইনপুট ম্যাট্রিক্স $B\in \mathbb {R} ^{p\times q}$ এবং প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স $K\in \mathbb {R} ^{q\times p}$ বিবেচনা করা হয়। ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের আইজেনভ্যালু সমস্যা

{\dot {x}}(t)=(A-B~K)~x(t)=A_{CL}~x(t)

হিসাবে উল্লেখ করা হয়েছে

A_{CL}~{\tilde {v}}_{i}=(A-B~K)~{\tilde {v}}_{i}={\tilde {\lambda }}_{i}~{\tilde {v}}_{i}

যেখানে ${\tilde {\lambda }}_{i}\in \mathbb {C}$ নির্ধারিত আইজেনভ্যালু নির্দেশ করে এবং ${\tilde {v}}_{i}\in \mathbb {C} ^{p}$ ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের আইজেনভেক্টর নির্দেশ করে। এরপর, নতুন প্যারামিটার ভেক্টর $\phi _{i}=K{\tilde {v}}_{i}$ প্রবর্তন এবং বরাদ্দ করা হয় এবং Eigenvalue সমস্যাটি

[1]

B~K~{\tilde {v}}_{i}=B~\phi _{i}=(A-{\tilde {\lambda }}_{i}~I)~{\tilde {v}}_{i}.

হিসাবে পুনঃনির্ধারণ করা হয়।

নিয়ন্ত্রক সংশ্লেষণ

১. সমীকরণ [১] থেকে আমরা আইজেনভেক্টর কে সংজ্ঞায়িত করি

{\tilde {v}}_{i}=(A-{\tilde {\lambda }}_{i}~I)^{-1}~B~\phi _{i}

২. নতুন প্যারামিটার ভেক্টর $\phi _{i}$ কে

\Phi =[\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{p}]=K[{\tilde {v}}_{1},{\tilde {v}}_{2},\cdots ,{\tilde {v}}_{p}],

যেখানে প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স K হিসাবে উল্লেখ করা যেতে পারে

K=\Phi ~[{\tilde {v}}_{1},{\tilde {v}}_{2},\cdots ,{\tilde {v}}_{p}]^{-1}.

3. অবশেষে, Eigenvector সংজ্ঞাটি ``প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স এর সম্পূর্ণ বিবরণ ধারণ করতে ব্যবহৃত হয়

K=[\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{p}]~[(A-{\tilde {\lambda }}_{1}~I)^{-1}~B~\phi _{1},\cdots ,(A-{\tilde {\lambda }}_{p}~I)^{-1}~B~\phi _{p}]^{-1}.

প্যারামিটার ভেক্টরগুলি ইচ্ছামত সংজ্ঞায়িত করা হয় তবে রৈখিক-স্বাধীন হতে হবে।

উদাহরণ

{{TextBox|1=গতিশীল সিস্টেম বিবেচনা করুন

গতিশীল সিস্টেম বিবেচনা করুন

{\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&1\\4&3\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}{x}_{1}(t)\\{x}_{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\end{bmatrix}}

যা ধনাত্মক আইজেন মানের কারণে অস্থির $\lambda _{i}\in \{1,5\}$ । Eigenvalues ${\tilde {\lambda }}_{1}=-4,{\tilde {\lambda }}_{2}=-2$ সহ একটি স্থিতিশীল ক্লোজড-লুপ সিস্টেমে পৌঁছানোর জন্য একটি প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স K খুঁজে পাওয়া উচিত।

1. প্যারামিটার ভেক্টরগুলিকে $\phi _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}$ এবং $\phi _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$ হিসাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে। ২. ফলস্বরূপ আইজেনভেক্টরগুলি হল

{\tilde {v}}_{1}=(A-{\tilde {\lambda }}_{1}~I)^{-1}~B~\phi _{1}=\left({\begin{bmatrix}3&1\\4&3\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}-4&0\\0&-4\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}0.09\\0.38\end{bmatrix}}

এবং

{\tilde {v}}_{2}=(A-{\tilde {\lambda }}_{2}~I)^{-1}~B~\phi _{2}=\left({\begin{bmatrix}3&1\\4&3\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}-2&0\\0&-2\end{bmatrix}}\right)^{-1}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}0.29\\0.57\end{bmatrix}}.

৩. প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স গণনা করা হয়

K=[\phi _{1},\phi _{2}]~[(A-{\tilde {\lambda }}_{1}~I)^{-1}~B~\phi _{1},(A-{\tilde {\lambda }}_{2}~I)^{-1}~B~\phi _{2}]^{-1}\approx {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}0.09&0.29\\0.38&0.57\end{bmatrix}}^{-1}\approx {\begin{bmatrix}-9.68&4.92\\6.45&-1.53\end{bmatrix}}.

আরও সুনির্দিষ্ট রাউন্ডিং একটি প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্সের দিকে পরিচালিত করে

K={\begin{bmatrix}-10&5\\6.6{\overline {1}}&-1.5{\overline {5}}\end{bmatrix}}

একবচন মান বিভাজন এবং তির্যকীকরণ

যদি সিস্টেমের $A\in \mathbb {R} ^{p\times p}$ অবস্থা ম্যাট্রিক্স

{\dot {x}}(t)=A~x(t)+B~u(t)

কর্ণযোগ্য হয়, যার অর্থ আইজেনভেক্টর এবং আইজেনভেক্টরের সংখ্যা সমান, তাহলে রূপান্তর

x=M~x_{M}

উৎপাদন করতে ব্যবহার করা যেতে পারে

M~{\dot {x}}_{M}(t)=AM~x_{M}(t)+B~u(t)

এবং আরও

{\dot {x}}_{M}(t)=M^{-1}AM~x_{M}(t)+M^{-1}~B~u(t).

রূপান্তর ম্যাট্রিক্স M-এ Eigenvectors $v_{i}\in \mathbb {C} ^{p}$ থাকে।

M=[v_{1},v_{2},\cdots ,v_{p}]

যা একটি নতুন তির্যক অবস্থা ম্যাট্রিক্সের দিকে পরিচালিত করে।

A_{M}=M^{-1}~A~M={\begin{bmatrix}\lambda _{1}\\&\lambda _{2}\\&&\ddots \\&&\lambda _{p}\end{bmatrix}}

আইজেনভ্যালু $\lambda _{i}\in \mathbb {C}$ , এবং নতুন ইনপুট

u_{M}(t)=M^{-1}~B~u(t)={\begin{bmatrix}u_{M,1}\\u_{M,2}\\\cdots \\u_{M,p}\end{bmatrix}}.

নতুন ইনপুট $u_{M}$ এর নিয়ন্ত্রণ আইনটি এভাবে ডিজাইন করা হয়েছে

u_{M}(t)=-K_{M}x_{M}(t)=-{\begin{bmatrix}K_{M,1}\\&K_{M,2}\\&&\ddots \\&&&K_{M,p}\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}x_{M,1}(t)\\x_{M,2}(t)\\\cdots \\x_{M,p}(t)\end{bmatrix}}

এবং নতুন স্থানাঙ্কে ক্লোজড-লুপ সিস্টেমটি এভাবে উল্লেখ করা হয়েছে

{\dot {x}}_{M}(t)=A_{M}~x_{M}(t)+u_{M}(t)=(A_{M}-K_{M})~x_{M}(t)={\begin{bmatrix}\lambda _{1}-K_{M,1}\\&\lambda _{2}-K_{M,2}\\&&\ddots \\&&\lambda _{p}-K_{M,p}\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}x_{M,1}(t)\\x_{M,2}(t)\\\cdots \\x_{M,p}(t)\end{bmatrix}}

প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স $K_{M}$ প্রতিটি আইজেনভ্যালুকে সরাসরি প্রভাবিত করতে বা স্থানান্তর করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

শেষ ধাপে, নতুন ইনপুটটিকে মূল স্থানাঙ্কে উল্টো করে রূপান্তরিত করা হয় যাতে মূল প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স K পাওয়া যায়। নতুন ইনপুটটি

u_{M}(t)=M^{-1}~B~u(t)

এবং

u_{M}(t)=-K_{M}~x_{M}(t)=-K_{M}~M^{-1}~x(t).

এই সূত্রগুলি থেকে একজন ব্যক্তি পরিচয় লাভ করে

M^{-1}~B~u(t)=-K_{M}~M^{-1}~x(t)

এবং আরও

u(t)=-B^{-1}~M~K_{M}~M^{-1}~x(t)=-K~x(t).

অতএব, প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্সটি

K=B^{-1}~M~K_{M}~M^{-1}.

হিসাবে পাওয়া যায়

প্রয়োজনীয়তা

এই কন্ট্রোলার ডিজাইনটি কেবলমাত্র নিম্নলিখিত প্রয়োজনীয়তাগুলি নিশ্চিত করা হলেই প্রযোজ্য।

স্টেট ম্যাট্রিক্স A হল diagonalizable।
স্টেট এবং ইনপুটের সংখ্যা সমান $p=q$ ।

ইনপুট ম্যাট্রিক্স $B\in \mathbb {R} ^{p\times p}$ ইনভার্টেবল।

উদাহরণ

গতিশীল সিস্টেম বিবেচনা করুন

{\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}{x}_{1}(t)\\{x}_{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\end{bmatrix}}

যা ধনাত্মক আইজেন মানের কারণে অস্থির $\lambda _{i}\in \{1,3\}$ । আইজেনভেক্টরগুলি হল

{\tilde {v}}_{1}={\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}

এবং

{\tilde {v}}_{2}={\begin{bmatrix}{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}.

সুতরাং, রূপান্তর ম্যাট্রিক্সটি

M={\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}

এবং নতুন স্থানাঙ্কে স্টেট ম্যাট্রিক্সটি

A_{M}=M^{-1}~A~M={\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}}.

ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের কাঙ্ক্ষিত আইজেন মান হল ${\tilde {\lambda }}_{1}=-5$ এবং ${\tilde {\lambda }}_{2}=-1$ , তাই প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্সটি

\lambda _{1}-K_{M,1}=1-K_{M,1}={\tilde {\lambda }}_{1}=-5\quad \Rightarrow K_{M,1}=1+5=6

এবং

\lambda _{2}-K_{M,2}=3-K_{M,1}={\tilde {\lambda }}_{2}=-1\quad \Rightarrow K_{M,2}=3+1=4

এবং এইভাবে একটি ধরে রাখে

K_{M}={\begin{bmatrix}6&0\\0&4\\\end{bmatrix}}.

অবশেষে, মূল স্থানাঙ্কের প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স গণনা করা হয়

K=B^{-1}~M~K_{M}~M^{-1}={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}^{-1}~{\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}6&0\\0&4\\\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}\end{bmatrix}}^{-1}={\frac {1}{3}}{\begin{bmatrix}-7&11\\11&-7\\\end{bmatrix}}.

সিলভেস্টার সমীকরণ

এই পদ্ধতিটি অনলাইন রিসোর্স থেকে নেওয়া হয়েছে

KU Leuven: অধ্যায় 3: অবস্থা প্রতিক্রিয়া - মেরু স্থান নির্ধারণ (PDF, 308,5 kB) (এটি আর বিদ্যমান নেই)।
অনুরূপ রিসোর্স: অধ্যায় 4 পোল প্লেসমেন্ট (PDF, 269,3 kB) লেখক: Zsófia Lendek

ক্লোজড-লুপ সিস্টেমটি বিবেচনা করুন

{\dot {x}}(t)=A~x(t)+B~u(t)=(A-B~K)~x(t)=A_{CL}~x(t)

ইনপুট সহ $u(t)=-K~x(t)$ এবং ক্লোজড-লুপ স্টেট ম্যাট্রিক্স $A_{CL}=A-B~K$ । কাঙ্ক্ষিত ক্লোজড-লুপ আইজেনভ্যালু ${\tilde {\lambda }}_{i}\in \mathbb {C}$ বাস্তব- অথবা জটিল-মান হিসেবে বেছে নেওয়া যেতে পারে ${\tilde {\lambda }}_{i}=\alpha _{i}\pm j\beta _{i}$ এবং কাঙ্ক্ষিত আইজেনভ্যালুর ম্যাট্রিক্স হিসেবে উল্লেখ করা হয়েছে

\Lambda ={\begin{bmatrix}\alpha _{1}&\beta _{1}\\-\beta _{1}&\alpha _{1}\\&&\ddots \\&&{\tilde {\lambda }}_{i}\\&&&\ddots \end{bmatrix}}

ক্লোজড-লুপ স্টেট ম্যাট্রিক্স $A_{CL}$ এর সাথে $\Lambda$ এর মতো হতে হবে

A_{CL}=A-B~K\sim \Lambda

যার অর্থ হল একটি রূপান্তর ম্যাট্রিক্স $M\in \mathbb {R} ^{p\times p}$ বিদ্যমান যাতে

M^{-1}~A_{CL}~M=M^{-1}~(A-B~K)~M=\Lambda

ধরে রাখে এবং আরও

[2]

A~M-M~\Lambda =B~K~M.

একটি ইচ্ছামত ম্যাট্রিক্স $G=K~M$ প্রবর্তন করা হয় এবং সমীকরণ [2] কে একটি সিলভেস্টার সমীকরণে পৃথক করা হয়

[Sylvester]

A~M-M~\Lambda =B~G

এবং একটি প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স সূত্র

K=G~M^{-1}.

অ্যালগরিদম

১. একটি ইচ্ছামত ম্যাট্রিক্স $G\in \mathbb {R} ^{q\times p}$ নির্বাচন করুন।

২. M (সংখ্যানুসারে) এর জন্য সিলভেস্টার সমীকরণ সমাধান করুন।

৩. প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স K গণনা করুন।

স্টেট ম্যাট্রিক্স A এবং ঋণাত্মক Eigenvalue ম্যাট্রিক্স $-\Lambda$ এর সাধারণ Eigenvalue থাকবে না।
G এর কিছু পছন্দের জন্য গণনা ব্যর্থ হতে পারে। তারপর আরেকটি G বেছে নিতে হবে।

উদাহরণ

গতিশীল সিস্টেম বিবেচনা করুন

{\begin{bmatrix}{\dot {x}}_{1}(t)\\{\dot {x}}_{2}(t)\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}{x}_{1}(t)\\{x}_{2}(t)\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&2\\2&1\end{bmatrix}}~{\begin{bmatrix}u_{1}(t)\\u_{2}(t)\end{bmatrix}}

যা ধনাত্মক আইজেন মানের কারণে অস্থির $\lambda _{i}\in \{1,3\}$ । জটিল-মূল্যের আইজেনভ্যালু ${\tilde {\lambda }}_{1,2}=-2\pm 1j$ ক্লোজড-লুপ সিস্টেমের জন্য কাঙ্ক্ষিত। সুতরাং, আইজেনভ্যালু ম্যাট্রিক্সটি